课 题：算术平均数与几何平均数（2） 教学目的：1进一步掌握均值不等式定理； 2会应用此定理求某些函数的最值； 3能够解决一些简单的实际问题 教学重点：均值不等式定理的应用 教学难点：解题中的转化技巧 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 3.我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数. ab b a ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数“当且仅当”的含义是充要条件3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即ba ≥+2其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立二、讲解新课：1：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）22．baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；3．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++=∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++指出：这里+∈R c b a ,, 若0<++c b a 就不能保证（此公式成立的充要条件为0≥++c b a ）4．推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 5．关于“平均数”的概念如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n个正数的算术平均数；n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数 推广：na a a n +++ 21≥n n a a a 21 n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用三、讲解范例：例1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 证明：∵ab b a 222>+ 222b c bc +> ca a c 222>+以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++222例2 已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识证明：∵a,b,c,d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0得0,2ab cd +≥>0.2ac bd+≥> 由不等式的性质定理4的推论1，得()().4ab cd ac bd abcd ++∴≥即abcd bd ac cd ab 4))((≥++点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000xx l ++= 29760040272024000016002720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥xx 当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx ==因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案 四、课堂练习：1已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x 的值最小?最小值是多少? 分析：注意到x 2＋281x 是和的形式，再看x 2²281x＝81为定值，从而可求和的最小值解：x ≠0⇒x 2＞0，281x ＞0,∴x 2＋281x ≥22281xx ⋅＝18， 当且仅当x 2＝281x ，即x ＝±3时取“＝”号 故x =±3时，x 2+281x的值最小，其最小值是182一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21²2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4Lm 时菜园面积最大为82L m 2解法二：设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=-≤82)2(22L x L x =-+（m 2）当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L（m ）时，矩形的面积最大为2L m ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 23设0＜x ＜2，求函数f(x)=)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值分析：根据均值不等式：2ba ab +≤，研究)38(3x x -的最值时，一要考虑3x 与８－3x 是否为正数；二要考查式子21［3x ＋（８－3x ）］是否为定值解：∵0＜x ＜2, ∴3x ＞0，８－3x ＞0∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4当且仅当3x ＝８－3x 时，即x ＝34时取“＝”号故函数f （x ）的最大值为4，此时x 3五、小结 ：本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题 六、课后作业： 1(1)求函数y ＝2x 2＋x 3（x ＞0）的最小值 (2)求函数y ＝x 2＋41x（x ＞0）的最小值(3)求函数y ＝3x 2－2x 3（0＜x ＜23）的最大值(4)求函数y ＝x （1－x 2）（0＜x ＜1)的最大值(5)设a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求a 21b +的最大值分析：我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值如ab ba ≥+2，若ab 为常数k ，则当且仅当a ＝b 时，a ＋b 就有最小值2k ；若a ＋b 为常数s ，则当且仅当a ＝b 时，ab 就有最大值21s （或xy 有最大值41s 2）因此，解决这些问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”解：(1)∵x ＞0 ∴2x 2＞0，x 3＞0,∴y ＝2x 2＋x 3＝2x 2＋x 23＋x 23≥3²329 当且仅当2x 2＝x 23，即x ＝343时等号成立故当x ＝343时，y 有最小值3(2)3422424131221≥++=+=x x x x x y ，当且仅当4212xx =即x ＝±62时，等号成立故当x ＝±62时，y 有最小值(3)∵0＜x ＜23∴3－2x ＞0 ∴y ＝x 2（3－2x ）＝x ²x ²（3－2x ）≤（323x x x -++）3＝1当且仅当x ＝3－2x 即x ＝1时，等号成立(4)∵0＜x ＜1 ∴1－x 2＞0∵y 2＝x 2（1－x 2）2＝21²2x 2（1－x 2）（1－x 2）≤21（32）3＝274 当且仅当2x 2＝1－x 2即x ＝33时，等号成立， ∴当x ＝33时，y 227由题意可知：y ＞0,故当x ＝33时，y 93 (5)∵a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1∴a 2212122b a b +=+≤423)221(2222=++b a ， 当且仅当a ＝2212b +，即a ＝23，b ＝22时取“＝”号 故当a ＝23，b ＝22时，a 21b +423 评述：用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法面的几例均为错误的解法：(1)∵y ＝x ＋x1≥2,∴y 的最小值为2错误的原因是，当x ＜0时，就不能运用公式事实上，当x ＜0时，y ＜0，故最小值不可能为2(2)∵y ＝3x 2＋41x ＝2x 2＋x 2＋41x≥332，∴y 的最小值为3原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x 2＝x 2＝41x，显然这样的x 不存在，故y 没有最小值(3)∵y ＝x （1－x ＋x 2）≤［2)1(2x x x +-+］2＝（212x +）2当且仅当x ＝1－x ＋x 2即x ＝1时等号成立∴当x ＝1时，y 有最大值为1此种解法的错误在于212x +不是定值显然当x 越大时，212x +也越大，故y 无最大值2底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a 、b 的乘积ab 成反比现有制箱材料60平方米，问a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A 、B 孔面积忽略不计)分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值解法一：设y 为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y ＝abk，其中k ＞0且k 是比例系数依题意要使y 最小，只需求ab 的最大值由题设得：4b ＋2ab ＋2a ＝６0 （a ＞0，b ＞0） 即a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0)∵a ＋2b ≥2ab 2 ∴2ab ⋅2＋ab ≤30 当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 有最大值∴当a ＝2b 时有2ab ⋅2＋ab ＝30,即b 2＋2b －1５＝0解之得：b 1＝3，b 2＝－５（舍去)∴a ＝2b ＝６故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少解法二：设y 为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b ＋2ab ＋2a ＝６0（a ＞0，b ＞0）∴a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0）,∴b ＝aa+-230 （0＜a ＜30） 由题设：y ＝abk，其中k ＞0且k 是比例系数，依题只需ab 取最大值 ∴y ＝264322302+-+-=+-=a a k a a a k ab k ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-264)2(34a a k≥18264)2(234k a a k=+⨯+- ∴当且仅当a ＋2＝264+a 时取“＝”号，即a ＝６，b ＝3时ab 有最大值18 故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少评述：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”号成立3如图，在△ABC 中，∠Ｃ＝９0°，AC ＝3，B Ｃ＝4，一条直线分△AB Ｃ的面积为相等的两部分，且夹在AB 与BC 之间的线段最短，求此线段长分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB 与BC 之间的线段EF ，同时考虑到题设中的等量关系，即S △B ＥＦ＝21S △AB Ｃ，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BE ＝x ，B Ｆ＝y 解：设B Ｅ＝x ，B Ｆ＝y (0＜x ＜4，0＜y ＜５），则S △B ＥＦ＝21B Ｅ²B Ｆsin B ＝21xy sin B 又S △AB Ｃ＝21B Ｃ²A Ｃ＝21³3³4＝６依题意可知：S △B ＥＦ＝21S △AB Ｃ ∴21xy sin B ＝21³６＝3∵sin B ＝53=BC AC ，xy ＝10 又c os B ＝54=AB BC ∴在△B ＥＦ中，由余弦定理得：ＥＦ2＝B Ｅ2＋B Ｆ2－2B Ｅ²B Ｆ²c os B ＝x 2＋y 2－2xy ²54＝x 2＋y 2－1６≥2xy －1６＝4， 当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立故此时线段EF 的长为2评述：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法。
算术平均数与几何平均数（二）第一课时一、教材分析（一）教材所处的地位和作用“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．（二）教学目标 1．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．2．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想．（三）教学重点、难点、关键重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．（四）教材处理依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题．为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．二、教法分析（－）教学方法为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．（二）教学手段根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．三、教学过程设计6．2算术平均数与几何平均数（第一课时）（一）导入新课（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．（学生活动）学生分组讨论，解决问题．[字幕] 某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是折销售．试问降价最少的方案是哪一种？［讨论］①设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：方案甲：（元）；方案乙：（元）；方案丙：（元）．故降价最少的方案是丙．②若将问题变为第一次a折销售，第二次b折销售．显然可猜想有不等式成立，即，当时，设计意图：提出一个商品降价问题，要求学生讨论哪一种方案降价最少．学生对问题的背景较熟悉，可能感兴趣，从而达到说明学习本节知识的必要，激发学生求知欲望，合理引出新课．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】（教师活动）打出字幕（重要不等式），引导学生分析、思考，讲解重要不等式的证明．点评有关问题．（学生活动）参与研究重要不等式的证明，理解有关概念．［字幕］如果，那么（当且仅当时取“=”号）．证明：见课本［点评］①强调的充要条件是②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．③几何解释，如图。
