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解析几何中的定点定值问题之迟辟智美创作考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点.此类问题定中有动，动中有定，而且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识.考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法.一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.例2．已知椭圆C ：22221(0)xya b a b +=>>椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．⑴程； ⑵设(4,0)P ，M 、N是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个分歧的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不外点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于分歧的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵那时0AP AQ ⋅=，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右极点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y .（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.【针对性练习3】已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于分歧的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右极点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右极点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个极点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率25e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点.（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；（Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由.二、 定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量暗示题中所涉及的界说，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是几多，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不单能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.如果试题是客观题形式呈现，特珠化方法往往比力奏效. 例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+a OB OA 与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值.例5、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）.（1）求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值. 将第二问的结论进行如下推广：结论1.过椭圆22221(0,0)x y a ba b 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值202b x a y （常数）. 结论2.过双曲线22221(0,0)x y abab 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值2020b x a y （常数）.结论 3.过抛物线22(0)y px p上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值0p y （常数）.例6、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最年夜值是6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ；(Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.例7、已知抛物线C 的极点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)为定点．(Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；(Ⅱ)若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．例8、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为1，离心率为e =﹒（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点()1,0作直线交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒三、定直线问题例9、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且焦点为1(F （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两分歧点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB=，证明：点Q 总在某定直线上例10、已知椭圆C 的离心率e =()1A 2,0-，()2A 2,0.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S.试问：当m 变动时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.四、其它定值问题例11、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>x =C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于分歧的两点,A B ，证明AOB∠的年夜小为定值. 例12、己知椭圆12222=+by a x （a >b >0）,过其中心O 的任意两条互相垂直的直径是P 1P 2、Q 1Q 2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P 1Q 1P 2Q 2与一定圆相切.探索定圆1=+bya x ，原点O 到直线22B A 的距离为r =则与菱形2211B A B A 内切的圆方程为222222ba b a y x +=+.例13、已知P ),(00y x 是双曲线)0(2≠=a a xy 上的一个定点，过点P 作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P 1、P 2两点（异于P 点），求证：直线P 1P 2的方向不变.探索定值：取P ),(020x a x ，过P 点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线与曲线的另一个交点),(0201x a x P --，其斜率1k PP ∴2202axk PP -= PP 2的方程为)(02200x x ax y y --=-把xa y 2=代入解得),(2303042ax x a P 22021a x k P P =∴ 证明：设PP 1的斜率为k ，则PP 2的斜率为－k1，∴PP 1的方程为)(00x x k y y -=-PP 2的方程为)(100x x ky y --=-，与抛物2a xy =联立解得),(0201y k a k y P --、 ),(0202ky a ky P ，从而2220221ax y a k P P ==（定值）EX ：过抛物线y 2=2px （P>0）上一定点（x 0,y 0）作两条直线分别交抛物线于A ，B 两点，满足直线PA 、PB 斜率存在且倾斜角互补，则AB 的斜率为定值.推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可. 五、练习1、椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，三角形ABM 的三个极点都在椭圆上，其中M 点为（1，1），且直线MA 、MB 的斜率之和为0.（1）求椭圆的方程.（2）求证：直线AB 的斜率是定值.分析：（1）x 2+2y 2=3 （2）122、已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MB MA ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 分析：M （73-，0） 493、已知不垂直于x 轴的动直线l 交抛物线y2=2mx （m>0）于A 、B 两点，若A 、B 两点满足∠AQP=∠BQP ，若其中Q 点坐标为（-4，0），原点O 为PQ 中点.（1）证明：A 、P 、B 三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x 轴的直线l ‘，使得l ‘被以PA 为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l ’的方程. 分析：设点AB 的坐标（2）l ：x=3.4、 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A 、B ，且四边形F1AF2B 是边长为2的正方形.（1）求椭圆的方程.（2）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD ⊥CD,连结CM 交椭圆于点P ，证明：OM OP 为值.（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标.分析：（1）22142x y +=（2）由O 、M 、P 三点共线，得42p mp y y x =+，所以OM OP =4 （3）设Q 点（a ，0），由0QM DP =，得a=0.5、设P 为双曲线22221(,0)x y a b a b-=>上任意一点，F1，F2是双曲线的左右焦点，若12PF PF 的最小值是-1.（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右焦点F2的直线交双曲线于A 、B 两点，过作右准线的垂线，垂足为C ，求证：直线AC 恒过定点.分析：（1）2213x y -= （2）先猜再证：（74，0）1217144y y x =--换失落x1代入韦达定理得证.方法二：设AB ：ｘ＝ｍｙ＋２代入方程得：（ｍ２－３）ｙ２＋４ｍｙ＋１＝０故1221224313m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩AC ：12213()322y y y x y x -=-+-=1212122113()21212y y y y my y y x my my -----++又2my 1y 2=-12（y1+y2）然后代入韦达定理得.6、在平面直角坐标系xOy 中,Rt △ABC 的斜边BC 恰在x 轴上，点B(－2,0)，C （2，0），且AD 为BC 边上的高.(I)求AD 中点G 的轨迹方程； (II)若过点(1,0)的直线l 与(I)中G 的轨迹交于两分歧点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E(m,0)，使PE ·QE 恒为定值λ？若存在，求出点E 的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由.分析：（1）221(0)4x y y +=≠ （2）m=178 定值为3364 不容易先猜出，只能是化简求出.7、已知直线l 过椭圆E ：2222x y +=的右焦点F,且与E 相交于P ，Q 两点.（1）设1()2OR OP OQ =+，求点R 的轨迹方程.（2）若直线l 的倾斜角为60︒，求11||||PF QF +的值.（当l 的倾斜角不按时，可证11||||PF QF +是定值.） 分析：2220x y x +-= （2）可先猜再证:解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点.此类问题定中有动，动中有定，而且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识.考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法.四、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个分歧点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β+β=4π时，证明直线AB 解析： 设A （121,2y py），B （222,2y py212tan ,2tan y py p==βα，代入1)tan(=+βα 得221214)(2p y y y y p -=+ （1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则 ∴kpy y kpb y y 2,22121=+=，代入（1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点（-)2,2p p说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知动身，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点.例2．【2010·东城一模】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为0x y -=相切．⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个分歧的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a==，所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =-①联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0kk k ∆=-+->得21210k -<，又0k =分歧题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k << ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x xy y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =，所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不外点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于分歧的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵那时0AP AQ ⋅=，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为2214x y +=． ⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40kx +++=，因为直线l 与曲线C交于分歧的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+>①设()11,P xy ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x xk =+②且2212121212()()()()y ykx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ xy =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650kkb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，那时2b k =，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．那时65b k =，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． 显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不外点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右极点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y .（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识.考查运算求解能力和探究问题的能力.解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）.由422=-PB PF ，得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92x =.故所求点P 的轨迹为直线92x =.（2）将31,221==x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209-） 直线MTA 方程为：0352303y x -+=+-，即113y x =+，直线NTB 方程为：032010393y x --=---，即5562y x =-.联立方程组，解得：7103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以点T 的坐标为10(7,)3.（3）点T 的坐标为(9,)m 直线MTA 方程为：03093y x m -+=-+，即(3)12m y x =+， 直线NTB 方程为：03093y x m --=--，即(3)6m y x =-.分别与椭圆15922=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠，解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、2223(20)20(,)2020m mN m m --++. （方法一）那时12x x ≠，直线MN 方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =.此时必过点D （1，0）；那时12x x =，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）. 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）.（方法二）若12x x =，则由222224033608020m m m m --=++及0m >，得210m =，此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）.若12x x ≠，则m ≠，直线MD 的斜率2222401080240340180MDmm m k m m m+==---+，直线ND 的斜率222220102036040120ND mm m k m m m -+==---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D点.因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）.【针对性练习3】（2011年石景山期末理18）已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于分歧的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右极点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右极点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则22222,2,c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的标准方程为 22143x y +=．…… 4分（Ⅱ）由方程组22143x yy kx m ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩消去y ，得 ()2223484120k xkmx m +++-=．…… 6分由题意△()()()22284344120km k m =-+->， 整理得：22340k m +->①………7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k +=-+， 212241234m x x k -=+．……… 8分由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右极点为A (2,0)， ∴()()1212220x x y y --+=．…… 10分 即 ()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++， 整理得2271640m mk k ++=．解得2m k =- 或 27k m =-，均满足①……… 11分那时2m k =-，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；那时27k m =-，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7， 故直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．………… 13分例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个极点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点. （I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；（Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由.解法一： （I ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知1b =25a =⇒=故椭圆方程为2215x y += （Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，所以02m ≤≤，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠）代入2215x y +=，得2222(51)202050k x k x k +-+-= 设1122(,),(,),A x y B x y则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++,12121212(4),()y y k x x y y k x x ∴+=+--=-2222220420,(85)05151∴--=∴--=++k k m m k m k k 由280,0855m k m m =>∴<<-， ∴那时805m <<，有()MA MB AB +⊥成立.（Ⅲ）在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C 、B 、N 三点共线.依题意知11(,)C x y -，直线BC 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--， 令0y =，则121122112121()y x x y x y x x x y y y y -+=+=++l 的方程为(2),y k x A =-、B 在直线l 上，222222205202255151202451k k k k k k k k k k -⋅-⋅++==-+∴在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C B N 三点共线.解法二：（Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，所以02m ≤≤.设l 的方程为(2)(0),y k x k =-≠代入2215x y +=，得2222(51)202050k x k k +-+-=设1122(,),(,),A x y B x y 则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++1212121224(4),()51ky y k x x y y k x x k ∴+=+-=--=-+∴那时805m <<，有()MA MB AB +⊥成立.（Ⅲ）在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C 、B 、N 三点共线.设存在(,0),N t 使得C 、B 、N 三点共线，则//CB CN ，122111(,),(,)CB x x y y CN t x y =-+=-， 211112()()()0x x y t x y y ∴---+=即211112()(2)()(4)0x x k x t x k x x ----+-=12122(2)()40x x t x x t ∴-+++=2222205202(2)405151k k t t k k -∴-++=++，52t ∴=∴存在5(,0)2N ，使得C B N 三点共线.五、定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量暗示题中所涉及的界说，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是几多，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不单能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.如果试题是客观题形式呈现，特珠化方法往往比力奏效.例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+a OB OA 与共线. （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值.解析：（1）设椭圆方程为12222=+b y a x （a >b >0），A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) ，AB 的中点为N(x 0,y 0)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x ，两式相减及11212=--x x y y 获得0220x a b y -=，所以直线ON 的方向向量为),1(22ab ON -=，∵a ON //，∴2231a b =，即223b a =，从而得36=e （2）探索定值因为M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则OA OM =，此时0,1==μλ，∴122=+μλ证明 ∵223b a =，∴椭圆方程为22233b y x =+，又直线方程为c x y -=又设M （x ，y ），则由OB OA OM μλ+=得⎩⎨⎧+=+=2121y y y x x x μλμλ，代入椭圆方程整理得2222122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ又∵2212133b y x =+，2222233b y x =+，例5、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）.（1） 求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.解析：（1）由题意，c=1,可设椭圆方程为2219114b b+=+，解得23b =，234b =-（舍去） 所以椭圆方程为22143x y +=.（2）设直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3(1,)2A 在椭圆上，所以2234()122x 34F k k --=+，32E E y kx k =+- 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得2234()122x 34F k k+-=+， 32E E y kx k =-++ 所以直线EF 的斜率()212F E F E EFF E F E y y k x x k K x x x x --++===--即直线EF 的斜率为定值，其值为12.将第二问的结论进行如下推广： 结论1.过椭圆22221(0,0)x y abab 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值202b x a y （常数）.证明：直线AE 的方程为0()yy k xx ，则直线AF 的方程为0()yy k xx ， 联立00()y y k xx 和22221x y ab ，消去y 可得结论2.过双曲线22221(0,0)x y a bab 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值2020b x a y （常数）.结论 3.过抛物线22(0)y px p上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值0p y （常数）.例6、【2010·巢湖市第一学期期末质检】已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最年夜值是6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ；(Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解析：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ，，由已知得44,26a a c a c =⎧==⎨+=⎩，解得，.所以椭圆的标准方程为2211612y x +=. 离心率21.42e ==(Ⅱ)(0,2),(0,1)F F ',设(,),M x y 由MF e MF ||='||得 化简得223314150xy y +-+=，即22272)()33xy +-=（故存在一个定点7(0,)3A ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为2.3例7、【2010·湖南师年夜附中第二次月考】已知抛物线C 的极点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)为定点． (Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；(Ⅱ)若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．解析：(Ⅰ) 设抛物线方程为22(0)y px p =≠，则抛物线的焦点坐标为(,0)2p .由已知，22p=，即4p =，故抛物线C 的方程是28y x =．(Ⅱ)设圆心(,)M a b (0a ≥)，点A 1(0,)y ，B 2(0,)y . 因为圆M 过点P(2，0)，则可设圆M 的方程为2222()()(2)x a y b a b -+-=-+. 令0x =，得22440y by a -+-=.则122y y b +=，1244y y a ⋅=-. 所以||AB ===，设抛物线C 的方程为2(0)y mx m =≠，因为圆心M 在抛物线C 上，则2b ma =. 所以||AB =由此可得，那时4m =，||4AB =为定值．故存在一条抛物线24y x =，使|AB|为定值4.例8、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为1，离心率为e =（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点()1,0作直线交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒解析：（I ）设椭圆E 的方程为2222x y 1a b +=,由已知得：a c 1c a⎧-=⎪⎨⎪⎩.....2分a c 1⎧⎪∴⎨=⎪⎩222b a c 1=-=∴椭圆E的方程为22x y 12+=....3分（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则：2121212x x m(x x )m y y =-+++.....5分 ①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y k(x 1)=-，则由22x y 12y k(x 1)⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得222x 2k (x 1)20+--=2222(2k 1)x 4k x (2k 2)0+-+-=221212224k 2k 2x x ,x x 2k 12k 1-+=⋅=++ 7分 所以22222222k 24k k MP MQ m m 2k 12k 12k 1-⋅=-⋅+-+++2222(2m 4m 1)k (m 2)2k 1-++-=+ 9分对任意的k 值，MP MQ ⋅为定值，所以222m 4m 12(m 2)-+=-，得5m 4=， 所以57M(,0),MP MQ 416⋅=-；11分②当直线l 的斜率不存在时，直线1212121l:x 1,x x 2,x x 1,y y 2=+===- 由5m 4=得7MP MQ 16⋅=-综上述①②知，符合条件的点M 存在，起坐标为5(,0)4﹒ 13分法二：假设存在点M(m,0)，又设1122P(x ,y ),Q(x ,y ),则：1122MP (x m,y ),MQ (x m,y )=-=-1212MP MQ (x m)(x m)y y ⋅=-⋅-+=2121212x x m(x x )m y y -+++…. 5分①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ty 1=+，由22x y 12x ty 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(t 2)y 2ty 10++-=1212222t 1y y ,y y t 2t 2--∴+=⋅=++ 7分222222t 24m 1MP MQ m t 2t 2t 2-+∴⋅=-+-+++2222(m 2)t 2m 4m 1t 2-+-+=+ 9分 设MP MQ ⋅=λ则2222(m 2)t 2m 4m 1t 2-+-+=λ+2222222(m 2)t 2m 4m 1(t 2)(m 2)t 2m 4m 120∴-+-+=λ+∴--λ+-+-λ=22m 202m 4m 120⎧--λ=⎪∴⎨-+-λ=⎪⎩5m 4716⎧=⎪⎪∴⎨⎪λ=-⎪⎩5M(,0)4∴ 11分②当直线l 的斜率为0时，直线l :y 0=，由5M(,0)4得：综上述①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为5(,0)4 (13)分六、定直线问题 例9、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两分歧点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB=，证明：点Q 总在某定直线上解析：(1)由题意：2222222211c a b c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，解得224,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB 均不为零.且PA PB AQQB=又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是1141,11x yx y λλλλ--==--（1） 2241,11x y x y λλλλ++==++（2）由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3）222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-=0,220x y λ≠+-=∵∴，即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上例10、已知椭圆C的离心率e =()1A 2,0-，()2A 2,0.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S.试问：当m 变动时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.解法一：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()2222x y 1a b 0a b+=>>. (1)分∵a 2=，c e a ==c =，222b a c 1=-=. ………………4分∴椭圆C 的方程为222x y 14+=. (5)分（Ⅱ）取m 0,=得P ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，直线1A P的方程是y = 直线2A Q的方程是y -交点为(1S .…………7分,若P 1,,Q ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知交点为(2S 4,. 若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=.…………………8分以下证明对任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上.事实上，由22x y 14x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22my 14y 4,++=即()22m 4y 2my 30++-=，记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212222m 3yy ,y y m 4m 4--+==++.…………9分设1A P 与交于点00S (4,y ),由011yy ,42x 2=++得116y y .x 2=+ 设2A Q 与交于点00S (4,y ),''由022y y ,42x 2'=--得2022y y .x 2'=-………10 ()()221212m 12mm 4m 40x 2x 2---++==+-，……12分∴00yy '=，即0S 与0S '重合，这说明，当m 变动时，点S 恒在定直线:x 4=上.13分解法二：（Ⅱ）取m 0,=得P ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，直线1A P的方程是y =直线2A Q的方程是y =交点为(1S (7)分取m 1,=得()83P ,,Q 0,155⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线1A P 的方程是11y x ,63=+直线2A Q 的方程是1y x 1,2=-交点为()2S 4,1.∴若交点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=. ……………8分以下证明对任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上.事实上，由22x y 14x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22my 14y 4,++=即()22m 4y 2my 30++-=，记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212222m 3yy ,y y m 4m 4--+==++.………………9分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y y x 2,x 2=--消去y,得()()1212y yx 2x 2x 2x 2+=-+-…①以下用分析法证明x 4=时，①式恒成立.要证明①式恒成立，只需证明12126y 2y ,x 2x 2=+-即证()()12213y my 1y my 3,-=+即证()12122my y 3y y .=+………………②∵()1212226m 6m2my y 3y y 0,m 4m 4---+=-=++∴②式恒成立.这说明，当m 变动时，点S 恒在定直线:x 4=上.解法三：（Ⅱ）由22x y 14x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22my 14y 4,++=即()22m 4y 2my 30++-=.记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212222m 3yy ,y y m 4m 4--+==++.……………6分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y y x 2,x 2=--……7分 由()()1122y y x 2,x 2y y x 2,x 2⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得()()1212y y x 2x 2,x 2x 2+=-+-…………………9分即()()()()21122112y x2y x 2x 2y x 2y x 2++-=+--()()()()21122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=+--1221212my y 3y y 23y y +-=+ 112211232m 2m 3y y m 4m 424.2m 3y y m 4--⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭………………………………12分这说明，当m 变动时，点S 恒在定直线:x 4=上 (13)分五、其它定值问题 例11、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>程为x =（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于分歧的两点,AB ，证明AOB ∠的年夜小为定值.解析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．（Ⅰ）由题意，得2a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,a c ==∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=.（Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆222x y +=上，圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=--，化简得002x x y y +=.由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得 ()222000344820xx x x x --+-=① ()222000348820xy y x x ---+=②∵切线l 与双曲线C 交于分歧的两点A 、B ，且2002x <<， ∴20340x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2200121222008228,3434x x x x y y x x --==--，∴12120OA OB x x y y ⋅=+=，∴AOB ∠的年夜小为90︒. 例12、己知椭圆12222=+by a x （a >b >0）,过其中心O 的任意两条互相垂直的直径是P 1P 2、Q 1Q 2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P 1Q 1P 2Q 2与一定圆相切.探索定圆1=+bya x ，原点O 到直线22B A 的距离为r =则与菱形2211B A B A 内切的圆方程为222222ba b a y x +=+.证明：设直径P 1P 2的方程为,kx y =则Q 1Q 2的方程为x ky 1-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=12222b y a x kx y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222222222k a b b a k y k a b b a x ∴22222222)1(ka b b a k OP ++=同理OQ 22=222222)1(kb a b a k ++，作OH ⊥P 2Q 2则22222222ba ab OQ OP OQ OP OH+=+⋅=又四边形P 1Q 1P 2Q 2是菱形，∴菱形P 1Q 1P 2Q 2必外切于圆222222ba b a y x +=+. 例13、已知P ),(00y x 是双曲线)0(2≠=a a xy 上的一个定点，过点P 作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P 1、P 2两点（异于P 点），求证：直线P 1P 2的方向不变.探索定值：取P ),(020x a x ，过P 点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线与曲线的另一个交点),(0201x a x P --，其斜率1k PP ∴2202axk PP -= PP 2的方程为)(02200x x ax y y --=-把xa y 2=代入解得),(2303042ax x a P 22021a x k P P =∴ 证明：设PP 1的斜率为k ，则PP 2的斜率为－k1，∴PP 1的方程为)(00x x k y y -=-PP 2的方程为)(100x x ky y --=-，与抛物2a xy =联立解得),(0201y k a k y P --、 ),(0202ky a ky P ，从而2220221ax y a k P P ==（定值）EX ：过抛物线y 2=2px （P>0）上一定点（x 0,y 0）作两条直线分别交抛物线于A ，B 两点，满足直线PA 、PB 斜率存在且倾斜角互补，则AB 的斜率为定值.推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可.五、练习1、（2008唐山三模）椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为ABM 的三个极点都在椭圆上，其中M 点为（1，1），且直线MA 、MB 的斜率之和为0.（1）求椭圆的方程.（2）求证：直线AB 的斜率是定值.分析：（1）x 2+2y 2=3 （2）122、（2008年西城一模）已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MB MA ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 分析：M （73-，0） 493、已知不垂直于x 轴的动直线l 交抛物线y2=2mx （m>0）于A 、B 两点，若A 、B 两点满足∠AQP=∠BQP ，若其中Q 点坐标为（-4，0），原点O 为PQ 中点.（1）证明：A 、P 、B 三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x 轴的直线l ‘，使得l ‘被以PA 为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l ’的方程. 分析：设点AB 的坐标 （2）l ：x=3.4、（2009年保定统测）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A 、B ，且四边形F1AF2B 是边长为2的正方形.。
