11动载荷_2冲击载荷
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动载荷
1.5 2 MPa M dmax 3 2120
dmaxW 0 .132
二、杆AB下端固定，在C点受到以匀速 沿
水平运动的重物Q冲击。设AB杆的E、I及W均为已 知。试求杆内的最大冲击应力。
解：水平冲击无势能变化
1Qv2 2g
1 2
Pdd
Pd KdQ，
d Kdj
j Q3a/3E，I
v2
gst
v2
Kd 1 gst
说明：由结果可知，欲使 Kd ，除
外，还可采取 st 的
v
措施，如在吊索与重物间安置一缓冲弹簧。
等截面刚架的抗弯刚度为 EI,抗弯截面系数为W,重物P自由 下落时,求刚架内的最大正应力（不计轴力）.
P
h
a
a
解：
st
4Pa3 3EI
V1 V
Fd F
d st
d st
kd
1 F(hd)2Fdd
d22s td2sh t 0
d st1
12hst
自由落体冲击的动荷因数
kd 1
12hst
1、利用动荷因数可计算动响应
d Kdst Fd KdFst
gst W
起吊重物时的冲击
已知：起重吊索下端挂一重物等速下降，当
吊索长度为 l 时，突然刹车，A、E、 V、P
求： F d 、 d
l
冲击前 U12 1P gv2Pdst2 1Pst
P
(重物的动能、势能、杆应变能)
Pd
冲击后
U2
1 2
Fd
（杆应变能）
d
d st1
冲击荷载问题的动响应
dmaxW 0 .132
二、杆AB下端固定，在C点受到以匀速 沿
水平运动的重物Q冲击。设AB杆的E、I及W均为已 知。试求杆内的最大冲击应力。
解：水平冲击无势能变化
1Qv2 2g
1 2
Pdd
Pd KdQ，
d Kdj
j Q3a/3E，I
v2
gst
v2
Kd 1 gst
说明：由结果可知，欲使 Kd ，除
外，还可采取 st 的
v
措施，如在吊索与重物间安置一缓冲弹簧。
等截面刚架的抗弯刚度为 EI,抗弯截面系数为W,重物P自由 下落时,求刚架内的最大正应力（不计轴力）.
P
h
a
a
解：
st
4Pa3 3EI
V1 V
Fd F
d st
d st
kd
1 F(hd)2Fdd
d22s td2sh t 0
d st1
12hst
自由落体冲击的动荷因数
kd 1
12hst
1、利用动荷因数可计算动响应
d Kdst Fd KdFst
gst W
起吊重物时的冲击
已知：起重吊索下端挂一重物等速下降，当
吊索长度为 l 时，突然刹车，A、E、 V、P
求： F d 、 d
l
冲击前 U12 1P gv2Pdst2 1Pst
P
(重物的动能、势能、杆应变能)
Pd
冲击后
U2
1 2
Fd
（杆应变能）
d
d st1
冲击荷载问题的动响应
第10章动载荷与交变载荷
3、交变应力：应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。疲 劳破坏是指在反复载荷作用下，结构中裂纹形成、扩展乃至 断裂的过程。
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
工程力学动载荷
刹车时飞轮的动能转化为轴的变形能
y
x
A
B
工程力学动载荷
例：重为P的重物从h处自由落下,冲击梁上的D点. 梁的EI及W均为已知.求:梁内max及梁中点处的挠度
h
A
CD B
P
A
CD B
yD=Pbx(l2-x2-b2)/6lEI
A
CD B
工程力学动载荷
h
A
CD B
P
A
CD B
1
A
B
工程力学动载荷
例 已知:重为G的重物以水平速度v冲击到圆形截面AB 梁的C点,EI已知. 求：σd max
解：水平冲击问题 ※确定动荷系数
静载时σmax出现于固定端A处
工程力学动载荷
图示钢杆的下端有一固定圆盘,盘上放置弹簧.弹簧在1kN 的静载荷作用下缩短0.0625cm.钢杆的直径d=4cm,l=4m许 用应力 =120Mpa,E=200GPa.若重为15kN的重物自由落下, 求其许可高度H.又若没有弹簧,许可高度H将等于多大？
注意：上面的论述是对等截面杆而言的，不能用于变截面杆的 情况。
工程力学动载荷
三、变截面杆同等截面杆的比较：
如图所示：一变截面杆，一等截面杆，同样受到重量 为Q，速度为v的重物的冲击，试比较它们的动应力。
根据机械能守恒定律，可求得两杆的冲击载荷分别为：
工程力学动载荷
于是两杆的冲击应力分别为： (a)
上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的
动应力，以及工字钢在危险点的动应力d,max 欲使工字钢中的 d,max 减至最小，吊索位置应如何安置？
2m 4m 4m 2m
ACB a
(a)
z y
y
x
A
B
工程力学动载荷
例：重为P的重物从h处自由落下,冲击梁上的D点. 梁的EI及W均为已知.求:梁内max及梁中点处的挠度
h
A
CD B
P
A
CD B
yD=Pbx(l2-x2-b2)/6lEI
A
CD B
工程力学动载荷
h
A
CD B
P
A
CD B
1
A
B
工程力学动载荷
例 已知:重为G的重物以水平速度v冲击到圆形截面AB 梁的C点,EI已知. 求：σd max
解：水平冲击问题 ※确定动荷系数
静载时σmax出现于固定端A处
工程力学动载荷
图示钢杆的下端有一固定圆盘,盘上放置弹簧.弹簧在1kN 的静载荷作用下缩短0.0625cm.钢杆的直径d=4cm,l=4m许 用应力 =120Mpa,E=200GPa.若重为15kN的重物自由落下, 求其许可高度H.又若没有弹簧,许可高度H将等于多大？
注意：上面的论述是对等截面杆而言的，不能用于变截面杆的 情况。
工程力学动载荷
三、变截面杆同等截面杆的比较：
如图所示：一变截面杆，一等截面杆，同样受到重量 为Q，速度为v的重物的冲击，试比较它们的动应力。
根据机械能守恒定律，可求得两杆的冲击载荷分别为：
工程力学动载荷
于是两杆的冲击应力分别为： (a)
上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的
动应力，以及工字钢在危险点的动应力d,max 欲使工字钢中的 d,max 减至最小，吊索位置应如何安置？
2m 4m 4m 2m
ACB a
(a)
z y
第十章-动载荷
2 动载荷问题分类
2
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时旳应力计算; 2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
3
§10. 2 动静法旳应用
1 动静法
即为理论力学中简介旳达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中旳动应力分析
例子 设杆以匀加速度a作平动，
b
R
aR
截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。 15
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧旳弹性
系数 k EA
l
16
l Pl EA
等价弹簧旳弹性系数 能量法
P EA l l
k EA l
工程实例 气缸
在满足刚度和强度要求旳前提下
28
冲击问题旳一般解题环节
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △st ； 3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满 足条件（冲击前无应力和变形），则需要应
a g
)
记： 若忽视自重，则
对线性系统
a
Kd Kd
1 a
g
g
动荷系数
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题旳求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得成果乘以动荷系数 Kd 即可。 6
动载荷问题旳求解
1) 求出动荷系数；
2
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时旳应力计算; 2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
3
§10. 2 动静法旳应用
1 动静法
即为理论力学中简介旳达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中旳动应力分析
例子 设杆以匀加速度a作平动，
b
R
aR
截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。 15
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧旳弹性
系数 k EA
l
16
l Pl EA
等价弹簧旳弹性系数 能量法
P EA l l
k EA l
工程实例 气缸
在满足刚度和强度要求旳前提下
28
冲击问题旳一般解题环节
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △st ； 3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满 足条件（冲击前无应力和变形），则需要应
a g
)
记： 若忽视自重，则
对线性系统
a
Kd Kd
1 a
g
g
动荷系数
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题旳求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得成果乘以动荷系数 Kd 即可。 6
动载荷问题旳求解
1) 求出动荷系数；
动载荷的概念及其分类
第12章 动载荷§12-1 动载荷的概念及其分类1．动载荷的概念前面各章讨论的都是构件在静载荷作用下的应力、应变及位移计算。
静载荷是指构件上的载荷从零开始平稳地增加到最终值。
因加载缓慢，加载过程中构件上各点的加速度很小，可认为构件始终处于平衡状态，加速度影响可略去不计。
动载荷是指随时间作明显变化的载荷，即具有较大加载速率的载荷。
一般可用构件中材料质点的应力速率（ dt d σσ=•）来表示载荷施加于构件的速度。
实验表明，只要应力在比例极限之内，应变与应力关系仍服从胡克定律，因而，通常也用应变速率（ dt d εε=•）来表示载荷随时间变化的速度。
一般认为标准静荷的 ，随着动载荷 的增加，它对材料力学性能的影响越趋明显。
对金属材料，静荷范围约在 ，如果 ，即认为是动载荷。
min /)~.(3010=•ε•ε/2−s ~41010−•=εs /210−•≥ε2．加速运动构件中的动应力分析三类动载荷问题：根据加载的速度与性质，有三类动荷问题。
（1）一般加速度运动（包括线加速与角加速）构件问题，此时还不会引起材料力学性能的改变，该类问题的处理方法是动静法。
•ε（2） 冲击问题，构件受剧烈变化的冲击载荷作用。
大约在 ，它将引起材料力学性能的很大变化，由于问题的复杂性，工程上采用能量法进行简化分析计算。
•εs /~101（3）振动与疲劳问题，构件内各材料质点的应力作用周期性变化。
由于构件的疲劳问题涉及材料力学性能的改变和工程上的重要性，一般振动问题不作重点介绍，而将专章介绍疲劳问题。
§12-2 构件作等加速运动时的应力计算1．动应力分析中的动静法度为 a 的质点，惯性力为其质量 m 与 a 的乘积，方向与a 相反。
达朗贝尔原理指出，对作加速度运动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力，则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。
这样，可把动力学问题在形式上作为静力学问题处理，这就是动静法。
动载荷
材料力学
§2
惯性力问题
动载荷
2、等角速度旋转的构件
•旋转圆环的应力计算 一平均直径为D的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面 的轴作等角速度转动。已知转速为，截面积为A，比重为，壁 厚为t。 解：等角速度转动时，环内各
qd
an
D o
t
o
点具有向心加速度，且D>>t 可近似地认为环内各点向心 an 2 D / 2 。 加速度相同， 沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度 q d 为：
圆环横截面上的应力：
式中 v D 是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为：
2
d
材料力学
v 2
g
[ ]
§2
惯性力问题
动载荷
•旋转圆环的变形计算
D ， 在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为 则其直径变化 D D D ，径向应变为
t D ( D D) r t D D E d v 2 D
式中 k d 为冲击时的动荷系数，
2
kd st
2H kd 1 1 st
其中 st 是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量） 作用下的垂直位移。
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
因为
Pd d d kd Q st st
所以冲击应力为
d k d st
2H 当 110 时，可近似取 k d st
2 H ，误差<5%。 st 2 H ，误差<10%。 st
4、 k d 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关， 更与 st 有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变 形，刚度越小，即“柔能克刚”。
动载荷
动载荷
W d K d st K d A
应用强度条件，钢杆的
W W 2 h K d 1 1 1 A A l W EA k
BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)
动载荷
动载荷
（2）柱的稳定性校核
i1 I1 25m m A1 a 40 P i1
已知柱非小柔度,中柔度
σcr=373-2.15λ
Fcr cr A1 28.7 kN
Fcr n 3.3 nst Fd
柱是稳定的。
BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)
BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)
动载荷
2 冲击前： 动能Ek 1 m v / 2 势能V1 0
二、水平冲击：
v mg
变形能V 1 0
令
Pd K d Pst D d K d D st
( Pst mg )
冲击后： 动能E K 2 0
势能V2 0 变形能V 2 Pd D d / 2
P a g
(2)钢索横截面的动应力： FNd P a a d (1 ) st (1 ) A A g g
BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)
动载荷
令
a Kd 1 g
称为动荷因数，则
d K d st
梁的弯矩：
M d max
K d Pl K d M st 4
冲击前后能量守恒
1 mg 2 2 mv K d D st 2 2
Δst 为冲击物重量的水平静载 作用于结构受冲击点的静位移
第十一章动荷载优秀课件
Q(hd)12Fdd 动载荷、静载荷下虎克定律都成立
Q Fd
st d
Fd
Q
st
d
得Q(hd)12Q stdd
Q
h Fd
d
Q st
Q(hd)12Fdd
Q Fd
st d
Fd
Q
st
d
得Q(hd)12Q stdd
整理 d 2 得 2std ： 2 hst0 d可解
dst s2t2hst (实际 d st, “”不取
一、冲击问题的假定
1.不计冲击物的变形(刚体）； 2.冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，
二者合为一个运动系统； 3.被冲击物的质量（惯性）与冲击物相比很小，
可略去不计，冲击应力瞬时传遍整个被冲击物； 4.整个冲击过程中，构件在线弹性范围内； 5.冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去
不计。（能量守恒）
q d (5)求动应力
d
FNd 2A
A
FNd
d
R2 2
g
qd
2R
qd
A
qd
A R2
g
FNdqd2R2AgR22
FNd (5)求动应力
d
R2 2
g
vR圆环轴线上的点的 度线速
d
v2 g
说明：圆环内的动应力只与γ和v有关，而与横截面面积无关， 要保证旋转圆环的强度，只能限制圆环的转速，增加面积是不起 作用的。
二、自由落体冲击
Q
h
Fd
d
Q
冲击物Q由高h的地方自由落下 h 被冲击物在线弹性范围
d
Fd 冲 击 荷 载
d 动变形
冲击前
重物Q 被冲击杆
动能
Q Fd
st d
Fd
Q
st
d
得Q(hd)12Q stdd
Q
h Fd
d
Q st
Q(hd)12Fdd
Q Fd
st d
Fd
Q
st
d
得Q(hd)12Q stdd
整理 d 2 得 2std ： 2 hst0 d可解
dst s2t2hst (实际 d st, “”不取
一、冲击问题的假定
1.不计冲击物的变形(刚体）； 2.冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，
二者合为一个运动系统； 3.被冲击物的质量（惯性）与冲击物相比很小，
可略去不计，冲击应力瞬时传遍整个被冲击物； 4.整个冲击过程中，构件在线弹性范围内； 5.冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去
不计。（能量守恒）
q d (5)求动应力
d
FNd 2A
A
FNd
d
R2 2
g
qd
2R
qd
A
qd
A R2
g
FNdqd2R2AgR22
FNd (5)求动应力
d
R2 2
g
vR圆环轴线上的点的 度线速
d
v2 g
说明：圆环内的动应力只与γ和v有关，而与横截面面积无关， 要保证旋转圆环的强度，只能限制圆环的转速，增加面积是不起 作用的。
二、自由落体冲击
Q
h
Fd
d
Q
冲击物Q由高h的地方自由落下 h 被冲击物在线弹性范围
d
Fd 冲 击 荷 载
d 动变形
冲击前
重物Q 被冲击杆
动能
动载荷与交变荷载
Mstmax Fa M dm axK dM stm ax(113 2E F Ia H 3)Fa
a
a
F
A
C
B
EI
EI
EI
D
a
a
F1
A
C
EI
F
B EI
EI
D
a
a
H
11.3.3 水平冲击
已知：等截面杆 AB 在 C 处受一重量为 F，速度为 v 的物体沿水平方向冲 击 。求：杆在危险点处的动应力。
解：
d
A
A
A
P
Fd
P
B
d
B
st
B
解：按简化计算法，不考虑系统冲击过程中热能、声能及其它形式能量的损失。
A
A
A
P
Fd
B
d
B
冲击前：势能 EpPhd
冲击后：应变能（弹性范围）
V d
1 2
Fd d
根据能量守恒定理：
Phd12Fdd
P
st
动能 动能
B
Ek 0 Ek 0
d
Fdl AE
Phd12Fdd
Fd
如图所示，一起重机钢索以等加速度 a 提升一重物，重物的重量为 G，不 计钢索的重量。求：钢索的动应力。
解：1、动轴力的确定
FNd
FNdGFI 0 FNd GFI G1ag
a
2、动应力的计算
a G
dF A Nd G A1g ast1g a
FI
说明：1、由此例题可知，动荷载下的应力计算是运用动静法，将其转化为静
11.1 概述
11.1.1 基本概念
静荷载：荷载由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。构件内各质点加速 度很小，可略去不计。
a
a
F
A
C
B
EI
EI
EI
D
a
a
F1
A
C
EI
F
B EI
EI
D
a
a
H
11.3.3 水平冲击
已知：等截面杆 AB 在 C 处受一重量为 F，速度为 v 的物体沿水平方向冲 击 。求：杆在危险点处的动应力。
解：
d
A
A
A
P
Fd
P
B
d
B
st
B
解：按简化计算法，不考虑系统冲击过程中热能、声能及其它形式能量的损失。
A
A
A
P
Fd
B
d
B
冲击前：势能 EpPhd
冲击后：应变能（弹性范围）
V d
1 2
Fd d
根据能量守恒定理：
Phd12Fdd
P
st
动能 动能
B
Ek 0 Ek 0
d
Fdl AE
Phd12Fdd
Fd
如图所示，一起重机钢索以等加速度 a 提升一重物，重物的重量为 G，不 计钢索的重量。求：钢索的动应力。
解：1、动轴力的确定
FNd
FNdGFI 0 FNd GFI G1ag
a
2、动应力的计算
a G
dF A Nd G A1g ast1g a
FI
说明：1、由此例题可知，动荷载下的应力计算是运用动静法，将其转化为静
11.1 概述
11.1.1 基本概念
静荷载：荷载由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。构件内各质点加速 度很小，可略去不计。
工程力学课件 第11章 动载荷、冲击载荷、交变应力简介
1.1.1 电路பைடு நூலகம்组成
交变应力的变化特点可用最小应力与最大应力的比值r表示， 称为循环特征（应力比）即
它的可能取值范围为
在五个特征量
中，只有两个是独立的，即只要已知其中的任意两个特征量， 就可求出其他的量。如果
工程力学
12
称为脉动循环交变应力，其循环特征r＝0。 当
1.1.1 电路的组成
r＝1 交变应力统称为非对称循环交变应力。
对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度a, 就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，如果为集中质量m，则惯性力 为集中力。
如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为
工程力学
2
然后，按照弹性 静力学中的方法对构
1.件1进.1行电应力路分的析和组强成 度与刚度的计算。以 图中的起重机起吊重 物为例，在开始吊起 重物的瞬时，重物具 有向上的加速度a，重 物上便有方向向下的 惯性力，如式(11-1) 所示。
其中
分别称为静应力(staticsstress)和动应力(dynamicsstress)。
工程力学
4
第二节 冲击载荷
一、基本假定 1.1.1具电有一路定的速度组的成运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的
速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得到了很大的负 值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。 同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上，这种力在工程 上称为“冲击力”或“冲击载荷”。
③假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械能量守恒定 理仍成立。
工程力学
5
二、自由落体冲击 1.1.1设电一简路支的梁(组线弹成性体)受自由落体冲击如图11.3所示，试分析
交变应力的变化特点可用最小应力与最大应力的比值r表示， 称为循环特征（应力比）即
它的可能取值范围为
在五个特征量
中，只有两个是独立的，即只要已知其中的任意两个特征量， 就可求出其他的量。如果
工程力学
12
称为脉动循环交变应力，其循环特征r＝0。 当
1.1.1 电路的组成
r＝1 交变应力统称为非对称循环交变应力。
对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度a, 就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，如果为集中质量m，则惯性力 为集中力。
如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为
工程力学
2
然后，按照弹性 静力学中的方法对构
1.件1进.1行电应力路分的析和组强成 度与刚度的计算。以 图中的起重机起吊重 物为例，在开始吊起 重物的瞬时，重物具 有向上的加速度a，重 物上便有方向向下的 惯性力，如式(11-1) 所示。
其中
分别称为静应力(staticsstress)和动应力(dynamicsstress)。
工程力学
4
第二节 冲击载荷
一、基本假定 1.1.1具电有一路定的速度组的成运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的
速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得到了很大的负 值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。 同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上，这种力在工程 上称为“冲击力”或“冲击载荷”。
③假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械能量守恒定 理仍成立。
工程力学
5
二、自由落体冲击 1.1.1设电一简路支的梁(组线弹成性体)受自由落体冲击如图11.3所示，试分析
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第二节 杆件受冲击时的应力与变形计算
一、 基本假设 ① 冲击物是刚性的； ② 被冲击构件质量不计； ③ 被冲击构件的变形为线弹性的； ④ 冲击过程中无能量损耗。
二、基本方法 能量守恒原理：在上述假设下，冲击物所减少的动能和势能全部 转变为了被冲击构件所增加的弹性变形能（应变能）。
三、垂直冲击的动荷因数
解： 轴的A 端突然刹车时，飞
轮的转速由 n = 100 r/min 瞬间
变为零，使转轴受到冲击。
根据能量守恒原理，飞轮的动能完全转换为了转轴的弹性变形能，
即有
1 2
J2
1 2
Tdd
1 2
Td2l GIp
1 2
J2
1 2
Tdd
1 2
Td2l GIp
解得动荷扭矩
Td
JGIp l
Kd
v02 g
st
式中，st 为冲击物自重以静荷方式作用引起
的冲击点沿水平冲击方向的静位移
d
v0
五、冲击载荷作用下的的应力与变形计算
动荷内力： 动荷应力： 动荷位移：
Fd Kd Fst d Kd st d Kd st
h d
六、解题步骤
1）计算静荷位移 st
2）重物落在弹簧上 此时的静荷位移
st
Pl EA
P k
7.074 106
m
+ 500106
m
=
507.074 106
m
2）重物落在弹簧上
静荷位移
st 507.074106 m
动荷因数
2h
Kd 1
1 15.08
st
杆内的动荷应力
d Kdst 15.08 0.7074 MPa = 10.7 MPa
所以，此时轴内的最大扭转切应力
d max
Td Wt
JGIp Wt 2l
1057 MPa
◆ 相较前例，最大切应力增大了约 395 倍。在这种情况下，早 已超过了材料的许用切应力。因此，为了保证转轴的安全，在停 车时应尽量避免急刹车。
P
st
d
解得钢丝绳的动荷伸长
d Kd st
式中，动荷因数
l
Kd 1
v2 g
st
静荷伸长
st
Pl EA
d
P
钢丝绳内的静荷应力
st
P A
所以，钢丝绳内的动荷应力
d Kd st 1
v2 g
st
P A
1
v 2 EA gPl
P A
st
P
[例5] 如图，在转轴 AB 的B 端有一个质量很大的飞轮，在 A 端有 制动装置。若在飞轮转速 n = 100 r/min 时突然在 A 端急刹车，瞬 间停止转动，试求轴内的最大切应力。 已知轴的长度 l = 1 m，直 径 d = 100 mm ，切变模量 G = 80 GPa，飞轮对轴的转动惯量 J = 500 kg·m2 ，轴的质量可以忽略不计。
解： 1）计算静荷位移
P
h
s t
Pl
3103 6
EA 10 109 π 0.32
0.0255 mm
4
l
2）计算动荷因数
d
Kd 1
1 2h 1
st
1 2 200 mm 126.2 0.0255 mm
Kd 126.2
3）计算静荷应力
st
P A
◆ 与前者相比，此时的动荷应力小了很多。可见，弹簧起到了 缓冲作用，使冲击载荷大大减小。
[例3] 一正方形截面外伸梁如图，已知梁的尺寸 l = 1 m，截面边长 a = 50 mm ，弹性模量 E = 200 GPa。若一重 P = 150 N 的物体，自 高度 h = 75 mm 处自由落下，撞击梁的跨中截面 C ，试计算梁自由 端 D 的动荷挠度与梁内的动荷最大弯曲正应力。
1.8 MPa
梁内的动荷最大弯曲正应力
d max Kd st max 71.7 1.8 MPa = 129.1 MPa
[例4] 如图，钢丝绳的下端悬挂一重为 P 的重物，以速度 v 匀速下 降，当钢丝绳长度为 l 时，滑轮突然被卡住，试求钢丝绳内的动荷 应力。已知钢丝绳的横截面面积为 A，弹性模量为 E，滑轮与钢丝 绳的质量均忽略不计 。
解： 1）重物直接落在刚性 托盘上
静荷位移
s t
Pl EA
7.074 106
m
动荷因数
l
hl
h
Kd 1
1 2h 120
s t
Kd 120 杆内的静荷应力
st
P A
500 π 0.032
0.7074 MPa
4
杆内的动荷应力
d Kdst 120 0.7074 MPa = 84.9 MPa
l 2
4.5 105
m
l/2
l/2
l/2
故自由端 D 的动荷挠度为
P
Dd KdDst = 3.23mm
A
D
C
B
3）计算梁内的动荷最大弯曲正应力
l/2
l/2
l/2
梁内的静荷最大弯曲正应力
st max
M max Wz
Pl / 4 a3 / 6
6150 N 1 m 4 0.053 m3
解：当滑轮被卡住，重物的速度由 v 瞬间降为零，使钢丝绳受到冲击。
此时，前面公式不再适用。
l
根据能量守恒原理，重物在冲击过程
中损失的动能和重力势能应等于钢丝
绳内增加的弹性变形能，即有
d
v
st
P
1 P v2 P
2g
d st
1 2
Fd d
1 2
Pst
P
在线弹性范围内，
Fd
3103 π 0.32
N m2
0.0424 MPa
4
P
hP
l
d
4）计算动荷应力
d Kdst 126.2 0.0424 MPa = 5.35 MPa
◆ 此时的动荷应力是静荷应力的126.2倍，可见，冲击载荷是 非常大的。
[例2] 钢制圆截面杆如图，其上端固定，下端固连一无重刚性托盘 以承接落下的环形重物。已知杆的长度 l = 2 m ，直径 d = 30 mm ， 弹性模量 E = 200 GPa。若环形重物的重力 P = 500 N，自相对高度 h = 50 mm 处自由落下，使杆受到冲击。试求在下列两种情况下， 杆内的动荷应力：（1）重物直接落在刚性托盘上；（2）托盘上放 一刚度系数量 k = 1 MN/m的弹簧，环形重物落在弹簧上。
垂直冲击，冲击物的初速为 v0 ，冲击物与被冲击构件的 相对高度为 h
动荷因数：
h
P
d
st
Kd 1
1 2h v02
st
g
式中，st 为冲击物自重以静荷方式作用引起的冲击点沿冲击方向
的静位移
◆ 对于突加载荷，动荷系数 Kd = 2
四、水平冲击的动荷因数
水平冲击，冲击物的初速为 v0 动荷因数：
2）代公式，计算动荷因数 Kd 3）计算与待求动荷参量 Xd 对应的静荷参量 Xst 4）计算待求动荷参量 Xd = Kd Xst
[例1] 一圆截面木柱如图，已知木柱长度 l = 6 m ，截面直径 d = 300 mm ，木材的弹性模量 E = 10 GPa，在离柱顶 h = 0.2 m 的高 度处有一重 P = 3 kN 的物块自由落下，撞击木柱，试求柱内的动 荷应力。
PhADCBa
l/2
l/2
l/2
解： 1）计算静荷位移 2）计算动荷因数
s t
Pl 3 48EI
3.0105
m
Kd 1
1 2h 71.7
s t
Kd 71.7
P
3）计算自由端 D 的动荷挠度 自由端 D 的静荷挠度
h
A
C
D B
D st
B
l 2
Pl 2 16EI
一、 基本假设 ① 冲击物是刚性的； ② 被冲击构件质量不计； ③ 被冲击构件的变形为线弹性的； ④ 冲击过程中无能量损耗。
二、基本方法 能量守恒原理：在上述假设下，冲击物所减少的动能和势能全部 转变为了被冲击构件所增加的弹性变形能（应变能）。
三、垂直冲击的动荷因数
解： 轴的A 端突然刹车时，飞
轮的转速由 n = 100 r/min 瞬间
变为零，使转轴受到冲击。
根据能量守恒原理，飞轮的动能完全转换为了转轴的弹性变形能，
即有
1 2
J2
1 2
Tdd
1 2
Td2l GIp
1 2
J2
1 2
Tdd
1 2
Td2l GIp
解得动荷扭矩
Td
JGIp l
Kd
v02 g
st
式中，st 为冲击物自重以静荷方式作用引起
的冲击点沿水平冲击方向的静位移
d
v0
五、冲击载荷作用下的的应力与变形计算
动荷内力： 动荷应力： 动荷位移：
Fd Kd Fst d Kd st d Kd st
h d
六、解题步骤
1）计算静荷位移 st
2）重物落在弹簧上 此时的静荷位移
st
Pl EA
P k
7.074 106
m
+ 500106
m
=
507.074 106
m
2）重物落在弹簧上
静荷位移
st 507.074106 m
动荷因数
2h
Kd 1
1 15.08
st
杆内的动荷应力
d Kdst 15.08 0.7074 MPa = 10.7 MPa
所以，此时轴内的最大扭转切应力
d max
Td Wt
JGIp Wt 2l
1057 MPa
◆ 相较前例，最大切应力增大了约 395 倍。在这种情况下，早 已超过了材料的许用切应力。因此，为了保证转轴的安全，在停 车时应尽量避免急刹车。
P
st
d
解得钢丝绳的动荷伸长
d Kd st
式中，动荷因数
l
Kd 1
v2 g
st
静荷伸长
st
Pl EA
d
P
钢丝绳内的静荷应力
st
P A
所以，钢丝绳内的动荷应力
d Kd st 1
v2 g
st
P A
1
v 2 EA gPl
P A
st
P
[例5] 如图，在转轴 AB 的B 端有一个质量很大的飞轮，在 A 端有 制动装置。若在飞轮转速 n = 100 r/min 时突然在 A 端急刹车，瞬 间停止转动，试求轴内的最大切应力。 已知轴的长度 l = 1 m，直 径 d = 100 mm ，切变模量 G = 80 GPa，飞轮对轴的转动惯量 J = 500 kg·m2 ，轴的质量可以忽略不计。
解： 1）计算静荷位移
P
h
s t
Pl
3103 6
EA 10 109 π 0.32
0.0255 mm
4
l
2）计算动荷因数
d
Kd 1
1 2h 1
st
1 2 200 mm 126.2 0.0255 mm
Kd 126.2
3）计算静荷应力
st
P A
◆ 与前者相比，此时的动荷应力小了很多。可见，弹簧起到了 缓冲作用，使冲击载荷大大减小。
[例3] 一正方形截面外伸梁如图，已知梁的尺寸 l = 1 m，截面边长 a = 50 mm ，弹性模量 E = 200 GPa。若一重 P = 150 N 的物体，自 高度 h = 75 mm 处自由落下，撞击梁的跨中截面 C ，试计算梁自由 端 D 的动荷挠度与梁内的动荷最大弯曲正应力。
1.8 MPa
梁内的动荷最大弯曲正应力
d max Kd st max 71.7 1.8 MPa = 129.1 MPa
[例4] 如图，钢丝绳的下端悬挂一重为 P 的重物，以速度 v 匀速下 降，当钢丝绳长度为 l 时，滑轮突然被卡住，试求钢丝绳内的动荷 应力。已知钢丝绳的横截面面积为 A，弹性模量为 E，滑轮与钢丝 绳的质量均忽略不计 。
解： 1）重物直接落在刚性 托盘上
静荷位移
s t
Pl EA
7.074 106
m
动荷因数
l
hl
h
Kd 1
1 2h 120
s t
Kd 120 杆内的静荷应力
st
P A
500 π 0.032
0.7074 MPa
4
杆内的动荷应力
d Kdst 120 0.7074 MPa = 84.9 MPa
l 2
4.5 105
m
l/2
l/2
l/2
故自由端 D 的动荷挠度为
P
Dd KdDst = 3.23mm
A
D
C
B
3）计算梁内的动荷最大弯曲正应力
l/2
l/2
l/2
梁内的静荷最大弯曲正应力
st max
M max Wz
Pl / 4 a3 / 6
6150 N 1 m 4 0.053 m3
解：当滑轮被卡住，重物的速度由 v 瞬间降为零，使钢丝绳受到冲击。
此时，前面公式不再适用。
l
根据能量守恒原理，重物在冲击过程
中损失的动能和重力势能应等于钢丝
绳内增加的弹性变形能，即有
d
v
st
P
1 P v2 P
2g
d st
1 2
Fd d
1 2
Pst
P
在线弹性范围内，
Fd
3103 π 0.32
N m2
0.0424 MPa
4
P
hP
l
d
4）计算动荷应力
d Kdst 126.2 0.0424 MPa = 5.35 MPa
◆ 此时的动荷应力是静荷应力的126.2倍，可见，冲击载荷是 非常大的。
[例2] 钢制圆截面杆如图，其上端固定，下端固连一无重刚性托盘 以承接落下的环形重物。已知杆的长度 l = 2 m ，直径 d = 30 mm ， 弹性模量 E = 200 GPa。若环形重物的重力 P = 500 N，自相对高度 h = 50 mm 处自由落下，使杆受到冲击。试求在下列两种情况下， 杆内的动荷应力：（1）重物直接落在刚性托盘上；（2）托盘上放 一刚度系数量 k = 1 MN/m的弹簧，环形重物落在弹簧上。
垂直冲击，冲击物的初速为 v0 ，冲击物与被冲击构件的 相对高度为 h
动荷因数：
h
P
d
st
Kd 1
1 2h v02
st
g
式中，st 为冲击物自重以静荷方式作用引起的冲击点沿冲击方向
的静位移
◆ 对于突加载荷，动荷系数 Kd = 2
四、水平冲击的动荷因数
水平冲击，冲击物的初速为 v0 动荷因数：
2）代公式，计算动荷因数 Kd 3）计算与待求动荷参量 Xd 对应的静荷参量 Xst 4）计算待求动荷参量 Xd = Kd Xst
[例1] 一圆截面木柱如图，已知木柱长度 l = 6 m ，截面直径 d = 300 mm ，木材的弹性模量 E = 10 GPa，在离柱顶 h = 0.2 m 的高 度处有一重 P = 3 kN 的物块自由落下，撞击木柱，试求柱内的动 荷应力。
PhADCBa
l/2
l/2
l/2
解： 1）计算静荷位移 2）计算动荷因数
s t
Pl 3 48EI
3.0105
m
Kd 1
1 2h 71.7
s t
Kd 71.7
P
3）计算自由端 D 的动荷挠度 自由端 D 的静荷挠度
h
A
C
D B
D st
B
l 2
Pl 2 16EI