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不等式与三角函数综合应用在数学中，不等式和三角函数是两个重要的概念。
不等式是数学中用来描述数之间大小关系的表达式，而三角函数则是用来描述角度和边长之间关系的函数。
本文将探讨不等式与三角函数的综合应用，以及它们在实际问题中的应用。
一、不等式的基本性质和解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它可以描述数之间的大小关系。
常见的不等式有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等符号。
解不等式的方法主要有图像法、代数法和递推法等。
下面我们通过一个例子来说明不等式的解法。
例子：解不等式2x + 3 > 5。
解法：我们首先将不等式转化为等价的形式，得到2x > 2。
然后通过除以2的方式得到x > 1。
因此不等式2x + 3 > 5的解集为{x | x > 1}。
二、三角函数的基本性质和公式三角函数是数学中用来描述角度和边长之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
三角函数的取值范围一般是[-1, 1]，并且它们之间存在一些重要的性质和公式。
下面我们通过一个例子来说明三角函数的应用。
例子：已知一个角的正弦值为0.6，求这个角的余弦值和正切值。
解法：根据正弦函数的定义，可以得到sinθ = 0.6。
由此可以得到θ ≈ 36.87°。
然后根据余弦函数和正切函数的定义，可以得到cosθ ≈ 0.8，tanθ ≈ 0.75。
因此这个角的余弦值为0.8，正切值为0.75。
三、不等式与三角函数的综合应用不等式与三角函数在实际问题中常常需要综合应用，通过建立不等式和利用三角函数的性质来解决实际问题。
下面我们通过一个例子来说明不等式与三角函数的综合应用。
例子：已知一座山峰的斜率为k，角度为θ，山顶距离地面的垂直高度为h。
如果山顶处禁止爬升的角度不超过α度，那么k和h之间的关系是怎样的？解法：我们可以首先利用三角函数的性质，得到tanθ = h / k。
一次函数和不等式的解题技巧一次函数和不等式是数学中基础的概念，也是学习数学的重要门槛。
在学习这两个知识点时，我们需要掌握一些解题技巧，以便更好地理解和应用这些知识点。
一、一次函数的解题技巧一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k和b为常数。
在解题时，我们需要掌握以下技巧：1. 确定函数的斜率和截距斜率k决定了函数的变化趋势，截距b决定了函数的位置。
因此，我们需要先确定函数的斜率和截距，才能更好地理解函数的性质。
2. 理解函数的图像一次函数的图像是一条直线，我们需要理解直线的性质，比如斜率越大，函数的变化越快；截距越大，函数的位置越高。
3. 利用函数的性质解题一次函数具有一些特殊的性质，比如斜率为正时，函数单调增加；斜率为负时，函数单调减少。
我们可以利用这些性质来解题，比如求函数的最值、最小值等。
二、不等式的解题技巧不等式是指形如a<b或a≤b的数学式子，其中a和b可以是数字、变量或表达式。
在解题时，我们需要掌握以下技巧：1. 理解不等式的含义不等式的含义是比较大小关系，我们需要理解不等式的含义，才能更好地应用不等式解题。
2. 利用不等式的性质解题不等式具有一些特殊的性质，比如加减不等式、乘除不等式、绝对值不等式等，我们可以利用这些性质来解题，比如求不等式的解集、证明不等式等。
3. 注意不等式的变形在解题时，我们需要注意不等式的变形，比如加减、乘除、开方等操作会改变不等式的性质，需要根据具体情况来进行变形。
三、一次函数和不等式的综合应用一次函数和不等式常常在实际生活中综合应用，比如求解线性规划问题、解决经济问题、分析统计数据等。
在综合应用时，我们需要掌握以下技巧：1. 理解实际问题的背景和条件在应用一次函数和不等式解决实际问题时，我们需要先理解问题的背景和条件，才能更好地应用数学知识解决问题。
2. 建立数学模型在理解问题的背景和条件后，我们需要建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，以便更好地进行求解。
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于优化理论、经济学、物理学等领域。
在不等式证明中，凸函数可以帮助我们简化证明过程，并且提供了一些常用的不等式。
1. 定义：对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。
如果不等式方向反过来，即f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凹函数。
2.一阶导数判别法：如果函数f(x)在区间(a,b)上二次可导，且f''(x)≥0，则f(x)是凸函数；如果f''(x)≤0，则f(x)是凹函数。
3. Jensen不等式：如果函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数x1，x2，…，xn，以及任意的正实数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)。
在不等式证明中，凸函数可以用来简化证明过程，常用的应用有：1. 平均值不等式：对于任意的正实数x1，x2，…，xn，有(x₁+x₂+⋯+xₙ)/n ≥ √(x₁x₂⋯xₙ)。
这个不等式可以通过使用以函数f(x)=ln(x)为代表的凸函数来证明。
由于ln(x)在定义域(0,+∞)上是凸函数，我们可以使用Jensen不等式来证明平均值不等式。
2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a1，a2，…，an以及b1，b2，…，bn，有(a₁²+a₂²+⋯+aₙ²)(b₁²+b₂²+⋯+bₙ²) ≥(a₁b₁+a₂b₂+⋯+aₙbₙ)²。
这个不等式也可以通过使用凸函数来证明，常用的方法是构造凸函数f(x)=x²，然后应用Jensen不等式。
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是一类在数学中非常重要的函数，它具有很多重要的性质，并且在不等式证明中有着广泛的应用。
在本文中，我将介绍凸函数的性质，并给出一些在不等式证明中的具体应用。
一、凸函数的定义：对于定义在区间上的函数，如果对于区间上的任意两个点和以及任意实数，都有那么我们称函数是凸函数。
如果上式中的等号只在时成立，那么我们称函数是严格凸函数。
二、凸函数的性质：1.凸函数的一阶导数是非递减的。
2.凸函数的二阶导数是非负的。
3.函数的局部极小值点是凸函数。
4.凸函数的和、乘积以及复合仍然是凸函数。
三、凸函数在不等式证明中的应用：凸函数具有很多重要的性质，这些性质使得凸函数在不等式证明中有着广泛的应用。
下面是一些具体的应用示例：1.利用凸函数判断不等式的方向：考虑不等式f(x)≥g(x)如果函数和是凸函数，且在区间上有，那么可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b2.利用凸函数证明不等式：有时候，我们需要证明一个不等式，其中和可能是一些函数或者表达式。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，以及在边界处有，那么我们就可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b从而证明原始的不等式。
3.利用凸函数确定不等式的最优解：在一些优化问题中，我们需要求解一个约束条件下的最优解。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，且在边界处有，那么我们就可以确定约束条件的最优解。
4.利用凸函数证明柯西不等式：对于实数集和，柯西不等式指的是(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中和是任意实数。
我们可以通过构造一些凸函数的性质，如二次函数，来证明柯西不等式。
在不等式证明中，凸函数是一个非常重要的工具。
它的性质使得我们可以利用它来判断不等式的方向，证明不等式，确定不等式的最优解，甚至证明柯西不等式等等。
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用凸函数（Convex function）是数学中的一种特殊函数，具有一些特殊的性质和应用。
在证明不等式中，凸函数的性质可以帮助我们简化问题，提供了一种有效的方法。
1. 定义：对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2∈R以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么f(x)是凸函数。
2.几何意义：凸函数的几何意义可以通过以下两点来理解。
首先，凸函数的图像上的任意两点形成的线段在函数图像的上方或者处于函数图像上。
其次，凸函数的下方的切线都位于函数图像下方。
3.一阶导数条件：对于凸函数来说，一阶导数是单调递增的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，则f'(x)≥0。
4.二阶导数条件：凸函数的二阶导数是非负的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，则f''(x)≥0。
凸函数在证明不等式中的应用：1.约束条件：凸函数在一些约束条件下的最大值或最小值通常是问题的关键。
我们可以通过构造一个约束函数和一个目标函数，来求解最优化问题。
通常情况下，约束函数是一个凸函数，而目标函数是可以转化为凸函数的。
2.差分近似：在证明不等式过程中，我们常常需要利用凸函数近似一些复杂的函数。
这是因为凸函数在大部分区间上是递增的，所以可以将复杂的问题简化为凸函数问题。
3. Jensen不等式：Jensen不等式是证明凸函数不等式的重要工具。
Jensen不等式指出，如果f(x)是凸函数且x1, x2, ..., xn是任意实数，那么有f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn) ≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)，其中λ1, λ2, ..., λn是非负实数且满足λ1+λ2+...+λn=14. Karamata不等式：Karamata不等式是一种更加广义的不等式，可以被用于证明许多重要的几何不等式。
这个不等式是基于对凸函数定义的一个扩展。
取整函数与不等式的应用与证明取整函数是数学中一个常见的函数，在实际问题中有着广泛的应用。
本文将分别探讨取整函数在不等式中的应用以及相关的证明方法。
1. 取整函数的定义与性质先来回顾一下取整函数的定义。
对于任意实数x，记[x]为不超过x的最大整数，即[x]≤x<[x]+1。
取整函数的常见性质包括：- [x] ≤ x < [x] + 1- [x] = x 当且仅当x为整数- [n] = n 其中n为整数- [x] = [y] 当且仅当 x和y处在相同的整数区间内2. 取整函数在不等式中的应用取整函数在不等式中有着重要的应用。
例如，当我们面对一些复杂的不等式问题时，可以通过引入取整函数来简化计算。
下面举例说明。
(1) 应用举例：证明不等式3[x] ≤ [3x]考虑不等式左侧3[x]和右侧[3x]。
根据取整函数的性质可知，3[x] ≤3x < 3[x] + 3；[3x] ≤ 3x < [3x] + 1。
所以，当3x为整数时，3[x] = [3x]；当3x不为整数时，有3[x] < [3x]，即不等式成立。
(2) 应用举例：证明不等式 [x] + [-x] ≤ 0考虑不等式左侧[x] + [-x]和右侧0。
根据取整函数的性质可知，[x] ≤ x < [x] + 1；[-x] ≤ -x < [-x] + 1。
所以，当x为整数时，[x] = -x，即[x] + [-x] = 0；当x不为整数时，有[x] + [-x] < 0，即不等式成立。
3. 取整函数在不等式证明中的应用在不等式证明中，取整函数常常可以用来辅助证明或构造合适的方法。
下面我们将通过一个实例来展示取整函数在不等式证明中的具体应用。
(1) 证明问题：证明对于任意实数x，都有[x] + [x + 1/2] ≥ [2x]证明思路：首先我们可以将不等式左侧和右侧均化简为整数形式。
对于不等式左侧[x] + [x + 1/2]，根据取整函数的性质可知，[x] + [x +1/2] = 2[x] 当x不为整数时，[x] + [x + 1/2] = 2[x] + 1 当x为整数时。
一、概述不等式与一次函数作为初中数学的重要内容，是数学中的基础知识之一。
通过学习不等式与一次函数，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学运算能力，培养数学思维。
在八年级下册中，不等式与一次函数的学习也是一个重点内容，本文将重点介绍八下一元一次不等式与一次函数的相关知识。
二、一元一次不等式的基本概念1. 一元一次不等式的定义一元一次不等式是指一个未知数的一次方程，且不等式关系为大于、小于、大于等于或小于等于。
2. 一元一次不等式的解集一元一次不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
解集一般用数轴上的区间表示。
3. 一元一次不等式的性质一元一次不等式的性质包括加减法性质、乘除法性质以及绝对值性质。
这些性质在求解一元一次不等式时起着重要作用。
三、一元一次不等式的解法1. 一元一次不等式的解法求解一元一次不等式时，可以通过加减法、乘除法性质，或者通过绝对值性质来进行变形。
然后求出不等式的解集。
2. 一元一次不等式的解集表示一元一次不等式的解集表示在数轴上的区间，可以用不等号的方向和顶点来表示。
3. 一元一次不等式的解的检验求解一元一次不等式后，需要进行解的检验，即将得到的解集带入不等式中，验证所求解是否正确。
四、一次函数的基本概念1. 一次函数的定义一次函数是指函数y=kx+b，其中k和b是常数，且k≠0。
一次函数的图像是一条直线。
2. 一次函数的图像特征一次函数的图像是一条直线，其斜率k决定了直线的斜率和方向，常数b决定了直线的截距。
3. 一次函数的性质一次函数的性质包括增减性、奇偶性、零点、定义域、值域等。
五、一元一次不等式与一次函数的通联1. 一元一次不等式与一次函数的关系一元一次不等式与一次函数之间存在着密切的通联，通过不等式解的方法可以求出一次函数的定义域和值域，通过一次函数的图像可以帮助理解不等式解集的表示。
2. 一元一次不等式与一次函数的应用一元一次不等式与一次函数的知识可以相互应用，通过一次函数的图像特征可以帮助理解不等式的解集表示，通过不等式解的方法可以求出一次函数的定义域和值域。
不等式与数列函数的综合应用在数学中，不等式和数列函数都是非常重要的概念。
它们在实际问题中的应用广泛且深远。
本文将探讨不等式与数列函数的综合应用，并通过具体案例展示其在实际生活中的重要性。
一、不等式的应用1. 购物优惠假设一个商场正在进行促销活动，打折的力度与购买金额成正比。
设商品原价为P，折扣率为r，则购买金额为P × (1-r)。
假设消费满x 元即可获得折扣优惠，我们可以得到不等式 P × (1-r) ≥ x。
通过解不等式可以确定消费满多少金额时才能获得折扣优惠。
2. 借贷利息在借贷过程中，利息是一个重要的考虑因素。
设借款金额为P，年利率为r，借款期限为n年，我们可以得到不等式P × (1+r)^n ≥ P。
通过解不等式可以确定借款期限内所需还款金额的下限。
3. 人口增长人口增长是一个关乎社会发展的重要问题。
设某地初始人口为P0，年增长率为r，则经过n年的发展，该地的人口为P0 × (1+r)^n。
通过解不等式可以预测人口增长的趋势，并为规划社会发展提供依据。
二、数列函数的应用1. 复利计算复利是指资金按照一定的利率进行投资，所获利息在下一期再次作为本金进行投资，使资金不断增值。
设初始本金为P0，年利率为r，经过n年的投资，我们可以得到数列函数 an = P0 × (1+r)^n，其中an表示第n年的资金总额。
通过计算数列的值，可以确定某个时刻的资金总额。
2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
在实际应用中，等差数列可以用来描述许多变化规律。
例如，某公司的销售额每年递增500万元，假设初始销售额为1000万元，则第n年的销售额可以表示为an = 1000 + 500n。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列中每个数字是前两个数字之和的数列。
例如，1，1，2，3，5，8就是一个斐波那契数列。
不等式与函数性质的综合应用数学竞赛中我们经常遇到这类不等式：函数f(x)在(a,b)连续，x 1,x 2,x 3∈(a,b)，且x 1+x 2+x 3为定值，求或证明f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)的最值。
本文将举例给出解决此类问题的方法。
首先我们建立以下三个定理。
定理1 若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，对任意x 0∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≥成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，给定的对任意x 0∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≤成立。
定理1的几何意义为：设M(x 0，y 0)为函数f(x)图像上任意一点，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x 0，y 0)处的切线(如果存在切线)上方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x 0，y 0)处的切线(如果存在切线)下方。
定理2 对任意),(),(b a n m ⊆，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，当),(n m x ∈时，不等式)()()()()(m f m x m n m f n f x f +---≤成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，当),(n m x ∈时，不等式)()()()()(m f m x m n m f n f x f +---≥成立。
定理2的几何意义为：若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，函数f(x)的图像夹在点M ，N 之间的部分在过这两点的弦的下方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，函数f(x)的图像夹在点M ，N 之间的部分在过这两点的弦的上方。
定理3 函数f(x)在(a,b)上连续，给定的x 0∈(a,b)，若对任意x ∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≥成立，则当x 1,x 2∈(a,b)，且x 1+x 2=2x 0时，f(x 1)+f(x 2)≥2f(x 0)成立；若对任意x ∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≤成立，则当x 1,x 2∈(a,b)，且x 1+x 2=2x 0时，f(x 1)+f(x 2)≤2f(x 0)成立。
定理3容易推广到n 个变量的情况。
利用函数极限的性质与导数的定义，凸函数的定义不难证明这三个定理，本文从略。
定理1，2实质是“化曲为直”，利用切线或弦估计函数f(x)的情况。
例1 已知1,,,a b c a b c R +++=∈，求证：22222264(1)(1)(1)27a b c -+-+-≤证：记22()(1),(01)f x x x =-<<，则3132()44,()327f x x x f ''=-=-， 222232164(1)()27(1)32(1)27381x x x x -≤--+⇔-≤-2(31)(1)(35)0x x x ⇔--+≥而01x <<，故上式恒成立。
从而()()()f a f b f c ++≤326464(1)272727a b c -++-+=，等号再a=b=c 是成立。
例2 已知x ，y ，z 是正实数，且x+y+z=1，求证：0131313222222≥+-++-++-zzz y y y x x x (2003湖南省高中数学竞赛试题)证：记2213)(x x x x f +-=（0<x<1），则f(x)的导函数为=)(/x f 222)1(16+-+x x x ，当31=x 时，=)31(/f 109，所以f(x)在31=x 处的切线方程为：)31(109-=x y ，下证：当0<x<1时，不等式≥+-2213xx x 103109-x 事实上，当0<x<1时，0)3()13(2≤--x x 成立，故)39)(1()3(1022-+≥-x x x x 成立，所以当0<x<1时，不等式≥+-2213x x x 103109-x 成立。
由定理3知：0109)(109131313222222=-++≥+-++-++-z y x z z z y y y x x x ，当且仅当z y x ==时取等号。
说明：(1)对给定的x 0，若))(()()()(000x x x f x f x f -'≤≥-在(a,b)上成立，f(x)在(a,b)上并不一定下凸(或上凸)；(2)x 0的选择可视原不等式成立的条件而定。
例3 已知a ，b ，c>0，证明：)222(29ab cc a b c b a a b c c a b c b a +++++-≥+++++ 证：不仿a+b+c=3，a,b,c,>0，则原不等式等价于29323232333≥-+-+-+-+-+-c c b b a a c c b b a a . 记x x x x x f -+-=323)(（0<x<3）在x=1处的切线为x y 23=，下证：当0<x<3时， 23323xx x x x ≥-+-. ① 事实上，当373≥>x 时,032>-x x ,0)3(2)37(323≤--=--x x x x x x ,故23323x x x x x ≥-+-， 当370<<x 时，0)83()1(233232≤--⇔≥-+-x x x x x x x ,从而当0<x<3时，不等式①成立，由定理3知：29)(23323232333=++≥-+-+-+-+-+-c b a c c b b a a c c b b a a ，等号在a=b=c=1时取到。
说明：将本题的结论稍作变形，即可得出另一优美的不等式。
6)21()21()21(222≥++++++++b a c a c b c b a （a ，b ，c +∈R ），此不等式与本例的不等式均出自《中等数学》数学奥林匹克问题栏目。
例4 正实数a,b,c 满足a 2+b 2+c 2=1.求:222111ccb b a a -+-+-的最小值.（加拿大国家集训队训练题，1989）解：令x=a 2,y=b 2,z=c 2，则原题等价于正实数x,y,z 满足x+y+z=1.求:zzy y x x -+-+-111的最小值.记函数x x x f -=1)(（0<x<1）在31=x 处的切线方程为23)31(233+-=x y ，下证：0<x<1时，≥-x x 123)31(233+-x ② 事实上，当0<x<1时，≥-x x 123)31(233+-x ⇔0)43()13(2≤--x x ，从而不等式②成立，由定理3知：233233)1(233111=+-++≥-+-+-z y x z z y y x x ，即222111c c b b a a -+-+-的最小值为233，当且仅当c b a ==时取等号。
例5 已知,,αβγ均为锐角，且333sin sin sin 1αβγ++=，求证：222tan tan tan αβγ++≥证明：令333sin ,sin ,sin x y z αβγ===，则1x y z ++=，于是222222222sin sin sin tan tan tan 1sin 1sin 1sin αβγαβγαβγ++=++---222333222333111x y zx y z =++---记()1)f x x =<<，则()f x '=，1)3x ≥-+, ①为方便，记p q ==则①223322222()13(1)1p q p q p q q q⇔≥-+---22322()(1)[24(31)(2)]0p q q p p q q p q ⇔--++-+≥因为232223110,20,240,10,()0q p q p p q q p q -=>+>+>->-≥，所以①式成立。
从而1)x y z≥++-=，即222tan tan tanαβγ++≥成立。
例6 已知1,,,2a b c a b c R+++=∈+的最大值。
解：记1(),(0)412f x xx=<<+，则2()()f x f x'''==，所以当1(0,]4x∈时，()0,()f x f x''<上凸，1)4150610xx≤-++恒成立；当11[,)42x∈时，11()()())46f x f x f x'<=≤≤-+即当1(0,)2x∈1)6x≤-恒成立。
从而()()()f a f b f c++≤1)2a b c≤++-=a=b=c是成立。
例7设a,b,c为正实数，证明：2>+++++bacacbcba证：由于齐次性，不妨设a+b+c=3，则问题等价于2333>-+-+-ccbbaaxxxf-=3)(（0<x<3）在5.1=x处的切线方程为：321)23(32xxy=+-=，易证当0<x<3时，xxx323≥-，③事实上，当0<x<3时，xxx323≥-)32(2≥-⇔x，从而不等式③成立。
由定理3知：2)(32=++≥+++++cbabacacbcba，但等号不能取到。
例8已知a,b,c为直角或钝角三角形三边，求证：102535222222222<+++++≤bacacbcba证：不仿a ≤b<c,a 2+b 2+c 2=3，由于已知a,b,c 为直角或钝角三角形三边，故3=a 2+b 2+c 2≤2c 2，c 2≥23,又a+b>c>0，故2(a 2+b 2)≥(a+b)2>c 2,从而3=a 2+b 2+c 2〉23c 2，c 2<2，总之23≤c 2<2，1<a 2+b 2≤23。
(1) 记函数xxx f -=3)((0<x<3)，则2)3(3)(x x f -='，3)3(6)(x x f -=''，当0<x<3时，0)(>''x f ，从而函数x x x f -=3)(在(0，3)上下凸，所以23)2(23322222222ba b a b b a a +-+≥-+-22326c c +-=， 故≥+++++222222222b a c a c b c b a 4242222918933326cc c c c c c -+-=-++-. 由于424291893)(c c c c g -+-=在)2,5.1[上是增函数，所以35)5.1()(2=≥g c g ， 故35222222222≥+++++ba c a cbc b a ，等号当且仅当a 2=b 2=43,c 2=23时取到. (2) 设a 2+b 2=k ，则c 2=3-k ，1<k ≤1.5，由定理2知：当x ∈(0,k)时，曲线全在直线y=kx-3的下方，所以k k b b a a -≤-+-3332222,从而5.2392332222222222<-+-=-+-≤+++++k k k k k k b a c a c b c b a 由(1)(2)本例不等式得证。
