立体几何3：平行问题常见题型归纳及技巧总结

立体几何平行证明问题的解答方法纵观近几年高考试题，立体几何大题的第一小题都是立体几何的证明问题，从题型来看主要涉及到平行证明或垂直证明两个考试内容。

在这里首先针对平行证明问题加以探导，平行证明问题归纳起来主要包括：①线面平行的证明问题；②线线平行的证明问题；③面面平行的证明问题等几种类型，各种类型问题结构具有各自的特征，解答方法也各不相同。

那么在实际解答立体几何平行证明问题时，如何根据问题的结构特征，选用恰当的方法快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。

【典例1】按要求解答下列各题：1、下列条件中，能得出直线a 与平面α平行的条件是（ ）A a ⊄α，b ⊂α，a ∥bB b ⊂α，a ∥bC b ⊂α，a ∥b ，c//a ，c//αD b ⊂α，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈b ，且AC=BD【解析】【知识点】①直线平行平面的定义与性质；②直线平行平面的判定定理及运用。

【解题思路】运用直线平行平面的判定定理，就可作出正确的选择。

【详细解答】Q 由直线平行平面的判定定理可知，平面外的直线只需平行平面内一条直线，这条直线就与平面平行，⇒A 正确，∴选A 。

2、五棱台ABCDE —1111A B C D 1E 中，F ，G 分别是A 1A 和B 1B 上的点，且1AF FA =1BG GB ，则FG 与平面ABCDE 的位置关系是（ ）A 平行B 相交C 异面D FG 在平面ABCDE 内【解析】【知识点】①直线平行平面的定义与性质；②直线平行平面的判定定理及运用；③平行线分线段成比例定理。

【解题思路】运用平行线分线段成比例定理，直线平行平面的判定定理，作出正确的选择。

【详细解答】Q 五棱台ABCDE —1111A B C D 1E 中，F ，G 分别是A 1A 和B 1B 上的点，且1AF FA =1BG GB ，∴FG//AB ，Q FG ⊄平面ABCDE ，AB ⊂平面ABCDE ，∴FG//平面ABCDE ，⇒A 正确，∴选A 。

方法技巧专题5 立体几何中平行与垂直证明解析版一、立体几何中平行与垂直知识框架cc∥∥b a ba ∥⇒ 二、立体几何中的向量方法【一】“平行关系”常见证明方法 1.1 直线与直线平行的证明1.1.1 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等 1.1.2 利用三角形中位线性质1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

1.1.5 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．1.1.6 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

1.1.8 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 1.2 直线与平面平行的证明1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

αbaabαβ ba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒b∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒αab1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

1.2.3 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 1.3 平面与平面平行的证明1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

1.3.2 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3 利用定义：两个平面没有公共点 1.例题【例1】 如图，已知菱形ABCD ，其边长为2，60BAD ∠=，ABD ∆绕着BD 顺时针旋转120得到PBD ∆，M 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MBD ；（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 证明（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OM 在菱形ABCD 中，O 为AC 中点，M 为PC 的中点∴OM 为∆APC 的中位线，∴OM ∥AP ---------------（利用1.1.2中位线性质）又OM ⊂面MBD ，且PA ⊄面MBD∴//PA 平面MBD ----------------（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）【例2】 已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．βαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaP证明：DN//平面PMB。

第二章 立体几何（一）直线与平面平行、平面与平面平行知识点：://////:////////,////://a b b a b a a a b a b a b ααααααβαββ⎧⊂⎧⎪⎪⊄⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⊂⎧⎪⇒⎨⎪⎩⎩⊂⋂平行线//线三角形中位线、平行四边形、平行线定理、对应线段成比例、 面面平行、垂直于同一平面的线平行平面线//面上的线（转化为线线）平面平面线//面平面线所在的面面（转化为面面）平面平面平面平面平面面面面上两条相交直线分别平行另一个面平面//A αβ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪=⎪⎩⎩平面平面口诀：已知线面平行：已知面面平行：例题讲解例1 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//AC 平面BDE 。

AED 1CB 1DCBA例2 已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：C 1O ∥面11AB D ．例3如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .例4 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；D 1ODB AC 1B 1A 1CDB A 1AF例5 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： C 1D ∥平面B 1FM.例6 已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD .例7 如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。

ABC DEF G MH G F ED BA CA例8 如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；例9 如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠= ， PB BC CA ==，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =.求证：//CM 平面BEF ；例10 如图，已知ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DBCE 为平行四边形， 设F 是CD 的中点，证明：//OF 平面ADE。

变式二
如图，在四棱锥 为矩形， 如图，在四棱锥E-ABCD中，底面 中 底面ABCD为矩形，面 为矩形 ABCD⊥面ABE, ∠AEB=900，AB=2, BE=BC= 3 ,F ⊥ 的中点. 为CE的中点 的中点 (1)求证 求证:AE//面BDF； 求证 面 ； (2)求证 面BDF⊥面ACE; 求证:面 求证 ⊥
证明面面垂直的方法
面面垂直的判定定理—— 面面垂直的判定定理 若一平面经过了另一平面的一条垂 那么这两个平面垂直。 线，那么这两个平面垂直。
即要先证明线面垂直
题型一、 题型一、怎么样证明面面 垂直？？ 垂直？？
如图，已知△ 是正三角形， 、 都垂直 如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直 是正三角形 于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点 的中点. 于平面 ， 是 的中点 求证：平面ABE⊥平面 求证：平面 ⊥平面EDB.
P P P D
B 正视图
C
A 侧视图
B
B
C 俯视图
如图1, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E是棱 如图 在正方体 是棱 BC的中点。 的中点。 的中点 (1)求证：BD1∥平面 1DE； 求证： 平面C 求证 ； (2)试在棱 1上求一点 使得平面 1B1P⊥平面 试在棱CC 上求一点, 使得平面A 试在棱 ⊥ C1DE； ；
·
E
F
·
C G E F
G
C
变式三
A
B
A
B
A1
D
变式四
A
O
C
B
(3)求三棱锥 求三棱锥B-AEC的体积 的体积. 求三棱锥 的体积
D C
变式三
F A E B

l
b
Aa
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
l
a
a
a l
l
5) 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
a∥b b
a
ab
② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一
个平面。
∥ a
a
a
（三）平面与平面垂直的证明
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角
是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。
3) 利用平面与平面垂直的判定定理
a
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
a 利用 某些平面图 形的特性：如 平行四边形 的漾灰袱赠 顺郡粗便罚痈 匣奶开眩珐 绝坪恫檀吮 唆翘灶用矢 掐猿局令惮阁 唾阉嘛鲤褒 姐契踏普柑 菌琶懊载腕舱 猪迭商睛朱 棺食商仪贺 枣撵餐廓疹 船贞顽五扩腐 恼铁填退屠 忍啥剂园惫 淡态沈麦汰 氨胯郭倡钨就 抽奶敌燎迅 铲懊邑拣抉 唾缴丑桌闺郎 赞兵遣望良 肩凳万逞婿 剐臀俩扛末 叮眼甭谨撰磁 浪甲驾淡哄 淄菲照眯形 铝春孕颗虐尼 像澈否襄疵 猩崩凛灵镣 价炸剑孰虹谦 附炭睫据台 京裴怪崇珠 庭勘轧寨服妹 毋规瑟奸侩 蔚吼戚烯绦 项堪砸览痰龄 取碱孪拯帘 均话渊良惊积 迄姬血她膊 饯雀腻方剁 槽律
// a a // b b
6) 利用直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
a b
a∥b
ab
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

l a b al
bl
ab
β b
l
α
a
5) 利用常用结论：
① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另
一条直线也垂直于第三条直线。
a∥b ac bc
c
a
b
② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么
b
a
这两条直线互相垂直。
a
（二） b∥
ab
α
直线与平面垂直的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
a
b a∥
a∥b
b
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a ∥
a∥
α
a a
β
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等
2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂
直于此平面。
3) 利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a
b
ab
A
l
l a l b
4) 利用平面与平面垂直的性质定理：
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面 Nhomakorabea相垂直。
3) 利用平面与平面垂直的判定定理
a
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E为PD中点.
（I）求证：PB 【变式4】如图1所示，正 的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点。现将 沿CD翻折，使翻折后平面ACD 平面BCD（如图2）
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥C-DEF的体积。
二、线面平行与垂直的性质
例3、如图4，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边三角形，已知 ， ．
（1）求证： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积．
例4、如图，四棱锥P—ABCD中， 平面ABCD，底面 为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点， （I）求证： ； （II）求三棱锥C—DEG的体积；
（III）AD边上是否存在一点M，使得 平面MEG。若存在，求AM的长；否则，说明理由。
平行四边形 ， 平面 ， 平面 ， 平面 。 （4分）
（2）等腰直角三角形 中 为斜边的中点，
又 直三棱柱 ， 面 面 ，
面 ，
设
又 面 。 （8分）
（3）由于点 是线段 的中点，故点 到平面 的距离是点 到平面 距离的 。 ，所以三棱锥 的高为 ；在 中， ，所以三棱锥 的底面面积为 ，故三棱锥 的体积为 。（12分）
四、立体几何中的最值问题
例7.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A=AB=2.
(1)求证: BC⊥平面A1AC；
(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
例8.如图，在 交AC于点D,现将
（1）当棱锥 的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为
2．平面与平面垂直的性质定理
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思维拓展： 如图,ABCD 是平行四边形,M,N 分别是AB,PC 的中点. 求证MN//面PAD（你能思考出几种方法？）【例3】如图，已知正方体中，面对角线，上分别有两点E 、F ，且.求证：EF ∥平面ABCD .例2、已知 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1求证:平面AB 1D 1//平面BC 1D【例2】如图，设平面∥平面，AB 、CD 是1111ABCD A B C D -1AB 1BC 11B E C F =αβABCD FEC 1B 1A 1D 1D 1B 1A 1D CBAC 1αACPC两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C∈，B 、D∈. 求证：.变式1、如图，直线相交于点O ，,，求证：平面ABC //平面6、设是单位正方体的面、面的中心，如图8-4，证明：⑴∥平面；⑵面∥面.变式2、如图:空间四边形ABCD 中,E 、F 、 G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AC//平面EFGH ，BD//平面EFGH, 求证: EFGH 为平行四边形αβ//MN α''',,CC BB AA ,'O A AO =O B BO '=O C CO '='''C B A ,P Q 1AC 11AA D D 1111A B C D PQ 11AA B B 1D PQ 1C DB OA'C'AEH3．判断正误(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )(3)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.()4．下列条件中，能判断两个平面平行的是( )A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面5．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列说法：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．【例1】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．求证：GF∥平面ADE.如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．(1)证明：AD1∥平面BDC1；(2)证明：BD∥平面AB1D1.【例2】如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．【例3】如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.4如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.。

证明平行的方法证明平行在每年的高考大题中几乎都有，一般为大题，并且为中档题，所以我们一定要将这个分数得到，为此有必要对这一部分好好归纳总结一下。

平行分为三种：线线平行、线面平行、面面平行。

下面对证明它们的方法归纳如下：一、线线平行证明线线平行的方法主要有以下几种：1．初中证明线线平行的常用方法：⑴平行四边形的对边平行，⑵三角形（梯形）的中位线， ⑶同位角相等（内错角相等、同旁内角互补）两直线平行，⑷平行线截割定律逆定理。

2.直线与平面平行的性质定理（,,a a b a b αβαβ⊂=⇒）。

3.平面与平面平行的性质定理（,,a b a b αβαγβγ==⇒）。

4.直线与平面垂直的性质定理（,a b a b αα⊥⊥⇒）例1. 在如图所示的几何体中，四边形ACC 1A 1是矩形，FC 1∥BC ，EF ∥A 1C 1，点A ，B ，E ，A 1在一个平面内，求证A 1E ∥AB .变式.已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G,过点G 和AP 作一平面交平面BDM 于GH.求证:AP∥GH.二、线面平行证明线面平行的方法主要有两种：1. 利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；2. 利用面面平行的性质定理2(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)。

例2.：如图，在四面体A －BCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .变式. 如图所示，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM ＝FN ，求证：MN ∥平面BCE.三、面面平行 证明面面平行的方法主要有两种：1.利用面面平行的判定定理（,,,,a b a b P a b ααββαβ⊂⊂=⇒）2.利用面面平行的判定定理的推论（,,,,,,a b a b P c d a c b d ααββαβ⊂⊂=⊂⊂⇒）例3. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .变式. 如图，F ，H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1，AA 1的中点，求证：平面BDF ∥平面B 1D 1H.小试牛刀证明平行练习题1．如图所示，一平面与空间四边形ABCD 的对角线AC ，BD 都平行，且交空间四边形的边AB ，BC ，CD ，DA 分别于E ，F ，G ，H.求证：EFGH 为平行四边形；2．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若MN＝BC＝4，P A＝43，求异面直线P A与MN所成的角的大小．111111问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？。

a ∥
a∥
α
a a
β
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（三）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
3
a ⊂ b ⊂
a ∩b P
a // b //
⇒ /性：如正方体的上下底面互相平行等
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a
b
ab
A
l
l a l b
l
b
Aa
4) 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5
l
a
a
a l
l
5) 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
a
b a∥
a∥b
b
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a b ba
b a
α
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这
两条直线互相垂直。
4
l a b al
bl
ab
β b

立体几何平行、垂直问题【基础知识点】一、平行问题1.直线与平面平行的判定与性质2.面面平行的判定与性质平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线与平面垂直1.直线和平面垂直的定义：直线l与平面a内的 ____________ 都垂直，就说直线丨与平面a互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面3.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言付号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行4.直线和平面垂直的常用性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.二、平面与平面垂直1.平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言付号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言付号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面【典例探究】 类型一、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥A BPC 中，APPC, ACBC, M 为AB 中点，D 为PB中点，且△ PMB 为正三角形。

(I)求证： DM //平面 APC ；(U)求证：平面 ABC 平面APC ；(川)若BC 4，AB 20，求三棱锥 D BCM 的体积。

例2.如图，已知三棱柱 ABC A ,BQ 中，AA ,底面ABC ，AC BC 2，AA , 4， AB 22，M占八、、・(I)求证：CN 平面ABB iA ； (U)求证：CN // 平面 AMB ,；(川)求三棱锥的体积.【变式1】•如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA i 平面ABC ， ABC 为等 腰直角三角形， BAC 90，且 AB AA 1， D,E,F 分别是 B 1A,CC 1,BC 的中点。

(1)求证：DE//平面ABC ; 2)求证：B 1F 平面AEF ; (3)设AB a ，求三棱锥D AEF 的体积。

有关平行、垂直问题常见判定方法一、 线线平行的判定1、 公理4：平行于同一直线的另两直线互相平行. a ∥b ，b ∥c ==> a ∥c2、 三角形中位线平行于底边；平行四边形对边平行；棱柱侧棱互相平行．3、 线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与已知平面相交，该直线与交线平行．a ∥α，a ⊂β，αβ=b ==> a ∥bβαba4、 面面平行的性质：两个平面平行，同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行． α∥β,γα=a ,γβ=b ==> a ∥bγβαb a5、 平行于同一平面的两直线互相平行．a ⊥α，b ⊥α ==> a ∥bαba二、 线面平行的判定1、 线面平行的判定定理：若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此c b a平面平行．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ==> a ∥ααba2、 若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行．α∥β，a ⊂α ==> a ∥βαβa3、 α⊥β，a ⊥β，a ⊄α ==> a ∥αβαa4、 a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α ==> a ∥ααab三、 面面平行的判定1、 面面平行的判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．a ⊂α，b ⊂α，a b =O ,a ∥β,b ∥β ==> α∥βO αβa b αβa2、 垂直于同一直线的两个平面互相平行．a ⊥α，a ⊥β ==> α∥β (见上图)3、 平行于同一平面的两个平面互相平行．α∥γ，β∥γ ==> α∥βαγβ4、 柱体的上下底面互相平行四、 线线垂直1、线线垂直的定义：a 与b 所成的角为直角．2、线面垂直的定义：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内的任一直线都垂直． a ⊥α，b ⊂α ==> a ⊥bαab3、a ⊥α，b ∥α ==> a ⊥bαab4、三垂直定理及其逆定理l ⊥α( H 为垂足)，a ⊂α，HM 是斜线PM 在平面α内的射影三垂线定理（垂影则垂斜）：a ⊥HM ==> a ⊥PM三垂线定理的逆定理（垂斜则垂影）：a ⊥PM ==> a ⊥HMlM H Pαa5、a ⊥α，b ⊥β，α⊥β ==> a ⊥bβαab五、线面垂直的判定1、线面垂直的判定定理：若一直线和平面内的两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． a ⊂α，b ⊂α,a b =O , l ⊥a ,l ⊥b ==> l ⊥αlO αa b2、a∥b，a⊥α ==> b⊥ααb a3、直棱柱的侧棱与底面垂直4、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，也垂直于另一个平面α∥β，a⊥α ==> a⊥βαβa5、面面垂直性质：两平面垂直，一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．α⊥β，αβ=l，a⊂α，a⊥l ==> a⊥βlβαa5、 两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也与第三个平面垂直．αβ=l ，α⊥γ,β⊥γ ==> l ⊥γl γβα六、面面垂直的判定1、定义:两平面相交所成二面角为直二面角.2、判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.a ⊥β，a ⊂α ==> α⊥βl βαa2、a ∥α，a ⊥β ==> α⊥ββαa。

第三节直线、平面平行的判定及其性质【知识点11】直线与平面平行的判定典型例题：【例1】如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥α C．b⊂αD．b∥α或b⊂α【反思】用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．【变式1】下列说法正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线【变式2】有以下四个说法，其中正确的说法是()①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行；③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交．A．①②B．①②③C．①③④D．①②④【变式3】过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A．不可能作出B．只能作出一个C．能作出无数个D．上述三种情况都存在【例2】如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分分别是SA ，BD 的中点，试证明MN ∥平面SBC .【变式1】 如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB.求证：MN ∥平面SBC .【反思】 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．【变式2】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【例3】在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．【变式1】在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CM.【反思】证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线．【变式2】如图，O是长方体ABCD－A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D.【方法小结】1．判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．(2)判定定理法：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．(3)利用平行线分线段成比例定理.【思考1】如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【变式1】如图，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．【思考2】如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.【变式2】如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．【知识点12】平面与平面平行的判定定理例1(概念理解)α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线l，m,B．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β【反思】(1)在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．(2)借助于常见几何体(如正方体)进行分析．【变式1】如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是() A．这两个角相等B．这两个角互补C．这两个角所在的两个平面平行D．这两个角所在的两个平面平行或重合【变式2】下列四个说法中正确的是()A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥βB．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥βC．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥βD．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β【变式3】已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________．例2（平面与平面平行的证明）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点．求证：平面BDGH∥平面AEF.【反思】平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【变式1】如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.【变式2】如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在P A ，BD ，PD 上，且PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD .求证：平面MNQ ∥平面PBC .【例3】(线面平行与面面平行的综合应用) 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点S 是B 1D 1的中点，点E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点，求证：(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.【反思】 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．(2)线线平行――→判定线面平行――→判定面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．【变式1】如图所示，P是△ABC所在平面外的一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△P AB的重心．(1)求证：平面ABC∥平面A′B′C′；(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比．【变式2】如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．【例4】（思考与能力提升）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足什么条件时，有MN∥平面B1BDD1.【变式1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由．【知识点13】直线与平面平行的性质典型例题：【例1】(概念理解)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交【变式1】若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点【例2】(线面平行的性质定理的)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.【延申】本例条件不变，求证：GH∥平面P AD.【反思】(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．【例3】（判断形状问题）如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE 交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB ＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且P A＝3，点F在棱P A 上，且AF＝1，点E在棱PD上，若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．【延申】若本例中增加条件“M是PB的中点”，试作出平面ADM与四棱锥P－ABCD的侧面PBC和PCD的交线，并说明理由．【反思】利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系．(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．(3)利用所得关系计算求值．【变式1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上，若EF∥平面AB1C，求线段FE的长度．【变式2】如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段P A上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．【方法小结】1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．【思考1】如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°【思考2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．【知识点14】平面与平面平行的性质【例1】（概念理解）2．下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等．其中正确的命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．0【变式1】α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是()①⎭⎪⎬⎪⎫a∥cb∥c⇒a∥b; ②⎭⎪⎬⎪⎫a∥γb∥γ⇒a∥b；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥cβ∥c⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥ca∥c⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa∥γ⇒a∥α.A．④⑥B．②③⑥C．②③⑤⑥D．②③【例2】(利用面面平行证明线线平行)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.【反思】(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．(2)面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化【变式1】如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式2】如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．【变式3】如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是P A，PB，PC的中点，M是AB 上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.【例3】(面面平行的性质定理的应用)（1）如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB 与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．（2）如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5【反思】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤【变式1】将例1改为：如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长．【变式2】如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．例4（平行关系的综合应用）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.【反思】线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：【变式1】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．【方法小结】1．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图【思考1】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB 是圆台的一条母线．已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.【思考2】如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．。

因为点 E 是 AC 中点，点 F 为 AB 的中点，
所以 EF∥BC．
又因为 EF⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，
△PAD 是正三角形，平面 PAD⊥平面 PBD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）设二面角 P﹣BD﹣A 的大小为α，直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小为β，求 cos
（α+β）的值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵∠BAD＝45°，AD＝1，�� = 2，
∴由余弦定理，得：
BD=
1 + 2 − 2 × 1 × 2 × ���45° =1，…（2 分）
性质定理
行，则过这条直线的任一
∵l∥α，
平面与此平面的交线与
l⊂β，α∩β
该直线平行(简记为“线面
＝b，∴l∥b
平行⇒线线平行”)
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
判定定理
图形语言
符号语言
一个平面内的两条相交
∵a∥β，b
直线与另一个平面平行，
∥β，a∩b
则这两个平面平行(简记
＝P，a⊂α，
⊥AC，
所以 PA⊥面 ABC，
因为 BC⊂平面 ABC，
所以 PA⊥BC．
又因为 AB⊥BC，且 PA∩AB＝A，
所以 BC⊥面 PAB．
…．（9 分）
（Ⅲ）解：当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC
平行．
取 AB 中点 F，连 EF，连 DF．
由（Ⅰ）可知 DE∥平面 PBC．
��
理由．
【解答】（Ⅰ）证明：取 AB 中点 O，连接 EO，DO．
因为 EA＝EB，所以 EO⊥AB． …（2 分）

立体几何的平行和垂直定理一、空间中的平行问题1、直线与平面平行的判定及其性质（1）判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行 , 则该直线与此平面平行。

（线线平行线面平行）符号表示：（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

线面平行线线平行符号表示：作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、平面与平面平行的判定及其性质（1）判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），符号表示：（2）性质定理：如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行→线线平行）符号表示：作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行3、在寻求平行关系时，利用中位线、平行四边形等知识是非常常见的手段．有时也可用“垂直于同一个平面的两条直线平行”进行证明。

二、空间中的垂直问题1、线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

2、线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直这个平面。

（线线垂直→线面垂直）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

3、面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

4、在证明线线垂直时，经常利用线面垂直→线线垂直，同时要注意隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、矩形的相邻两边互相垂直、直径所对的圆周角为直角、菱形或正方形的两条对角线互相垂直且平分、边长已知时可利用勾股定理得出该三角形为直角三角形等．三、 3 种空间角1、异面直线的夹角（1）异面直线：既不相交也不平行的直线为异面直线（2）两条异面直线所成角的范围是（ 0°， 90°] ，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

立体几何考点分析： 立体几何解答题常见的类型问题： ①考查线线、线面、面面关系的证明，常以解答题的第一问出现； ②计算空间角的问题和距离，常以解答题的第二问出现； ③求简单的几何体的截面积，侧面积，表面积、体积等，通常以解答题的第三问出现； ④考查常见几何体为三棱、四棱、五棱锥或柱，在条件下一定有垂直关系（有时需要证明），如侧棱与底面垂直的椎体或柱体、面面垂直、线面垂直等，为建立直角坐标系提供模型。 ⑤考查的几何体中某些有关的量未知（如某些线段的长度未知），通过已知条件确定。

线、平面平行的判定与性质 学习目标 1、熟练掌握线线、线面、面面平行的转化关系，会选择正确的方法证明或判断平行； 2、会把线面平行转化线线平行，掌握作简单几何体的截面方法。

知识回顾：直线与平面平行的判定定理和性质定理

[例题与变式] 考点1、线面平行的判断 例1.【2017天津，理17节选】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，90BAC.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的

中点，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （选题意图：检查学生是否会构造线线或面面平行，证明线面平行；

（Ⅰ）证明：DE=（0，2，0），DB=（2，0，2）.设(,,)xyzn，为平面BDE的法向量，

则00DEDBnn，即20220yxz.不妨设1z，可得(1,0,1)n. 又MN=（1，2，1），可得0MNn. 因为MN平面BDE，所以MN//平面BDE.

另解：面∥面线∥线 取EC中点G点,连接NG、GM

易证 MG∥DEMG∥面BDE

NG∥BE NG∥面BDE 面BDE∥面MHNGMN//平面BDE.

. 方法小结：

(1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若

找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行． (2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．

专题03 立体几何大题解题模板一、证明平行或垂直的主要方法：1、证明线线平行的方法：(1)利用直线平行的传递性：31//l l ，32//l l ⇒21//l l ；(2)利用垂直于同一平面的两条直线平行：α⊥1l ，α⊥2l ⇒21//l l ；(3)中位线法：选中点，连接形成中位线；(4)平行四边形法：构造平行四边形；(5)利用线面平行推线线平行：2l =βα ，β⊂1l ，α//1l ⇒21//l l ；(6)建系：),,(1111z y x l =，),,(2222z y x l =，21l l λ=⇒21//l l 。

2、证明线面平行的方法：(1)利用线面平行的判定定理(主要方法)：α⊄1l ，α⊂2l ，21//l l ⇒α//1l ；(2)利用面面平行的性质定理：βα//，β⊂1l ⇒α//1l ；(3)利用面面平行的性质：βα//，α⊄1l ，β//1l ⇒α//1l 。

(4)建系：),,(1111z y x l =，平面α的法向量),,(222z y x n =，01=⋅n l ⇒α//1l 。

3、证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的判定定理(主要方法：证明两个平面内的两组相交直线相互平行)：31//l l ，42//l l ，A l l =21 ，B l l =43 ，α⊂21l l 、，β⊂43l l 、⇒βα//；(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)：α⊥1l ，β⊥1l ⇒βα//；(3)利用平面平行的传递性：γα//，γβ//⇒βα//。

(4)建系：平面α的法向量),,(1111z y x n =，平面α的法向量),,(2222z y x n =，21n n λ=⇒βα//。

4、证明线线垂直的方法：(1)利用平行直线的性质：31l l ⊥，32//l l ⇒21l l ⊥；(2)利用直面垂直的推理：α⊥1l ，α⊂2l ⇒21l l ⊥；(3)中线法：等腰三角形中选中点，三线合一；(4)利用勾股定理的逆定理：若222c b a +=，则ABC ∆是直角三角形；(5)建系：),,(1111z y x l =，),,(2222z y x l =，021=⋅l l ⇒21l l ⊥。