2017-2018学年高中数学 第三章 概率 3.2.1 古典概型学案(含解析)新人教A版必修3

3.2.1 古典概型1．基本事件有哪些特征？2．如何判断一个试验是否是古典概型？3．古典概型的概率公式是什么？[例1] 12(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[解] (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A ＝{}a 1，b ，a 2，b ，b ，a 1，b ，a 2. 因为事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23. (2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.[类题通法]解决有序和无序问题应注意两点(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a 1，b )，(b ，a 1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．[活学活用]一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P ＝26＝13. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以，满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316， 故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.[例2](1)头两位数字都是8的概率；(2)头两位数字都不超过8的概率．[解] 电话号码每位上的数字都可以由0,1,2，…，9这十个数字中的任意一个数字组成， 故试验基本事件总数为n ＝108.(1)记“头两位数字都是8”为事件A ，则若事件A 发生，头两位数码都只有一种选法，即只能选8，后六位各有10种选法，故事件A 包含的基本事件数为m 1＝106.所以由古典概型概率公式，得P (A )＝m 1n ＝106108＝1100＝0.01. (2)记“头两位数字都不超过8”为事件B ，则事件B 的头两位数码都有9种选法，即从0～8这9个数字中任选一个，后六位各有10种选法，故事件B 所包含的基本事件数为m 2＝81×106. 所以由古典概型概率公式，得P (B )＝m 2n ＝81×106108＝0.81. [类题通法]解决数字型问题(1)电话号码及密码问题中，每个数字在各个位置出现的机会是相等的，且首位也可以为0.(2)由于此类问题的基本事件数目较大，且很难一一列举，常借助整数的有关性质求解．[活学活用]储蓄卡的密码是一种六位数字号码，每位上的数字可以从0到9这10个数字中任取．(1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按下六位号码正好按对密码的概率是多少？(2)若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字正好按对密码的概率是多少？解：(1)由储蓄卡的密码是六位数字号码，且每位上的数字都有从0到9共10种取法，故这种号码共有106个．由于随意按下一个六位号码，无论按下哪个号码的可能性都是均等的，故正好按对密码的概率P ＝1106. (2)按六位号码的后两位数字共有10×10＝100种按法，随意按下后两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为P ＝1100.[例3] 中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．[解] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3种．所以P (B )＝315＝15. [类题通法]使用古典概型的概率公式的两个关键点(1)审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键．(关键词：不重不漏)(2)编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，可以使问题得以简单地表示，这是解决古典概型问题时主要的解题技巧．(关键词：简单的数字和字母)[活学活用]某iPhone 手机专卖店对某市市民进行iPhone 手机认可度的调查，在已购买iPhone 手机的1 000名市民中，随机抽取100名，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：(1)求频数分布表中x ，y 的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这100名市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iPhone 手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部iPhone 7手机，求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率．解：(1)由频数分布表和频率分布直方图可知，⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋x ＋35＋y ＋10＝100，0.04×5×100＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝20，y ＝30.频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30，对应的频率组距为30100×5＝0.06，所以补全的频率分布直方图如下：(2)由频数分布表知，在抽取的5人中，年龄在[25,30)内的市民的人数为5×525＝1，记为A 1，年龄在[30,35)内的市民的人数为5×2025＝4，分别记为B 1，B 2，B 3，B 4. 从这5人中任选2人的所有基本事件为：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，B 4}，{B 2，B 3}，{B 2，B 4}，{B 3，B 4}，共10个．记“恰有1人的年龄在[30,35)内”为事件M ，则M 所包含的基本事件有4个：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}．所以这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率为P (M )＝410＝25.2.古典概型与其他知识的交汇问题[典例] 设集合A ＝{}1，2，B ＝{}1，2，3，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N)，求使事件C n 的概率最大的n 的所有可能取值．[解题指导] 点P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．若点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n (2≤n ≤5)上，则：当n ＝2时，点P 只能是(1,1)；当n ＝3时，点P 可能是(1,2)，(2,1)；当n ＝4时，点P 可能是(1,3)，(2,2)；当n ＝5时，点P 只能是(2,3)．故事件C 3，C 4的概率最大，所以n 可取3或4.[多维探究]古典概型是高考考查的重点和热点之一，考查的主要内容是事件发生的概率的求解，且常与其他相关知识交汇命题，如本例就是将古典概型与解析几何进行的交汇命题，而本课时例3是古典概型与统计的交汇问题．另外，古典概型还常与函数、方程等问题相结合命题．[角度一] 古典概型与方程相结合问题设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根意味着Δ＝(2a )2－4b 2≥0，即a ≥b .基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个．其中第1个数表示a 的取值，第2个数表示b 的取值．而事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. [角度二] 古典概型与函数相结合问题袋里装有五个球，号码依次为1,2,3,4,5，设号码为x 的球重(x 2－5x ＋30)克，这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是多少？解：设质量相等的两球的号码分别是m ，n ，m ≠n ，则有m 2－5m ＋30＝n 2－5n ＋30，解得m ＋n ＝5.而五个球中任意取两球的基本事件共有10种，符合题意的只有2种，即两球的号码分别是{}1，4或{}2，3，所以P ＝210＝15. [角度三] 古典概型与新定义相结合问题“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2 578)，在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是多少？解：十位是1的“渐升数”有8个，十位是2的“渐升数”有7个，…，十位是8的“渐升数”有1个；所以二位的“渐升数”有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，以3为十位比37大的“渐升数”为2个，分别以4、5、6、7、8为十位的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的“渐升数”共有2＋15＝17个，故在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是1736.[随堂即时演练]1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为( )A.16B ．536C.112 D ．12解析：选 C 由log 2x y ＝1，得2x ＝y ，其中x ，y ∈{1,2,3,4,5,6}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝6共3种情况，所以P ＝336＝112. 2．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{}1，2，3，4，5，6，若a ＝b 或a ＝b －1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.736 B ．14 C.1136 D ．512解析：选C 由于甲、乙各记一个数，则基本事件总数为6×6＝36个，而满足a ＝b 或a ＝b －1的共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)11个．∴概率P ＝1136. 3．从集合A ＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限的概率为________．解析：根据题意可知，总的基本事件(k ，b )共有4×3＝12个，直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限，则k >0，b >0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限的概率P ＝212＝16. 答案：164．如图所示，a ，b ，c ，d ，e 是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是________．解析：“任意闭合其中的两个开关”所包含的基本事件总数是10，“电路接通”包含6个基本事件，所以电路接通的概率P ＝35. 答案：355．(天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35. [课时达标检测]一、选择题1．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为( )A.15B ．25 C.310 D ．710答案：B2．从分别写有数字1,2,3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数之积是完全平方数的概率为( )A.19B ．29 C.13D ．59 答案：A3．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个事件的概率( )A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球答案：B 4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310 B ．25C.12D ．35 答案：C5．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A.1180 B ．1288 C.1360 D ．1480答案：C二、填空题6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，在图中用m 表示，假设数字具有随机性，则乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为________．解析：由14(87＋89＋91＋93)＝14(85＋90＋91＋90＋m )，得m ＝4，即m ＝4时，甲、乙两个小组的平均成绩相等．设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，m 的取值有0,1,2，…，9，共10种可能，其中，当m ＝5,6，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，故所求概率为510＝12. 答案：127．甲、乙、丙三名同学上台领奖，从左到右按甲、乙、丙的顺序排列，则三人全都站错位置的概率是________．解析：甲，乙，丙三人随意站队排列，共有6种顺序，即(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，而“三人全都站错位置”包括(乙，丙，甲)和(丙，甲，乙)2个基本事件，故所求概率P ＝26＝13. 答案：138．设集合P ＝{}x ，1，Q ＝{}y ，1，2，P ⊆Q ，x ，y ∈{}1，2，3，…，9.在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(x ，y )所表示的点中任取一个，其落在圆x 2＋y 2＝r2内的概率恰为27，则r 2的一个可能整数值是________(只需要写出一个即可)． 解析：满足条件的点有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(7,7)，(8,8)，(9,9)，共14个．欲使其点落在x 2＋y 2＝r 2内的概率为27，则这14个点中有4个点在圆内，所以只需29＜r 2≤32，故r 2＝30或31或32. 答案：30(或31或32)三、解答题9．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率． 解：设事件A 为“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根”，则A ＝{}b ，cb 2－4c ≥0，b ，c ＝1，2，…，6. 而(b ，c )共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36组．其中，可使事件A 成立的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19组．故事件A 的概率为P (A )＝1936.10．从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[40,50)；第二组[50,60)；……；第六组[90,100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数；(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率．解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)内的频率为1－(0.005×2＋0.015＋0.020＋0.045)×10＝0.1，所以选取的40名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为40×0.1＝4.(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”，由(1)可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这4名学生分别为a，b，c，d，成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40＝2(人)，记这2名学生分别为e，f，则选取2名学生的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共9种，所以P(A)＝915＝35.11．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1) 1.78米以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解：(1)从身高低于1.80米的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78米以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种．因此选到的2人身高都在1.78米以下的概率为P ＝36＝12. 易出现所有事件包含的事件数列举不全或重复而致误的情况(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共3种．因此选到的2人身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P 1＝310. 3.2古典概型3．2.1 古典概型第一课时 古典概型的概念及简单应用[提出问题]掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面向上．问题1：这个试验共有哪几种结果？基本事件总数是几？提示：共有正正、正反、反正、反反四种结果，基本事件总数是4.问题2：事件A ＝{恰有一次正面向上}包含哪些试验结果？提示：正反、反正．问题3：问题2中事件A 的概率是多少？提示：12. [导入新知]基本事件及古典概型的概念对古典概型的认识一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．例如，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽．这个试验的基本事件只有两个：发芽、不发芽．而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它不属于古典概型．又如，从规格直径为300±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径d ，测量值可能是从299.4 mm 到300.6 mm 之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个，因此这个试验也不属于古典概型.[古典概型的概率公式对于任何事件A ，P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[化解疑难]频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同[例1] (1)42张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有基本事件；②求这个试验的基本事件的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？[解] (1)选 C 用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．(2)①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；②这个试验包含的基本事件的总数是8；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．[类题通法]基本事件的两个探求方法(1)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．(关键词：基本事件的总数)(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．(关键词：结构关系)[活学活用]一个不透明的口袋中装有大小形状相同的1个白球和3个编有不同号码的黑球，从中任意摸出2个球．(1)写出所有的基本事件；(2)求事件“摸出的2个球是黑球”包括多少个基本事件？解：(1)从装有4个球的口袋中摸出2个球，基本事件共有6个：(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)．(2)事件“摸出的2个球是黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，包括3个基本事件.[例2] (1)你认为这是古典概型吗？为什么？(2)如图所示，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)．你认为这是古典概型吗？为什么？[解] (1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点．试验的所有可能结果数是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，这个试验不是古典概型．(2)试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验不是古典概型．[类题通法]判断一个试验是古典概型的依据判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．[活学活用]下列试验是古典概型的为________(填序号)．①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率③近三天中有一天降雨的概率④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．答案：①②④[例3] 道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．[解] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)由(1)知任取2道题的基本事件共有15个，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝815.[类题通法]求解古典概率“四步”法[活学活用](山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：①若xy ≤3，则奖励玩具一个；②若xy ≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应．因为S 中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16.(1)记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3＜xy ＜8”为事件C .则事件B 包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P (B )＝616＝38. 事件C 包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P (C )＝516.因为38＞516， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．8.求解古典概型的概率[典例] 箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记事件A表示“拿出的手套配不成对”；事件B表示“拿出的都是同一只手上的手套”；事件C表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”．(1)请罗列出所有的基本事件；(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率．[解题流程][类题通法]古典概型求解三注意解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下三个问题：(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性．(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件．(3)利用事件间的关系在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪A3∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求得．[活学活用]先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5且小于10的概率．解：从图中容易看出，基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P (A )＝14. (2)记“点数之和大于5且小于10”的事件为B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件共有20个(已用虚线圈出)，所以P (B )＝2036＝59.[随堂即时演练]1．下列试验是古典概型的是( )A ．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}B ．在区间[－1,5]上任取一个实数x ，使x 2－3x ＋2＞0C ．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D ．某人射击中靶或不中靶解析：选C 根据古典概型的两个特征进行判断．A 中两个基本事件不是等可能的，B 中基本事件的个数是无限的，D 中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C 符合古典概型的两个特征．2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )A.12B ．13 C.23 D ．1 解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P ＝23. 3．(四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．解析：从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则(a ，b )的所有可能结果为(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P ＝212＝16. 答案：164．甲、乙两人随意入住两间客房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．解析：甲、乙两人入住两间客房有甲、乙两人同住一间房，甲、乙两人各住一间房共4种情况，其中甲、乙两人各住一间房的概率为24＝12. 答案：125．甲、乙两人做出拳游戏(锤子，剪刀，布)．求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率．解：设平局为事件A ，甲赢为事件B ，乙赢为事件C .容易得到下图．(1)平局含3个基本事件(图中的△)，P (A )＝39＝13. (2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P (B )＝39＝13. (3)乙赢含3个基本事件(图中的※)，P (C )＝39＝13. [课时达标检测]一、选择题1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；。