五年级奥数培优之定义新运算

五年级奥数解析（一）定义新运算（上）作者: 初杭培优 | 查看: 7次【前言】：这里讲解的教材是南京大学出版社出版的《数学奥赛天天练》，本书共55讲，是五年级一学年的奥数内容。

本册教材一部分内容是同一版本低年级奥数内容的拓展和延伸，另一部分内容为新增的题型，重点拓展孩子的解题思路，扩大孩子的见识面，发散孩子的思维，向孩子渗透新的解题思想。

对于奥数基础较好的孩子，应鼓励孩子坚持学习、勤于思考、灵活运用。

其中部分专题的一些偏题，可以选做或不做，学习的关键不是会做几道习题，而是领悟每个专题介绍的数学思想和数学方法。

奥数知识源于教材、高于教材，其学习内容与教材大致同步。

在家自学时，可结合教材学习进度，按每周一讲的速度学习，对部分内容的先后顺序也可作适当调整。

随着学习的深入，教程难度在逐步增大，建议家长让孩子在熟练掌握学校数学课程，且学有余力时，再进行奥数探究。

《奥赛天天练》第1讲《定义新运算》。

定义新运算是指人为规定用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。

在三年级奥数课堂已经初步学习：user3/4092/archives/2009/58778.shtml“定义新运算”是针对已有的常规运算而言的。

例如常见的加、减、乘、除运算，有一定的运算定义，一定的运算符号，一定的运算法则，这些是约定俗成的四则运算。

而新运算的定义，是题目规定的，只在对应题目里有效，相同的符号，在不同的题目里可能有不同的定义。

新定义的运算往往由已学过的四则运算，按照一定的顺序组合而成。

解答这类习题的关键是，认真观察、分析，明确“新运算”的定义，再根据运算定义，找准要计算的习题中的数据与定义中的字母的对应关系，严格遵照定义规定代入数值，完成计算。

注意：①新定义运算中，括号的作用不变；②新定义运算都有自己的特点，不一定满足加法、乘法所满足的运算定律。

《奥赛天天练》第1讲，模仿训练，练习1【题目】：对自然数a，b，规定a※b=3a＋2b－2。

【精选】小学五年级奥数__定义新运算一图文百度文库一、拓展提优试题1．（15分）一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：①A+B+C＝79②A×A＝B×C那么，这个自然数是．2．甲乙两人分别从AB两地同时出发相向而行，当甲走到一半时，乙将速度提高一倍，结果两人在距离B地1200米处相遇，并且最后同时到达，那么两地相距米3．如图，从A到B，有条不同的路线．（不能重复经过同一个点）4．数学家维纳是控制论的创始人．在他获得哈佛大学博士学位的授予仪式上，有人看他一脸稚气的样子，好奇地询问他的年龄．维纳的回答很有趣，他说：“我的年龄的立方是一个四位数，年龄的四次方是一个六位数，这两个数刚好把0﹣9这10个数字全都用上了，不重也不漏，”那么，维纳这一年岁，（注：数a的立方等于a×a×a，数a的四次方等于a×a×a×a）5．鸡与兔共100只，鸡的脚比兔的脚多26只．那么，鸡有只．6．（8分）在长方形ABCD中，BE＝5，EC＝4，CF＝4，FD＝1，如图所示，那么△AEF的面积是；7．已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即＝45×），那么这个五位回文数最大的可能值是59895．8．请从1、2、3、…、9、10中选出若干个数，使得1、2、3、…、19、20这20个数中的每个数都等于某个选出的数或某两个选出的数（可以相等）的和．那么，至少需要选出个数．9．定义新运算：a&b＝（a+1）÷b，求：2&（3&4）的值为．10．（1）数一数图1中有个三角形．（2）数一数图2中有个正方形．11．将100按“加15，减12，加3，加15，减12，加3，…”的顺序不断重复运算，运算26步后，得到的结果是．（1步指每“加”或“减”一个数）12．某长方体的长、宽、高（长、宽、高均大于1）是三个彼此互质的自然数，若这个长方体的体积是665，则它的表面积是．13．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是．14．小明准备和面包饺子，他在1.5千克面粉中加入了5千克的水，发现面和得太稀了，奶奶告诉他，包饺子的面需要按照3份面，2份水和面，于是小明分三次加入相同分量的面粉，终于将面按按要求和好了，那么他每次加入了千克面粉．15．同学们去春游，带水壶的有80人，带水果的有70人，两样都没带的有6人．若既带水壶又带水果的人数是所有参加春游人数的一半，则参加春游的同学共有人．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N＝x2y2，或者N＝x8，（1）当N＝x8，则九个约数分别是：1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，其中有3个约数A、B、C且满足A×A＝B×C，不可能．（2）当N＝x2y2，则九个约数分别是：1，x，y，x2，xy，y2，x2y，xy2，x2y2，其中有3个约数A、B、C且满足A×A＝B×C，①A＝x，B＝1，C＝x2，则x+1+x2＝79，无解．②A＝xy，B＝1，C＝x2y2，则xy+1+x2y2＝79，无解．③A＝xy，B＝x，C＝xy2，则xy+x+xy2＝79，无解．④A＝xy，B＝x2，C＝y2，则xy+x2+y2＝79，解得：，则N＝32×72＝441．⑤A ＝x 2y ，B ＝x 2y 2，C ＝x 2，则x 2y +x 2y 2+x 2＝79，无解．故答案为441． 2．2800 [解答] 设两地之间距离为S 。

定义新运算知识与方法：对于常用的加、减、乘、除等运算，我们已经熟知它们的运算法则和计算方法，如6+ 2=8, 6X2=12等。

都是2和6,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。

由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。

对应法则不同就是不同的运算。

当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。

通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。

这节课，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。

解决定义新运算这类题的关键：是抓住定义的本质借用“ +、一、X、十”四则运算进行的，解答时要弄活新运算与四则运算的关系。

特别注意运算顺序，每个新定义的运算符号只能在本题中使用，新运算不一定符合运算定律。

例1:设a、b都表示数，规定：aAb =3X a— 2X b。

试计算：(1) 3A2; (2) 2A3。

练习1:1. 设a b都表示数，规定：a。

b=5X a— 2X b。

试计算3042. 设a b都表示数，规定：a*b=3x a+ 2X b。

试计算：5*6例2:对于两个数a与b,规定b=3a+ 2a,试计算( 3^5)练习2:1.对于两个数a与b,规定：aOb=a+3b，试计算405062.对于两个数A与B,规定：A△ B=2X A — B,试计算5A6A7例3:对于两个数a, b,规定：a金b=ax b+ a+ b,试计算：9 ®练习3:1.对于两个数a, b,规定：a$b=ax b— ( a+ b),试计算：6 ® 7.2..对于两个数A与B,规定：A GB=A X B-2,试计算：8 99例4:如果2、3=2 + 3 + 4, 5A4=5+ 6+ 7+ 8,那么按此规律计算：(1) 3A5;(2) 8A3。

练习4:1.如果4A2=4X 5, 2A3=2X 3X 4,那么按此规律计算:5A4。

2.如果24=24- (2+ 4), 3V6=36- (3 + 6), 6V3=63- (6+ 3),那么按此规律计算:7V2.例5:对于两个数a与b,规定aDb=a(a+1)+(a+2)+・・・(a+b— 1)。

定义新运算教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。

由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。

第一讲定义新运算一、学习目标1. 了解新运算的定义并学会按新运算的要求进行计算。

2. 学习观察、比较、判断和推理的数学方法。

二、内容提要与方法点拨1.要熟练掌握四则运算的法则及运算定律。

2. 定义新运算是指用某种特定的符号表示特定意义的运算。

解答这类题目时，首先要弄清新定义的运算的特定含义，也就是弄清它所表示的通常意义下是什么运算，然后转化为通常意义下的四则运算来进行解答。

在没有特别说明的情况下，一些基本的四则运算法则如从左往右计算、有括号时先算括号里面的等在新定义的运算中也是适用的。

但是，在新定义的运算中，不一定都适合交换律或结合律。

三、例题选讲例1如果a▽b表示a×b＋a－b，试计算：（7▽4）▽5。

解：式子a▽b表示两个数的积加上第一个数后再减去第二个数。

在式子（7▽4）▽5中，要先算小括号里面的。

（7▽4）＝7×4＋7－4＝31而31▽5＝31×5＋31－5＝181，所以，（7▽4）▽5＝181。

例2规定a☆b表示a的4倍减去b的3倍，即a☆b＝4a－3b，试计算：（1）5☆6 ；（2）6☆5。

解：（1）根据a☆b＝4a－3b，所以，5☆6＝4×5－3×6＝2（2）6☆5＝6×4－5×3＝9注意：a☆b表示a的4倍减去b的3倍，而b☆a表示b的4倍减去a的3倍，这里a≠b，所以a☆b≠b☆a。

因此，本例定义的新运算是不满足交换律的，计算中不能把前后两个数交换。

例3 对于两个数x、y，规定x＃y表示3x＋2y，试计算：（1）（5＃7）＃8 ；（2）5＃（7＃8）。

解：（1）根据x＃y＝3x＋2y，得（5＃7）＃8＝（3×5＋2×7）＃8＝29＃8＝3×29＋2×8＝103（2）5＃（7＃8）＝5＃（3×7＋2×8）＝5＃37＝3×5＋2×37＝89注意：本例定义的运算是不满足结合律的。

定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 ×39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※ 5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13那么8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ⊕b＝a×b＋a＋b.①求6 ⊕2，2 ⊕6；②求（1 ⊕2）⊕3，1 ⊕（2 ⊕3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ⊕2＝6×2＋6＋2＝20，2 ⊕6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ⊕2）⊕3＝（1×2＋1＋2）⊕3＝5 ⊕3＝5×3＋5＋3＝231 ⊕（2 ⊕3）＝1 ⊕（2×3＋2＋3）＝1 ⊕11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“⊕”是否满足交换律：a ⊕b＝a×b＋a＋bb ⊕a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ⊕b＝b ⊕a，因此“⊕”满足交换律.再看“⊕”是否满足结合律：（a ⊕b）⊕c＝（a×b＋a＋b）⊕c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.a ⊕（b ⊕c）＝a ⊕（b×c＋b＋c）＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.（普通加法的交换律）所以（a ⊕b）⊕c＝a ⊕（b ⊕c），因此“⊕”满足结合律.说明：“⊕”对于普通的加法不满足分配律，看反例：1 ⊕（2＋3）＝1 ⊕ 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 ⊕（2＋3）≠ 1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3.例4、有一个数学运算符号“⊗”，使下列算式成立：2⊗4＝8，5⊗3＝13，3⊗5＝11，9⊗7＝25，求7⊗3＝？解：通过对2⊗4＝8，5⊗3＝13，3⊗5＝11，9⊗7＝25这几个算式的观察，找到规律：a ⊗b ＝2a ＋b ，因此7⊗3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以首先要计算出k的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a *3，按“*”的定义： a *3=ma+3n ，在只有求出m 、n时，我们才能计算a *3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时： （2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k有36k=64，解出k=971，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n =1，k=971这组值应舍去.所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.m=1n =2 m=2 n =23（舍去）m=3 n =1课后习题1.a *b 表示a 的3倍减去b 的21，例如：1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6； ②7*（2*1）.2.定义新运算为 a ㊀b ＝b 1a +， ①求2㊀（3㊀4）的值； ② 若x ㊀4＝1.35，则x ＝？3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值. 4.定义两种运算“⊕”、“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b ＝a ＋b ＋1， a ⊗b=a ×b －1，①计算4⊗[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值；②若x ⊕（x ⊗4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y=y×2x ×m y ×x ×6+（其中m 是一个确定的整数）， 如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成立，求a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x *y=xy 1＋））（（A y 1x 1++， 已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值. 8.a ※b=b÷a b a +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++ =？课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4左边：8.解：由于9.解：按照规定的运算：x△10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1）=10x +（1+2+3+⋯+9）=10x + 45 因此有10x + 45=65，解出x=2.定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.例2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.例3、定义新的运算a ⊕b＝a×b＋a＋b.①求6 ⊕2，2 ⊕6；②求（1 ⊕2）⊕3，1 ⊕（2 ⊕3）；③这个运算有交换律和结合律吗？例4、有一个数学运算符号“⊗”，使下列算式成立：2⊗4＝8，5⊗3＝13，3⊗5＝11，9⊗7＝25，求7⊗3＝？例5、x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.课后习题1.a *b 表示a 的3倍减去b 的21，例如：1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6； ②7*（2*1）.2.定义新运算为 a ㊀b ＝b 1a ， ①求2㊀（3㊀4）的值； ② 若x ㊀4＝1.35，则x ＝？3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值.4.定义两种运算“⊕”、“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b ＝a ＋b ＋1， a ⊗b=a ×b －1，①计算4⊗[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值；②若x ⊕（x ⊗4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y=y×2x ×m y ×x ×6+（其中m 是一个确定的整数）， 如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成立，求a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x *y=xy 1＋））（（A y 1x 1++， 已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值.8.a ※b=b ÷a ba +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值.9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++ =？。

五年级奥数培优第三课定义新运算（二）例1 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

分析与解：这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。

但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。

a※b=（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。

所以，9※2=2×2=4。

由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。

这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。

例2 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。

比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。

（1）已知5⊙2=73。

问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。

因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2=65+2k，所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。

定义的新运算是：a⊙b=3a+5ab+4b。

8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。

因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。

（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。

对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。

当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即a⊙b=b⊙a。

例3 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a ☆b=[a，b]-（a，b）。

定义新运算例1.a、b是自然数，规定a※b=(a+b)÷2,求：（1）5※7；（2）3※（4※6）的值。

练1.对于任意两个自然数a、b，定义一种新运算“*”：a*b=ab+a÷b，求75*5=？，12*4=？例2.定义运算“a○＋b”=（a+b）÷3，那么（3○＋6）○＋12与3○＋（6○＋12）哪一个大？大的比小的大多少？练2.定义新运算“△”：a△b=6a+3b+7，那么5△6和6△5哪个大？大的比小的大多少？例3.规定a△b=ab+2a， a▽b=2b-a，求（8△3）▽（9△5）的值。

练3 y x ,表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x *y x y 56+=,x △xy y 3=.求(2*3)△4的值.例4.定义一种运算“*”，它的意义是a ∗b=a+a a+aaa+…+(a ，b 都是非0自然数).(1)求：2∗3，3∗2；(2)求：23∗3,340∗2(3)求：5678×(5677∗2) - 5677×(5678∗2).练4.若a*b=a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+…+(a+b-1)，那么3*4*5=？例5.规定“口”的运算法则如下，对于任何整数a ，b ，有：求：(1口2)+(2口3)+(3口4)+ (4口5)+(5口6)+(6口7)+(7口8)十(8口9)+(9口10).练5.规定“⊕”的运算法则如下，对于任何整数P，Q，有：求：（1⊕2）+（2⊕3）+（3⊕4）+(4⊕5)+(5⊕6)作业1. 设b a ,表示两个不同的数,规定b a b a ⨯-⨯=∆34.求2)34(∆∆.2. 定义新的运算a ⊖b a b a b ++⨯=.求(1⊖2)⊖3.3. 定义两种运算“⊕”、“⊗”,对于任意两个整数b a ,,1-+=⊕b a b a ,1-⨯=⊗b a b a .计算)]53()86[(4⊕⊕⊕⊗的值.4. y x ,表示两个数,规定新运算“※”及“○”如下:x ※y x y 45+=,x ○xy y 6=.求(3※4)○5的值.5.对于任意自然数x和y,定义运算如下：若x和y同奇同偶,则x×y=（x+y）÷2若x和y奇偶性不同,则x×y=（x+y+1）÷2求（1994×1995）+（1995×1996）+（1996×1997）+……+（1999×2000）。

五年级奥数：定义新运算五年级奥数重难点：定义新运算定义新运算是指使用新的符号来进行运算。

在解题时需要按照所规定的“运算程序”进行运算，以得出最终结果。

不同的题目有不同的规定，我们应该严格按照题目中的规定进行运算。

类型一：直接运算型在这种类型的问题中，我们需要直接根据运算公式进行计算。

例如，对于题目“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求4★5，我们可以直接代入A=4，B=5，然后按照规定进行计算。

练题：1.设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。

试计算3○4.2.“♀”表示一种新的运算，规定A♀B=2A+3B，求0.3♀1.4.3.设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。

试计算：（1）（5*6）*7（2）5*（6*7）4.a、b是自然数，规定a※b=（a+b）÷2，求3※（4※6）5.令A®B=3×A+4×B，试计算：（1）（4®5）®6（2）（1®5）+（2®4）类型二：反解未知数型在这种类型的问题中，我们需要建立方程来求解未知数。

例如，对于题目规定a＆b=3a-2b，如果x＆4=7，求x的值，我们可以建立方程3x-8=7，然后解方程得到x=5.练题：1.如果规定 ab cd =a×d－b×c，已知126 x2.4=7.2，求x的值。

2.对于任意正整数a,b，规定a※b=a÷b×2+3.若256※a=19，求a的值。

3.对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。

已知x□6=27，求x。

类型三：观察规律型在这种类型的问题中，我们需要观察规律来进行计算。

例如，对于题目如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26，那么9※5=？我们可以发现，每个数的结果都是从第一个数开始加上后面的连续的几个数，因此9※5=9+10+11+12+13=55.练题：1.已知1∆3=1×2×3，6∆5=6×7×8×9×10，求2∆5.2.如果2※3=2+3+4=9，5※4=5+6+7+8=26，按此规则计算：（1）1※x=15（2）x※3=12类型四：综合类型在这种类型的问题中，我们需要综合运用不同的方法来进行计算。