2019-2020学年度最新数学高考通用版二轮专题复习专题检测：(十一)三角函数的图象与性质-含解析
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2019-2020学年度最新数学高考通用版二轮专题复习专题检测：（十
一）三角函数的图象与性质-含解析
一、选择题
1．(2017·贵阳检测)已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M (－3,4)，则cos 2θ的值为( )
A ．－7
25 B ．
725
C ．－
2425
D ．2425
解析：选A 由题意得，cos θ＝
－3
(－3)2＋42＝－35.
所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫－352－1＝－7
25
. 2．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π
2 B ．π C.3π2
D ．2π
解析：选B ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π
2
＝π.
3．(2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为π，其图象关于直线x ＝π
3
对称，则|φ|的最小值为( )
A.π12
B.π6
C.5π6
D.5π12
解析：选B 由题意，得ω＝2，所以f (x )＝A sin(2x ＋φ)．因为函数f (x )的图象关于直线x ＝π
3
对称，
所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π－π6(k ∈Z)，当k ＝0时，|φ|取得最小值π
6.
4．(2017·福建质检)若将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π
6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )
A.⎝⎛⎭⎫
π6，0 B.⎝⎛⎭⎫－π
6，0 C.⎝⎛⎭⎫π12，0
D.⎝⎛⎭
⎫－π
12，0 解析：选A 将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π
6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π
2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，当k ＝0时，x ＝π
6
，所以平移后图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0. 5．(2018届高三·湘中名校高三联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1
2，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π
4
，则函数f (x )的单调递增区间为( )
A.⎣⎡⎦⎤－π
2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π
2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤π＋2k π，5π
2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦
⎤π＋3k π，5π
2＋3k π，k ∈Z 解析：选B 由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，
所以ω＝2
3
，
所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋12
， 由－π2＋2k π≤23x －π6≤π
2＋2k π(k ∈Z)，
得－π
2
＋3k π≤x ≤π＋3k π(k ∈Z)，故选B.
6．(2017·太原模拟)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为( )
A.⎝⎛⎦
⎤0，43 B.⎝⎛⎦⎤
43，73
C.⎝⎛⎦⎤73，103
D.⎝⎛⎦⎤
103，133
解析：选B 法一：易得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <ωπ－π3.因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－π3≤2π，解得43<ω≤7
3
. 法二：当ω＝2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，设t ＝2x －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <5π
3，此时函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点x ＝π6，2π
3，满足题意，只有选项B 的取值范围中含
有数值2，故选B.
二、填空题
7．已知α为第二象限角，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－3
3，则tan α的值为________． 解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，∴sin α＝3
3， 又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－
63
， ∴tan α＝sin αcos α＝－2
2.
答案：－
22
8.(2017·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图
象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．
解析：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π
4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x
＝π
6
时，函数f (x )取得最大值， ∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π
6＋2k π(k ∈Z)，
∵0<φ<π，∴φ＝π
6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3. 答案： 3
9．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.
解析：令ωx ＝X ，则函数y ＝2sin X 与y ＝2cos X 图象交点坐标分别为⎝⎛⎭
⎫π
4＋2k π，2，⎝⎛⎭
⎫5π4＋2k π，－2，k ∈Z.因为距离最短的两个交点的距离为23，
所以相邻两点横坐标最短距离是2＝T
2，
所以T ＝4＝2πω，所以ω＝π
2.
答案：π
2
三、解答题
10．已知m ＝⎝⎛⎭
⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x,1)． (1)若m ∥n ，求tan x 的值；
(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．
解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎫x －π
6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ，即tan x ＝ 3. (2)f (x )＝m ·n ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
6cos x ＋1 ＝32sin x cos x －1
2cos 2x ＋1 ＝
3
4sin 2x －cos 2x ＋14
＋1 ＝1
2⎝
⎛⎭⎫sin 2x cos π6－cos 2x sin π6＋34 ＝1
2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6＋34， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－π6＋k π≤x ≤π
3
＋k π，k ∈Z.
又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π
6，π. 11．已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋cos 2x －sin 2x
＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2
⎝⎛⎭
⎫32sin 2x ＋12cos 2x
＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π. (2)由题意可知，不等式f (x )≥m 有解， 即m ≤f (x )max ，
因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦
⎤π6，7π6， 故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，f (x )取得最大值，且最大值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝2. 从而可得m ≤2.
所以实数m 的取值范围为(－∞，2]．
12．已知函数f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π
6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．
(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象． 解：(1)f (x )＝3sin 2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )·(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1 ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2ωx ＋π
6＋1. ∵点⎝⎛⎭⎫－π
6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， ∴－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，∴ω＝－3k ＋1
2，k ∈Z.
∵0<ω<1，∴k ＝0，ω＝1
2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1. 由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π
3
，k ∈Z ，
令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π
3
.
(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下：
则函数f (x。
