考点40 直线方程——2021年高考数学专题复习真题练习

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直线与圆专题复习一 、直线方程的几种形式 ：1。

一般式：ax+by+c=0， a ≠0 2.点斜式：y-y1=k(x —x1) 3.斜截距式：y=k x + b 4。

两点式：121121x x x x y y y y --=--5．截距式：1=+bya x 6、点向式:2111v y y v x x -=- 7、点法式：0)()(11=-+-y y B x x A 二、圆的方程1、 圆的规范方程：()()222r b y a x =-+-2、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x 三、直线与直线关系、直线与圆的关系 1、 直线与直线平行的判断及其应用 2、直线与直线垂直的判断及其应用3、直线与直线相交的判断及其应用4、直线关于直线的对称直线的方程5、圆与圆的位置关系及其判断及应用6、直线与圆的位置关系及其应用 实战演练:1。

（安徽高考）直线过点(-1，2）且与直线23x y -+4=0垂直，则的方程是A ． B. C . D 。

2.(上海高考）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行,则K 得值是( ）（A ） 1或3 （B ）1或5 (C )3或5 （D ）1或23．若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22,则m 的倾斜角可以是:①15②30③45④60⑤75其中正确答案的序号是。

考点40 直线方程【题组一 斜率与倾斜角】110y -+=的倾斜角为 。

【答案】60︒10y -+=，设直线的倾斜角为(0180)αα︒<︒，由tan α=，得60α=︒．2．直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的夹角为______________.【答案】90︒【解析】由直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的方程可知， 两直线的斜率分别为：1212,2k k ==-，∴121k k =-，∴12l l ⊥,∴两直线的夹角为90︒. 故答案为：90︒. 3．已知直线l 过点(1,0)P 且与以(2,1)A ，(4,3)B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围为_______． 【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】如图所示：设直线l 过A 点时直线l 的斜率为1k ，直线l 过B 点时直线l 的斜率为2k ， 则，110121k -==-，230141k --==--， 所以要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为：[]1,1-,所以l 倾斜角的取值范围30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 【题组二 直线方程】1．过点（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【解析】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为0，在两坐标轴上的截距相等； 若直线不过原点时，设直线在两坐标轴上的截距为a ，由1x y a a+=，代入点（1，2）的坐标可得：a ＝3，∴满足条件的直线有两条，故选B ． 2．“直线:21l y kx k =+-在坐标轴上截距相等”是“1k =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题知：0k ≠，由0x =得21y k =-；由0y =得，12k x k-=. 因为在坐标轴上的截距相等，所以1221k k k--=，解得12k =或1k =-. 所以直线:21l y kx k =+-在坐标轴上截距相等”是“1k =-”的必要不充分条件.故选：B.【题组三 直线的位置关系】1．设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax +2y +3a ＝0和直线3x +（a ﹣1）y ＝a ﹣7平行”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当a ＝3时，两直线的方程分别为3290x y ++=和3240x y ++=，此时两条直线平行成立； 反之，当两直线平行时，有(1)23a a -=⨯且(7)9a a a -≠-，解得3a =或2a =-，而当2a =-时，两条直线都为30x y -+=，重合，舍去，所以3a =，所以“a ＝3”是“直线ax +2y +3a ＝0和直线3x +（a ﹣1）y ＝a ﹣7平行”的充要条件，故选：C2．已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，()23220l m x my -+-=：，若12l l //，则实数m 的值( ) A ．2 B ．1 C ．1或2 D ．0或13【答案】B【解析】当0m =时，两直线方程分别为10y -=和220x --=，不满足条件．当0m ≠时，则12//l l ，∴32211m m m --=≠-， 由321m m m -=得2320m m -+=得1m =或2m =，由211m -≠-得2m ≠，则1m =，故选：B 3．已知直线:3210p x y -+=，直线:(1)0q ax b y +-=，且p ∥q ，若,a b 均为正数，则23a b +的最小值是（ ）A ．253B ．83C ．8D ．24【答案】A【解析】因为直线:3210p x y -+=，直线:(1)0q ax b y +-=，且p ∥q ，所以23(1)a b =-，即213a b +=， 因为,a b 均为正数，所以23232422333a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13223b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭131325+4=333≥+， 当且仅当22b a a b =，即35a b ==时取等号，所以23a b +的最小值为253，故选：A 4．14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的（ ）. A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】对于：直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=，当0a =时，分别化为：10x +=，30x y -+-=，此时两条直线不垂直，舍去；当1a =-时，分别化为：310y -+=，230x --=，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足条件； 当1a ≠-，0时，两条直线的斜率分别为：13a a +-，11a a -+，由于两条直线垂直，可得11131a a a a +--⨯=-+，解得14a =或1-（舍去）． 综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：14a =或1-． ∴14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件．故选：A ．【题组四 距离问题】1．直线110l x y -+=：与直线250l x y -+=：之间的距离是______．【答案】【解析】直线110l x y -+=：与直线250l x y -+=：之间的距离==故答案为：2．点P是曲线22ln 0x y --=上任意一点，则点P 到直线4410x y ++=的最小距离是（ ）Aln 2)- Bln 2)+ C1ln 2)2+ D ．1(1ln 2)2+ 【答案】B【解析】将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P(x 0，y 0)，由x 2－y －0得y ′＝2x －1x， ∴直线l 的斜率k ＝2x 0－01x ＝－1⇒x 0＝12或x 0＝－1(舍去)， ∴P 11,ln 224⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所求的最短距离即为点P 11,ln 224⎛⎫+ ⎪⎝⎭到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d(1＋ln 2)．故选B. 【题组五 定点问题】1．方程30kx y +-=所确定的直线必经过的定点坐标是 ．【答案】（0，3）【解析】方程kx+y ﹣3＝0所确定的直线必经过的定点坐标满足030x y =⎧⎨-=⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩，故定点坐标为（0，3），故答案为 ：（0，3）． 2．对任意实数m ，直线30mx y m --+=恒过定点，则该定点的坐标为_________【答案】(1,3)【解析】30mx y m --+=化为3(1)y m x -=-，方程表示过点(1,3)斜率为m 的直线方程，所以直线过定点(1,3).故答案为:(1,3).【题组六 对称问题】1．点()2,1P -关于直线:10l x y -+=对称的点P ´的坐标是A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,1-D ．()1,0-【答案】C 【解析】设点(),P a b '，则线段PP '的中点为21,22a b -+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又点21,22a b -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线:10l x y -+=上， 所以211022a b -+-+= ①因为直线PP l '⊥，1l k ，12PP b k a '-=+所以1112b a -⨯=-+ ②.联立①②，解。

2021年高考数学一轮复习《直线方程》精选练习一 、选择题1.k 是直线l 斜率，θ是直线l 倾斜角，若30°≤θ<120°，则k 取值范围是（ ）A.333≤≤-k B.133≤≤k C.3-<k 或33≥kD.33≥k2.直线l 1: ax+2y –1=0与直线l 2: x+(a –1)y+a 2=0平行，则a 的值是（ ）A.–1B.2C.–1或2D.0或1 3.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( )A. B.C.-D.-4.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点( )A.(1,-3)B.(4,3)C.(3,1)D.(2,3) 5.a=41是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.实数x,y 满足3x-2y-5=0(1≤x ≤2),则yx 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞- B.1[1,]4- C.1[0,]4 D.1[,)4+∞7.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4=0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )A ．y=3x ＋2B ．y=3x －2C ．y=3x ＋12D ．y=－3x ＋28.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1=0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 9.已知直线l 1：(k-3)x ＋(3-k)y ＋1=0与直线l 2：2(k-3)x-2y ＋3=0垂直，则k 的值是( )A.2B.3C.2或3D.2或-3 10.以A(1,3)，B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A.3x-y-8=0B.3x ＋y ＋4=0C.3x-y ＋6=0D.3x ＋y ＋2=011.直线l 过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l 的方程为( ) .A.3x －y －5=0B.3x －y ＋5=0C.3x ＋y ＋13=0D.3x ＋y －13=0 12.抛物线y=-x 2上的点到直线4x ＋3y-8=0距离的最小值是( )A.34 B.57 C.58 D.320 13.两条平行线l 1：3x ＋4y-2=0，l 2：9x ＋12y-10=0间的距离等于( )A.57 B.157 C.154 D.32 14.已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上，则的最小值为( )A.B.C.16D.不存在15.设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2=0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞二、填空题16.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x ＋y －b=0与线段AB 相交，则b 的取值范围是 . 17.记直线l ：2x －y ＋1=0的倾斜角为α，则1sin2α＋tan2α的值为 .18.已知直线ax+by=1经过点(1,2)，则2a +4b 的取范围是 19.已知x ＋y －3=0，则22)1()2(++-y x 的最小值为________． 20.直线22:101al x y a +-=+（a ∈R ）的倾斜角的取值范围是 . 21.点P(a,b) 在直线x+y+1=0 上，则的最小值为三、解答题22.已知△ABC 的三个顶点A(4，-6)，B(-4,0)，C(-1,4)，求(1)AC 边上的高BD 所在直线方程； (2)BC 边的垂直平分线EF 所在直线方程； (3)AB 边的中线的方程．23.已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.（1）证明：直线恒过定点M ；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程.24.过点P(4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点.(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l 的方程.25.实系数方程f(x)=x 2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，求：(1)12--a b 的取值范围； (2)(a-1)2+(b-2)2的取值范围. （3）a+b-3的值域.答案解析26.C ； 27.B 28.A 29.C ；解析：2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由解得则直线过定点(3,1),故选C.30.A ；解析：由直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直得(a+1)(a-1)+3a ×(a+1)=0,解得a=0.25或a=-1.∴“a=0.25”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的充分而不必要条件.故选A. 31.B32.答案为：A.解析：因为直线x －2y －4=0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y=3x ＋2. 33.答案为：B ；解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 34.C; 35.B; 36.D 37.A ； 38.C ； 39.B 40.答案为：B.解析：易知直线ax ＋y ＋2=0过定点P(0，－2)，k PA =－52，k PB =43，设直线ax ＋y ＋2=0的斜率为k ，若直线ax ＋y ＋2=0与线段AB 没有交点，根据图象(图略)可知－52＜k ＜43，即－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜52，故选B.41.答案为：[－2,2]；解析：b 为直线y=－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y=－2x ＋b 过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值.∴b 的取值范围是[－2,2].42.答案为：－112；解析：∵直线l ：2x －y ＋1=0的斜率为2，∴tan α=2，∴sin2α=2sin αcos αsin 2α＋cos 2α=2tan α1＋tan 2α=2×21＋22=45，tan2α=2tan α1－tan 2α=2×21－22=－43，∴1sin2α＋tan2α=54－43=－112. 43.答案为：［，+).44.答案为：45.答案：3[,]44ππ.46.答案为：；47.48.解：49.解：设直线l ：x a ＋yb=1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P(4,1)，所以4a ＋1b=1.(1)因为4a ＋1b=1≥24a ·1b =4ab， 所以ab ≥16，当且仅当a=8，b=2时等号成立，所以当a=8，b=2时，S △AOB =12ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2=1，即x ＋4y －8=0.(2)因为4a ＋1b=1，a ＞0，b ＞0，所以|OA|＋|OB|=a ＋b=(a ＋b)·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b =5＋a b ＋4b a ≥5＋2 a b ·4b a =9， 当且仅当a=6，b=3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3=1，即x ＋2y －6=0.50.。

专题九 解析几何狂刷40 直线与方程1．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是 A ．[)0,πB ．][π30,π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ0π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，2．已知直线l 经过点()0,0O ，且与直线30x y --=垂直，那么直线l 的方程是 A ．30x y +-= B ．30x y -+= C ．0x y +=D ．0x y -=3．已知直线l 经过点212,M t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和点212,N t t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A ．斜率为定值，但倾斜角不确定B ．倾斜角为定值，但斜率不确定C ．斜率与倾斜角都不确定D ．斜率为1-，倾斜角为135︒4．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是A ．13 B ．26 C ．41313D ．713265．已知直线l 过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．20x y -=或220x y +-=D ．20x y -=或240x y +-=6．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线l 的方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤7．已知直线1x ya b+=经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是A ．a b <B >C ．()()0b a b a -+>D ．11a b> 8．已知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的角平分线所在直线方程是1y x =+，则直线AC 的方程为 A ．210x y --= B ．1522y x =-+ C ．25y x =-D ．270x y +-=9．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆222x y +=的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在的直线为A ．)10x y +=B ．(10x y -=C ．)10x y -=D ．)10x y -=10．已知实数m ，n 满足21m n -=，则直线30mx y n -+=必过定点___________.11．若过点P (1－a ，1＋a )与Q (4，2a )的直线的倾斜角为钝角，且m ＝3a 2－4a ，则实数m 的取值范围是________．12．过两直线10x +=0y +-的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.13．设a ∈R ，则“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线30mx y +-=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．415．曲线13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是A ．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知点()11A ，和点()44B ，，P 是直线10x y -+=上的一点，则PA PB +的最小值是A ． BCD ．17．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A 12B C ．2，12D ．24，1418．过点()3,0P -作直线()()2120x y λλλ+++=∈R 的垂线，垂足为M ，已知点()3,2N ，则当λ变化时，MN 的取值范围是A ．0,5⎡+⎣B ．5⎡+⎣C ．5,5⎡⎣D ．5⎡⎤-⎣⎦19．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2，0)，B (0，4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为 A ．(－4，0) B ．(－3，-1) C ．(－5，0)D ．(－4，-2)20．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，P Q ，分别在线段AB BO ，上运动，则MPQ△的周长的最小值为 A ．4 B ．5C ．D21．已知0,0a b >>，若直线(21)210a x y -+-=与直线20x by +-=垂直，则11a b+的最小值为__________．22．若平面区域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是__________．23．已知点(1,0)M -，(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是__________． 24．已知点P 是函数32y x x=+的图象上的一点，则点P 到直线210x y ++=的距离的最小值为__________．。

山东省齐河县高考数学三轮冲刺专题直线的方程练习（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省齐河县高考数学三轮冲刺专题直线的方程练习（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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直线的方程一、选择题（本大题共12小题，共60分）1。

若直线：，与直线：互相平行，则m的值等于A. 0或或3B. 0或3 C。

0或 D。

或3（正确答案）D解：时，两条直线方程分别化为：，，此时两条直线不平行,舍去．，由于，则,解得或3，经过验证满足条件．综上可得：或3．故选:D．对m分类讨论,利用两条直线相互平行的条件即可得出．本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．2. 已知直线：和：互相平行，则实数A。

或3 B。

C。

D. 或（正确答案)A解：由，解得或．经过验证都满足两条直线平行,或．故选：A．由，解得经过验证即可得出．本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 已知直线与直线互相垂直，则A. B. C。

1 D. 3（正确答案）C解：直线与直线互相垂直，,解得故选：C由直线的垂直关系可得a的方程,解方程可得a值．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．4. 在直角坐标平面内，过定点P的直线l：与过定点Q的直线m：相交于点M,则的值为A. B。

C. 5 D。

10(正确答案）D【分析】由已知得，，过定点P的直线与过定点Q的直线垂直,M位于以PQ为直径的圆上,由此能求出的值．【解答】解:在平面内,过定点P的直线与过定点Q的直线相交于点M，,，过定点P的直线与过定点Q的直线垂直,位于以PQ为直径的圆上,,，故选D．5。

第 1 页 共 5 页2021年新高考数学总复习第54讲：直线方程1．直线x －3y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.23π D.56π 答案 A2．(2020·东安模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋35上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，2π3B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πC.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎦⎤π3，2π3答案 B解析 y ′＝3x 2－3≥－3，即tan α≥－3，又0≤α<π，∴0≤α<π2或2π3≤α<π，选B.3．直线l 过点M(－2，5)，且斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案 A解析 因为直线l 的斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的斜率为k ＝－34，故y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0，故选A.4．(2020·北京东城期末)已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“α>π3”是“k>3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当π2<α<π时，k<0；当k>3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k>3”的必要不充分条件，故选B.5．【多选题】过点(5，2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程可以是( ) A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －5y ＝0。

2021年高考数学二轮复习直线与圆专题训练（含解析）A级——基础巩固组一、选择题1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( ) A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0解析由题意知直线l与直线PQ垂直，所以k l＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.答案 A2．(xx·四川成都二模)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x－y－1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.答案 B3．(xx·山东潍坊一模)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( ) A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4解析因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±3，选D.答案 D4．(xx·山东青岛一模)过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( )A. 3 B ．2 C. 2 D ．4解析如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴OA ⊥AP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AO |sin ∠AOP ＝ 3.故选A. 答案 A5．(xx·北京朝阳一模)直线y ＝x ＋m 与圆x 2＋y 2＝16交于不同的两点M ，N ，且|MN →|≥3|OM →＋ON →|，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－22，－2)∪[2，22)B ．(－42，－22)∪[22，42)C ．[－2,2]D ．[－22，2 2 ]解析 设MN 的中点为D ，则OM →＋ON →＝2OD →，|MN →|≥23|OD →|，由|OD →|2＋12|MN →|2＝16，得16＝|OD→|2＋14|MN →|2≥|OD →|2＋14(23|OD →|)2，从而得|OD →|≤2，由点到直线的距离公式可得|OD →|＝|m |2≤2，解得－22≤m ≤2 2.答案 D6．(xx·江西卷)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π. 答案 A 二、填空题7．(xx·山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析 ∵圆心在直线x －2y ＝0上， ∴可设圆心为(2a ，a )． ∵圆C 与y 轴正半轴相切， ∴a >0，半径r ＝2a .又∵圆C 截x 轴的弦长为23，∴a 2＋(3)2＝(2a )2，解得a ＝1(a ＝－1舍去)． ∴圆C 的圆心为(2,1)，半径r ＝2. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝48．(xx·重庆卷)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析 由题意，得圆心C 的坐标为(－1,2)，半径r ＝3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y＋a ＝0的距离d ＝|－1－2＋a |2＝22r ＝322，即|－3＋a |＝3，所以a ＝0或a ＝6.答案 0或69．直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析 易知△AOB 为等腰直角三角形，且点O 到直线距离为22，可得2a 2＋b 2＝2⇒－2≤b ≤2，a 2＋b －12＝2－b22＋b －12≤ 2＋1.答案2＋1三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若点P 到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.11．(xx·课标全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.B 级——能力提高组1．(xx·河南南阳联考)动圆C 经过点F (1,0)，并且与直线x ＝－1相切，若动圆C 与直线y ＝x ＋22＋1总有公共点，则圆C 的面积( )A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π解析 设圆心为C (a ，b )，半径为r ，r ＝|CF |＝|a ＋1|，即(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2，即a ＝14b 2，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 2，b ，r ＝14b 2＋1，圆心到直线y ＝x ＋22＋1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 24－b ＋22＋12≤b24＋1，∴b ≤－2(22＋3)或b ≥2，当b ＝2时，r min ＝14×4＋1＝2，∴S min ＝πr 2＝4π.答案 D2．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．解析 假设直线l AB ：x a ＋y b ＝1.由于圆心(0,0)到l 的距离为1，可得a 2b 2＝a 2＋b 2.又a 2b 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，所以a 2＋b 2≥4.又因为|AB |＝a 2＋b 2≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．答案 23．(xx·江苏卷)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解 (1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0,60)，C (170,0)，直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点B 的坐标为(a ，b )， 则k BC ＝b －0a －170＝－43，k AB ＝b －60a －0＝34.解得a ＝80，b ＝120. 所以BC ＝170－802＋0－1202＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)． 由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －60－d≥80，即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d 5－d ≥80，680－3d 5－60－d≥80.解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d 5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．23405 5B6D 孭39756 9B4C 魌39310 998E 馎_35376 8A30 訰5?40649 9EC9 黉m736800 8FC0 迀25106 6212 戒#21703 54C7 哇P。

专题九 解析几何狂刷40 直线与方程1．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是 A ．[)0,πB ．][π30,π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ0π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，【答案】B【解析】直线x sin α+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sin α， ∵﹣1≤sin α≤1，∴﹣1≤k ≤1， ∴倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[34π，π）. 故选B ．【名师点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．求解时，由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．2．已知直线l 经过点()0,0O ，且与直线30x y --=垂直，那么直线l 的方程是 A ．30x y +-= B ．30x y -+= C ．0x y +=D ．0x y -=【答案】C 【解析】直线l 与直线30x y --=垂直，∴直线l 的斜率为1-，则()00y x -=--，即0x y +=． 故选C ．【名师点睛】本题考查了直线方程的求法，考查两直线垂直的等价条件，属于基础题．由题意可求出直线l 的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．3．已知直线l 经过点212,M t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和点212,N t t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A ．斜率为定值，但倾斜角不确定B ．倾斜角为定值，但斜率不确定C ．斜率与倾斜角都不确定D ．斜率为1-，倾斜角为135︒【答案】D【解析】由已知，直线MN 的斜率221141224t t t t k ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===----，所以直线MN 的倾斜角为135︒． 故选D.【名师点睛】本题考查两点间斜率公式以及倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力，属基础题.先根据斜率公式求斜率，再根据斜率求倾斜角.4．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是 A．13 B．26 CD【答案】D【解析】∵直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则4m =， 将直线3230x y +-=的方程化为6460x y +-=， 则两条平行直线之间的距离为d故选D ．【名师点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题． 5．已知直线l 过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．20x y -=或220x y +-=D ．20x y -=或240x y +-=【答案】D【解析】根据题意，直线l 分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点()1,2，所求直线方程为2y x =，整理为20x y -=； ②当直线不过原点时，设直线l 的方程为12x y a a +=，代入点()1,2的坐标得1212a a+=，解得2a =，此时直线l 的方程为124x y+=，整理为240x y +-=． 故直线l 的方程为20x y -=或240x y +-=. 故选D ．【名师点睛】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．根据题意，分直线l 是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线l 的方程，即可得答案．6．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线l 的方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 【答案】A【解析】方法一：由直线l 的方程为10kx y k -++-=，即1(1)1y kx k k x =-+=-+，可知，直线l 恒过定点P （1,1），所以34,4AP BP k k =-=，数形结合可得，若直线l 与线段AB 相交，则k ≥34或k ≤－4.方法二：易求得线段AB 的方程为()513032x y y ++=-≤≤-，得513x y =--，由直线l 的方程得()119514111551514514514y y y y k x y y y +----===-=----++()11955514y =-++， 当1435y -≤<-时，15140y -≤+<，此时，()119455514k y =-+≤-+； 当1425y -<≤-时，05144y <+≤，此时，()1193555144k y =-+≥+. 因此，实数k 的取值范围是4k ≤-或34k ≥，故选A. 【名师点睛】本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 7．已知直线1x ya b+=经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是 A ．a b <B>C ．()()0b a b a -+>D ．11a b> 【答案】B【解析】直线1x ya b+=经过第一、二、三象限，则直线在x 轴的截距0a <，在y 轴的截距0b >， 由直线的斜率小于1可知：01ba<-<，结合0a <可得：0a b a <<<-，逐一考查所给的选项：由绝对值的性质可知：a b >，选项A 错误；>B 正确；由不等式的性质可得：0,0b a b a ->+<，则()()0b a b a -+<，选项C 错误；110,0a b <>，则11a b<，选项D 错误. 本题选择B 选项.【名师点睛】本题主要考查直线的截距式方程，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意首先确定a ，b 的范围，然后逐一考查所给命题的真假即可. 8．已知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的角平分线所在直线方程是1y x =+，则直线AC 的方程为 A ．210x y --= B ．1522y x =-+ C ．25y x =-D ．270x y +-=【答案】A【解析】由题意可知直线AC 和直线BC 关于直线1y x =+对称.设点(1,2)B -关于直线1y x =+的对称点为()00,B x y '，则有0000002111021122y x x y y x -⎧=-⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨=+-⎩⎪=+⎪⎩，即(1,0)B '.因为(1,0)B '在直线AC 上，所以直线AC 的斜率为101312k -==-，所以直线AC 的方程为11(3)2y x -=-，即210x y --=. 故A 正确.【名师点睛】本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线，可通过设B 的对称点，再根据对称性质进行求解.解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象，可结合草图来加强理解. 9．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆222x y +=的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在的直线为A．)10x y +=B．(10x y -=C．)10x y -=D．)10x y -=【答案】C【解析】如图所示可知)()((),11,1,1AB C D -，，，所以直线AB ，BC ，CD的方程分别为：(),11y x y x y x =-==+整理为一般式即：)10,x y +=(10,x y -=)10,x y -=分别对应题中的A 、B 、D 选项. 本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查直线方程的求解，圆的方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意求解题中所给的直线方程，对比选项，利用排除法即可求得最终结果. 10．已知实数m ，n 满足21m n -=，则直线30mx y n -+=必过定点___________. 【答案】12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】由已知得21n m =-，代入直线30mx y n -+=得3210mx y m -+-=， 即()()2310x m y ++--=，由20310x y +=⎧⎨--=⎩，解得213x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴直线必过定点12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【名师点睛】将21n m =-代入直线30mx y n -+=得()()2310x m y ++--=，由20310x y +=⎧⎨--=⎩即可得结果.探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为(),(,)0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x yg x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.11．若过点P(1－a，1＋a)与Q(4，2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．【答案】4,393⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】设直线的倾斜角为α，斜率为k，则2(1)1 tan4(1)3a a aka aα-+-===--+，又α为钝角，∴13aa-<+，即(1)(3)0a a-+<，故31a-<<，因为关于a的函数234m a a=-的对称轴为23a=，∴2222343(3)4(3) 33m⎛⎫⨯-⨯<⨯--⨯-⎪⎝⎭，∴实数m的取值范围是4,393⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【名师点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率，根据两点坐标表示出直线的斜率，求出a的取值范围，进而得出实数m的取值范围.12．过两直线10x+=y+-的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.【答案】12x=或10x+=【解析】联立10xy⎧+=⎪+=可得交点为1(2.当直线斜率不存在时，x=12，到原点的距离等于12，符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为1()2y k x=-，即220kx y k-=，因为直线与原点的最短距离为1212=，解得k=，所以所求直线的方程为10x+=.所以本题答案为12x=或10x+=.【名师点睛】本题主要考查求两条直线交点坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.求解时，联立直线方程可求出直线的交点坐标，若所求直线的斜率不存在，则可根据交点坐标得到所求直线的方程，然后验证原点到此方程的距离是否等于12即可；若直线斜率存在时，根据点斜式写出直线方程，然后根据原点到直线的距离等于12就可求出直线的斜率，据此可得到满足题意的直线的方程.13．设a ∈R ，则“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行，则可得：()123a a -=⨯，解得3a =或−2.当3a =时，两直线分别为：3290x y ++=和3240x y ++=，满足平行； 当2a =-时，两直线分别为：30x y -+=和30x y -+=，两直线重合； 所以“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行”的充要条件. 故选C.【名师点睛】本题主要考查了两直线平行求参数值的问题，先由两直线平行解得a 的值，再通过检验是否重合可得3a =，从而得两命题的关系.已知两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为：已知1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则1212210l l A B A B ⇔-=∥，需检验两直线是否重合，属于易错题型.14．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线30mx y +-=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意可知，()cos ,sin P θθ是单位圆上的点，而直线30mx y +-=是过定点()0,3的直线（不含y 轴），原点（即圆心）到直线30mx y +-=的距离的最大值为3，∴点P 到直线30mx y +-=的距离的最大值为3＋1＝4． 故选D ．【名师点睛】本题考查点到直线的距离，利用几何意义求解，点P 在单位圆上，直线是过定点()0,3的直线，求出圆心到直线距离的最大值，然后加上半径1即可．但在求最大值时，不用点到直线距离公式求出距离，而是借助几何意义求解，点P 在单位圆上，直线是过定点()0,3的直线，求出圆心到直线距离的最大值，然后加上半径1即可．而圆心到定点的距离就是当直线变化时，圆心到直线距离的最大值，这可由直角三角形的性质直接得出．这种方法简单易行，值得提倡．15．曲线13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是 A ．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】当0x ≥，0y ≥时，由13y =得13y -=，该射线所在直线的倾斜角为π3；当0x ≤，0y ≥时，由13y =得13y +=，该射线所在直线的倾斜角为2π3；当0x ≤，0y ≤时，由133y x -=得133y -=，该射线所在直线的倾斜角为π3； 当0x ≥，0y ≤时，由133y x -=得133y --=，该射线所在直线的倾斜角为2π3.作出曲线13y =的图象如下图所示：由图象可知，要使得过原点的直线l 与曲线13y -=没有交点， 则直线l 的倾斜角α的取值范围是π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选A ． 【名师点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.求解时，作出曲线13y -=的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线l 在绕着原点旋转时，直线l 与曲线13y =没有交点时，直线l 的倾斜角α的变化，由此得出α的取值范围.16．已知点()11A ，和点()44B ，，P 是直线10x y -+=上的一点，则PA PB +的最小值是A ． BCD ．【答案】D【解析】如下图所示：点()11A ，，关于直线l ：10x y -+=的对称点为C （0，2），连接BC ，此时PA PB +的最小值为BC ==故选D ．【名师点睛】本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，难度不大，属于中档题．17．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A 12BC ，12D ，14【答案】A 【解析】a b ，是方程20x x c ++=的两个实根，1a b ∴+=-，ab c =，∵两条直线之间的距离d =()2241422a b abcd +--∴==， 108c ≤≤，11412c ∴≤-≤，21142d ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，，∴两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为2，12. 故选A.【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意a b c ，，之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题.利用方程的根，求出a b c ，，之间的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值即可.18．过点()3,0P -作直线()()2120x y λλλ+++=∈R 的垂线，垂足为M ，已知点()3,2N ，则当λ变化时，MN 的取值范围是A ．0,5⎡+⎣B ．5⎡+⎣C ．5,5⎡⎣D ．5⎡⎤-⎣⎦【答案】B【解析】直线()()2120x y λλλ+++=∈R ，即()()220x y y λ+++=， 由2020x y y +=⎧⎨+=⎩，求得12x y =⎧⎨=-⎩，直线经过定点()1,2Q -．如图，由PQM △为直角三角形，斜边为PQ ，M 在以PQ 为直径的圆上运动， 可得圆心为PQ 的中点()1,1C --，半径为152r PQ ==，则()2,3N 与M 的最大值为||5NC r +==，()2,3N 与M 的最小值为||5NC r -==故MN 的范围为：5⎡-⎣.故选B ．【名师点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．化已知直线为()()220x y y λ+++=，即有20x y +=且20y +=，解方程可得定点Q ，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值． 19．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2，0)，B (0，4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为 A ．(－4，0)B ．(－3，-1)C ．(－5，0)D ．(－4，-2)【答案】A 【解析】设C (m ，n )，由重心公式，可得△ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭， 代入欧拉直线有：242033m n ++-+=，整理得m －n ＋4＝0 ①. AB 的中点为(1，2)，k AB ＝4002--＝－2， AB 的中垂线方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0， 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩可得：11x y =-⎧⎨=⎩，所以△ABC 的外心为(－1，1)，外心与点B 的距离：d ==外心与点B 的距离与外心与点C 的距离相等，则(m ＋1)2＋(n －1)2＝10，整理得m 2＋n 2＋2m －2n ＝8 ②， 联立①②，可得m ＝－4，n ＝0或m ＝0，n ＝4.当m ＝0，n ＝4时，B ，C 两点重合，舍去，当m ＝－4，n ＝0时满足题意.所以点C 的坐标为(－4，0)．本题选择A 选项.【名师点睛】本题主要考查直线方程的应用，三角形的中心坐标公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.设点的坐标为C (m ，n )，由重心公式得到关于m ，n 的方程，然后利用外心与点B 的距离及外心与点C 的距离相等得到关于m ，n 的方程，两方程联立即可确定顶点C 的坐标. 20．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，P Q ，分别在线段AB BO ，上运动，则MPQ△的周长的最小值为A ．4B ．5C ．D 【答案】C【解析】过()()3,0,0,3A B 两点的直线方程为30x y +-=， 设()10M ，关于直线30x y +-=对称的点为(),N x y ，则11113022y x x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，即()32N ，， 同理可求()10M ，关于O 对称的点为()10E -，， 当N P Q E ，，，共线时，MPQ △的周长MQ PQ QM NP EQ PQ ++=++取得最小值，为NE ==故选C ．【名师点睛】本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题. 21．已知0,0a b >>，若直线(21)210a x y -+-=与直线20x by +-=垂直，则11a b+的最小值为__________．【答案】8【解析】设直线(21)210a x y -+-=的斜率为1k ，直线20x by +-=的斜率为2k ， 1212a k -∴=-，21k b =-， 两条直线垂直，12211()()12a k k b -∴=--=-，整理得：2()1a b +=， 11112228b a a b a b a b a b∴+=+⋅+=++≥()()()，当且仅当14a b ==时等号成立， ∴11a b+的最小值为8. 【名师点睛】利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想.22．若平面区域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是__________．【答案】2或12【解析】作出不等式组30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域如图所示：可行域是等腰三角形，平面区域夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是点B 到AC 的距离，它们的斜率是2，求得A （2，1），B （1，2），点A 到BC=，点B 到AC=，所以A 到BC 的距离也是最小值，平行线的斜率为12. 故答案为2或12． 【名师点睛】本题主要考查平面区域的作法，考查点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．23．已知点(1,0)M -，(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[【解析】设直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，点P 的坐标为(,)x m x -， 则(1,),(1,)MP x m x NP x m x =+-=--，因为PM PN ⊥，所以MP NP ⊥，由向量数量积的坐标公式可得，(1)(1)()()0x x m x m x +-+--=222210x mx m ⇒-+-=， 由题意可知该方程有实根，即22(2)8(1)0m m ∆=---≥，解得m ≤≤【名师点睛】本题考查了转化法、方程思想.求解时，设出点P 的坐标为(,)x m x -，由PM PN ⊥，可以转化为MP NP ⊥，根据平面向量数量积的坐标表示公式可得到一个关于x 的一元二次方程，只要该方程的判别式大于等于零即可，解不等式最后求出实数m 的取值范围.24．已知点P 是函数32y x x =+的图象上的一点，则点P 到直线210x y ++=的距离的最小值为__________．【解析】设0003(,)2P x x x +，则点0003(,)2P x x x +到直线210x y ++=的距离为：00000332()131255x x x x x d +++++==，因为0033(,6][6,)x x +∈-∞-+∞0033+1(,5][7,)x x ⇒+∈-∞-+∞0033+1[5,)x x ⇒+∈+∞，所以min d ==. 【名师点睛】本题考查点到直线的距离公式、对勾函数的最值，属于基础题.求解时，将P 点设出来，利用点到直线的距离公式表示出点P 到直线210x y ++=的距离，再求最小值即可.。

专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x −ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ） A BC ．D 【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-===故选C. 3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （ ）． A ．过点)2-B C ．倾斜角为60° D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解 【详解】 点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l 的斜率tan k θ=60°，故B ，C 正确； 由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误． 故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =- 【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m 或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误； 当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在， 当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（ ）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0° 【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确； 对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确； 对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误； 对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确． 故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______. 【答案】32- 43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距. 【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43. 故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y = 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可. 【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒， 又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2， 所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =． 故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________． 【答案】-4； 2 【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案. 【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //， 334a -∴=，解得4a =-； ∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________. 【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34. 因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=， 所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|P A |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________． 【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围. 【详解】因为||AB ==||||PA PB += 由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1）， 画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3， 所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解. 【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=， 又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，练提升由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,)2N ，那么||MN 的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3）， 所以动点M 在以PQ5,2= 圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=， 所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，， 则直线方程为：故选4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线l θ1sin()22l 20y --=40y +-=0x -=360y 122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-2 3πθ=tan θ=1y x -=40y +-=B30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+=+=+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________. 【答案】240x y -+= (0,1)- 【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行， 所以设方程为()201x y n n -+=≠， 因为直线过点(2,1)M -， 代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '， 则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程； （2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24 【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=. 7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1) 求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程． 【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2. 【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求. 【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2）， 即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意， 综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，4,B n 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值； （2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式. 【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+ 【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4）， 把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8， 所以反比例函数解析式为8y x=， 把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2； （2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上， 所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ， 所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==， 在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==， 而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1， 所以144m n-+=， 而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2， 则A （2，4），B （﹣4，﹣2）， 设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -. （1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析． 【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解 【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=． （2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP =而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标； （2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标； (2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMNS的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解. 【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. (2)当1k 时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭， 1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭. 当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k 时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+. 综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当练真题k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5， 故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=． 故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ==， 故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0）， 由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b13 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-＞0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ． 两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞12-， 故有1b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤ 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得： 即直线经过整点直线经过无穷多个整点，③正确；x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --∴l④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤l 1132y x =+ll y =()0,0。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1， 而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ， 因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0； 当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0， 综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ， 所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3， 则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立， 解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ， 则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|， 所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一 点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二 由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解 由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1）， 得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。