人教版五年级数学下册 3-2长方体和正方体的体积 同步拓展讲与练 奥数培优(无答案)

2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之第三单元长方体和正方体的体积部分（解析版）编者的话：《2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第三单元长方体和正方体的体积部分。

本部分内容考察长方体和正方体的体积，编排从易到难，考点划分较多，共划分为十个考点，建议作为本章重点内容进行讲解，欢迎使用。

【考点一】直接求长方体和正方体的体积及反求。

【方法点拨】1.长方体的体积= 长×宽×高 V=abh长= 体积÷宽÷高 a=V÷b÷h宽= 体积÷长÷高 b=V÷a÷h高= 体积÷长÷宽 h= V÷a÷b2.正方体的体积= 棱长×棱长×棱长 V=a×a×a = a³读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）3.长方体或正方体底面的面积叫做底面积。

（横截面积相当于底面积，长相当于高）。

4.长方体的体积= 长×宽×高 = 底面积×高5.正方体的体积= 棱长×棱长×棱长=底面×棱长6.长（正）方体的体积用字母表示：V=Sh【典型例题1】某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方分米？解析：40厘米=4分米4×4×4=64（立方分米）答：略。

【典型例题2】一个长2分米，宽4分米，高5分米的长方体木块，这个木块的体积是多少立方分米？解析：2×4×5=40（立方米）答：略。

长方体和正方体的体积__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.使学生理解体积的概念，了解常用的体积单位，形成表象。

2.培养学生比较、观察的能力。

3.通过讲授，引导学生找出规律，总结出体积的公式。

4.指导学生运用公式正确计算长方体、正方体的体积。

5.进一步理解体积（容积）的意义，能较熟练的运用体积（容积）计算公式解决问题。

6.能解决体积（容积）计算的变式问题，提高运用知识的能力，体会转化思想在解题的作用。

1.体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。

1立方米=1000立方分米 3311000m dm =1立方分米=1000立方厘米 3311000dm cm =食指的手指尖的体积大约是1立方厘米；粉笔盒的体积大约是1立方分米；装29英寸电视机的大纸箱的体积大约是1立方米。

2.容积：容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。

计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。

但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L 和ml ）。

1升=1000毫升 11000L ml =1毫升=1立方厘米 311ml cm =3.体积单位与容积单位：1升=1立方分米 311L dm =1毫升=1立方厘米 311ml dm = 1. 长方体的体积=长×宽×高 V abh =正方体的体积=棱长×棱长×棱长（棱长的三次方） 3V a a a a =⋅⋅= 长方体或正方体的体积=底面积×高 V Sh =容积的计算方法和体积是相同的，只是测量时体积是测量物体外面的数据，而容积是测量物体内部的数据。

长方体和正方体的体积知识引入：一、体积和体积单位例题1：填空。

(1)我们常用的体积单位有( )、 ( )、( )，用字母表示是( )、( )、( )。

(2)棱长是1 cm、1 dm和1 m的正方体的体积分别是1( )、1( )和1( )。

例题2：连线。

学校升旗台的体积 24立方厘米书包的体积 24立方米健胃消食片包装盒的体积 24立方分米例题3：下面图中的每个木块都一样，哪堆的体积大？为什么？知识精讲1：体积和体积单位1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。

2.计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3、m3。

二、长方体和正方体的体积例题4：填空。

(1)用( )个棱长1 cm的小正方体可以拼成一个长3 cm，宽2 cm，高5 cm的长方体，这个长方体的体积是( )cm3。

(2)一个长方体铁块，长50厘米，宽30厘米，高2.5厘米。

它的体积是( )立方厘米。

(3)棱长为4厘米的正方体的体积是( )立方厘米。

(4)正方体的棱长扩大为原来的3倍，体积扩大为原来的( )倍。

(5)一个正方体的棱长总和是36米，体积是( )立方米。

例题5：计算下面长方体和正方体的体积。

例题6：中心广场要建一个喷水池，施工时要挖长15 m、宽7 m、深5 m的长方体土坑，一共挖出多少方的土(“1 m3”的土、石、沙称为“1方”)?知识精讲2：长方体和正方体的体积。

1.长方体的体积＝长×宽×高 V＝a b h2.正方体的体积＝棱长×棱长×棱长V＝a33.长方体(或正方体)的体积＝底面积×高V＝S h4.当长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍时，它的体积扩大到原来的倍；5.当正方体的棱长扩大到原来的n倍时，它的体积扩大到原来的倍。

用表格比较长方体和正方体的体积计算公式名称体积计算公式需要的条件长方体长方体的体积＝长×宽×高长方体的长、宽和高正方体正方体的体积＝棱长×棱长×棱长正方体的棱长长方体（或正方体）长方体（或正方体）的体积=底面积×高长方体（或正方体）的底面积和高三、体积单位间的进率例题7：填空。

人教版五年级下册数学期中考试培优专项复习【专题6：长方体和正方体的体积及容积】姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、精挑细选：1.学校运动场的一个沙坑里，可以放置的沙约是3.5( )A. 立方分米B. 升C. 立方米2.将一块正方体橡皮泥捏成长方体,正方体和长方体( )。

A. 体积相等,表面积不一定相等B. 体积和表面积都不相等C. 表面积相等,体积不相等3.一个长方体的底面积不变，高扩大到原来的3倍，体积就（）。

A. 扩大到原来的3倍B. 扩大到原来的9倍C. 扩大到原来的27倍4.当长方体和正方体的棱长之和相等时，长方体的体积（）正方体的体积。

A. 大于B. 小于C. 等于5.一根长方体木料，长8分米，宽和高都是2分米，把它锯成4个正方体，表面积增加（）平方分米。

A. 4B. 8C. 246.一个汽油箱长60cm，宽20cm，高20cm，这个油箱可盛汽油（）L。

A. 2400B. 240C. 247.两个棱长1分米的小正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是（）平方分米，体积是（）立方分米。

A. 10，2B. 12，2C. 2，108.一个水箱的容积是120L，这个水箱长10dm、高4dm，宽是（）。

A. 30dmB. 3dmC. 300m9.一个长方体的水槽，横截面是一个长5分米，宽3分米的长方形。

如果水槽里水的流速是每秒钟4分米。

这个水槽1分钟内最多能流出（）升的水。

A. 20升B. 360升C. 3600升10.一个长6分米、宽5分米、高7分米的长方体纸箱，最多能放（）个棱长2分米的正方体。

A. 26B. 19C. 1811.一个棱长为9分米的正方体，如果把它切成3个相同的长方体，每个长方体的表面积是（）平方分米。

A. 162B. 270C. 243二、仔细想，认真填：12.用60分米的铁条焊成一个正方体的框架，那么这个正方体的棱长是________厘米。

学霸笔记—苏教版2021-2022学年人教版数学五年级下册同步重难点讲练第三单元长方体和正方体3.3 长方体和正方体的体积教学目标1. 让学生通过观察、操作、实验, 体会并理解体积的含义, 认识常用的体积单位:立方米、立方分米、立方厘米；结合具体情境和实践活动, 探索并掌握长方体、正方体体积的计算方法,能正确计算长方体、正方体的体积。

2. 让学生初步建立空间大小的概念, 知道体积的含义, 发展学生的空间观念。

初步掌握计量物体体积的单位, 能选择恰当的体积单位估算常见物体的体积。

3. 在能运用公式进行计算的基础上, 进一步研究求长方体和正方体体积的其他计算公式。

4. 结合实践活动, 认识体积单位之间的进率, 会进行体积单位之间的换算。

5. 使学生认识常用的容积单位：升和毫升, 掌握升和毫升之间的进率以及它们和体积单位间的关系, 理解容积与体积的区别和联系。

掌握测量不规则物体体积的方法。

6. 培养学生的观察能力、实践能力以及合作学习的能力, 扩展学生的思维,进一步发展学生的空间观念；通过“猜想—验证”的过程, 使学生获取数学活动经验；在观察、操作、探索的过程中, 提高学生动手操作能力, 进一步发展空间观念, 并解决一些简单的实际问题。

教学重难点【教学重点】感知物体的体积, 初步建立1 立方米、1 立方分米、1 立方厘米的体积观念；理解长方体和正方体的体积公式的推导过程, 掌握计算方法；理解公式“长方体( 或正方体) 的体积= 底面积×高”的推导过程, 掌握计算方法；体积单位间的进率；熟练应用体积单位间的换算解决实际问题；建立容积的概念, 掌握容积单位间的进率。

【教学难点】能正确应用体积单位估算常见物体的体积；理解长方体和正方体的体积公式的推导过程；理解公式“长方体( 或正方体) 的体积= 底面积× 高”的推导过程, 掌握计算方法；根据进率进行体积单位的互化；熟练应用体积单位间的换算解决实际问题；理解容积与体积的联系和区别。

长方体和正方体巧算体积专题简析：物体所占空间的大小叫物体的。

长方体和正方体的物体都占一定的空间。

长方体所含体积的数量正好等于长、宽、高的乘积，所以，长方体的体积=长×宽×高=横截面面积×长=底面积×高例1 把一块棱长为6分米的正方体钢坯，熔铸成横截面是9平方分米的长方体钢材。

铸成的钢材有多长？分析与解答：把正方体钢坯熔铸成长方体后，虽说形状变了，可体积没有变，正方体钢坯的体积就是长方体钢材的体积。

所以先求出正方体的体积，也就是长方体的体积。

用体积除以长方体钢材的横截面面积，就可以求出长方体钢材的长度了。

方法总结：抓住体积不变这个隐藏的量，熔铸前体积等于熔铸后的体积，再根据“体积÷横截面积=长”这个公式，从而轻松解决问题。

随堂练习：把一个棱长10厘米的正方体橡皮泥，重新捏成一个高和宽都是2厘米的长方体，这个长方体的长是多少分米？例2 一只长15分米、宽12分米的长方体玻璃钢中，有10分米深的水。

放入一块棱长为3分米的正方体铁块，铁块全部浸没在水中并且水未溢出，这时，水面升高了几厘米？分析与解答：将物体放入容器中，水面的高度肯定上升，上升的水的体积其实就是物体的体积。

本题可以先求出正方体铁块的体积，也就是增加的水的体积，再用这个体积除以容器的底面积从而求出水面上升的高度了。

方法总结：要明白一点：当物体完全沉没在水中时，物体的体积=上升的水的体积。

随堂练习：一个长方体容器，底面积是200平方厘米，高10厘米，里面盛有5厘米深的水。

现将一块石头放入水中，水面升高到8厘米处，这块石头的体积是多少立方厘米？例3 如图，一个长方体，高截去2cm，表面积就减少了48平方分析与解答：当高少了2cm后，首先明白表面积少了哪些面？应该是前后左右四个小面，因为上面虽然也少了，但又多出来一个上面，所以少了4个小面，因为剩下的部分是一个正方体，所以这四个小面是完全相等的，故用48除以4从而得出一个小面的面积，再用一个小面的面积除以2，从而能求出正方体的棱长，也是原长方体的长和宽，接着求出原长方体的高，最后求出体积。

第三讲长方体和正方体（上）1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。

两个面相交的边叫做棱。

三条棱相交的点叫做顶点。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

长方体特点：23正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷124、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。

长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh）无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah ＋bh ）正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a ×a ×6 用字母表示： S= 6a2生活实际：油箱、罐头盒等都是6个面游泳池、鱼缸等都只有5个面水管、烟囱等都只有4个面。

注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。

（表面积相应增加）注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。

一、长方体和正方体的特征【知识点一】棱长和1、（1）一只蚂蚁从A 点沿着一个长方体框架的棱爬到B点，蚂蚁至少爬了（ ）cm 。

A ．12B ．48C ．60D ．94（2）有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？2、（1）焊接一个长8cm 、宽5cm 、高2cm 的长方体框架，至少要用（ ）cm 的铁 丝，如果将这要铁丝焊接成一个正方体框架，正方体框架的棱长是（ ）（2）用一根铁丝刚好焊成一个棱长8cm 的正方体框架，如果用这根铁丝焊成一个长10cm 、宽7cm 的长方体框架，它的高应该是( )cm 。

人教版小学数学五年级下册第三单元3.3 长方体和正方体的体积真题同步练习一、单选题1．（·贵州期末）一个长方体的体积与一个棱长为4cm的正方体的体积相等,长方体的高为8cm,长方体的底面积是（）cm2。

A．4B．6C．8D．102．（·京山期中）用18个相同的小正方体拼一个长方体,可以有（）种不同的拼法。

A．2B．3C．43．（·福田期末）一台冰箱的容积约是150（）。

A．cm3B．L C．mL D．m34．（·三台月考）把一根长2米的长方体木料锯成两段后,表面积增加了100平方厘米,它的体积是（）。

A．200立方厘米B．10000立方厘米C．20立方分米5．（·蒙城期末）一桶油有2.5L,妈妈烧菜每天需用80mL,这桶油最多可用（）天。

A．30B．31C．326．（·菏泽月考）买下面（）种容量的牛奶比较合算。

A．200ml/0.8元B．500ml/1.5元C．1L/2.5元7．（·白云期末）以下哪个容器能装下6L水？（）。

A．长方体容器,底面积30cm2,高20cmB．长方体容器,长30cm,宽10cm,高10cmC．正方体容器,棱长20cmD．一个量杯（最高刻度见图）8．（·商丘期末）一个棱长是9cm的正方体容器中,装有7cm高的水。

现在把一个体积是180cm3的番茄完全没入水中,容器中的水会溢出（）mL。

A．180B．162C．189．（·蒙城期末）如图是用8个小正方体拼成的,如果拿走其中的一个小正方体,剩下图形的体积、表面积和原来相比（）。

A．体积、表面积都没改变B．体积、表面积都变小C．体积变小,表面积没变10．（·南郑期末）正方体的棱长扩大3倍,它的体积就扩大（）倍。

A．3B．27C．9D．6二、判断题11．（·城区期末）长方体底面积扩大到原来的3倍,高也扩大到原来的3倍,体积就扩大到原来的9倍。

长方体和正方体的体积★知识概要（1长方体体积正方体体积通用体积公式体积＝长×宽×高体积＝棱长×棱长×棱长体积＝底面积×高字母表达V＝abh V＝a³V＝Sh（2）容积：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。

常用容积单位升和毫升，也可以写成L 和mL。

长方体或正方体容器容积的计算方法与体积的计算方法相同。

但要从容器里面量长、宽、高。

所以，对于同一个物体，体积大于容积。

【注意】长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

如：长、宽、高各扩大 2 倍，体积就会扩大到原来的8 倍。

（3）体积/容积单位换算：大单位小单位；小单位大单位①体积单位及进率：1 立方米＝1000 立方分米＝1000000 立方厘米（立方相邻单位进率 1000）②容积单位及进率：1 升＝1000 毫升 1 升＝1 立方分米 1 毫升＝1 立方厘米（4）排水法求不规则物体体积：被浸没物体的体积等于上升那部分水的体积，计算方法：①放入物体后的总体积－原来水的体积，即：V物体＝ V现在－ V原来；②容器的底面积×上升那部分水的高度，即：V物体＝ S底×h升高。

例题1：长方体、正方体的体积公式11、下面的长方体和正方体都是用体积是1cm³的小正方体摆成的。

请把表格补充完整：长/cm 宽/cm 高/cm 小正方体个数体积/cm³① 3 1 1 3 3② 2 2 2 8 8③ 4 2 2 16 162、计算下面长方体或正方体的体积。

练习1、填空。

1、一个长方体水箱，相交于同一个顶点的三条棱分别是5dm、4dm、3dm。

这个长方体的体积是（60 ）dm³。

2、用（48）个棱长是1cm的小正方体可以摆成一个长6cm、宽4cm、高2cm 的长方体。

3、棱长是6m的正方体，它的体积是（216）m³。

5下-分类讲学案－第3章－长方体和正方体－02基本题型－3体积－4－答案02基本题型：3体积-4解决问题－2培优训练解决问题－培优训练。

1、有一个底面积是300平方厘米，高是10厘米的长方体，里面盛有5厘米深的水。

现在把一块石头浸没到水里，水面上升了2厘米。

这块石头的体积是多少立方厘米？解：300×2＝600（立方分米）答：这块石头的体积是600立方分米。

2、一块长方体石料，长5分米，宽4分米，高是7分米。

把这个石料加工成一个最大的正方体。

去掉部分的石料体积是多少？解：5×4×7－4×4×4＝76（立方米）答：去掉部分的石料体积是76立方米。

3、在棱长为8分米的正方体玻璃缸里装满水，然后把这些水倒入长为160厘米、宽为40厘米的足够高的长方体玻璃缸中。

这时水深多少厘米？解：8×8×8＝512（立方分米）512立方分米＝512000立方厘米512000÷160÷40＝80（厘米）答：这时水深80厘米。

4、如图所示，一个封闭的长方体容器，里面装着水，它的长、宽、高分别是20厘米、20厘米、30厘米。

红红不小心把容器碰倒了。

现在水的高度是多少厘米？解：20×20×15＝6000（立方厘米）6000÷30÷20＝10（厘米）答：现在水的高度是10厘米。

5、学校沙坑长5米，宽3米，要在沙坑中铺平均厚7分米的黄沙。

用一次可运2方沙的小推车，至少要运几次？解：7分米＝0.7米5×3×0.7＝10.5（方）10.5÷2＝5（次）…0.5（方）5+1＝6（次）答：至少要运6次。

6、把一块棱长6分米的正方体钢坯熔化后，铸成长8厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体钢材，能铸成多少根？解：6×6×6＝216（立方分米）216立方分米＝216000立方厘米216000÷（8×5×3）＝1800（根）答：能铸成1800根。

五年级下册数学单元测试-第三单元 长方体和正方体（培优卷）（完成时间：60分钟，总分：100分）一、选择题（满分16分）1．在一个大正方体上挖去一个棱长是1cm 的小正方体，大正方体的表面积增加4cm 2的是（ ）。

A ．B ．C ．2．下面各数中与18互质的数是( )A ．21B ．40C ．25D ．183．正方体的棱长扩大2倍，表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍。

A ．2倍，2倍B ．4倍，4倍C ．4倍，8倍D ．2倍，4倍4．在下图中选择合适的材料，搭成一个长方体，关于这个长方体，以下说法正确的是（ ）。

A ．长方体的棱长总和是48cmB ．长方体的表面积是98cm 2C ．长方体的体积是60cm 3D ．长方体的表面积是78cm 25．一个玻璃鱼缸形状是正方体，棱长4dm ，制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米（上面没有盖）。

以下列式正确的是（ ）。

A ．444´´B ．445´´C ．446´´6．图1是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）。

A．信B．国C．友D．善7．一个几何体，从上面、正面、左面所看到的平面图形都是，则这个几何体是（）。

A．B．C．8．一个长方体被挖掉一小块（如图）。

剩下部分的体积、表面积分别与原来体积、表面积相比，下面说法完全正确的是（）。

A．体积减少，表面积也减少B．体积减少，表面积增加C．体积减少，表面积不变D．体积减少，表面积增加还是减少不能确定二、填空题（满分16分）9．至少需要( )个棱长ldm的正方体才能拼成一个较大的正方体；需要( )个棱长是ldm的正方体才能拼成一个棱长是lm的正方体。

10．一根3米长的方钢，把它横截成3段时，表面积增加80平方厘米，原来方钢的体积是( )立方厘米。

11．由棱长1厘米的小正方体搭成的立体图形（如图），它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。

思维拓展练习：长方体和正方体的体积1、一个长方体的宽和高相等,并且都等于长的一半（如图）。

将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米。

求这个大长方体的体积。

2、一个瓶子里装了一些水,正放与倒放如图所示，根据图中的一些数据，求出这个瓶子的容积。

3、一个长、宽、高分别为21厘米，15厘米，12厘米的长方体，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，求剩下部分的体积。

4、某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条（如图所示）在三个方向上加固。

所用尼龙编织条分别为365厘米,405厘米，485厘米。

若每个尼龙加固时接头都是5厘米，问这个长方体包装箱的体积是多少立方米？5、用一张长80厘米，宽40厘米的长方形铁皮做一养深10厘米的无盖长方体铁皮盒（焊接处和厚度忽略不计），求这只铁皮盒的最大容积。

6、在一个长24分米、宽9分米、高8分米的水槽中，注入4分米深的水,然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块。

水位上升了多少分米？7、一个棱长为6厘米的正方体容器里放了4厘米深的水，现放入一个棱长为2厘米的正方体木块，木块的一半沉入水中，容器里的水升高了多少厘米？8、如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块,现已在每两个对面的中央钻一个边长是4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），并穿透。

另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3厘米，若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为多少立方厘米？9、在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体容器中，直立一根长1米，底面边长为15厘米的正方形四棱柱铁棍，这时容器水深为50厘米，现在把铁棍轻轻向上提起24厘米，露出水面的四棱柱浸湿部分长多少厘米？10、今年七月，我国大部分地区出现强降雨天气，雨均匀地下个不停，如果在雨地里平放一个长方体容器A，（画斜线的面是朝上的敞开部分）雨水将它注满要40分钟，现有B和C 两个不同的容器，平放的雨地里，雨水将B、C注满分别要用多少分钟？考试小提示：同学们，天道酬勤，十年寒窗十年苦，大巧若拙勤为路。

第12讲长方体和正方体教学目标1、能够以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3、求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

知识梳理一、专题简析在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。

解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1、必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3、求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

二、常见问题在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。

解答上述问题，必须掌握这样几点：1、将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；2、两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；3、物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。

解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。

典例分析考点一：重合或者挖出立体的面积及体积例1、一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）【解析】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。

长方体和正方体知识点1、体积和容积。

（1）体积：物体所占空间的大小（2）容积：容器所能容纳物体的体积像这个长方体木箱的体积除了里面能容纳物体的体积外，还有做成木箱的木板的体积。

一个物体的体积要比一个物体的容积大，因为体积还包括自身材料的体积。

2、体积（容积）单位。

（1）用列表的形式来表述体积单位的大小，以利于记忆。

体积与容积单位之间的关系：1立方厘米=1毫升1立方分米=1升升和毫升之间的进率是1000，因为1升是1立方分米，1毫升是1立方厘米。

升和毫升相比，升是高级单位，毫升是低级单位，把高级单位的数量换算成低级单位的数量，都要乘相应的进率。

3、因为长方体的体积都是由它的长、宽、高决定的，它的体积=长×宽×高。

正方体是特殊的长方体，长=宽=高，因而它的体积是由棱长决定的，体积=棱长×棱长×棱长。

因为长方体和正方体的底面积是两条棱长决定的，即长方体底面积=长×宽；正方体的底面积=棱长×棱长；所以长方体和正方体的体积又可以说是由底面积和高决定的，它们的体积=底面积×高。

（1）长方体的体积=长×宽×高（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长（3）长方体的体积=底面积×高4、求这根长方体木料的体积要用“底面积×高”，从中间截成两段，表面积实质上增加了两个底面，如果是截成三段，就是截了两次，增加了四个面。

也就是说每截一次，增加两个面。

5、综合运用体积单位、长度单位的知识。

将一个大的形体分成一个小的形体。

将小正方体紧紧地排成一排，能排多少米，实际上就是将这些小正方体的棱长加起来，看有多长。

《长方体和正方体》培优训练题一、填空：1、将三个棱长是4厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是（）立方厘米，表面积是（）平方厘米。

2、把一个棱长10厘米的正方体，分成两个完全相同的长方体，这两个长方体的体积之和是( ) 立方厘米，表面积之和是( ) 平方厘米。

1、复习长方体和正方体的棱长和以及表面积的计算，巩固这部分的知识点。

2、了解长方体和正方体的体积的意义，掌握长方体和正方体体积的计算。

【重点】长方体和正方体体积的计算。

【难点】长方体和正方体体积的计算。

1、长方体的所有棱长和 = （长 + 宽 + 高）×42、正方体的所有棱长和 = 棱长×123、长方体的表面积 = （长×宽 + 长×高 + 宽×高）× 2 （()2⨯++=bh ah ab S ）4、正方体的表面积 = 棱长×棱长×6 （26a S =）5、长方体的体积 = 长 × 宽 × 高6、正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长【复习】 1、小明把一个棱长和为180 cm 的正方体礼品盒的每个面都贴上一层彩纸，将它作为奶奶的生日礼物，小明至少需要多少平方厘米的彩纸？2、一个长方体礼盒的长、宽、高分别是15cm ，10cm ，8cm.（1）要在这个礼盒所有棱上都粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？（2）要用一根绳子捆扎这个礼盒，如果绳子的接头处长20cm ，那么至少需要多少厘米长的绳子？（3）如果围着它贴一圈漂亮的包装纸，至少需要多少平方厘米的包装纸？教学过程知识点 教学重难点 教学目标长方体和正方体的体积【例1】计算下面图形的体积。

【例2】把一块棱长是20厘米的正方体钢坯，锻造成底面积是16平方厘米的长方体钢材，长方体钢材长多少厘米？如果每立方分米钢材重7.8 kg，这块钢材重多少千克？【例3】学校要修长50米，宽42米的长方形操场。

先铺10厘米的三合土，再铺5厘米的煤渣。

需要三合土和煤渣各多少立方米？【例4】某装饰公司订购400根方木，每根方木的横截面的面积是25dm²，长是4m，这些木料一共是多少方？（1方 = 1m³）综合练习1、棱长2分米的正方体，一个面的面积是( )，体积是( )。

人教版数学五年级下册第三章长方体与正方体单元培优卷一、填空题。

（23分）1.长方体和正方体都有( )个顶点，有( )条棱，有( )个面.长方体最多有( )个面是正方形．2.一个长方体的棱长总和是20cm,相交于-个顶点的三条棱长的和是()。

3.在( )里填上合适的单位名称。

（1）微波炉的体积约是42( )（2）一桶花生油重5（）（3）小玉家客厅的面积是26()（4）牛奶盒的容积是250（）4.如果一个正方体的表面积是296m，它每个面的面积是（）2m，这个正方体的棱长总和是（）m，体积是（）3m。

5.0.38L=（）mL3dm0.05m=（）34800mL=（）L（）mL6．一个长方体的无盖铁皮水箱，长0.8米，宽0.65米，高0.6米。

做这个水箱至少需要铁皮( )平方米。

如果每升水重1千克，这个水箱最多能装水( )千克。

（铁皮厚度不计）7．一个长方体长8厘米，如果宽增加2厘米，则体积增加12立方厘米，这个长方体的高是()厘米。

8．将两个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )cm2。

9．在一个长是8分米、宽5分米、高4分米的长方体玻璃缸内注入140升水，这时水面高（）分米。

10．一个长方体的底面是一个正方形，侧面展开后也是一个正方形，已知它的高是10cm，那么它的底面积是（）2cm。

cm，体积是（）3二、判断题。

（正确的在括号内打“√”，错的打“×”）（5分）1．所有的正方体都有六个面，并且这六个面的面积均相等。

（）2．棱长是6厘米的正方体的表面积和体积完全相等。

（）3．把两个一样的正方体拼成一个长方体后，棱长和与表面积都减少，体积不变。

（）4．如果一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，那么表面积就扩大到原来的4倍，体积就扩大到原来的8倍。

（）5．至少需要8个完全一样的小正方体才能摆成一个大正方体。

（）三、选择题。

（把正确答案的字母填在括号里）（12分）1.下面的平面图中，（）不能折成正方体。

授课教师：苏建明上课时间：学生签名:_________ 家长签字第五讲：正方体与长方体的体积【专题知识点概述】1、长方体\正方体体积长方体体积=长×宽×高=底面积×高V长=abh或V长=Sh正方体体积=棱长×棱长×棱长V正=a3或V正=Sh在解较复杂的组合图形(长方体或者正方体）的体积（容积）题目时，首先要看清题意，所求形体是由哪些形体组成，再灵活运用体积（容积)公式来解答.【典型例题】【例1】凯欣家里有一个长方体形状的鱼缸,长4分米，宽3分米，里面只注入了2分米深的水。

一天爸爸买回了一块假山，当凯欣把假山放入金鱼缸后（假山全部浸入水中），水面立即上升了6厘米,你知道这块假山的体积是多少?解题思路鱼缸中放入假山后水面上升,说明假山在鱼缸中挤占了水的得空间，可知上升部分水的体积就等于假山的体积。

解：4×3×0.6=7.2(立分分米）答:这块假山的体积是7.2立分分米巩固训练11、一个正方体玻璃鱼缸长2分米，向鱼缸内倒入5升水，再把一块石头放入水中，石头完全被水浸没,这时量得鱼缸内水深15厘米，问放入的石头体积是多少立方厘米？2、小红想测量一个铁球的体积，于是把它放进一个地面长20厘米，宽15厘米的长方体容器中,铁球完全被水埋没，水面上升了4厘米，铁球的体积是多少立方厘米？3、兰兰想测一个石块的体积，将石块放入棱长是8厘米的一个正方体玻璃容器内,向容器中倒入水，将石块完全埋没，测得水深6厘米，然后将石块从水中取出,测得水深3厘米，你能帮助兰兰算出这个石块的体积是多少吗？沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？解题思路由图可知,长方体底面的长为：13—3×2=(7厘米)长方体底面宽为9-3×2=3（厘米)长方体的高为3厘米所以长方体体积为：V=7×3×3=63(立方厘米）解：V=（13—3×2)×(9-3×2）×3=63（立方厘米）答:这个纸盒的体积是63立方厘米.巩固训练21、如图所示,从长为20厘米，宽为10厘米的长方形硬纸板的四角剪掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体无盖纸盒,这个纸盒的体积是多少?2、一个长方形的铁皮,从四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒,已知长方体铁盒的长是8分米，宽是6分米，高是3分米,这块长方形铁皮的面积是多少平方米?【例3】一个长方体木块，从上部和下部分别截去高为4厘米和3厘米的长方体后（如右图）,便成为一个正方体，表面积减少了140平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？解题思路由题意可知，表面积减少140平方厘米，这140平方厘米就是截去高为(4+3）厘米、底面为正方形的长方体的侧面积。