实验2 极限与连续（基础实验）
实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用
Mathematica 画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形
特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.
基本命令
1.画散点图的命令ListPlot:
ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…{xn,yn}},选项]
或者
ListPlot[{y1,y2,…yn},选项]
前一形式的命令,在坐标平面上绘制点列),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的散点图;后一形式的命令, 默认自变量i x 依次取正整数,,,2,1n 作出点列为),(,),,2(),,1(21n y n y y 的散点图. 命令ListPlot 的选项主要有两个:
(1) PlotJoined->True, 要求用折线将散点连接起来;
(2) PlotStyle->PointSize[0.02], 表示散点的大小.
2.求极限的命令Limit:
其基本格式为
Limit[f[x],x->a]
其中f(x)是数列或者函数的表达式, x->a 是自变量的变化趋势。
如果自变量趋向于无穷, 用
x->Infinity.
对于单侧极限, 通过命令Limit 的选项Direction 表示自变量的变化方向. 求右极限, 0+→a x 时, 用Limit[f[x],x->a,Direction->-1];
求左极限, 0-→a x 时, 用Limit[f[x],x->a,Direction->+1];
求+∞→x 时的极限, 用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->+1];
求-∞→x 时的极限, 用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->-1]。
注:右极限用减号, 表示自变量减少并趋于a ,同理,左极限用加号, 表示自变量增加并趋于a .
3.实验中用到的函数和命令:
Append[expr,elem] 将元素elem 添加到序列expr 中；
Table[expr,{i,imin,imax}] 生成一个表，序号从IMIN 到IMAX ；
Print[expr1,expr2,...] 在屏幕上输出表达式或数字。
4.循环语句For
循环语句的基本形式是
For[循环变量的起始值, 测试条件, 增量, 运算对象]
运行此命令时, 将多次对后面的对象进行运算, 直到循环变量不满足测试条件时为止. 这里必须
用三个逗号分开这四个部分. 如果运算对象由多个命令组成, 命令之间用分号隔开.
例如, 输入
t=0;
For[j=1,j<=10,j++,t=t+j];
t
则循环变量j 从取值1开始, 到10结束. 每次增加1. 执行结果, 输出变量t 的最终值1+2+…
+10=55.
注:For 语句中的 j++ 实际表示j=j+1.
实验举例：
1、作散点图
例2.1 分别画出坐标为)10,,2,1(),4,(),,(3222 =+i i i i i i 的散点图, 并画出折线图.
分别输入命令
t1=Table[i^2,{i,10}]; g1=ListPlot[t1,PlotStyle->PointSize[0.02]];
g2=ListPlot[t1,PlotJoined->True];Show[g1,g2];
t2=Table[{i^2,4i^2+i^3},{i,10}];
g1=ListPlot[t2,PlotStyle->PointSize[0.02]];
g2=ListPlot[t2,PlotJoined->True];Show[g1,g2];
则分别输出所求图形。
2、数列极限的概念
例2.2 通过动画观察当∞→n 时数列21n a n =
的变化趋势.
输入
Clear[tt];
tt={1,1/2^2,1/3^2};
Do[tt=Append[tt,N[1/i^2]];
ListPlot[tt,PlotRange->{0,1},PlotStyle->PointSize[0.02]],{i,4,20}]
则输出所求图形动画。
从图中可以看出所画出的点逐渐接近于x 轴。
3、函数的极限
例2.3 在区间]4,4[-上作出函数x x x x x f --=339)(的图形, 并研究 ).(lim 1x f x →
输入命令
Clear[f];f[x_]=(x^3-9x)/(x^3-x);
Plot[f[x],{x,-4,4}];
则输出)(x f 的图形. 从图可猜测 ).(lim 1
x f x →不存在. 例2.4 观察函数x x x f sin 1)(2
=当+∞→x 时的变化趋势. 取一个较小的区间[1, 10], 输入命令
f[x_]=Sin[x]/x^2;Plot[f[x],{x,1,20}];
则输出)(x f 在这一区间上的图形. 从图中可以看出图形逐渐趋于0. 事实上, 逐次取更 大的区间, 可以更有力地说明当+∞→x 时, .0)(→x f
作动画: 分别取区间]100,10[,],20,10[],15,10[ 画出函数的图形, 输入以下命令:
i=3;
While[i<=20,Plot[f[x],{x,10,5*i},PlotRange->{{10,100},{-0.008,0.004}}];i++]
则输出17幅图, 点黑右边的线框, 并选择从前向后的播放方式播放这些图形, 可得函数 x x x f sin 1)(2
=当∞→x 时变化趋势的动画, 从而可以更好地理解此时函数的变化趋势。
例2.5 求和式 +++++=!
1!31!211n e 的近似值。
输入：e0=1.;e1=1.;m=10;
Print["n"," E"]; For[i=1,i<=50,i++,
e1=N[e0+1/i!,18];
Print[i," ",e1];
If[Abs[e0-e1]>10^-m,e0=e1,Break[]] ]
输出结果：
n E
1 2.
2 2.5
3 2.66667
4 2.70833
5 2.71667
6 2.71806……
4、两个重要极限
例2.6研究第二个重要极限.11lim x
x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞→ 输入：Limit[(1+1/n)^n,n->Infinity] 输出为e. 再输入
Plot[(1+1/x)^x,{x,1,100}] 则输出函数x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+11的图形. 观察图中函数的单调性. 理解第二个重要极限 .11lim e x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→ 实验习题：
1. 设数列.12111333n
x n +++= 计算这个数列的前30项的近似值. 2. 定义数列.321,1110⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+==--n n n x x x x 可以证明:这个数列的极限是.3计算这个数列的前 30项的近似值. 作散点图, 观察点的变化趋势。
3. 计算极限
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+→x x x x x sin 11sin lim )1(0 x x e x 2lim )2(+∞→
30sin tan lim )3(x
x x x -→ x x x 0lim )4(+→ x x x ln cot ln lim
)5(0+→ x x x ln lim )6(20+→ x
x x x x x sin cos sin lim )7(20-→ 125523lim )8(323+++-∞→x x x x x x x x e e x x x sin 2lim )9(0----→ x x x x cos 11
0sin lim )10(-→⎪⎭⎫ ⎝⎛ x0=0.;x1=0.;m=10;
Print["n", " E"];
For[i=1,i ≤30,i++,
x1=N[x0+1/(i^3),18];
Print[i," ",e1];
If[Abs[x0-x1]>10^-m,x0=x1,Break[]] ]。
