2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二(下)期中数学试卷与解析word(文科)

2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，12小题，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）在复平面中，下列复数中所对应的点在第三象限的是（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i2．（5分）已知集合A={x|（x﹣5）（x+1）＜0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣3＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|﹣1＜x ＜5}3．（5分）2000年5月，位于咸阳市的陕西省石化建设公司在其院后取土时，发现西汉古墓3座，咸阳市文物考古研究所派人对其进行了清理，发现了较多的文物．其中有一件串饰，如图所示的是一串黑白相间排列的珠子．请问以左边第一颗珠子算起，按照这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是（）A．白色B．黑色C．白色的可比性大 D．黑色的可能性大4．（5分）设α、β为两个不同平面，若直线l在平面α内，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数y=f（x）+x3是R上的偶函数，若f（1）=2，则f（﹣1）=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.257．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）的导数为f'（x），且满足≤0，下列关系中成立的是（）A．f（1）+f（3）＜2f（2） B．f（1）+f（3）≤2f（2） C．f（1）+f（3）＞2f （2）D．f（1）+f（3）≥2f（2）时，液面高为（）A．4 B．5 C．6 D．711．（5分）设P是双曲线﹣=1上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1、d2，则d1•d2=（）A．3 B．C．D．212．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣3|，若a＜b＜1，且f（a）=f（b），则u=2a+b 的最小值为（）A．﹣4 B．3﹣2C．3﹣4D．﹣2二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．14．（5分）若=1﹣bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则a+b=．15．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=．三、解答题（本大题6个小题，共70分，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）已知x的不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，其中a为实数．（1）当a=1时，解不等式；（2）若不等式的解集为R，求a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=log a（3﹣ax）．（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围．（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，且最大值为2，求出实数a的值．18．（12分）某校为了解高二年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对）进行了如下的调查研究．全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按问卷调查，得到如下2×2列联表：（1）完成下列联表，并判断能否有99%的把握认为态度与性别有关？（2）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率．参考公式：K2=19．（12分）如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点．AC=4（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求几何体C﹣BDF的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A，B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若•=﹣，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知l1，l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P，Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R，求△PQR面积最大值时，直线l221．（12分）已知函数f（x）=1﹣﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）当a≥0时，记函数Γ（x）=ax2+（1﹣2a）x+﹣1+f（x），试求Γ（x）的单调递减区间；（Ⅲ）设函数h（x）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，当λ∈（﹣∞，0]∪[，+∞）时，求h（a）的最大值．2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，12小题，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）在复平面中，下列复数中所对应的点在第三象限的是（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i【解答】解：只有B中的复数对应的点（﹣1，﹣2）在第三象限．故选：B．2．（5分）已知集合A={x|（x﹣5）（x+1）＜0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣3＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|﹣1＜x ＜5}【解答】解：集合A={x|（x﹣5）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜5}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．3．（5分）2000年5月，位于咸阳市的陕西省石化建设公司在其院后取土时，发现西汉古墓3座，咸阳市文物考古研究所派人对其进行了清理，发现了较多的文物．其中有一件串饰，如图所示的是一串黑白相间排列的珠子．请问以左边第一颗珠子算起，按照这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是（）A．白色B．黑色C．白色的可比性大 D．黑色的可能性大【解答】解：从第一个开始，每5颗珠子作为一个整体，则前3颗为白珠子，后2颗为黑珠子，则36颗珠子为第8组的第一个珠子，则为白色，故选：A．4．（5分）设α、β为两个不同平面，若直线l在平面α内，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）已知函数y=f（x）+x3是R上的偶函数，若f（1）=2，则f（﹣1）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据题意，令F（x）=f（x）+x3，若f（1）=2，则有F（1）=f（1）+13=3，又由F（x）为R上的偶函数，则F（﹣1）=f（﹣1）+（﹣1）3=F（1）=3，解可得：f（﹣1）=4；故选：D．6．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25【解答】解：=（1+2+3+4）=2.5，=（4.5+4+3+2.5）=3.5，将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是：=﹣0.7x+a，可得3.5=﹣1.75+a，故a=5.25，故选：D．7．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是上部为长方体，下部为三棱柱的组合体，画出几何体的直观图如图所示，根据图中数据，计算其体积为V组合体=V三棱柱+V长方体=．8．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）的导数为f'（x），且满足≤0，下列关系中成立的是（）A．f（1）+f（3）＜2f（2） B．f（1）+f（3）≤2f（2） C．f（1）+f（3）＞2f （2）D．f（1）+f（3）≥2f（2）【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x），且满足≤0，可得x＜2，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数．x＞2，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数．所以x=2时，函数取得最小值，可得f（1）+f（3）＞2f（2）．10．（5分）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B 水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．则当底面ABC水平放置时，液面高为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，=S，设△ABC的面积为S，则S梯形=S×AA1=6S，水的体积V水当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，=Sh=6S，则有V水故h=6；故选：C．11．（5分）设P是双曲线﹣=1上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1、d2，则d1•d2=（）A．3 B．C．D．2【解答】解：﹣=1，可得x2﹣2y2=4，由条件可知：两条渐近线分别为x±y=0，设双曲线C上的点P（x，y），则点P到两条渐近线的距离分别为d1=，d2=，所以d1•d2==．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣3|，若a＜b＜1，且f（a）=f（b），则u=2a+b 的最小值为（）A．﹣4 B．3﹣2C．3﹣4D．﹣2【解答】解：由函数f（x）的图象：可知，a＜﹣1，﹣1＜b＜1，且a2﹣2a﹣3=﹣b2+2b+3，即点P（a，b）满足不等式组，此区域为以为端点且不含端点的圆弧，直线u=2a+b与圆弧相切于点C，则直线u=2a+b过点C时，u有最小值，2=，（u＜0），解得u=3﹣2．最小值为：．故选：B．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【解答】解：，故答案为：14．（5分）若=1﹣bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则a+b=1．【解答】解：∵=1﹣bi，∴=1﹣bi，即=1﹣bi，∴=1 且=﹣b，解得a=2，b=﹣1，∴a+b=1，故答案为1．15．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=．【解答】解：设g（x）=x2+（2﹣k）x+1设不等式g（x）≤0的解集为a≤x≤b．则△=（2﹣k）2﹣4＞=0，解得k≥4或k≤0又∵函数f（x）=x2+2x+1，且f（x）＜=kx对任意实数x属于（1，m]恒成立；∴（1，m]⊆[a，b]∴a≤1，b≥m∴f（1）=4﹣k＜0，解得k＞4m的最大值为b，所以有b=5．即x=5是方程g（x）=0的一个根，代入x=5我们可以解得k=故答案为：三、解答题（本大题6个小题，共70分，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）已知x的不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，其中a为实数．（1）当a=1时，解不等式；（2）若不等式的解集为R，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣2，令f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|，则当x＜﹣3时，f（x）=﹣x﹣3+x﹣1=﹣4≤﹣2，成立，当﹣3≤x≤1时，f（x）=2x+2≤﹣2，解得：x≤﹣2，当x＞1时，f（x）=x+3﹣x+1=4＞﹣2，不成立，故不等式的解集是{x|x≤﹣2}，（2）：令f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|，则当x＜﹣3时，f（x）=﹣x﹣3+x﹣1=﹣4；当﹣3≤x≤1时，f（x）=2x+2∈[﹣4，4]；当x＞1时，f（x）=x+3﹣x+1=4；∴f（x）max=4．∵不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a的解集是R，∴a2﹣3a≥f（x）max=4，∴a2﹣3a﹣4≥0．解得：a≥4或a≤﹣1．17．（12分）已知函数f（x）=log a（3﹣ax）．（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围．（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，且最大值为2，求出实数a的值．【解答】解：（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，则a＞0且a≠1，且当x∈[0，2]时，3﹣ax＞0恒成立．由3﹣ax＞0，当x=0时，对于任意实数a恒成立；当x∈（0，2]时，不等式化为a，则a．综上，a的范围为：0＜a＜且a≠1；（2）∵a＞0，∴内层函数t=3﹣ax为减函数，要使f（x）=log a（3﹣ax）在[1，2]上为减函数，且最大值为2，则，解得a=．18．（12分）某校为了解高二年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对）进行了如下的调查研究．全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2×2列联表：（1）完成下列联表，并判断能否有99%的把握认为态度与性别有关？（2）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率．参考公式：K2=【解答】解：（1）抽取样本容量为1350×=150，其中男生为150×=80，女生为150×=70，填写列联表如下：计算得K2=≈10.714＞6.635，所以有99%的把握认为态度与性别有关；（2）随机抽取一男一女所有可能的情况有6×4=24种，其中恰有一人支持一人反对的可能情况有2×2+4×2=12种，所以概率为P==．19．（12分）如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点．AC=4（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求几何体C﹣BDF的体积．【解答】证明：（1）取DE的中点H，连AH，CH，∵△ADE为等边三角形，∴AH⊥DE，且，在△DHC中，DH=1，DC=4，HDC=60°，∴，∴AC2=AH2+HC2，即AH⊥HC，∵DE∩HC=H，∴AH⊥平面BCDE，∵AH⊂平面ADE，∴平面ADE⊥BCDE…（6分）==2，∵F是AC中点，∴几何体C﹣BDF的体积…（12分）20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A，B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若•=﹣，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知l1，l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P，Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R，求△PQR面积最大值时，直线l2的方程．【解答】解：（1）由题意可得|AB|=2，即b=1，△ABF为等边三角形，可得c=•2=，a==2，则椭圆方程为+y2=1；（2）设M（m，n），即有H（m，0），N（﹣m，﹣n），（m，n＞0），由•=﹣，即为（0，n）•（﹣2m，﹣n）=﹣，即有﹣n2=﹣，解得n=，代入椭圆方程可得，+=1，可得m=，即有N（﹣，﹣），H（，0），直线NH：y=（x﹣），代入椭圆方程，可得5x2﹣2x﹣14=0，由﹣•x J=﹣，解得x J=，y J=（﹣）=，J（，），NJ中点为（，﹣），圆的半径为r==，即有所求圆的方程为（x﹣）2+（y+）2=；（3）设l2：y=kx﹣1，代入椭圆方程可得，（1+4k2）x2﹣8kx=0，解得x R=，y R=，则|AR|==，由题意可得直线PQ的方程为y=﹣x﹣1，由弦长公式可得|PQ|=2=，则△PQR面积为S=|PQ|•|AR|=••=8•，令1+4k2=t（t≥1），即有k2=，则S=2=2=2，可得=，即有t=，即为k=±，即有直线l2的方程为y=±x﹣1．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）当a≥0时，记函数Γ（x）=ax2+（1﹣2a）x+﹣1+f（x），试求Γ（x）的单调递减区间；（Ⅲ）设函数h（x）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，当λ∈（﹣∞，0]∪[，+∞）时，求h（a）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1﹣，则f′（）=4﹣2=2，∴函数f（x）的图象在点（的切线方程为：y﹣（ln2﹣1）=2（x﹣），即2x﹣y+ln2﹣2=0．（Ⅱ）∵f（x）=1﹣﹣lnx（a∈R）．Γ（x）=ax2+（1﹣2a）x+﹣1+f（x）=Γ（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnxΓ′（x）=ax+（1﹣2a）﹣=①当a=0时，Γ′（x）=由Γ′（x）=≤0及x＞0可得：0＜x≤1，Γ（x）的单调递减区间为（0.1]②当a＞0时，Γ′（x）=ax+（1﹣2a）﹣=．由ax2﹣（2a﹣1）x﹣1=0可得：△=（2a﹣1）2+4a=4a2+1＞0设其两根为x1，x2，因为，所以x1x2一正一负设其正根为x2，则x2=由Γ′（x）=≤0及x＞0可得0∴Γ（x）=的单调递减区间为（0，]．（Ⅲ）f′（x）=，由f′（x）=0⇒x=a由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a≤0或a≥2对于h（a）=3λa﹣2a2，对称轴a=当或，即λ≤0或时，h（a）max=h（）=当0，即0＜λ≤1时，h（a）max=h（0）═0，当；综上可知：h（a）max=赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

重庆八中2016高二数学下学期期中试卷（理有答案）重庆八中2015—2016学年度（下）半期考试高二年级数学试题(理科)命题：桂本祥审题：何怀波校对：王金山一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知（为虚数单位），则复数（）2.设则“”是“”的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件3.已知是两条不同的直线，是三个不同平面，下列命题正确的是（）若，则若，则若，则若，则4.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）4题5题5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）6.5个大学生分配到三个不同的村庄当村官，每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为（）7.已知的展开式中含的项的系数为30，则（）8.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）9．从0，1，2，3，4，5这六个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）10.一个正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）11.五个人站成一排照相，其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同站法有（）种种种种12.已知抛物线的焦点是，准线是，是抛物线上一点，则经过点、且与相切的圆的个数可能是（）A.,B.,C.,D.,,,二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上.13.在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是____.14.从这个整数中取个不同的数，其和为偶数，则不同的取法有____种.15.的展开式的各项系数和为64，则展开式中项的系数等于____.16.设函数.若对任意恒成立，则的取值范围为_______.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题共12分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问6分）在中，内角所对的边分别为，且.（1）若，求的面积；（2）若，且的面积，求和的值.18.（本小题共12分，第（Ⅰ）问3分，第（Ⅱ）问4分，第（Ⅲ）问5分）八中高三某班的一诊测试成绩的茎叶图、频率分布直方图以及频率分布表中的部分数据如下，请据此解答如下问题：（1）求该班的总人数；（2）将频率分布表以及频率分布直方图的空余位置补充完整；（3）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份试卷分数在[90，100]之间的概率.19.（本小题共12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合.（1）当时，求证：;（2）设二面角的大小为，求的最小值.20.（本小题共12分，第（Ⅰ）问3分，第（Ⅱ）问9分）已知椭圆（）与轴的交点为,（点位于点的上方），为左焦点，原点到直线的距离为．（1）求椭圆的离心率；（2）设，直线与椭圆交于不同的两点，，求证：直线与直线的交点在定直线上．21.（本小题共12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）已知函数()，为自然对数的底数.（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.选做题22.几何证明选讲（本小题共10分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问5分）如图，切⊙于点，直线交⊙于,两点，，垂足为. （Ⅰ）证明：;（Ⅱ）若，求⊙的直径.23.极坐标与参数方程（本小题共10分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问5分）将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线.（Ⅰ）写出的参数方程；（Ⅱ）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24.不等式选讲（本小题共10分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问5分）已知定义在上的函数的最小值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若是正实数，且满足，求证：.重庆八中2015—2016学年度（下）半期考试高二年级数学试题(理科)参考答案一、选择题1-5：6-10：11-12：12.解析：由抛物线的定义及圆的性质知，过点且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点个数可能为或，故选B.二、填空题13.414.6615.1116.16.令，.对任意的恒成立，即.故函数在单调递减，.令，只需即可.，.三、解答题17.（1）由题意可知.由余弦定理得.，.提示：也可用海伦公式。

2016-2017学年重庆市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．2．在用反证法证明命题“过一点只有一条直线与已知平面垂直”时，应假设（）A．过两点有一条直线与已知平面垂直B．过一点有一条直线与已知平面平行C．过一点有两条直线与已知平面垂直D．过一点有一条直线与已知平面不垂直3．函数f（x）=2x3在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（）A．y=6x+4 B．y=6x﹣4 C．y=﹣6x+4 D．y=﹣6x﹣44．某数学老师在分析上期末考试成绩时发现：本班的数学成绩（x）与总成绩（y）之间满足线性回归方程：，则下列说法中正确的是（）A．某同学数学成绩好，则总成绩一定也好B．若该班的数学平均分为110分，则总成绩平均分一定为530分C．若某同学的数学成绩为110分，则他的总成绩一定为530分D．本次统计中的相关系数为1.85．在下列图、表中，能更直观地反映两个分类变量是否有关系的是（）A．列联表B．散点图C．残差图D．等高条形图6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值是（）A．4 B．6 C．9 D．137．函数y=x2﹣2lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1）B．（0，1] C．[1，+∞）D．（0，+∞）8．若，，（a＞﹣5），则P，Q的大小关系为（）A．P＜Q B．P=Q C．P＞Q D．不能确定9．某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：（x＞0），生产成本y2万元是产量x（千台）的函数：（x＞0），为使利润最大，应生产（）A．9千台B．8千台C．7千台D．6千台10．已知函数f（x）=x2+x+2cosx，若f'（x）是f（x）的导函数，则函数f'（x）的图象大致是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=e2x﹣1，直线l过点（0，﹣e）且与曲线y=f（x）相切，则切点的横坐标为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．e﹣112．已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）+f'（x）＜0，则以下判断正确的是（）A．e2017•f（2017）＞f（0）B．e2017•f（2017）=f（0）C．e2017•f（2017）＜f（0）D．e2017f（2017）与f（0）的大小无法确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分“全科阅读”测试（请根据假期阅读书目《数学万花筒》内的内容完成第13、14题）13．《数学万花筒》第3页中提到如下“奇特的规律”：1×1=111×11=121111×111=12321…按照这种模式，第5个式子11111×11111= ．14．《数学万花筒》第7页中谈到了著名的“四色定理”．问题起源于1852年的伦敦大学学院毕业生弗朗西斯•加斯里．他给自己的弟弟弗莱德里克写的信中提到：“可以使用四种（或更少）颜色为平面上画出的每张地图着色，使任何相邻的两个地区的边界线具有不同的颜色吗？”回答他这个问题用了124年，但简单的图形我们能用逐一列举的方法解决．若用红、黄、蓝、绿四种颜色给右边的地图着色，假定区域①已着红色，区域②已着黄色，则剩余的区域③④共有种着色方法．15．已知i是虚数单位，则= ．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=e x﹣2ax．若函数f（x）在R内没有零点，则a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）“雷神”火锅为提高销售业绩，委托我校同学研究气温对营业额的影响，并提供了一份该店在3月份中5天的日营业额y（千元）与当日最低气温x（℃）的数据，如表：（Ⅰ）请你求出y关于x的回归方程；（Ⅱ）若4月份某天的最低气温为13摄氏度，请预测该店当日的营业额．【参考公式】==．18．（12分）年级组长徐老师为教育同学们合理使用手机，在本年级内随机抽取了30名同学做问卷调查．经统计，在这30名同学中长时间使用手机的同学恰占总人数的，长时间使用手机且年级名次200名以内的同学有4人，短时间用手机而年级名次在200名以外的同学有2人．（Ⅰ）请根据已知条件完成2×2列联表；（Ⅱ）判断我们是否有99%的把握认为“学习成绩与使用手机时间有关”【附表及公式】19．（12分）已知函数，其中a ∈R（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线，求a 的值；（Ⅱ）若f （x ）在（0，6）上单调递减，（6，+∞）上单调递增，求a 的值． 20．（12分）设a 为实数，函数f （x ）=e x ﹣2x+2a ，x ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a ＞ln2﹣1且x ＞0时，e x＞x 2﹣2ax+1．21．（12分）已知函数f （x ）=ax+lnx （a ∈R ），g （x ）=x 2﹣2x+2 （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若∀x 1∈（0，+∞），均∃x 2∈[0，1]，使得f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围． 22．（10分）已知函数f （x ）=xlnx ，g （x ）=﹣x 2+ax ﹣2 （Ⅰ）求函数f （x ）在[t ，t+2]（t ＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．2016-2017学年重庆十一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数=﹣﹣i，虚部为﹣．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．在用反证法证明命题“过一点只有一条直线与已知平面垂直”时，应假设（）A．过两点有一条直线与已知平面垂直B．过一点有一条直线与已知平面平行C．过一点有两条直线与已知平面垂直D．过一点有一条直线与已知平面不垂直【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】假设的结论为原结论的否定．【解答】解：命题“过一点只有一条直线与已知平面垂直”的否定为：过一点至少有两条直线与已知平面垂直，故选C．【点评】本题考查了反证法证明，属于基础题．3．函数f（x）=2x3在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（）A．y=6x+4 B．y=6x﹣4 C．y=﹣6x+4 D．y=﹣6x﹣4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导函数，得到f′（﹣1），再求出f（﹣1），利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=2x3，得f′（x）=6x2，∴f′（﹣1）=6．又f（﹣1）=﹣2，∴点（﹣1，f（﹣1））为（﹣1，﹣2），则函数f（x）=2x3在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y+2=6（x+1），即y=6x+4．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处得导数值，是中档题．4．某数学老师在分析上期末考试成绩时发现：本班的数学成绩（x）与总成绩（y）之间满足线性回归方程：，则下列说法中正确的是（）A．某同学数学成绩好，则总成绩一定也好B．若该班的数学平均分为110分，则总成绩平均分一定为530分C．若某同学的数学成绩为110分，则他的总成绩一定为530分D．本次统计中的相关系数为1.8【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据两个变量之间线性回归方程的定义与性质，对选项中的命题判断正误即可．【解答】解：对于A，某同学数学成绩好，根据回归方程预测他的总成绩可能也好，∴A错误；对于B，根据回归直线过样本中心点，当=110时， =1.8×110+332=530，∴B正确；对于C，某同学的数学成绩为110分时，预测他的总成绩可能为530分，∴C正确；对于D，在线性回归方程中，相关系数r∈（0，1），不是1.8，∴D错误．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的定义与应用问题，是基础题．5．在下列图、表中，能更直观地反映两个分类变量是否有关系的是（）A．列联表B．散点图C．残差图D．等高条形图【考点】BN：独立性检验的基本思想．【分析】根据题意，依次分析选项的图、表，结合其统计意义，即可得答案．【解答】解：根据题意，分析选项：对于A、对于列联表，需要计算k2的值，不是直观的分析；对于B、散点图体现的是变量间相关性的强弱，对于C、残插图体现预报变量与实际值之间的差距，对于D、等高条形图能直观地反映两个分类变量是否有关系，故选：D．【点评】本题考查分类变量的关系的判定，直观上判定的方法是等高条形图．6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值是（）A．4 B．6 C．9 D．13【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行如图所示的程序框图，即可得出程序运行后输出的s值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；输入n=5，i=2，s=3，i≤n；s=3+0=3，i=3，i≤n；s=3+1=4，i=4，i≤n；s=4+2=6，i=5，i≤n；s=6+3=9，i=6，i＞n；结束循环，输出s=9．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．7．函数y=x2﹣2lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1）B．（0，1] C．[1，+∞）D．（0，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，再由导函数小于0求得函数的单调减区间．【解答】解：由y=x2﹣2lnx，得（x＞0）．由y′＜0，得＜0，解得x＜﹣1或0＜x＜1．∵x＞0，∴函数y=x2﹣2lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的单调性与导函数符号间的关系，是基础题．8．若，，（a＞﹣5），则P，Q的大小关系为（）A．P＜Q B．P=Q C．P＞Q D．不能确定【考点】72：不等式比较大小．【分析】计算P2，Q2，比较（a+6）（a+7）和（a+5）（a+8）的大小关系，即可得出P2，Q2的大小关系，从而得出P，Q的大小关系．【解答】解：P2=2a+13+2，Q2=2a+13+2，∵（a+6）（a+7）﹣（a+5）（a+8）=a2+13a+42﹣（a2+13a+40）=2＞0，∴（a+6）（a+7）＞（a+5）（a+8），∴＞，∴P2＞Q2，∴P＞Q．故选C．【点评】本题考查了不等式比较大小，属于基础题．9．某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：（x＞0），生产成本y2万元是产量x（千台）的函数：（x＞0），为使利润最大，应生产（）A．9千台B．8千台C．7千台D．6千台【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量．【解答】解：由题意，利润y=（x＞0）．y′=36x﹣6x2，由y′=36x﹣6x2=6x（6﹣x）=0，得x=6（x＞0），当x∈（0，6）时，y′＞0，当x∈（6，+∞）时，y′＜0．∴函数在（0，6）上为增函数，在（6，+∞）上为减函数．则当x=6（千台）时，y有最大值为144（万元）．故选：D．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，简单的数学建模思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．10．已知函数f（x）=x2+x+2cosx，若f'（x）是f（x）的导函数，则函数f'（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由题可得f′（x）=2x﹣2sinx+1，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=x2+x+2cosx，∴f′（x）=2x+1﹣2sinx=2（x﹣sinx）+1，而y=2（x﹣sinx）是奇函数，故f′（x）的图象是y=2（x﹣sinx）的图象向上平移1个单位，导函数是奇函数，∵x∈（0，），x＞sinx＞0，∴B、C、D不正确．故选：A．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．11．已知函数f（x）=e2x﹣1，直线l过点（0，﹣e）且与曲线y=f（x）相切，则切点的横坐标为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．e﹣1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点（0，﹣e）代入，利用函数零点的判定求得切点横坐标．【解答】解：由f（x）=e2x﹣1，得f′（x）=2e2x﹣1，设切点为（），则f′（x0）=，∴曲线y=f（x）在切点处的切线方程为y﹣=（x﹣x0）．把点（0，﹣e）代入，得﹣e﹣=﹣，即，两边取对数，得（2x0﹣1）+ln（2x0﹣1）﹣1=0．令g（x）=（2x﹣1）+ln（2x﹣1）﹣1，函数g（x）为（，+∞）上的增函数，又g（1）=0，∴x=1，即x0=1．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定及应用，是中档题．12．已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）+f'（x）＜0，则以下判断正确的是（）A．e2017•f（2017）＞f（0）B．e2017•f（2017）=f（0）C．e2017•f（2017）＜f（0）D．e2017f（2017）与f（0）的大小无法确定【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=e x f（x），求出函数的导数，根据函数的单调性，可得结论．【解答】解：令g（x）=e x f（x），则g′（x）=e x[f（x）+f′（x）]＜0，故g（x）在R递减，故g（2017）＜g（0），即e2017f（2017）＜f（0），故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分“全科阅读”测试（请根据假期阅读书目《数学万花筒》内的内容完成第13、14题）13．《数学万花筒》第3页中提到如下“奇特的规律”：1×1=111×11=121111×111=12321…按照这种模式，第5个式子11111×11111= 123454321 ．【考点】F1：归纳推理．【分析】各个数字均为1，当因数为n位时，积的数字为从1排到n，再从n排到1．【解答】解：根据题意可得111111×111111=123454321，故答案为：123454321【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题14．《数学万花筒》第7页中谈到了著名的“四色定理”．问题起源于1852年的伦敦大学学院毕业生弗朗西斯•加斯里．他给自己的弟弟弗莱德里克写的信中提到：“可以使用四种（或更少）颜色为平面上画出的每张地图着色，使任何相邻的两个地区的边界线具有不同的颜色吗？”回答他这个问题用了124年，但简单的图形我们能用逐一列举的方法解决．若用红、黄、蓝、绿四种颜色给右边的地图着色，假定区域①已着红色，区域②已着黄色，则剩余的区域③④共有 2 种着色方法．【考点】D3：计数原理的应用．【分析】先涂区域③，再涂区域④，使用列举法得出不同的涂色方案．【解答】解：区域③只能涂蓝色或绿色，若区域③涂蓝色，则区域④只能涂绿色，若区域③涂绿色，则区域④只能涂蓝色，故只有2种涂色方法．故答案为2．【点评】本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题．15．已知i是虚数单位，则= ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵，∴=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=e x﹣2ax．若函数f（x）在R内没有零点，则a的取值范围是a＜．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】作出y=e x与直线y=2ax的函数图象，令两图象在[0，+∞）上无交点得出a的范围．【解答】解：∵f（x）无零点，且f（x）是偶函数，∴y=e x与直线y=2ax在[0，+∞）上无交点，作出y=e x与直线y=2ax的函数图象，如图所示：设直线y=2ax与y=e x相切，切点为（m，n），则，解得，∴a＜．故答案为：．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2017春•南岸区校级期中）“雷神”火锅为提高销售业绩，委托我校同学研究气温对营业额的影响，并提供了一份该店在3月份中5天的日营业额y（千元）与当日最低气温x（℃）的数据，如表：（Ⅰ）请你求出y关于x的回归方程；（Ⅱ）若4月份某天的最低气温为13摄氏度，请预测该店当日的营业额．【参考公式】==．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据表中数据，计算、， 求出回归系数，写出回归方程； （Ⅱ）利用回归方程计算x=13时的值即可．【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，计算=×（2+5+8+9+11）=7， =×（12+10+8+8+7）=9， 回归系数为====﹣0.56，=﹣=9﹣（﹣0.56）×7=12.92，所以，回归方程为： =﹣0.56x+12.92； （Ⅱ）当x=13时，=﹣0.56×13+12.92=5.64，当某天的最低气温为13摄氏度，预测该店当日的营业额5.64千元． 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．18．（12分）（2017春•南岸区校级期中）年级组长徐老师为教育同学们合理使用手机，在本年级内随机抽取了30名同学做问卷调查．经统计，在这30名同学中长时间使用手机的同学恰占总人数的，长时间使用手机且年级名次200名以内的同学有4人，短时间用手机而年级名次在200名以外的同学有2人． （Ⅰ）请根据已知条件完成2×2列联表；（Ⅱ）判断我们是否有99%的把握认为“学习成绩与使用手机时间有关” 【附表及公式】【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，填写列联表即可；（Ⅱ）根据表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；（Ⅱ）根据表中数据，计算，对照临界值P（K2≥6.635）=0.01，所以，有99%的把握认为“学习成绩与使用手机时间有关”．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19．（12分）（2017春•南岸区校级期中）已知函数，其中a∈R（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在（0，6）上单调递减，（6，+∞）上单调递增，求a的值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）根据f′（6）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：（Ⅰ），由题设知：，解得：；（Ⅱ）由题设知，f（x）在x=6处取得极值，则f'（6）=0，所以，解得：a=3．【点评】本题考查了导数的应用以及函数的单调性问题，是一道基础题．20．（12分）（2010•安徽）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（Ⅱ）设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a ＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明e x＞x2﹣2ax+1．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（Ⅱ）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【点评】本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．21．（12分）（2017春•南岸区校级期中）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=x2﹣2x+2（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∀x1∈（0，+∞），均∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题可转化为f（x）max＜g（x）max，根据函数的单调性分别求出f（x）的最大值和g （x）的最大值，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），①当a≥0时，∵x＞0，∴f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间为（0，+∞），②当a＜0时，令f'（x）＞0，得，令f'（x）＜0，得，所以f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；（Ⅱ）问题可转化为f（x）max＜g（x）max，已知g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2，由（Ⅰ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意；当a＜0时，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减，故f（x）max=f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得：a＜﹣e﹣3．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．22．（10分）（2016•宝鸡二模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（Ⅱ）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，∴∴①0＜t＜，时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增，∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（）=﹣，②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，∴f（x）min=；（Ⅱ）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点∵G′（x）=﹣+2，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意，两式相减可得ln=2（x1﹣x2）=﹣2ln2∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2，此时a=ln2﹣ln（）﹣1，所以，实数a的取值范围为a＞ln2﹣ln（）﹣1；【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查的知识点比较多，考查数形结合的数学思想，综合性强．。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 复数212iz i-=+的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 2. 最小二乘法的原理是使得（ ）最小 A ．()1ni i i y a bx =-+∑B ．()21ni i i y a bx =⎡⎤-+⎣⎦∑C ．()221niii y a bx =⎡⎤-+⎣⎦∑ D ．()21ni i i y a bx =-+⎡⎤⎣⎦∑3. 若()5,1XN ，则()47P X <<=（ ）(已知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=,()330.9974P X μσμσ-<<+=)A ．0.8185B ．0.3413C ．0.4772D ．0.9769 4. 下列命题中真命题的个数为（ ）①两个变量,x y 的相关系数r 越大，则变量,x y 的相关性越强；②命题2:,210p x R x x ∀∈-->的否定为2000:,210p x R x x ⌝∃∈--≤；③从4个男生3个女生中随机抽取3个人，每个人被抽取的可能性相同，则至少有一个女生的选取种数为31种.A ．0B ．1C ．2D ．3 5. 已知命题()22:48,:2100p x q x x m m -≤-+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5或11B ．011m <≤C ．05m <≤D ．05m << 6. 为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下，请判断有（ ）把握认为性别与喜欢数学课有关.参考数据：()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++A ．0090 B ．0095 C ．0099 D ．0099.9 7. 现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图) 涂色，要求相邻的词语涂不同颜色，则不同的涂法种数为（ ）A ．144B ．108C ．54D ．27 8. 已知函数()34f x x x =-,则过点()1,4P -可以作出（ ）条()f x 图象的切线A ．0B ．1C ．2D ．39. 拋掷一枚质地均匀的骰子两次，记{A =两次点数均为奇函数｝，B =｛两次点数之和为6｝，则()P B A =（ ） A ．59 B ．13 C ．536D ． 23 10. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 11. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．1B ． 43C ．83D ．412. 如图，双曲线()22221,0x y a b a b-=>的右顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线右支上一点，1PF 交左支于点Q ，交渐近线by x a=于点,R M 是PQ 的中点，若21RF PF ⊥，且1AM PF ⊥，则双曲线的离心率是（ ）A ．2 C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知随机变量25,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()52E ξ+= ． 14.532x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 展开式中的常数项为 ．15. 已知函数()ln xf x ea x -=-在定义域内单调递增，则a 的取值范围为 ．16. 将正整数排成如图三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺序为第一群，第二群，…,第n 群，第n 群恰好有n 个数，则第8群中8个数的和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()241n n S a n N *=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈.18. （本小题满分12分）一工厂对某条生产线加工零件所花费时间进行统计，得到如下表的数据：（1）从加工时间的五组数据中随机选择两组数据，求该两组数据都小于加工时间的均值的概率；（2）若加工时间y 与零件数x 具有相关关系，求y 关于x 的回归直线方程； （3）若需加工80个零件，根据回归直线预测其需要多长时间.(^121()()()niii nii x x y y b x x==--=-∑∑，^^^a y b x =-)19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，,,222,3AB BC AD DC AC BC DC BM BP ⊥⊥====.（1）求证：CM 平面PAD ；（2）若CM 与平面PAC 所成的角的正弦值为5，求AP 的长.20. （本小题满分12分）已知焦点在y 轴上的椭圆()2222:10y xC a b a b+=>>，离心率为，且过点2⎛ ⎝，不过椭圆顶点的动直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，求：（1）椭圆C 的标准方程；（2）求三角形AOB 面积的最大值，并求取得最值时直线OA 、OB 的斜率之积. 21. （本小题满分12分）已知函数()()()21,xf x xe k x k R =-+∈.（1）2ek =时，求()f x 的单调区间和极值； （2）若()f x 在R 上只有一个零点，求k 的取值范围.22.（本小题满分10分） 过O 外一点P 作O 的两条割线,PAB PMN ，其中PMN 过圆心O ，再过P 作O 的切线PT ，切点为T ，已知1PM MO ==.（1）求切线PT 的长； （2）求AM BMAN BN.巴蜀中学高2017届高二下数学期中考试数学试题（理）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.BDACC 6-10.DBCBD 11-12.CB 二、填空题（每小题5分，共20分）13.4 14.40 15.1a e≤- 16.749三、解答题17.解：（1）1n =时，11a =；2n ≥时，()21141n n S a --=+，又()241n n S a =+，两式相减得()()1120n n n n a a a a --+--=,{}10,2,n n n n a a a a ->∴-=为是以1位首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-. （2）()()1221121212121n n a a n n n n +==--+-+ 1111111...11335212121n n T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-∴< ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭又11120,3n n n T T a a +>∴≥=. 综上213n T ≤<成立. 18. 解：（1）记：“加工的分钟数都小于加工时间的均值” 为事件A ，6268758288755y ++++==()()25117510P A P y C =<==. （2）由题，2028303438305x ++++==,()2514001001004001000ii x x =-=+++=∑()()5126070070260660iii x x y y =--=++++=∑^121()()()niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑0.66,=∴^^55.2a y b x =-=所以回归方程为0.6655.2y x =+（3）80x =时，0.668055.2108y x =⨯+=即预测其加工80个零件需要108分钟. 19. 解：（1）证明：以A 为原点，,AC AP 分别为,x z 轴建立如图所示的空间坐标系, 设AP a =，则()()33,,2,0,0,0,0,22B C D P a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2113,1,3333BM BP CM CB CP a ⎛⎫=∴=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭由已知PA ⊥面ABCD ，PA CD ∴⊥，又,AD CD CD ⊥∴⊥平面PAD1,,022CD ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭为面PAD 的一个法向量.1330,232CM CD CM ⎛⎫∴=+-⨯=∴ ⎪ ⎪⎝⎭平面PAD . （2）由（1）设(),,n x y z =为PAC 的法向量，则0000n AC x z n AP ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩,所以可取()0,1,0n =5=，解得：a=20. 解：（1）因为椭圆C离心率为2，可设方程为222214y xb b+=，过点2⎛⎝，所以1b=，所以椭圆C的标准方程为2214yx+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y联立2214y kx myx=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224240k x kmx m+++-=()221640k m∆=+->①此时满足①，所以2212121212124OA OBy y x x mk k k kmx x x x x x+==++=-.21. 解：（1）由函数()()()21,xf x xe k x k R=-+∈得()()()'21xf x e k x=-+,2ek=时，()()()'1xf x e e x=-+，()'0f x>得，1x<-或1x>，所以增区间是()(),1,1,-∞-+∞；()'0f x <得11x -<<，所以减区间是()1,1-，()f x 的极大值是()11f e-=-，()f x 的极小值是()1f e =-.（2）()f x 在R 上只有一个零点等价于()21xxe k x =+有一个根，也即是y k =与()()21xxe F x x =+只有一个交点，()()23(1)'1xx e F x x +=+，可得()F x 在(),1,-∞-()1,-+∞递增，且1x <-时，()12xe F x x x=++，得()(),0F x ∈-∞，当1x >-时，()(),F x ∈-∞+∞，()y F x =的图像如图，所以y k =与()()21xxe F x x =+只有一个交点的k 的取值范围是0k ≥.22. 解：（1）由切割线定理23,PT PM PN PT ==∴=.（2）,ABM AMN BPM NPA ∠=∠∠=∠,BM PBPAN PBM AN PN∴∆∆∴= ,PAM PNB PMA PBN ∠=∠∠=∠,AM PAPAMPBM BN PN∴∆∆∴= 2213AM BM PA PB PM PN AN BN PN PN ∴===.。