2020高考数学第二轮复习集合与简易逻辑

08高考数学第二轮复习集合与简易逻辑一、【重点知识结构】二、【高考要求】1.理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合. 2.理解|ax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)型不等式的概念，并掌握它们的解法.了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法.3.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义和判定.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力.三、【高考热点分析】集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.四、【高考复习建议】概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题.五、【例 题】【例1】 设}13|{},13|{,,22++==+-==∈y y b b B x x a a A R y x ，求集合A 与B 之间的关系。

解：由4545)23(1322-≥--=+-=x x x a ，得A=}45|{-≥x x 45)23(1322-+=++=y y y b 45-≥∴A=B【例2】 已知集合A=}0103|{2≤--x x x ，集合B=}121|{-≤≤+p x p x ，若B ⊆A ，求实数p的取值范围。

解：若B=Φ时，2121<⇒->+p p p若B ≠Φ时，则3251212121≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≤+p p p p p综上得知：3≤p 时，B ⊆A 。

【例3】 已知集合}123|),{(+=--=a x y y x A ，集合B=}30)1()1(|),{(2=-+-y a x a y x 。

如果∅=B A I ，试求实数a 的值。

解：注意集合A 、B 的几何意义，先看集合B ； 当a =1时，B=Φ，A ∩B=Φ当a =－1时，集合B 为直线y =－15，A ∩B=Φ当a ≠±1时，集合A ：)2)(1(3-+=-x a y ，A ∉)3,2(，只有B ∈)3,2(才满足条件。

故303)1(2)1(2=⋅-+⋅-a a ；解得：a =－5或a =27 ∴a =1或a =27或a=－1或a =－5。

【例4】 若集合A=}3,1,23{x -，B=},1{2x ，且}3,1,23{x B A -=Y ，求实数x 。

解：由题设知A B A =Y ，∴A B ⊆，故32=x 或x x 232-=即3±=x 或1=x 或3-=x ，但当1=x 时，123=-x 不满足集合A 的条件。

∴实数x 的值为3-或3±。

【例5】 已知集合A=}0310|{2≥-+x x x ，B=}022|{2<+-m x x x ，若B B A =I ，求实数m 的值。

解：不难求出A=}52|{≤≤-x x ，由B B A =I A B ⊆⇒，又0222<+-m x x ，m 84-=∆①若084≤-m ，即21≥m ，则A B ⊂Φ= ②若084>-m ，即21<m ，}211211|{m x m x B -+<<--=， ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≥--52112211m m 214<≤-⇒m 故由①②知：m 的取值范围是),4[+∞-∈m注：不要忽略空集是任何集合的子集。

【例6】 已知集合A={019|22=-+-a ax x x }，B=}1)85(log |{22=+-x x x ，C=}082|{2=-+x x x ，若A B ⊃∅I 与A C =∅I 同时成立，求实数a 的值。

解：易求得B=}3,2{，C=}4,2{-，由A B ⊃∅I 知A 与B 的交集为非空集。

故2，3两数中至少有一适合方程01922=-+-a ax x又A C =∅I ，∴A ∉2，即019392=-+-a a 得，a =5或a =－2 当a =5时，A=}3,2{，于是Φ≠=}2{C A I ，故a =5舍去。

当a =－2时，A=}5,2{，于是Φ⊃=}3{B A I ，∴a =－2。

【例7】 }023|{2=+-=x x x A ，}022|{2=+-=ax x x B ，A ∪B =A ，求a 的取值构成的集合。

解：∵A ∪B =A ，∴A B ⊆，当φ=B 时0162<-a ，∴-4<a <4，}2,1{}023|{2==+-=x x x A ，当1∈B 时，将x =1代入B 中方程得a =4，此时B ={1}，当2∈B 时，将x =2代入B 中方程得a =5，此时A B ⊄=}2,21{，a =5舍去，∴-4<a ≤4。

【例8】 已知}023|{2=+-=x x x A ，}02|{=-=ax x B 且A ∪B =A ，求实数a 组成的集合C 。

解：由A ={1，2}，由A ∪B =A ，即A B ⊆，只需a ×1-2=0，a =2或a ×2-2=0，a =1。

另外显然有当a =0时，φ=B 也符合。

所以C={0，1，2}。

【例9】 某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：（1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数； （4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。

解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法。

设只乘电车的人数为x 人，不乘电车的人数为y 人，乘车的人数为z 人，不乘车的人数为u 人，只乘一种车的人数为v 人如图所示（1）x =66人，（2）y =36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。

【例10】 （xx 届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M 是关于x 的不等式0)23()73(222<-++-+a a x a x 的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集.解：原不等式即0)32)(12(<-+--a x a x ，由0=x 适合不等式故得0)32)(1(>-+a a ，所以1-<a ，或23>a . 若1-<a ，则5)1(252132>+-=+-+-a a a ，∴2123+>-a a ， 此时不等式的解集是}2321|{a x a x -<<+；若23>a ，由45)1(252132-<+-=+-+-a a a ，∴2123+<-a a ， 此时不等式的解集是}2123|{+<<-a x a x .【例11】 （xx 届杭州二中高三数学综合测试题）已知1>a ，设命题01)2(:>+-x a P ，命题1)2()1(:2+->-x a x Q .试寻求使得Q P 、都是真命题的x 的集合.解：设}1)2()1(|{}01)2(|{2+->-=>+-=x a x x B x a x A ，， 依题意，求使得Q P 、都是真命题的x 的集合即是求集合B A I ，∵2211(2)1022(1)(2)1()(2)0(2)20a x x x a a x a x x a x x a x a ⎧⎧-+>>-⎧>-⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨->-+⎩⎪⎪-->-++>⎩⎩ ∴若12a <<时，则有122x ax x a⎧>-⎪⎨⎪><⎩或， 而11(2)20a a a a--=+->，所以12a a>-，即当12a <<时使Q P 、都是真命题的1{|22}x x x x a a∈>-<<或； 当2a =时易得使Q P 、都是真命题的3{|,2}2x x x x ∈>≠且；若2a >，则有122x ax a x ⎧>-⎪⎨⎪><⎩或， 此时使得Q P 、都是真命题的1{|22}x x x a x a∈>-<<或． 综合略.【例12】 （xx 届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件a x p >-|15:|和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a ，也能先猜后证，所找到的实数a 只需满足2151≤-a ，且≥+51a1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.解：已知条件p 即a x -<-15，或a x >-15，∴51a x -<，或51ax +>， 已知条件q 即01322>+-x x ，∴21<x ，或1>x ； 令4=a ，则p 即53-<x ，或1>x ，此时必有q p ⇒成立，反之不然. 故可以选取的一个实数是4=a ，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q ，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.【例13】 已知)0(012:2|311:|22>≤-+-≤--m m x x q x p ，；¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解：由，2|311|≤--x 得102≤≤-x ， 由)0(01222>≤-+-m m x x ，得)0(11>+≤≤-m m x m ，∴¬p 即2-<x ，或10>x ，而¬q 即m x -<1，或m x +>1)0(>m ； 由¬p 是¬q 的必要不充分条件，知¬q ⇒¬p ，设A=}102|{>-<x x x ，或，B=)}0(11|{>+>-<m m x m x x ，或，则有A B ≠⊂，故⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≥-，，，010111m m m 且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得30≤<m ，此即为“¬p 是¬q 的必要不充分条件”时实数m 的取值范围. 【例14】 （xx 届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数x x f a log )(=，其中}1220|{2a a a a -<∈.（1）判断函数x x f a log )(=的增减性；（2）（文）若命题:p )2(1|)(|x f x f -<为真命题，求实数x 的取值范围. （2）（理）若命题:p |)2(|1|)(|x f x f -<为真命题，求实数x 的取值范围. 解：（1）∵}1220|{2a a a a -<∈，∴020122<+-a a ， 即102<<a ，∴函数x y a log =是增函数； （2）（文）)2(1|)(|x f x f -<即12log |log |<+x x a a ，必有0>x ，当10<<x ，0log <x a，不等式化为12log log <+-x x a a ，∴12log <a ，这显然成立，此时10<<x ； 当1≥x 时，0log ≥x a，不等式化为12log log <+x x a a ，∴12log <x a ，故2a x <，此时21a x <≤； 综上所述知，使命题p 为真命题的x 的取值范围是}20|{ax x <<. （2）（理）|)2(|1|)(|x f x f -<即1|2log ||log |<+x x a a ，必有0>x ，当410<<x 时，02log log <<x x a a ，不等式化为12log log <--x x a a ，∴12log <-x a ，故12log ->x a ，∴a x 21>，此时4121<<x a； 当141<≤x 时，x x a a 2log 0log <<，不等式化为12log log <+-x x a a，∴12log <a ，这显然成立，此时141<≤x ；当1≥x 时，x x a a 2log log 0<≤，不等式化为12log log <+x x a a ，∴12log <x a ，故2a x <，此时21a x <≤； 综上所述知，使命题p 为真命题的x 的取值范围是}221|{ax a x <<.六、【专题练习】一、选择题1．已知I 为全集，集合M 、N ⊂I ，若M ⋃N=M ，则有：（D ）A ．M ⊆(N C u )B ．M ⊇(NC u ) C ．)()(N C M C u u ⊇D ．)()(N C M C u u ⊆ 2．若非空集合A 、B 适合关系A ⊂B ，I 是全集，下列集合为空集的是：（D ） A ．B A I B ．)()(B C A C u u I C ． B A C U I )( D ．)(B C A U I3．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A ∩B 子集的个数是：（C ） A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9个4．满足｛a ｝⊂X ⊆｛a,b,c ｝的集合X 的个数有 （ B ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55．已知集合I 、P 、Q 适合I=P Y Q=｛1，2，3，4，5｝，P I Q=｛1，2｝则（P Y Q ）I （P C u Y Q C u ）为（ C ）（A ）｛1，2，3｝ （B ）｛2，3，4｝ （C ）｛3，4，5｝ （D ）｛1，4，5｝ 6．已知I 为全集·集合M ，N 是I 的子集M Y N=N ，则 （ B ）（A ）)()(N C M C u u ⊆ （B ）)()(N C M C u u ⊇ （C ）M ⊆(N C u ) （D ）M ⊇(N C u ) 7．设P=｛x | x ≥-2｝,Q=｛x | x ≥3｝，则P I Q 等于 （ D ）（A ）∅ （B ）R （C ）P （D ）Q8．设集合E=｛n|n=2k , k ∈Z ｝，F=｛n|n=4k , k ∈Z ｝，则E 、F 的关系是 （ B ） （A ）E ⊂F （B ）E ⊃F （C ）E=F （D ）E I F=∅9．已知集合M=}22|{<<-x x ，N={ x || x -1|≤2}，则M I N 等于 （ B ） （A ）}32|{≤<-x x （B ）}21|{<≤-x x （C ）}12|{-≤<-x x （D ）}32|{≤<x x 10．已知集合I=R ，集合M={ x | x =12n，n ∈N}，P={ x | x =14n，n ∈N}，则M 与P 的关系是 （ B ）（A ）M I P=∅ （B ）)(M C U I P=∅ （C ）M I )(P C U =∅ （D ）)(M C U I )(P C U =∅ 11．已知集合A={y |y =x 2, x ∈R},B={y |y =2x x ∈R},则A I B 等于 （ C ） （A ）{2，4} （B ）{（2，4），（4，16）} （C ）{ y |y ≥0} （D ）{ x | x <0}12．设全集I=R ，集合P=}0)2)(4(|{<-+x x x ，集合Q={ x | x +4>0}，则 （ D ） （A ）P I Q=∅ （B ）P Y Q=R（C ）)(P C U I Q=)(P C U （D ）)(P C U I )(Q C U ={-4} 二、解答题1、设A=}4|{2ax x x x >-，B=}10|{<<x x ；若A ⊆B ，求实数a 的取值范围。