高二数学 7.4简单的线性规划(第一课时)大纲人教版必修

简单的线性规划（第一课时）二元一次不等式表示平面区域教学目的：1．理解二元一次不等式表示平面区域；2．掌握确定二元一次不等式表示的平面区域的方法；3．会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，并掌握步骤；教学重点：二元一次不等式表示平面区域.教学难点：如何确定二元一次不等式表示的平面区域。

教学过程：【创设问题情境】问题1：在平面直角坐标系中，二元一次方程x+y-1=0表示什么图形？请学生画出来.问题2：写出以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合(引出点集{(x,y) x+y-1=0})问题3:点集{(x,y) x+y-1≠0}在平面直角坐标系中表示什么图形？点集{(x,y) x+y-1>0}与点集{(x,y) x+y-1>0}又表示什么图形呢?【讲授新课】研究问题:在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1>0}是什么图形?一、归纳猜想在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y-1=0分成三类：即在直线x+y-1=0在直线x+y-1=0的左下方的平面区域内；在直线x+y-1=0的右上方的平面区域内。

问题1:请同学们在平面直角坐标系中，作出A（2,0），B(0,2),C(1,1),D(2,2)四点，并说明它们分别在上面叙述的哪个区域内？问题2：请把A、B、C、D四点的坐标代入x+y-1中，发现所得的值的符号有什么规律？（看几何画板）由此引导学生归纳猜想：对直线l的右上方的点（x，y），x+y-1>0都成立;对直线l左下方的点(x，y),x+y-1<0成立.二、证明猜想如图，在直线x+y-1=0上任取一点P(x过点P作垂直于y轴的直线y= y0,在此直线上点P右侧的任意一点(x,y),都有x> x0, y= y0,所以, x+y> x0+ y0=0,所以, x+y-1> x0+ y0 -1=0,即x+y-1>0,1=0 因为点P(x0,y0)是直线x+y-1=0所以,对于直线x+y-1=0同理, 对直线l: x+y-1=0左下方的点(x,y),x+y-1<0成立所以,在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1>0}是在直线x+y-1=0右上方的平面区域,类似地,在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x+y-1<0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1<0}是在直线x+y-1=0左下方的平面区域.提出:直线-x+y-1=0的两侧的点的坐标代入-x+y-1中,得到的数值的符号,仍然会“同侧同号,异侧异号”吗？通过分析引导学生得出一般二元一次不等式表示平面区域的有关结论.三、一般二元一次不等式表示平面区域结论：在平面直角坐标系中，• （1）二元一次不等式Ax +By +C >0表示直线Ax +By +C =0某一侧所 • 有点组成的平面区域,Ax +By +C <0则表示直线另一侧所有点组成 • 的平面区域; (同侧同号,异侧异号) （2）有等则实,无等则虚;（3）试点定域,原点优先.四、例题：例1:画出不等式x -y +5>0表示的平面区域;分析：先作出直线x -y +5=0为边界（画成实线），再取原点验证不等式x -y +5>0所表示的平面区域.解:先画直线x -y +5=0为边界（画成实线），再取原点（0，0）代入x -y +5中，因为0-0+5>0,所以原点在不等式x -y +5>0所表示的平面区域内,不等式表示的区域如图所示.(看幻灯片)反思归纳:(1)画线定界(注意实、虚线);(2)试点定域.【随堂练习】（1）画出不等式x +y >0表示的平面区域；（2）画出不等式x ≤3表示的平面区域. （让学生完成） 例2：画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,05x y x y x 表示的平面区域.x -y分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

【本讲教育信息】一. 教学内容：简单的线性规划二. 重点、难点：1. 二元一次不等式的区域（1）在平面直角坐标系中，所有的点被直线x ＋y －1＝0分成三类，即点在直线上，点在直线的上方区域，点在直线的下方区域。

{}（）集合表示的图形是直线右上方的所有点。

210(,)|x y x y +->{}（）集合表示的图形是直线左下方的所有点。

310(,)|x y x y +-< 一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。

注意：在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时画成实线。

（4）区域判断方法是：特殊点法。

2. 线性规划：（1）约束条件、线性约束条件：变量x 、y 满足的一组条件叫做对变量x 、y 的约束条件，如果约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，则约束条件又称为线性的约束条件。

（2）目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做目标函数。

如果解析式是x 、y 的一次解析式，则目标函数又称线性目标函数。

（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

（4）可行域：满足线性约束条件的解（x 、y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

（5）最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解。

3. 解线性规划应用问题的一般方法和步骤： （1）理清题意，列出表格。

（2）设好变元并列出不等式组和目标函数、约束条件。

（3）准确作图，准确计算。

【典型例题】例1. 画出不等式表示的平面区域。

-+-<x y 240 解：先画直线（画成虚线）-+-=x y 240 取原点（，），代入O x y 0024-+-因为，所以原点在表示的平面区域内。

02040240+⨯-<-+-<x y 不等式表示的区域如图所示。

简单的线性规划（一）_高二数学教案_模板教学目标（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．教学建议一、知识结构教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．三、教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．线性规划教学设计方案（一）教学目标使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．重点难点了解二元一次不等式表示平面区域．教学过程（）【引入新课】我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】1．先分析一个具体的例子我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域．由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实．在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴于是所以因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，都成立同理，对于直线左下方的任意点，都成立所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点．是直线右上方的平面区域（如图）类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域．2．二元一次不等式和表示平面域．（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．（2）判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．【应用举例】例1 画出不等式表示的平面区域解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，∴∴原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分．例2 画出不等式组表示的平面区域分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．（1）（2）（3）（4）（5）总结提炼1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．布置作业1．不等式表示的区域在的（）．A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方2．不等式表示的平面区域是（）．3．不等式组表示的平面区域是（）．4．直线右上方的平面区域可用不等式表示．5．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．6．画出表示的区域．答案：1．B 2．D 3．B 4．5．（－1，－1）6．研究北师大数学《统计》教学设计教学内容:本节课的内容为北师大版数学实验教材二年级上册第九单元《统计与猜测》第一学时。

高二数学 7.4简单的线性规划(备课资料)大纲人教版必修一、平面区域问题在直角坐标平面内，直线l可以用二元一次方程Ax+By+C=0来表示，点P(x0,y0)在直线l上的充要条件是Ax0+By0+C=0；若点P不在直线l上，则Ax0+By0+C＞0或Ax0+By0+C＜0，二者必居其一、直线l：Ax+By+C=0将平面划分为两个半平面Ax+By+C＞0和Ax+By+C＜0，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式、要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如取原点或坐标轴上的点来检验、另外，还可证明如下结论：（1）若A＞0，则Ax+By+C＞0表示直线l:Ax+By+C=0右侧的半平面，Ax+By+C＜0表示直线l左侧的半平面、（2）若B＞0，则Ax+By+C＞0表示直线l:Ax+By+C=0上方的半平面，Ax+By+C＜0表示直线l下方的半平面、［例1］在直角坐标平面上有两个区域M和N、M是由y≥0，y≤x和y≥z-x这三个不等式确定的、N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1的确定，t的取值范围是0≤t≤1、设M和N的公共面积是函数f(t)，求证：f(t)=-t2+t+、导析：这是一个基本问题，关键是确定M和N的公共部分的形状、可先让学生自行画出M、N这两个区域，然后再作判断、如图所示，依题意，区域M是图中△AOB,区域N是直线x=t与x=t+1(0≤t≤1)之间的带形域、M和N的公共部分为图中的阴影部分五边形ACDEF（包括边界）、关于五边形ACDEF面积的计算，可引导学生从下面三个途径去考虑：（1）△AOB的面积减去Rt△ODC、Rt△BEF的面积；（2）过A作x轴的垂线，将其划分为两个直角梯形来计算；（3）连结CF，将其划分为一个直角三角形CAF和一个直角梯形CDEF去求解、［例2］已知实数x、y满足2x+y≥1，求u=x2+y2+4x-2y的最小值、导析：注意到所求式的结构特点，学生容易想到将其作如下的配方变形、u=(x+2)2+(y-1)2-5显然，(x+2)2+(y-1)2表示点P（x,y)与定点A（-2,1)的距离的平方、由约束条件2x+y≥1知，点P（x，y）在直线l：2x+y=1的右上方区域G、于是，问题转化为求定点A（-2，1）到区域G的最近距离、由图知，点A到直线l的距离为A到区域G 中点的距离的最小值、d=∴d2=、故umin=d2-5=-、说明：这是一个条件最值问题，由于所求式呈现出两点间距离的特点，所以我们应用了等价转化的思想，应用解析法使问题得到巧妙地解决、［例3］设实数x、y满足不等式组（1）求点(x,y)所在的平面区域；（2）设a＞-1，在（1）所求的区域内，求函数f(x,y)=y-ax 的最值、导析：必须使学生明确，求点(x,y)所在的平面区域，关键是确定区域的边界线，可从去掉绝对值符号入手、（1）已知的不等式组等价于解得点（x,y)所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界）、其中，AB:y=2x-5;BC:x+y=4;CD:y=-2x+1;DA:x+y=1、（2）f(x,y)表示直线l：y-ax=k在y轴上的截距，且直线l与（1）中所求区域有公共点、∵a＞-1,∴当直线l过顶点C 时，f(x,y)最大、∵C点的坐标为（-3，7），∴f(x,y)的最大值为7+3a、如果-1＜a≤2，那么当直线l过顶点A（2，-1）时，f(x,y)最小，最小值为-1-2a、如果a＞2，那么当直线l过顶点B （3，1）时，f(x,y)最小，最小值为1-3a、说明：由于直线l的斜率为参数a，所以在求截距k的最值时，要注意对参数a进行讨论，方法是将直线l动起来、二、参考例题［例1］不等式2x-y-6＞0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的（）A、左上方B、右上方C、左下方D、右下方分析：因直线2x-y-6=0不过原点，故可取原点（0，0）代入2x-y-6，得20-0-6=-6＜0，在直角坐标系中画出直线2x-y-6=0，结合图形可知与原点同在直线一侧的平面区域表示2x-y-6＜0，故2x-y-6=0右下方表示2x-y-6＞0、解：在直角坐标系中画出直线2x-y-6=0，将原点（0，0）代入直线方程2x-y-6=0即可判定，应选D、［例2］图中阴影部分可用二元一次不等式组表示（）A、B、C、D、分析：结合图形可知，相关联的直线方程分别为x=0，y=-2，2x-y+4=0，再由原点(0,0）代入2x-y+4可知20-0+4=4＞0，故与原点同侧的平面区域表示2x-y+4≥0的区域、解：找出相关直线方程后，将原点（0，0）坐标代入直线方程判定平面区域可知选C、［例3］画出不等式组表示的平面区域图形，并计算它表示的平面区域的面积、分析：分别画出直线x=3,x+y=0，x+5-y=0，再代点判定平面区域、解：在直角坐标系画出直线x=3,x+y=0，x-y+5=0，因原点（0，0）不在直线x-y+5=0上，故将原点（0，0）代入x-y+5可知，原点所在平面区域表示x-y+5≥0部分，因原点在直线x+y=0上，故取（0，1）代入x+y判定可知点（0，1）所在平面区域表示x+y≥0部分，如图所示：解相应的方程组可求出A、B、C三点的坐标分别为（3，8），（-），（3，-3）、为计算△ABC的面积，可将AC作底边，点B作三角形顶点、S△ABC=、［例4］求下面不等式组表示的平面区域内的整点、分析：先画出不等式组所表示的平面区域，再根据图形找出整点、解：如图作直线l1：3x-2y-2=0，l2:x+4y+4=0,l3:2x+y-6=0，分别求出l1与l3的交点A（2，2），l1与l2的交点B（0，-1），l2与l3的交点C（4，-2），直线x=1与边界交于E（1，）、F（1，-），直线x=2与边界交于A（2，2）、G（2，-），直线x=3与边界交于M（3，0）、N（3，-）、由图可看出（1，-1）、（1，0）、（2，1）、（2，0）、（2，-1）、（3，-1）即为所求的整点、［例5］求不等式｜x-2｜+｜y-2｜≤2表示的平面区域的面积、分析一：依绝对值的定义去掉绝对值符号、解法一：｜x-2｜+｜y-2｜≤2作出以上不等式组所表示的平面区域；它是边长为2的正方形，其面积为8、分析二：因｜x-2｜+｜y-2｜=2是｜x｜+｜y｜=2向右、向上各平移2个单位而得到的，利用平移前后不改变图形的大小和形状解题、解法二：｜x-2｜+｜y-2｜≤2是由｜x｜+｜y｜≤2经过向右、向上各平移2个单位得到的，所以｜x-2｜+｜y-2｜≤2表示的平面区域的面积等于｜x｜+｜y｜≤2表示的平面区域的面积，由于｜x｜+｜y｜=2图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域如图所示：的面积为2、故｜x｜+｜y｜≤2的面积为42=8、∴所求面积为8、三、参考练习题1、画出下列不等式表示的平面区域、（1）2x+y-10<0;(2)y≤-2+3、解：（1）先画出直线2x+y-10=0(画成虚线)，取点（1，1），代入2x+y-10,有21+1-10=-7<0∴2x+y-10<0表示的区域是直线2x+y-10=0的左下半平面、如图所示、评述：本题用点（1，1）代入2x+y-10,来判断2x+y-10<0所表示的区域，遵循的是最简化原则、(2)将y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0,首先画出2x+y-3=0（画成实线）、取点（0，0）代入2x+y-3,有20+0-3=-3<0、∴2x+y-3≤0表示的平面区域是直线2x+y-3=0的左下半平面、∴2x+y-3≤0表示的平面区域是直线2x+y-3=0以及左下半平面、如图、评述：本题解答过程中将y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0来处理，其他类似情况，也须同样变形、3、画出下列不等式组表示的平面区域、解：不等式组的解集是x+y≤5，①x-2y≥3，②的解集的交集、①式区域是直线x+y-5=0左下半平面区域并且包括直线x+y-5=0、②式区域是x-2y-3=0的右下半平面区域并且包括直线x-2y-3=0、如图所示、4、画出不等式组表示的平面区域、解：不等式x<3表示直线x=3左侧点的集合、不等式2y≥x即x-2y≤0表示直线x-2y=0上及左上方点的集合、不等式3x+2y≥6即3x+2y-6≥0表示直线3x+2y-6=0上及右上方点的集合、不等式3y<x+9即x-3y+9>0表示直线x-3y+9=0右下方点的集合、综上，不等式组表示的平面区域如图:评述：对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x、y），实数Ax+By+C的符号相同，所以只须在直线某一侧任取一点（x0,y0）代入，由Ax0+By0+C值的符号即可判断出Ax+By+C表示的是直线哪一侧的点集、●备课资料一、简单线性规划问题的向量解法［例1］设z=2x+y，式中变量x，y满足下列条件求z的最大值和最小值、解：画出可行域如图所示中的阴影部分过原点O（0，0）作直线l0:2x+y=0，正法向量为n=(2,1)、当直线2x+y=t沿着正法向量平行移动时，t的值就逐渐增大，当直线2x+y=t通过与可行域的公共点B（1，1）时，目标函数z=2x+y取得最小值zmin=21+3=3；当直线2x+y=t通过与可行域的公共点C（5，2）时，目标函数z=2x+y取得最大值、zmax=25+2=12、［例2］求z=2x-y的最大值和最小值，式中变量x、y满足下列条件求z的最大值和最小值、解：如图所示可行域：过原点O（0，0）作直线l0:2x-y=0,正法向量为n=(2,-1),当直线2x-y=t沿着正法向量方向平行移动时，t的值就逐渐增大；当直线2x-y=t通过与可行域的公共点C（5，2）时，使目标函数z=2x-y 取得最大值为：zmax=25-2=8；当直线2x-y=t沿着负法向量方向平行移动时，t的值就逐渐减小，当直线2x-y=t通过与可行域的公共点A（1，）时，目标函数z=2x-y取得最小值为：zmin=-、这道题若用课本提供的方法，用纵截距来做学生易出错、这是因为由z=2x-y得y=2x-z与例1相比此处z为直线l:y=2x-z的纵截距的相反数，故欲求z的最大值与最小值，需先求出直线系y=2x+t 中与可行域有公共点的直线的纵截距的最小值与最大值，这样一正一反，概念容易混淆而出差错，而用按正法向量方向取最值不会出差错、为了避免这种差错，可以用横截距来做、由z=2x-y得x= (略）、通过例2 n种方法的比较不难看出用正法向量方法解题比较简单，学生容易掌握且不易出错、下面就用正法向量的方法解简单线性规划问题作一个说明、求x、y满足下列约束条件的目标函数z=ax+by的最大值与最小值：我们用符号K表示可行域（为便于说明仅假设可行域是有界的凸多边形），现在的问题是在可行域K中找一点（x0,y0），使ax0+by0达到最大（或最小）、设ax+by=t（把t作为参数）是表示平行直线系、在K中任取一点（x0,y0），使得ax0+by0=t就表示平行直线系中通过（x0,y0）的一条直线，而坐标原点到这直线的距离为d=,这说明把点(x0,y0)的坐标代入目标函数的绝对值正好是坐标原点到这条直线距离的倍（即d)、所以我们要在可行域K中找一点（x0,y0)，使ax0+by0达到最大（或最小）就转化为在直线系ax+by=t中找一条直线，使得这条直线通过可行域中的某一点且这条直线找到原点的距离最大（或最小）、怎样寻找这条直线呢？先作l0:ax+by=0、（1）若l0与K无交点，则让直线系ax+by=t 沿着正法向量方向从l0平行移动到与K有交点，如图，这时t为正且逐渐增大，移动到刚开始进入K且与K相交的那种点，这时原点到这直线的距离达到最小，即目标函数z=ax+by达到最小值zmin=ax0+by0；继续移动到刚开始要离开K但仍与K相交的那种点，这时原点到这直线的距离达到最大，即目标函数z=ax+by达到最大值zmax=ax0+by0、反之，如果让直线系ax+by=t沿着负法向量的方向从l0平行移动到与K刚有交点，如图所示，因为这时t为负且逐渐减小，移动到刚开始进入K且与K相交的那种点，这时原点到直线的距离达到最小，因t为负，此时目标函数达到最大值zmax=ax0+by0，移动到刚开始要离开K但仍与K相交的那种点时，此时直线到原点的距离最大，而目标函数达到最小值zmin=ax0+by0、（2）若l0与K有交点，如图，则直线系从l0开始沿正法向量方向平行移动的为最大值，沿负法向量方向平行移动的为最小值、本文从目标函数的法向量的观点来求最优解，而目标函数的法向量是教材上的阅读材料，不需要补充新的知识，学生理解容易，操作方便且不易出错，是提高学生能力的较好方法、二、参考例题［例1］已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值、分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点、解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组得C（），令t=300x+900y，即y=-,欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距的最大值，从而可求t的最大值，因直线y=-与直线y=-x平行，故作与y=-x的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=3000+900125=、［例2］求z=600x+300y的最大值，使式中的x,y满足约束条件的整数值、分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解、解：可行域如图所示：四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）由方程组：得点C的坐标为（69,91)因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当时，z取最大值为zmax=60070+300900=69000、［例3］已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最小值、分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值、解：不等式x+2y≥2，表示直线x+2y=2上及右上方的点的集合；不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及右上方的点的集合、可行域如图所示：作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t,(t∈R)、∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标、由图可知：当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即zmin=1、●备课资料参考练习题1、某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额成本100015006000运费5004002000产品90100解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则：z=90x+100y作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域：由令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（）时，直线90x+100y=t中的截距最大，由此得出t的值也最大，最大值zmax=90=440、答：工厂每月生产440千克产品、2、某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成、已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张、则目标函数为：z=2x+3y作出可行域：把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值、解方程得M的坐标为（2，3）、答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润、评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解、第 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高中数学《简单的线性规划》说课稿范文一、教材分析：1、教材的地位与作用：线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。

本节内容是在学习了不等式、直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解。

通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。

2、教学重点与难点：重点：画可行域;在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。

难点：在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。

二、目标分析：教材的重点难点：小说的主人公虽然是小英子。

但节选部分主要是写主人公的爸爸对她严中有爱的教育和爸爸去世时她的人生体验，显然爸爸是一个怎样的人显的很重要。

本文的难点在于文章没有正面提及爸爸的病危、濒死，写得很含蓄，但文中处处有伏笔。

在新课标让学生经历“学数学、做数学、用数学”的理念指导下，本节课的教学目标分设为知识目标、能力目标和情感目标。

知识目标：1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行能力培养目标：(1)通过引导学生分析帝国主义国家之间的矛盾，培养学生正确把握矛盾的变化，学会抓住矛盾主要方面的方法。

(2)通过搜集和整合信息，训练学生史论结合，论证问题的能力。

皮亚杰在认知学说中提山：“幼儿在游戏中扩大认识，形成概念，思维变得灵活，能用实物、动作和语言来表现周围世界。

”所以在这一环节中游戏由浅入深：当幼儿问几点时，熊妈妈不回答，只出示数字让大家判断：看到单数，就独自站好不动，看到双数，就找一个同伴相抱。

这个游戏是活动的重点环节，它让幼儿用不同的肢体动作，进一步感受和表现单、双数的不同之处。

游戏的难度加入了，趣味性也更浓厚了，好奇、好动是幼儿的特点，这一环节的游戏使幼儿的情绪高涨，活动的白动性、积极性明显增强。

域和最优解等概念;2、理解线性规划问题的图解法;3、会利用图解法求线性目标函数的最优解.能力目标：1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力。

2019-2020年高二数学 7.4简单的线性规划(第一课时)大纲人教版必修课时安排3课时从容说课本节将要学习线性规划的初步知识，它是直线方程的一个直接应用.主要包括用二元一次不等式表示平面区域和简单的线性规划问题两大部分.通过对本节的学习，首先要学会用二元一次不等式表示平面区域，在“二元一次不等式表示平面区域”中，是使用点集的观点来分析直线，并提出点的集合{（x,y）|x+y-1>0}表示什么图形的问题，即用集合的观点和语言来分析和描述几何图形的问题.其次，还须了解线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.另外，还要了解解决线性规划问题的常用方法之一——图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力.●课题§7.4.1 简单的线性规划（一）●教学目标（一）教学知识点二元一次不等式表示平面区域.（二）能力训练要求会用二元一次不等式表示平面区域.（三）德育渗透目标1.渗透数形结合思想.2.培养学生应用意识.●教学重点二元一次不等式表示平面区域.●教学难点准确画出二元一次不等式（或不等式组）所表示的平面区域.●教学方法讨论法结合前面所学的以二元一次方程的解为坐标的点的集合是一条直线，提出以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是什么图形呢？从而展开师生讨论，让学生加深对二元一次不等式表示平面区域的理解.●教具准备投影片四张第一张：记作§7.4.1 A内容：课本P59图7—22第二张：记作§7.4.1 B内容：课本P60练习1.(1)(2)(3)(4)第三张：记作§7.4.1 C内容：课本P602.画出不等式组表示的平面区域.(1)⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<242y y x x y第四张：记作§7.4.1 D（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<≥+≥<9362323x y y x x y x●教学过程Ⅰ.课题导入通过前几节的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程x +y -1=0的解为坐标的点的集合{(x ,y )｜x +y -1=0}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l ，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合{（x ,y )｜x -y -1＞0}是什么图形呢？Ⅱ.讲授新课［师］在平面直角坐标系中，所有的点被直线x +y -1=0分成三类：（1）在直线x +y -1=0上；（2）在直线x +y -1=0的左下方的平面区域内；（3）在直线x +y -1=0的右上方的平面区域内.即：对于任意一个点（x ,y ），把它的坐标代入x +y -1，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0.若x +y -1=0，则点(x ,y )在直线l 上.我们猜想：对直线l 右上方的点(x ,y )，x +y -1＞0成立；对直线l 左下方的点（x ,y )，x +y -1＜0成立.［师］我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下.不妨，在直线x +y -1=0上任取一点P （x 0,y 0)，过点P 作平行于x 轴的直线y =y 0,在此直线上点P 右侧的任意一点（x ,y ），都有x ＞x 0，y =y 0,所以，x +y ＞x 0+y 0x +y -1＞x 0+y 0-1=0,即x +y -1＞0.再过点P 作平行于y 轴的直线x =x 0，在此直线上点P 上侧的任意一点（x ,y )，都有x =x 0,y ＞y 0.所以，x +y ＞x 0+y 0x +y -1＞x 0+y 0-1=0,即x +y -1＞0.因为点P （x 0,y 0)是直线x +y -1=0上的任意点，所以对于直线x +y -1=0右上方的任意点(x ,y )，x +y -1＞0都成立.同理，对于直线x +y -1=0左下方的任意点（x ,y ），x +y -1＜0都成立.如图所示：所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x +y -1＞0的解为坐标的点的集合{（x ,y )｜x +y -1＞0}是在直线x +y -1=0右上方的平面区域.如图所示：那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x +y -1＜0的解为坐标的点的集合{(x ,y )｜x +y -1＜0}是在直线x +y -1=0左下方的平面区域.总之，二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）［师］下面我们再来看两例子.［例1］画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.解：先画直线2x +y -6=0（画成虚线）.取原点（0，0），代入2x +y -6,∵2×0+0-6=-6＜0,∴原点在2x +y -6＜0表示的平面区域内，不等式2x +y -6＜0表示的区域如图：［例2］画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域.分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解：不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合，x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.（打出投影片§7.4.1 A )［师］结合投影片上的图进行讲解.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域.Ⅲ.课堂练习［生］自练课本P60 1，2.［师］（陆续打出投影片§7.4.1 B、C、D.)结合学生所做进行讲评.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要掌握“二元一次不等式表示平面区域”.注意：（1）Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域不包括边界的直线；（2）Ax+By+C≥0所表示的平面区域包括边界直线Ax+By+C=0.Ⅴ.课后作业（一）课本P65习题7.4 1.（二）1.预习内容：课本P60～P62.2.预习提纲：（1）何为线性规划问题？其相关概念是什么？（2）线性规划有何意义？●板书设计。