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初级奥数分数的巧算
初级奥数分数的巧算是指通过一些简单的策略来解决奥数分数题。
以下是一些实用的技巧和方法：
1. 简化分数：
- 将分数进行约分，找到最大公因数，将分子和分母都除以最大公因数，使分数变得更简单。
- 将带分数转化为假分数，即将整数部分乘以分母，加上原分子作为新的分子，保持分母不变。
2. 分数的基本运算：
- 加法和减法: 相同分母的分数，直接将分子相加或相减，并将结果保持相同的分母。
- 乘法: 将分数的分子和分母分别相乘，得出的新分子和新分母即为乘法的结果。
- 除法: 将除数的倒数作为乘数，即分子和分母对调，然后进行乘法操作。
3. 分数的比较：
- 直接比较分子和分母的大小，若分子和分母都相等，则两个分数相等。
- 如果分母相同，比较分子的大小。
- 如果分母不同，可以找到它们的最小公倍数，然后将两个分数的分子和分母转化为公倍数，再进行比较。
4. 分数的转化：
- 将分数转化为小数：除法操作，将分子除以分母得到小数形式。
- 将小数转化为分数：可以将小数转化为分数，分子为小数点后的数字，分母为10的位数。
这些简单的技巧和方法可以帮助初级奥数学生更加轻松地解决分数题目。
通过熟练掌握这些巧算技巧，学生可以提高解题效率，提升数学水平。
分数的基本变化和巧算一、认识分数1.单位“1”：一个物体、一个计量单位、许多物体组成的一个整体，都用自然数1表示，通常叫单位“1”。
2.分数意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
3.分数单位：分数中表示一份的数，叫做分数单位 1分母。
分母越大,分数单位越小，最大的分数单位是12。
4.分数的分类： 真分数：分子＜分母，真分数＜1。
假分数：分子≥分母，假分数≥1。
带分数：带分数是假分数的一种形式。
非零整数与真分数相加所成的分数叫做带分数，带分数一般读作几又几分之几。
5.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。
6.分数与除法的关系：被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，除号相当于分数线。
被除数÷除数＝被除数除数如果用a 表示被除数，b 表示除数，可以写成a ÷b ＝ab （b ≠0）二、分数的基本变化分数的变化除了遵循分数的基本性质外,还有三条很有意思的规律：1.分数被约分多少，分子与分母的和会缩小多少倍.2.分数被约分多少，分子与分母的差也会缩小多少倍.3.若一个分数的分子不变，分母加上或减去某个数a，得到一个新分数，它相当于分母不变，分子减去或加上a与新分数的积.例1．113的分子、分母同时加上一个什么数以后分数约分为13？解析：原分数分子、分母同时加上某个数，分子与分母的差不会发生改变，原分数的分子、分母的差是13-1=12，约分后新分数的分子、分母的差是3-1=2，差缩小了12÷2=6倍，说明约分时分子分母同时被约去了6，约分前的分数是6/18，对比原分数，就知道原分数分子、分母同时加上了5。
例2．分数97181的分子、分母都减去同一个数，新分数约分后是25，那么减去的数是多少？解析：原分数分子、分母现时减去同一个数，分子、分母的差不会变，是181-97=84，而2/5的分子、分母的差是3，差缩小了84÷3=28倍，说明约分时被约掉了28，那么新分数就是2×28/5×28=56/140，易得出同时减去了41.例3．一个真分数，分母和分子之和是83，若分母分子分别加上45和19，则得到一个新分数25，原来的分数是多少？解析：原分数分子与分母的和是83+45+19=147，新分数分子与分母的和是2+5=7，和缩小了147÷7=21倍，说明分数被21约后得2/5，约分前的分数是2×21/5×21=42/105，那么原分数就是（42-19）/（105-45）=23/60例4．有一个分数，分母加上2，得79；如果分母加上3，得34，原来这个分数是多少？解析：题中只是分数的分母发生了变化，可知两个新分数的分子是一样的，而且是7，3的公倍数，7/9=21/27，3/4=21/28，容易得出原分数是21/25.例5．有一分数，若分子加上1，则变成12；若分子减去1，则变为13，求该分数。
分数巧算知识点总结一、分数的基本概念1.1 分数的定义分数是指两个整数之比，其中被除数为分子，除数为分母，可以用a/b表示，其中a为分子，b为分母，b不能等于0.1.2 分数的性质（1）分子和分母是整数，分母不能为0；（2）分数可以表示小数，也可以表示百分数；（3）分数的大小与所表示的数的大小有关。
1.3 分数的大小比较对于两个分数 a/b 和 c/d 来说，（1）如果 a/b = c/d，那么a*d = b*c；（2）如果 a/b > c/d，那么a*d > b*c；（3）如果 a/b < c/d，那么a*d < b*c。
1.4 一般分数的化简一般分数指分子和分母的除数不能被整除的分数，例如 4/6、2/5等。
化简分数是将分数的分子和分母同时除以它们的最大公约数（即分子和分母的所有公约数中最大的那个数）的过程。
二、分数的加减乘除2.1 分数的加减（1）当两个分数的分母相同时，直接将分子相加或相减，分母保持不变；（2）当两个分数的分母不同时，需要先将它们通分，然后再进行加减运算。
例如：1/3 + 2/3 = 3/3 = 12/5 - 1/5 = 1/52/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/122.2 分数的乘法两个分数相乘时，将它们的分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，然后化简得到最简分数。
例如：2/3 * 3/4 = 6/12 = 1/22.3 分数的除法两个分数相除时，将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母得到新的分子，分母乘以分母得到新的分母，然后化简得到最简分数。
例如：2/3 ÷ 3/4 = 8/9三、分数的巧算技巧3.1 练习整数乘分数在计算时，我们可以将整数转化为分数，然后再进行乘法运算，最后将得到的分数化简即可。
例如：2 * 2/3 = 2/1 * 2/3 = 4/33.2 乘除组合法则在进行复杂的分数运算时，我们可以先把分数转化为小数进行计算，然后再将得到的结果转化为分数。
分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋641三、裂项法1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。
再变数型：因为21=211⨯=1－21，61=321⨯=21－31，121=431⨯=31－41，……，1101=11101⨯=101-111。
这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。
21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-111 =1－111 =11102、计算：511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯3、计算：21－34－154－354－634－994－1434－1954－25544、计算：21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋990098995、计算：1＋432113211211+++++++++……+100......3211++++6、计算：+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯543143213211…＋10099981⨯⨯四、分组法：计算20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋20042002五、代入法：计算（1+413121++）×（51413121+++）－（1＋51413121+++）×（413121++）热点习题计算：1、49134911499497495493491++++++【1】2、12816413211618141211-------【1281】3、4213012011216121+++++【76】4、200920081200820071......199119901199019891198919881⨯+⨯++⨯+⨯+⨯4、3937137351......191711715115131⨯+⨯++⨯+⨯+⨯6、2+421133011120171215613++++7、565542413029201912116521++++++8、3994003233242552561951961431449910063643536151634+++++++++9、1102190197217561542133011209127651-+-+-+-+-10、20021+20022+20023+20024－20025－20026－20027－20028＋20029＋200210＋…＋20021995＋20021996－20021997－20021998－20021999－20022000＋20022001＋2002200211、(1+51413121+++)×（6151413121++++）－(1+6151413121++++)×(51413121+++)12、)54535251()434241()3231(21++++++++++…+（20192018...203202201+++++）13、2001年是中国共产党建党80周年，20011921是个有特殊意义的分数。
1分数的速算与巧算【专题解析】在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。
（1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。
两个整数相除（后一个不为0）可以直接写成分数的形式。
两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。
（2）错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍（0除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。
【典型例题】例1. 计算：（1）5698÷8 （2）166201÷41分析与解：（1）直接把5698拆写成（56+98），除以一个数变成乘以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。
（2）把题中的166201分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。
（1）5698÷8＝（56+98）÷8＝（56+98）×81＝56×81+98×81＝7+91＝791 （2）166201÷41 = (164 +2041)×411= 164×411+2041×411= 4201 【举一反三】计算：（1）64178÷8 （2）14575÷12 （3）5452÷17 （4）170121÷13例2. 计算：200412004200420052006÷+分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。
分母200420052004⨯÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006⨯，又可以约分。
聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出÷2004200420052005的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到11÷12005也是很好算的，这一方法就留给你们吧！ 12006⨯÷+20042006原式=2004200521200620051200620061⨯+⨯=+=2005=200420042006 【举一反三】计算：（5）2000÷200020012000+20021（6）238÷238239238+2401例3. 计算：199419921993119941993⨯+-⨯分析与解：仔细观察分子和分母中各数的特点，可以考虑将分子变形。
2024全新分数加减法课件一、教学内容本节课将围绕《数学》教材第八章“分数的加减法”展开，详细内容包括分数加减法的运算规则、同分母分数加减法、异分母分数加减法以及分数加减法的应用。
涉及的章节为第八章第一至第三节。
二、教学目标1. 理解并掌握分数加减法的运算规则，能够正确进行同分母分数和异分母分数的加减运算。
2. 能够运用分数加减法解决实际问题，提高数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点教学难点：异分母分数加减法的运算以及在实际问题中的应用。
教学重点：分数加减法的运算规则、运算方法和解题技巧。
四、教具与学具准备1. 教具：分数加减法课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过小明购物找零的实例，让学生了解分数加减法在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：a. 讲解同分母分数加减法的运算规则。
b. 通过例题讲解异分母分数加减法的运算步骤。
c. 强调分数加减法的运算注意事项。
3. 例题讲解：选取典型例题，详细讲解解题思路和运算过程。
4. 随堂练习：让学生独立完成同分母分数加减法和异分母分数加减法的练习题，教师巡回指导。
5. 小组讨论：将学生分成小组，讨论分数加减法在实际问题中的应用，提高团队协作能力。
六、板书设计1. 2024全新分数加减法课件2. 内容：a. 分数加减法的运算规则b. 同分母分数加减法例题c. 异分母分数加减法例题d. 分数加减法在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：a. 计算题：完成练习册分数加减法相关习题。
b. 应用题：根据实际情景，设计分数加减法问题并解答。
2. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：鼓励学生探索分数加减法在其他领域的应用，如科学、工程等，提高学生的创新思维。
重点和难点解析：1. 教学难点：异分母分数加减法的运算以及在实际问题中的应用。
2. 例题讲解：选取典型例题，详细讲解解题思路和运算过程。
第五讲 分数加减巧算之青柳念文创作计算超市① 314165-+②⎪⎭⎫ ⎝⎛+-8161127③⎪⎭⎫ ⎝⎛--872431211④181418769832+- ⑤6112165125--+ 答案 ：①43②247③852④9530⑤1 秘笈1 先通分再计算例1⑴ 计算：314167+- 解析指引第1步：观察算式中各分数为异分母分数加减法；第2步：操纵分数的分子和分母同时扩展或缩小相同的倍数（0除外），分数大小不变的性质，通过扩倍或缩倍的方式把分母变成相同的数，即通分；第3步：分母通分后计算算式得出成果，计算成果一定要化成最简分数.【解析】原式=314167+- =1241231214+-=1215=411 ⑵ 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6132911 解析指引第1步：观察算式中各分数为异分母分数加减法；第2步：分数加减计算法则与整数相同，有括号的先算括号内的再算括号外的；第3步：确定好计算顺序后，对分母停止通分然后计算，同样计算成果一定要化成最简分数.【解析】原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6132911 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-183******** =187 操练1 计算： ⑴4514379-+ ⑵⎪⎭⎫ ⎝⎛--619434 例2 计算：⑴121653316--⑵252471034515-+ 解析指引第1步：观察算式中各分数为异分母带分数加减法；第2步：先对分母停止通分处理，通分后发现分子部分被减数不敷，这时我们可以从前面的整数部分“借1”； 第3步：“借1”后，对算式停止计算，并将成果化成最简分数.【解析】⑴ 原式=121121031246--⑵ 原式=504875015450105-+ =1211210312165-- =5048750259- =1252 =5048750758- =50271 操练2 计算： ⑴⎪⎭⎫⎝⎛+-65487712113 ⑵285314137745+-秘笈总结⊙遇到异分母分数相加减时，可以先通分，再计算，最后把成果化成最简分数.秘笈2 分母相同找朋友例3 计算：⑴927297++⑵1817718466517+- 解析指引第1步：观察算式中有两个分数的分母相同；第2步：可以运用加法交换律或连系律先计算同分母的分数，然后再通过通分计算异分母的分数；第3步：通分后计算出成果，并对成果化简成最简分数.【解析】⑴ 原式 =729297++⑵ 原式 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1846181776517 =721+ =181316517+ =721 =18131181517+ =182818 =9519 操练3 计算： ⑴8312587127--+⑵5111551401547-- 例4 计算：⑴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-27549713272627 ⑵⎪⎭⎫ ⎝⎛--15233017151315 ⑶⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-211133212122314211317 解析指引第1步：观察算式，发现存在相同分母的分数项；第2步：去掉括号，运用连系律，对同分母分数项停止加减运算；第3步：对异分母分数停止通分计算，最后化简.【解析】⑴ 原式 =27549713272627--⑵ 原式 =15233017151315+- =97132754272627-⎪⎭⎫ ⎝⎛- =301719- =9713272123- =302911 =272113272123- =10⑶ 原式 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--321314211132122211317 =612-=6操练4 计算： ⑴⎪⎭⎫⎝⎛+-1971143519717 ⑵⎪⎭⎫⎝⎛--61124137656 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-18156141811126513181735秘笈总结⊙分母相同是朋友，朋友之间优先算.秘笈3 拆分例5⑴ 计算：616515414313+-+解析指引第1步：观察算式，可知本题为带分数加减法； 第2步：把带分数拆分成整数和一个真分数；第3步：先计算整数加减法，再计算分数加减法，最后对计算成果停止化简.【解析】 原式 =()⎪⎭⎫⎝⎛+-+++-+615141316543=⎪⎭⎫ ⎝⎛++201218 =20118 ⑵ 计算：31211312213314215316217318219-+-+-+-+- 解析指引第1步：观察算式中分数，对其两两拆分并分组； 第2步：可以发现分组共5组；第3步：分组后再对其停止计算，并将成果化成最简分数.【解析】 原式 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-31211312213314215316217318219 =567⨯ =655 ⑶ 计算：5250537526515544533522511++++++++ 解析指引第1步：观察算式中，整数部分是从1-50的持续自然数，真分数部分持续四个为1组；第2步：对分数停止拆分，整数部分停止计算，真分数每组的和为254535251=+++； 第3步：计算后，对成果停止化简.【解析】 原式 =()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++525144854535251504321 =()53122250501+⨯+÷⨯+ =53241275+ =531299 操练5 计算： ⑴544533522511+++ ⑵514115196419751984199-++-+- ⑶511522534554465147524853495450-++-+-+- 例6 ⑴ 计算：1091541431321211⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 解析指引 第1步：观察算式，发现分母变更规律符合裂项公式； 第2步：裂差公式ba b a a b a b b a a b 11-=⨯-⨯=⨯-； 第3步：代入公式后，对算式求解并化成最简分数.【解析】 原式 =10191313121211-+-+-+- =1011-=109⑵ 计算：6511549437325213⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 解析指引 第1步：观察算式，分子都分歧，但都恰好是分母中两个因素之和；第2步：根据裂和公式：ba b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+； 第3步：把算式中分数代入裂和公式后，停止求解.【解析】 原式 =⎪⎭⎫⎝⎛⨯++⨯+⨯+⨯+⨯⨯10110015414313212112 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯101112 =101991 操练6 计算： ⑴564610743422211⨯++⨯+⨯+⨯ ⑵1019950999749974753532311⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯ 秘笈总结1. 遇到带分数相加减时，可以把整数部分与分数部分分别相加减；2. 遇到被减数的分数部分小于减数的分数部分，需要从被减数的整数部分拿出 “1”化成假分数，和原来的分数部分合并起来再相加减；3. 观察算式布局，合理操纵裂差和裂和公式：裂差基本型：b a b a a b a bb a a b 11-=⨯-⨯=⨯-；裂和基本型：b a b a ab a bb a a b 11+=⨯+⨯=⨯+.⊙注意：裂和时，若式中加减相同，可抵消；若全为加法，可凑整.。
