第四章 矩阵的特征值与特征向量问题

则显然有A(1) = A，A(0) = D， 易知A()的特征多项式的系数是的多项式， 从而A()的特征值1()，2()，…，n()为的连续函 数。
22
G ( ) { z : z a | a | | a | } G ,( 0 1 ) i ii ij ij i
1 1


1
1

1
的特征向量 .
★ 特征值和特征向量的性质:
A或 AT
特征值

kA k
x
对应特征 向量 x
x
A m x
m
A
1
A
*
f ( A)
f ()
1/
A/
x
x
x
9
,x 依次是与之对应的特 向量。如果 , , , m 1 2 m 各不相等 , 则 x ,x , ,x 线性无关 。 1 2 m
式 ,当各 ,该行列式不等于 0 ,从而该矩阵 i不相等时 k x , k x , , k x 0 , 0 , , 0 , 可逆 .于是有 1 1 2 2 m m
但 x 0 ,故 即 k x 0 j 1 , 2 , , m . k 0 j 1 , 2 , , m . j j j j
第四章 矩阵的特征值与 特征向量问题
1
第三章 矩阵的特征值与特征向量


4.1 幂法与反幂法 4.2 Jacobi方法（重点） 4.3 多项式方法求特征值问题（自学） 4.4 QR算法 （重点）
Givens矩阵； Householder矩阵； Gram-Schmidt正交化方法
2


3
a kx jj
j k
Gk Gi
i 1
19
n
例 估计方阵A特征值的范围
0.1 0.2 1 0.5 3 0.1 A 1 0.3 1 0.2 0.3 0.1 0.3 0.2 0.5 4
解：
G1 = {z：|z – 1| 0.6}；G2 = {z：|z – 3| 0.8}； G3 = {z：|z + 1| 1.8}；G4 = {z：|z + 4| 0.6}。
为S，它与后n – k个圆盘严格分离，显然，A()的前k
个盖氏圆盘与后n – k个圆盘严格分离。 当 = 0时，A(0) = D的前k个特征值刚好落在前k个圆 盘G1，…，Gk中，而另n – k个特征值则在区域S之外，
G4 G3
G1
G2
注：定理推断A的n个特征值全落在n个盖氏圆 上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。
20
盖氏圆的连通部分
称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。 孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。
定理 若由A的k个盖氏圆组成的连通部分，含且 仅含A的k个特征值。
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定理 若由A的k个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A 的k个特征值。 证明: 令D = diag(a11，a22，…，ann)，M = A – D，记
的特征向量 , 即有 1 2
因为 , 如果设 x 同时是 A 的属于特征 , 的 1 2
Ax x , Ax x 1 2 x x x 0 , 1 2 1 2 由于 0 , 则 x0 , 与定义矛盾 . 1 2
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概述
定义： 设 A是 n阶方阵 , 是一复数，如果方程 Ax x 存在非零解向量 ,则称 为方阵 A的 特征值 , 相应的非零解向量 x 称为与特征值 对应的 特征向量 , 此特征值 与特征向量 x称为一 特征对 , P （ ）＝ det (I A)称为矩阵 A的 特征多项式 。 是 A 的特征值 .
m m ( 1 ) 是 A 的特征值 m 是任意常 .
证明： 1 Ax x
2 2 A x x A Ax A x Ax x
m m m 2 A x x 再继续施行上述步骤 次，就得
3 . 是矩阵 A 的一个特征值，则一定 是 A λI0, 的根，因此又称 特征根 。若 是 A I 0 的 k 重根 , 则称 为 A 的 k 重特征值 ( 根 ) 。
5
重数：
det( I A ) ( 1 ) ( 2 ) ( P )
k x k x k x 0 .
k k 1 1 1 2 2 2
k x k x k x 0 , 1 1 1 2 2 2 m m m
k m m m

10 k 1 , 2 , , m 1
把上列各式合写成矩阵形式，得 m 1 1 1 1 m 1 1 2 2 k x , k x , , k x 0 , 0 , , 0 1 1 2 2 m m m 1 1 m m 上式等号左端第二个矩 阵的行列式为范德蒙 列
a 0 a a 11 12 1 n a a 0 a 21 22 2 n A ( ) D M ( 0 1 ) a a 0 n n n 1 a n 2
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Jordan分解定理
设 A C n n , 有 r 个互不相同的特征值 其重数分别为 矩阵 P C
n n 1
（ i i 1, , r )
n（ i i 1 , , r )，则一定存在非奇异 使得 P AP diag ( J ( 1 ) J ( r )) J 1 i
n1 n2 nP
其中：n1 n 2 n p n ; i j (i j ) 称 n i 为 i的 代数重数 （简称 重数）； m i n rank ( i I A )为 i的 几何重数 ( m i n i )； 如果 n i＝1，则称 i 为 A 的一个 单特征值 ； 否则称 i 为 A 的一个 重特征值 ； 如果 m i＝ n i，则称该特征值 i 为 A 的一个 半单特征值 ； 如果 A 的所有特征值都是半单 的，则称 A 是 非亏损 的； A 是非亏损的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 。


m m m m 故 是矩阵 A 的特征值 , 且 x 是 A 对应于 的
征向量 .
8
2 当 A 可逆时 , 0 ,由 Ax x 可得
1 1 1 A Ax A x A x
x A x A x x
1 1
故 是矩阵 A 的特征值 , 且 x 是 A 对应
盖氏圆
设A = [aij]nn，称由不等式
z a ii a ij
j 1 j i
n
所确定的复区域为A的第i个盖氏圆，记为Gi：
i = 1，2，…，n。 G { z : z a a } i ii ij
j 1 j i
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n
Gerschgorin圆盘定理
定理 若为A的特征值，则 G i
Schur分解定理
n n n n 设 A C ,则 存 在 酉 矩 阵 U C 使 得 H U A U T
其 中是 T 上 三 角 矩 阵 ， 且 选 择 适 当 矩 阵 U ,可 使 T 的 主 对 角 线 元 素 按 任 意 指 定 次 序 排 列 。
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特征值估计
粗略估计有(A) ||A||； 可将复平面上的特征值一个个用圆盘围起。


注记
4. 若λ是矩阵A的r重特征值，对应λ有s个线性 无关的特征向量，则1≤s≤r； 若A为实对称矩阵，则对应特征值λ 恰有r 个线性无 关的特征向量。
5.
实对称矩阵的特征值是实数，属于不同特 征值的特征向量正交。
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注记
n
6 .设 n 阶方阵 A a 的特征值为 , i j 1, 2, n,记：
I A( ( ( 1 )s 1)( 2) n) k
k k 0 n n 1 n 2 n s s ( 1 ) A 1 2
n k
其中 :s A 中一切 k 阶主子式之和。 k为
( 1 ) a a a ＝ tr （ A ） ; 1 2 n 11 22 nn
4
注记
1 . 特征向量 x 0 ,特征值问题是对方阵而 言的 .
2 .n 阶 方 阵 A 的 特 征 值 ,就 是 使 齐 次 线 性 方 程 组 Ix 0 有 非 零 解 的 值 ,即 满 足 方 程 A A I 0 的 都 是 矩 阵 A 的 特 征 值 .
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所以向量组 x , x , , x 线性无关 . 1 2 m
注记
１. ２.
属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量． ３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而 言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
i 1 n
证明：设Ax = x (x 0)，若k使得 x max x k i x
1 i n
因为
a
j 1
n
kj
x j xk
n
( a )x a xj kk k kj
n |x | j a | | | a | |a | kk kj kj |x j k x j 1 j 1 k k| n n j k j k
, , , 是方阵 A 的 m 个特征值 ,x ,x , 定理 ： 设 1 2 m 1 2
证明: 设有常数 k , k , , k 使 1 2 m