一元二次方程(动点问题)

24.4 一元二次方程的应用（6）班级___________ 姓名__________ 小组__________ 分数____________ 卷面Ⅰ卷错题重现（20分）1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？某商场经销的太阳能路标，标价为4000元/个，优惠办法是：一次购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价8元，但单价最低不能低于3200元/个，若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元，则该顾客实际购买了多少个路灯？Ⅱ卷当堂检测（80分）一、选择题（每题3分，共15分）1.【王沛青】配方法解方程2420x x-+=，下列配方正确的是（）A．2(2)2x-=B．2(2)2x+=C．2(2)2x-=-D．2(2)6x-=2.【马雪爱】一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. 若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动（）A 851B 851C 516D 6513.【宋玉珍】直角三角形的面积是30，两直角边长的和是17，则斜边长为（）A 17B 26C 30D 134．【杨阳】某种衬衣价格经过两次降价后，由每件150元降至96元，则平均每次降价的百分率是（）A 20％B 27％C 28％D 32％5．【王沛青（改编）】方程(3)3x x x=）A123,1x x== B123,1x x==- C123x x==121x x==-二、填空题（每空3分，共15分）6.【宋玉珍】两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是____________。

7.【杨阳】当m 时，关于x的方程5)3(72=-+-xxm m是一元二次方程；8.【马雪爱】某果农2006年的年收入为8万元，由于暴雨，2008年年收入减少到5万元，设平均每年的降低率为x，根据题意列出的方程是．9.【宋玉珍】在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参这次聚会的同学共有人．10.【宋玉珍】如果21xx、是方程0632=--xx的两个根，那么221)(xx-= __.三、解答题11. 【马雪爱20分】解一元二次方程（1）0152=+-xx（2）052222=--xx；（3）23(5)2(5)x x -=- （4）24120x x +-= (用配方法)12.【孙萌10分】在直角三角形ABC 中,AB=BC=12cm ，点D 从点A 开始以2cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,过点D 做DE 平行于BC,DF 平行于AC,点E.F 分别在AC,BC 上,问：点D 出发几秒后四边形DFCE 的面积为20cm ²？13.【杨阳10分】在△ABC 中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2cm/s 的速度移动, 同时另一点Q 由C 点以3cm/s 的速度沿着CB 边移动,几秒钟后, △PCQ 的面积等于450cm ²?14．【王沛青10分】在直角三角形ABC 中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后PQ 距离等于42厘米。

Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。

7.动点问题例1：如图：在Rt △ACB 中，∠C=90°，点P 、Q 同时由A 、B 两点 出发分别沿AC 、BC 方向向 点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为 Rt △ACB 面积的一 半？变式练习： 1、 如图：在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8平方厘米？AB C P Q 6cm 8cm2、如图，在△ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm 动点D 从A 点出发到B 点为止，运动的速度为1cm/秒；同时动点E 从C 点出发到A 点为止，点E 运动的速度为2cm/秒那么当点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是（ ）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CA 向点A 运动；点Q 同时以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AB 向点B 运动,设P 、Q 两点移动t 秒（1）求△APQ 与△ABC 相似时t 的值（2）求四边形BCPQ 面积S 与时间t 的关系式（3）求△APQ 为等腰三角形时t 的值B CE D A例2：一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20 海里的圆形区10域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.变式练习：某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。

一元二次方程的应用-动点问题1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟2．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．3．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ 的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；＝S△ABC？（2）当点P运动几秒时，S△PCQ（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．4．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？5．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．6．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．（1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．7．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q 从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP＝cm，BQ＝cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？8．如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t＝1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t＝以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）9．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒，（1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．10．如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC＝8m，BD＝6m，动点M从A出发沿AC方向以2m/s匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以1m/s匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几秒钟时，△MON的面积为？11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，若P点沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动，问几秒后，△PBQ的面积为8cm2？12．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？同时点Q从点B开始沿BC这向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，运动时间为x秒（x＞0）（1）求几秒后，PQ的长度等于5cm；（2）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．14．已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：（1）经过秒时，求△PBQ的面积；（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．16．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．17．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P 随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离cm．（用含t的代数式表示）（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2．20．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？。

Day5 ：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，要点是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，依照面积或体积公式列出方程.常有题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例 1如图，点O 在线段 AB 上，AO=1 ， OB=2 ， OC为射线，且∠BOC=120°，动P点以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．﹣33 t=1 或1+8C．t=1+ 33D．t=1 或1+338811 / 4例 2如图，已知△ ABC中，∠ B=90 °，AB=5cm ，BC=7cm ，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的速度搬动，点Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s的速度搬动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q 不与 A、B 重合.的面PBQ积等于 4cm 2？（ 1）若是 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后，△（ 2）若是 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后，的长度PQ等于 5cm ？（ 3）在（ 1 ）中，△ 的PBQ面积能否等于 7cm 2？请说明原由.例 3如图，在平面直角坐标系中，过原点O 及点 A（ 0,2）、C（ 6,0）作矩OABC形，∠AOC 的均分线交 AB 于点 D. 点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线OD 方向搬动；同时点 Q 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向搬动. 设搬动时间为 t 秒，则当 t 为何值时，△ PBQ 为直角三角形？22 / 4参照答案1.【答案】 B【考点】本题观察了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【剖析】如图 1 ，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60 °，∴∠APO=30 °，∴OP=2OA=2 ，∵ OP=2t ，∴t=1 ；如图 2 ，当∠APB=90 °，过P作 PD⊥ AB ，∵∠ OPD=120°﹣ 90 ° =30 °，1， PD=OP?sin ∠ POD=3 t ，∴ OD= OP=t2∴ AD=AO ﹣ OD=1 ﹣ t ，在 Rt △ ABP中，依照勾股定理得：222，即（2+t2+）（2222，+BPAP=AB 3 t ） + （ 3 t ）+ （ 1﹣ t ）=3﹣331+解得： t=（负值舍去）；8当∠ ABP=90°时，此情况不存在；综上，当 t=1或 t=﹣ABP是直角三角形．1+ 33 时，△82.【答案】（ 1）1秒（ 2）2秒（ 3）不能够【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【剖析】（ 1 ）设x 秒后，△PBQ的面积等于4cm2.此时，AP=xcm ， PB= （ 5-x） cm ， BQ=2xcm ，由 S△PBQ= 1PB BQ 4 得15 - x 2 x 4，22整理得 x 240，解得 x12 5x=1 ，x=4.当 x=4 时， 2x=8>7 ，不合要求.所以 1 秒后，△PBQ的面积等于 4cm2.（ 2 ）设x 秒后，PQ的长度等于5cm.33 / 4由 PB2 +BQ 2=52 得（5-x）2+（2x）2=52整理得 x2-2x=0，解得x1=0（舍去），x2=2.经检验，x=2吻合要求，所以 2 秒后，PQ的长度等于5cm.（ 3 ）不能够.原由：设x秒后，△PBQ的面积等于7cm2 ，12x 7 ，由题意得5- x2， 25-28-3 0，整理得 x2-5x+7=0此方程无解，所以△的PBQ面积不能能等于 7cm2.3.【答案】 t=2或t5 5 或 t 5 - 5【考点】该题观察的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【剖析】过点 P 作 PG⊥ OC，垂足为 G.在 Rt △ POG中，∵∠POG=45 °，∴∠OPG=45 °，∵ OP= 2t，∴OG=PG=t ，∴点P（ t ， t ），又∵Q（ 2t ， 0 ），B（ 6,2 ），依照勾股定理可得PB2= （ 6-t ） 2+ （ 2-t） 2 ， QB2= （ 6-2t） 2+22，PQ2= （ 2t-t） 2+t2=2t2.在 P、Q 搬动过程中，始PQ终与 OD 垂直，简单得知∠不BPQ可能等于 90 °.①若∠ PQB=90°，则有PQ2+QB2=PB2，即2t2+[ （ 6-2t ） 2+22]=（ 6-t ） 2+ （ 2-t） 2 ，整理得 4t2-8t=0，解t得1=0 （舍去），t2 =2 ，∴ t=2.②若∠ PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2，∴ [ （ 6-t） 2+ （ 2-t） 2]+[（ 6-2t） 2+22]=2t2，整理得 t2-10t+20=0，解t=5得±5 .∴当 t=2 或t5 5 或 t 5- 5 时，△PQB为直角三角形.44 / 4。

专题一元二次方程中的动点问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一元二次方程中的动点问题所有类型！一．填空题（共7小题）1．（2022•峨边县模拟）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒√2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为时，△PQB为直角三角形．2．（2022春•衢江区校级期末）如图，B是AC上一点，且BC＝6cm，AB＝4cm，射线BD⊥AC，垂足为B，动点M从A出发以2cm/s的速度沿着AC向C运动，同时动点N从B出发以3cm/s的速度沿着射线BD向cm2，两动点运动了t（s），则t的值为．下运动，连接MN．当△BMN的面积为323．（2022•临清市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以√2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t＝秒时，S1＝2S2．4．（2022•于洪区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC ＝14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以2√2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t为秒时，△BQP的面积为24cm2．5．（2022秋•惠来县月考）如图，已知AB⊥BC，AB＝12cm，BC＝8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为秒．6．（2022秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过s后，P，Q两点之间相距25cm．7．（2022秋•渭滨区期中）如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当时间为时，点P和点Q之间的距离是10cm．二．解答题（共23小题）8．（2022秋•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：（1）若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？（2）是否存在这样的t值，使△APQ的面积为2√3cm2？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．9．（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？10．（2022春•淄川区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD ＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A 时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？11．（2022•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为√6cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？12．（2022秋•射阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），设点P运动时间为t秒．（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm．13．（2022春•铜山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．问：（1）几秒时△PBQ的面积等于8cm2；（2）几秒时△PDQ的面积等于28cm2；（3）几秒时PQ⊥DQ．14．（2022•宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．15．（2022春•嘉兴期末）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t＝1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t＝以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）16．（2022秋•皇姑区校级月考）（1）求x2+6x+1的最小值；（2）求﹣2x2+6x+1的最大值；（3）如图，已知AB＝8，P上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，设AP＝x，直接用含有x的代数式表示MN2，并直接写出MN2的最小值．17．（2022秋•宽城区校级月考）如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连接PQ、AC、CP、CQ．（1）点P到点C时，t＝；当点Q到终点时，PC的长度为；（2）用含t的代数式表示PD的长；（3）当三角形CPQ的面积为9时，求t的值．18．（2022春•大庆期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC＝8cm，BD＝6cm，动点M从A出发沿AC方向以每秒2cm C，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几秒钟时，△MON的面积为菱形ABCD面积的11219．（2022秋•海州区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝5cm，动点P以√2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动时间为ts（0＜t＜5）．在P、Q两点移动的过程中，PQ的长度能否等于√10cm？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．20．（2022•曹县二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝1cm，AB＝3cm，BC＝5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？21．（2022秋•天宁区月考）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求点Q的坐标；个平方单位？（2）当t为何值时，△APQ的面积为24522．（2022秋•镇江期中）在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C移动，点P运动到点B时，点Q也停止运动，几秒钟后△PQC的面积等于16cm2？23．（2022秋•丹阳市校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝10cm，点P从点A出发沿射线AB以1cm/s的速度做直线运动，点Q从点C出发沿射线BC以2cm/s的速度做直线运动．如果P，Q分别S△ABC？从A，B同时出发，经过几秒，S△PCQ=122524．（2022春•萧山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．有一动点P从B 点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm/s，在P点出发后2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC 方向移动，速度是1cm/s．若设P出发后时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段AQ、PC的长度，并写出相应的t的取值范围．（2）连接AP、PQ，求使△APQ面积为3cm2时相应的t的值．（3）问是否存在这样的时间t，使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．25．（2022秋•营山县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，问几秒钟时△PBQ的面积等于8cm226．（2022秋•淮安校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？27．（2022秋•武侯区期末）如图，AB＝200cm，O为AB的中点，OE⊥AB，P从A点以2cm/s的速度向B 运动，点Q从O点以3cm/s的速度运动向E运动，当P、Q两点运动多少时间时，△POQ的面积为1800cm2？28．（2022春•永嘉县期中）附加题（1）试用一元二次方程的求根公式，探索方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根互为相反数的条件是．=．（2）已知x、y为实数，√3x−2+y2−4y+4=0，则xy（3）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90度，BC＝16，AD＝21，DC＝12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；②当t为何值时，以B、P、Q29．（2022秋•驻马店期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点F是CD延长线上一点，且DF＝2cm．点P、Q分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向终点B运动，当一点运动到终点B时，另一点也停止运动．FP、FQ分别交AD于E、M两点，连接PQ、AC，设运动时间为t（s）．（1）用含有t的代数式表示DM的长；（2）设△FCQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）线段FQ能否经过线段AC的中点？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）设△FPQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并回答：在t的取值范围内，S是如何随t的变化而变化的？30．（2022春•文登区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从A出发向C 以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．？（1）几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的18（2）填空：①点经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上．②点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．专题一元二次方程中的动点问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一元二次方程中的动点问题所有类型！一．填空题（共7小题）1．（2022•峨边县模拟）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒√2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为2或5+√5或5−√5时，△PQB为直角三角形．【分析】要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB＝90°或∠PBQ＝90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，再分别就∠PQB＝90°和∠PBQ＝90°讨论，求出符合题意的t值即可；【解答】解：作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，∵∠POQ＝45°，∴∠OPG＝45°，∵OP=√2t，∴OG＝PG＝t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得：PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，①若∠PQB＝90°，则有PQ2+BQ2＝PB2，即：2t2+[（6﹣2t）2+22]＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，整理得：4t2﹣8t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝2，∴t＝2，②若∠PBQ＝90°，则有PB2+QB2＝PQ2，∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]＝2t2，整理得：t 2﹣10t +20＝0，解得：t ＝5±√5．∴当t ＝2或t ＝5+√5或t ＝5−√5时，△PQB 为直角三角形．故答案为：2或5+√5或5−√5．2．（2022春•衢江区校级期末）如图，B 是AC 上一点，且BC ＝6cm ，AB ＝4cm ，射线BD ⊥AC ，垂足为B ，动点M 从A 出发以2cm /s 的速度沿着AC 向C 运动，同时动点N 从B 出发以3cm /s 的速度沿着射线BD 向下运动，连接MN ．当△BMN 的面积为32cm 2，两动点运动了t （s ），则t 的值为 2−√22或2+√22或2+√62 ．【分析】分0＜t ＜2及2＜t ≤5两种情况考虑，当0＜t ＜2时，BM ＝（4﹣2t ）cm ，BN ＝3tcm ，根据△BMN 的面积为32cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值；当2＜t ≤5时，BM ＝（2t ﹣4）cm ，BN ＝3tcm ，根据△BMN 的面积为3cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：当0＜t ＜2时，BM ＝（4﹣2t ）cm ，BN ＝3tcm ，∴12（4﹣2t ）•3t =32，整理得：2t 2﹣4t +1＝0，解得：t 1=2−√22，t 2=2+√22；当2＜t ≤5时，BM ＝（2t ﹣4）cm ，BN ＝3tcm ，∴12（2t ﹣4）•3t =32，整理得：2t 2﹣4t ﹣1＝0，解得：t 3=2−√62（不合题意，舍去），t 4=2+√62． 综上所述，t 的值为2−√22或2+√22或2+√62． 故答案为：2−√22或2+√22或2+√62．3．（2022•临清市一模）在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16cm ，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A →D 方向以√2cm /s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间为t 秒，则t ＝ 6 秒时，S 1＝2S 2．【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S 1和S 2，然后根据S 1＝2S 2，即可列方程求解．【解答】解：∵Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16cm ，AD 为BC 边上的高，∴AD ＝BD ＝CD ＝8√2cm ，又∵AP =√2t ，则S 1=12AP •BD =12×8√2×√2t ＝8t ，PD ＝8√2−√2t ， ∵PE ∥BC ，∴∠AEP ＝∠C ＝45°，∠APE ＝∠ADC ＝90°，∴∠P AE ＝∠PEA ＝45°∴PE ＝AP =√2t ，∴S 2＝PD •PE ＝（8√2−√2t ）•√2t ，∵S 1＝2S 2，∴8t ＝2（8√2−√2t ）•√2t ，解得：t ＝6或0（舍弃）故答案是：6．4．（2022•于洪区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝6cm ，AB ＝8cm ，BC ＝14cm ．动点P 、Q 都从点C 同时出发，点P 沿C →B 方向做匀速运动，点Q 沿C →D →A 方向做匀速运动，当P 、Q 其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P 以1cm /s 速度运动，点Q 以2√2cm /s 的速度运动，连接BQ 、PQ ．当时间t 为 2 秒时，△BQP 的面积为24cm 2．【分析】由于点P 在线段CB 上运动，而点Q 沿C →D →A 方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：①点Q 在CD 上；②点Q 在DA 上．针对每一种情况，都可以过Q 点作QG ⊥BC 于G ．由于点P 、Q 运动的时间为t （s ），可用含t 的代数式分别表示BP 、QG 的长度，然后根据三角形的面积公式列出S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围，根据面积为24cm 2，列出方程，解方程并结合t 的范围取舍．【解答】解：如图1，过D 点作DH ⊥BC ，垂足为点H ，则有DH ＝AB ＝8cm ，BH ＝AD ＝6cm ．∴CH ＝BC ﹣BH ＝14﹣6＝8cm ．在Rt △DCH 中，∠DHC ＝90°，∴CD =√DH 2+CH 2=8√2cm ．当点P 、Q 运动的时间为t （s ），则PC ＝t ．①如图1，当点Q 在CD 上时，过Q 点作QG ⊥BC ，垂足为点G ，则QC ＝2√2t ．又∵DH ＝HC ，DH ⊥BC ，∴∠C ＝45°．∴在Rt △QCG 中，QG ＝QC •sin ∠C ＝2√2t ×sin45°＝2t ．又∵BP ＝BC ﹣PC ＝14﹣t ，∴S △BPQ =12BP ×QG =12（14﹣t ）×2t ＝14t ﹣t 2． 当Q 运动到D 点时所需要的时间t =2√2=√22√2=4．∴S ＝14t ﹣t 2（0＜t ≤4），当S ＝24时，14t ﹣t 2＝24，解得：t 1＝2，t 2＝12（舍）． ②如图2，当点Q 在DA 上时，过Q 点作QG ⊥BC ，垂足为点G ，则：QG ＝AB ＝8cm ，BP ＝BC ﹣PC ＝14﹣t ，∴S △BPQ =12BP ×QG =12（14﹣t ）×8＝56﹣4t ． 当Q 运动到A 点时所需要的时间t =2√2=√2+62√2=4+3√22． ∴S ＝56﹣4t （4＜t ≤4+3√22）， 当S ＝24时，56﹣4t ＝24，解得：t ＝8＞4+3√22，舍去， 综上，当t ＝2时，S ＝24，故答案为：2．5．（2022秋•惠来县月考）如图，已知AB ⊥BC ，AB ＝12cm ，BC ＝8cm ．一动点N 从C 点出发沿CB 方向以1cm /s 的速度向B 点运动，同时另一动点M 由点A 沿AB 方向以2cm /s 的速度也向B 点运动，其中一点到达B 点时另一点也随之停止，当△MNB 的面积为24cm 2时运动的时间t 为 2 秒．【分析】根据题意可知CN ＝tcm ，AM ＝2tcm ，进而可得出BN ＝（8﹣t ）cm ，BM ＝（12﹣2t ）cm ，根据△MNB 的面积为24cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：根据题意可知CN ＝tcm ，AM ＝2tcm ，∴BN ＝（8﹣t ）cm ，BM ＝（12﹣2t ）cm ，∵△MNB 的面积为24cm 2，∴12×（12﹣2t ）×（8﹣t ）＝24， 整理得：t 2﹣14t +24＝0，解得：t 1＝2，t 2＝12（不合题意，舍去）．故答案为：2．6．（2022秋•兰山区期末）如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝30cm ，BC ＝25cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动，速度是2cm /s ；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 方向运动，速度是1cm /s ，则经过10 s 后，P ，Q 两点之间相距25cm ．【分析】设x 秒后P 、Q 两点相距25cm ，用x 表示出CP 、CQ ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设x 秒后P 、Q 两点相距25cm ，则CP ＝2xcm ，CQ ＝（25﹣x ）cm ，由题意得，（2x ）2+（25﹣x ）2＝252，解得，x 1＝10，x 2＝0（舍去），则10秒后P 、Q 两点相距25cm ．故答案是：10．7．（2022秋•渭滨区期中）如图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 出发，以3cm /s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm /s 的速度向点D 运动，当时间为 85s 或245s 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ．【分析】设当t 秒时PQ ＝10cm ，利用勾股定理得出即可．【解答】解：设当时间为t 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ，过点Q 作ON ⊥AB 于点N ，则QC ＝2tcm ，PN ＝（16﹣5t ）cm ，故62+（16﹣5t ）2＝100，解得：t 1=85，t 2=245， 即当时间为85s 或245s 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ，故答案为：85s 或245s ．二．解答题（共23小题）8．（2022秋•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC 的边长为6cm ，点P 从点A 出发，沿A →C →B 的方向以2cm /s 的速度向终点B 运动，同时点Q 从点B 出发，沿B →A 的方向以1cm /s 的速度向终点A 运动．当点P 运动到点B 时，两点均停止运动．运动时间记为ts ，请解决下列问题：（1）若点P 在边AC 上，当t 为何值时，△APQ 为直角三角形？（2）是否存在这样的t 值，使△APQ 的面积为2√3cm 2？若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点P 在边AC 上时，由题意知AP ＝2t ，AQ ＝6﹣t ，再分∠APQ ＝90°和∠AQP ＝90°两种情况分别求解即可；（2）分点P 在边AC 上和点P 在边AC 上两种情况，表示出S △APQ ，再根据△APQ 的面积为2√3cm 2列出关于t 的方程，解之即可．【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形∴AB ＝BC ＝CA ＝6，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，当点P 在边AC 上时，由题意知，AP ＝2t ，AQ ＝6﹣t ，当∠APQ ＝90°时，AP =12AQ ，即2t =12（6﹣t ），解得t ＝1.2，当∠AQP ＝90°时，AQ =12AP ，即6﹣t =12×2t ，解得t ＝3，所以，点P 在边AC 上，当t 为1.2s 或3s 时，△APQ 为直角三角形；（2）存在，①当点P 在边AC 上时，此时0≤t ≤3，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，在Rt △APD 中，∠A ＝60°，AP ＝2t ，∴sin A =PD AP ，即sin60°=PD 2t =√32， ∴PD =√3t ，S △APQ =12AQ •PD =12（6﹣t ）•√3t ，由12（6﹣t ）•√3t =2√3得t 1=3+√5(不合题意，舍去)，t 2=3−√5； ②当点P 在边BC 上时，此时3≤t ≤6，如图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，在Rt △BPF 中，∠B ＝60°，BP ＝12﹣2t ，∴sin B =PF BP ，即sin60°=PF 12−2t =√32， ∴PF =√3(6−t)，S △APQ =12AQ •PF =12（6﹣t ）•√3(6−t)，由12（6﹣t ）•√3(6−t)=2√3得t 1＝4，t 2＝8（不合题意，舍去），因此，当t 的值是(3−√5)s 或4s 时，△APQ 的面积为2√3cm 2．9．（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12cm ，BC ＝24cm ，动点P 从点A 出发沿边AB 向点B 以2cm /s 的速度移动，同时动点Q 从点B 出发沿边BC 向点C 以4cm /s 的速度移动，当P 运动到B 点时P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为ts ．（1）BP ＝ （12﹣2t ） cm ；BQ ＝ 4t cm ；（用t 的代数式表示）（2）D 是AC 的中点，连接PD 、QD ，t 为何值时△PDQ 的面积为40cm 2？【分析】（1）根据速度×时间＝路程列出代数式即可；（2）如图，过点D 作DH ⊥BC 于H ，利用三角形中位线定理求得DH 的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）根据题意得：AP ＝2tcm ，BQ ＝4tcm ，所以BP ＝（12﹣2t ）cm ，故答案是：（12﹣2t ）；4t ；（2）如图，过点D 作DH ⊥BC 于H ，∵∠B ＝90°，即AB ⊥BC ．∴AB ∥DH ．又∵D 是AC 的中点，∴BH =12BC ＝12cm ，DH 是△ABC 的中位线． ∴DH =12AB ＝6cm ． 根据题意，得12×12×24−12×4t ×（12﹣2t ）−12×（24﹣4t ）×6−12×2t ×12＝40， 整理，得t 2﹣6t +8＝0．解得：t 1＝2，t 2＝4，即当t ＝2或4时，△PBQ 的面积是40cm 2．10．（2022春•淄川区期中）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝16，CD ＝12，AD ＝21．动点P 从点D 出发，沿线段DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动．点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点P 运动到点A 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t （s ），当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形为等腰三角形？【分析】以B ，P ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB ＝PQ 时，当PQ ＝BQ 时，当BP ＝BQ 时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．【解答】解：如图1，当PB ＝PQ 时，作PE ⊥BC 于E ，∴EQ =12BQ ， ∵CQ ＝t ，∴BQ ＝16﹣t ，∴EQ ＝8−12t ，∴EC ＝8−12t +t ＝8+12t ． ∴2t ＝8+12t ．解得：t =163．如图2，当PQ ＝BQ 时，作QE ⊥AD 于E ，∴∠PEQ ＝∠DEQ ＝90°，∵∠C＝∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°，∴四边形DEQC是矩形，∴DE＝QC＝t，∴PE＝t，QE＝CD＝12．在Rt△PEQ中，由勾股定理，得PQ=√t2+144．16﹣t=√t2+144，解得：t=72；如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E，∵CQ＝t，∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t，∵PD＝2t，∴CE＝2t，∴BE＝16﹣2t，在Rt△BEP中，（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2，3t2﹣32t+144＝0，△＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，故方程无解．综上所述，t=163或72时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．11．（2022•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为√6cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【分析】（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为√6cm，根据勾股定理列式求解即可；（2）设经过y秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由三角形的面积公式列式并求解即可；（3）分三种情况列方程求解即可：①点P在线段AB上，点Q在射线CB上；②点P在线段AB上，点Q 在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上．【解答】解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为√6cm，则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），∵AB＝6cm，BC＝8cm∴PB＝（6﹣x）（cm），∵在△ABC中，∠B＝90°∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6化简得：5x2﹣12x+30＝0∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0∴点P，Q之间的距离不可能为√6cm．（2）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：1（6﹣x）•2x＝82解得：x1＝2，x2＝4检验发现x1，x2均符合题意∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上设经过m秒，0＜m≤4，依题意有1（6﹣m）（8﹣2m）＝12∴m2﹣10m+23＝0解得；m1＝5+√2（舍），m2＝5−√2∴m＝5−√2符合题意；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上设经过n秒，4＜n≤6，依题意有1（6﹣n）（2n﹣8）＝12∴n2﹣10n+25＝0解得n1＝n2＝5∴n＝5符合题意；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上设经过k秒，k＞6，依题意有1（k﹣6）（2k﹣8）＝12解得k1＝5+√2，k2＝5−√2（舍）∴k＝5+√2符合题意；∴经过（5−√2）秒，5秒，（5+√2）秒后，△PBQ的面积为1cm2．12．（2022秋•射阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），设点P运动时间为t秒．（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm．【分析】（1）根据矩形的对边相等得到AP＝PQ，由时间×速度＝路程求得线段AP、PQ的长度，然后等量关系AP＝PQ列出方程并解答；（2）过点P作PE⊥CD于点E，利用勾股定理列出关于t的方程，通过解方程求得答案．【解答】解：（1）∵四边形APQD为矩形，∴AP＝PQ，∴2t＝6﹣t，∴3t＝6，∴t＝2．（2）过点P作PE⊥CD于点E，∵∠A＝∠D＝∠DEP＝90°，∴四边形APED是矩形．∴AP＝DE＝2t，∴EQ＝CD﹣DE﹣CQ＝6﹣3t，在Rt△PQE中，PE2+EQ2＝PQ2，即（6﹣3t）2＝9，解得t1＝1，t2＝3，答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．13．（2022春•铜山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．问：（1）几秒时△PBQ的面积等于8；（2）几秒时△PDQ的面积等于28cm2；（3）几秒时PQ⊥DQ．【分析】（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8cm2列式求值即可；（2）设出发秒x时△DPQ的面积等于28平方厘米，根据三角形的面积公式列出方程，再解方程即可；（3）如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出BPCQ =BQCD，再设AP＝x，QB＝2x，得出6−x12−2x =2x6，求出x即可．【解答】解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm2．则AP＝x，QB＝2x．∴PB＝6﹣x．∴12×（6﹣x）2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2；（2）设出发秒x时△DPQ的面积等于28cm2．∵S矩形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ＝S△DPQ∴12×6−12×12x−12×2x（6﹣x）−12×6×（12﹣2x）＝28，化简整理得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，答：2秒或4秒后△PDQ的面积等于28cm2；（3）设x秒后PQ⊥DQ时，则∠DQP为直角，∴△BPQ∽△CQD，∴BPCQ =BQCD，设AP＝x，QB＝2x．∴6−x12−2x =2x6，∴2x2﹣15x+18＝0，解得：x=32或6，经检验x=32是原分式方程的根，x＝6不是原分式方程的根，当x＝6时，P点到达B点、Q点到达C点，此时PQ⊥DQ．答：32秒或6秒后PQ⊥DQ．14．（2022•宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．【解答】解：（1）点P 从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s ，点Q 从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s ，∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm ，答：点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是9cm ；（2）在运动过程中，△APQ 的面积能等于22cm 2，当P 从点B 运动到点C 的过程中，设点P 运动时间为as ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2，∴12×6−2a×62−(12−2a)×a 2−(6−a)×122=22，解得，此方程无解；当点P 从C 到D 的过程中，设点P 运动的时间为（b +6）s ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2，∴12×6−(6+2b)×122−b(6−2b)2=22，解得，b 1＝1，b 2＝14（舍去），即需运动6+1＝7s ，△APQ 的面积能等于22cm 2．15．（2022春•嘉兴期末）如图，长方形ABCD （长方形的对边相等，每个角都是90°），AB ＝6cm ，AD ＝2cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以2厘米/秒的速度向终点B 移动，点Q 以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t ，问：（1）当t ＝1秒时，四边形BCQP 面积是多少？（2）当t 为何值时，点P 和点Q 距离是3cm ？（3）当t ＝ 3+√72，3−√72，65，−6+2√333． 以点P 、Q 、D 为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）【分析】（1）如图1，当t＝1时，就可以得出CQ＝1cm，AP＝2cm，就有PB＝6﹣2＝4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD 于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ＝DQ时，如图4，当PD＝PQ时，如图5，当PD＝QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵CQ＝1cm，AP＝2cm，∴AB＝6﹣2＝4cm．=5cm2．∴S=2(1+4)2答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝9，解得：t=6±√5．3如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ＝90°．∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．∵CQ ＝t ，∴QE ＝t ﹣（6﹣2t ）＝3t ﹣6在Rt △PEQ 中，由勾股定理，得（3t ﹣6）2+4＝9，解得：t =6±√53． 综上所述：t =6−√53或6+√53；（3）如图3，当PQ ＝DQ 时，作QE ⊥AB 于E ，∴∠PEQ ＝90°，∵∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形BCQE 是矩形，∴QE ＝BC ＝2cm ，BE ＝CQ ＝t ．∵AP ＝2t ，∴PE ＝6﹣2t ﹣t ＝6﹣3t ．DQ ＝6﹣t ．∵PQ ＝DQ ，∴PQ ＝6﹣t ．在Rt △PQE 中，由勾股定理，得（6﹣3t ）2+4＝（6﹣t ）2，解得：t =3±√72． 如图4，当PD ＝PQ 时，作PE ⊥DQ 于E ，∴DE ＝QE =12DQ ，∠PED ＝90°． ∵∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形BCQE 是矩形，∴PE ＝BC ＝2cm ．∵DQ ＝6﹣t ，∴DE =6−t 2． ∴2t =6−t 2，解得：t =65；如图5，当PD ＝QD 时，∵AP ＝2t ，CQ ＝t ，∴DQ ＝6﹣t ，∴PD ＝6﹣t ．在Rt △APD 中，由勾股定理，得4+4t 2＝（6﹣t ）2，解得t 1=−6+2√333，t 2=−6−2√333（舍去）． 综上所述：t =3+√72，3−√72，65，−6+2√333． 故答案为：3+√72，3−√72，65，−6+2√333．16．（2022秋•皇姑区校级月考）（1）求x 2+6x +1的最小值；（2）求﹣2x 2+6x +1的最大值；（3）如图，已知AB ＝8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP ＝60°，M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，当点P 在线段AB 上移动时，设AP ＝x ，直接用含有x 的代数式表示MN 2，并直接写出MN 2的最小值．【分析】（1）将代数式配方，由于二次项系数大于0，代数式有最小值，根据配方式可得最小值；（2）将代数式配方，由于二次项系数小于0，代数式有最大值，根据配方式可得最大值；（3）连接PM 、PN ．首先证明∠MPN ＝90°，设P A ＝x ，则PB ＝8﹣x ，PM =12x ，PN =√3（4−12x ），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）x 2+6x +1＝（x +3）2﹣8，当x ＝﹣3时，x 2+6x +1有最小值，最小值是﹣8；（2）﹣2x 2+6x +1＝﹣2（x −32）2+112， 当x =32时，﹣2x 2+6x +1有最大值，最大值是112；（3）连接PM 、PN ．∵四边形APCD ，四边形PBFE 是菱形，∠DAP ＝60°，∴∠APC ＝120°，∠EPB ＝60°，∵M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，∴∠CPM =12∠APC ＝60°，∠EPN =12∠EPB ＝30°， ∴∠MPN ＝60°+30°＝90°，设P A ＝x ，则PB ＝8﹣x ，PM =12x ，=√3（4−12x ），MN 2＝（12x ）2+[√3（4−12x ）]2＝x 2﹣12x +48＝（x ﹣6）2+12， ∴x ＝6时，MN 2有最小值，最小值为12，故答案为：12．17．（2022秋•宽城区校级月考）如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4．点P 从点A 出发，沿A →D →C →D 运动，速度为每秒2个单位长度；点Q 从点A 出发向点B 运动，速度为每秒1个单位长度．P 、Q 两点同时出发，点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动，设点Q 的运动时间为t （秒）．连接PQ 、AC 、CP 、CQ ．（1）点P 到点C 时，t ＝ 6 ；当点Q 到终点时，PC 的长度为 4 ；（2）用含t 的代数式表示PD 的长；（3）当三角形CPQ 的面积为9时，求t 的值．。