最新六年级奥数定义新运算(精品课件)

第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义, 从而解答某些算式的一种运算.解答定义新运算, 关键是要正确地理解新定义的算式含义, 然后严格按照新定义的计算程序, 将数值代入, 转化为常规的四则运算算式进行计算.定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式, 它使用的是一些特殊的运算符号, 如：*、△、⊙等, 这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的.新定义的算式中有括号的, 要先算括号里面的. 但它在没有转化前, 是不适合于各种运算定律的.二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b), 求13*5和13*（5*4）.练习1：1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).. 求27*9.2、设a*b=a2+2b, 那么求10*6和5*（2*8）.【例题2】设p、q是两个数, 规定：p△q=4×q-(p+q)÷2. 求3△(4△6).练习2：1、设p、q是两个数, 规定p△q＝4×q－（p+q）÷2, 求5△（6△4）.2、设p、q是两个数, 规定p△q＝p2+（p－q）×2. 求30△（5△3）.【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111, 2*4=2+22+222+2222, 3*3=3+33+333, 4*2=4+44, 那么7*4=________；210*2=________.练习3：1、如果1*5=1+11+111+1111+11111, 2*4=2+22+222+2222, 3*3=3+33+333, ……那么4*4=________.2、规定, 那么8*5=________.【例题4】规定②=1×2×3, ③=2×3×4 , ④=3×4×5, ⑤=4×5×6, ……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A, 那么, A是几？练习4：1、规定：②=1×2×3, ③＝2×3×4, ④＝3×4×5, ⑤＝4×5×6, ……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A, 那么A=________.2、规定：③＝2×3×4, ④＝3×4×5, ⑤＝4×5×6, ⑥＝5×6×7, ……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□, 那么□＝________.【例题5】设a⊙b=4a－2b+ ab /2,求x⊙（4⊙1）＝34中的未知数x.练习5：1、设a⊙b=3a－2b, 已知x⊙（4⊙1）＝7求x.2、对两个整数a和b定义新运算“△”：a△b= , 求6△4+9△8.3、设M、N是两个数, 规定M*N＝M/N+N/M, 求10*20－1/4.三、课后作业1、设a*b=3a－b×1/2, 求（25*12）*（10*5）.2、如果2*1=1/2, 3*2=1/33, 4*3=1/444, 那么（6*3）÷（2*6）=________.3、如果1※2＝1+2, 2※3＝2+3+4, ……5※6＝5+6+7+8+9+10, 那么x※3＝54中, x＝________.4、对任意两个整数x和y定于新运算, “*”：x*y＝（其中m是一个确定的整数）. 如果1*2＝1, 那么3*12＝________.面积计算一、知识要点计算平面图形的面积时, 有些问题乍一看, 在已知条件与所求问题之间找不到任何联系, 会使你感到无从下手. 这时, 如果我们能认真观察图形, 分析、研究已知条件, 并加以深化, 再运用我们已有的基本几何知识, 适当添加辅助线, 搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”, 就会使你顺利达到目的. 有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征, 添加一些辅助线, 运用平移旋转、剪拼组合等方法, 对图形进行恰当合理的变形, 再经过分析推导, 方能寻求出解题的途径.二、精讲精练【例题1】已知如图, 三角形ABC的面积为8平方厘米, AE＝ED, BD=2/3BC, 求阴影部分的面积.练习1：1、如图, AE＝ED, BC=3BD, S△ABC＝30平方厘米. 求阴影部分的面积.2、如图所示, AE=ED, DC＝1/3BD, S△ABC＝21平方厘米. 求阴影部分的面积.3、如图所示, DE＝1/2AE, BD＝2DC, S△EBD＝5平方厘米.求三角形ABC的面积.【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, 如图所示, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积各是多少？练习2：1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, （如图所示）, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积是多少？2、已知AO＝1/3OC, 求梯形ABCD的面积（如图所示）.【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分, 且四边形AECF的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.练习3：1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分, 且四边形AECG的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图）.2、如图所示, 求阴影部分的面积（ABCD为正方形）.【例题4】如图所示, BO＝2DO, 阴影部分的面积是4平方厘米. 那么, 梯形ABCD的面积是多少平方厘米？练习4：1、如图所示, 阴影部分面积是4平方厘米, OC＝2AO. 求梯形面积.2、已知OC＝2AO, S△BOC＝14平方厘米. 求梯形的面积（如图所示）.3、已知S△AOB＝6平方厘米. OC＝3AO, 求梯形的面积（如图所示）.【例题5】如图所示, 长方形ADEF的面积是16, 三角形ADB的面积是3, 三角形ACF的面积是4, 求三角形ABC的面积.练习5：1、如图所示, 长方形ABCD的面积是20平方厘米, 三角形ADF的面积为5平方厘米, 三角形ABE的面积为7平方厘米, 求三角形AEF的面积.2、如图所示, 长方形ABCD的面积为20平方厘米, S△ABE＝4平方厘米, S△AFD＝6平方厘米, 求三角形AEF的面积.三、课后练习1、已知三角形AOB的面积为15平方厘米, 线段OB的长度为OD的3倍. 求梯形ABCD的面积. （如图所示）.2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分, 且阴影部分面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.3、如图所示, 长方形ABCD的面积为24平方厘米, 三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米, 求三角形AEF的面积.。

定义新运算1.规定:a※b=b+a×b,那么2※3※5= ;2.如果a△b表示b⨯=,那么,当a△5=30时,3(=-(,例如3△44a⨯-)24)2a= ;3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=4,6+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= ;4.已知a,b是任意有理数,我们规定: a⊕b= a+b-1,2ba,那么⊗ab-=[]=)83(4;6(⊗⊕⊕⊗)55.x为正数,<x>表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是;6.如果a⊙b表示b3-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙xa2大5时, x= ;7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= ;8.规定一种新运算“※”: a※b=)1⨯b+a.如果x※3※aa+⨯⋅⋅⋅⨯)1((+4=421200,那么x= ;9.对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”,规定:x※y=cxy+,其中的byax-,表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2 a,bc※3=4,x※m=xm≠0,则m的数值是;10.设a,b 为自然数,定义a △b ab b a -+=22;1计算4△3+8△5的值；2计算2△3△4；3计算2△5△3△4;11.设a,b 为自然数,定义a ※b 如下:如果a ≥b,定义a ※b=a-b,如果a<b,则定义a ※b= b-a;1计算:3※4※9；2这个运算满足交换律吗 满足结合律吗 也是就是说,下面两式是否成立 ①a ※b= b ※a;②a ※b ※c= a ※b ※c;12.设a,b 是两个非零的数,定义a ※b ab b a +=;1计算2※3※4与2※3※4;2如果已知a 是一个自然数,且a ※3=2,试求出a 的值;13.定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b;比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68;1求12⊙21,5⊙15；2说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b,则c也整除b；3已知6⊙x=27,求x的值;答案一、填空题共10小题,每小题3分,满分30分1．3分规定：a※b=b+a×b,那么2※3※5=100 ．考点：定义新运算;分析：根据a※b=b+a×b,得出新的运算方法,再根据新的运算方法解答2※3※5的值．解答：解：因为,2※3=3+2×3=15,所以,2※3※5=15※5=5+15×5=100,故答案为：100．点解答此题的关键是,根据所给的等式,找出新的运算方法,再运用评：新的运算方法,解答出要求式子的值．2．3分如果a△b表示a﹣2×b,例如3△4=3﹣2×4=4,那么,当a△5=30时,a= 8 ．考点：定义新运算;分析：根据“a△b表示a﹣2×b,3△4=3﹣2×4=4,”得出新的运算方法,再用新的运算方法计算a△5=30,即可写成方程的形式,解此方程得出a的值．解答：解：因为,a△5=30,所以,a﹣2×5=30, 5a﹣10=30,5a=40,a=8,故答案为：8．点评：解答此题的关键是根据题意找出新运算方法,再根据新运算方法解答即可．3．3分定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b．例如：4△6=4,6+4,6=2+12=14．根据上面定义的运算,18△12=42 ．考点：定义新运算;分析：根据新运算知道,求18△12,就是求18和12的最大公约数与最小公倍数的和,由此即可解答．解答：解：因为,18和12的最大公约数是6,最小公倍数是36, 所以,18△12=18,12+18,12=6+36=42；故答案为：42．点评：解答此题的关键是,根据定义的新运算,找出运算方法,列式解答即可．4．3分已知a,b是任意有理数,我们规定：a⊕b=a+b﹣1,a⊗b=ab﹣2,那么4⊗6⊕8⊕3⊗5= 98 ．考点：定义新运算;分析：根据a⊕b=a+b﹣1,a⊗b=ab﹣2,得出新的运算方法,再运用新的运算方法计算4⊗6⊕8⊕3⊗5的值．解答：解：4⊗6⊕8⊕3⊗5,=4⊗6+8﹣1⊕3×5﹣2, =4⊗13⊕13,=4⊗13+13﹣1,=4⊗25,=4×25﹣2,=98,故答案为：98．点评：解答此题的关键是根据给出的式子,找出新的运算方法,用新运算方法解答即可．5．3分x为正数,＜x＞表示不超过x的质数的个数,如＜5.1＞=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个．那么＜＜19＞+＜93＞+＜4＞×＜1＞×＜8＞＞的值是11 ．考点：定义新运算;分析：根据题意,先求出不超过19的质数的个数,再求出不超过93的质数的个数,而不超过1的质数的个数是0,所以＜4＞×＜1＞×＜8＞的值是0,因此即可求出要求的答案．解答：解：因为,＜19＞为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个,＜93＞为不超过的质数,共24个,并且,＜1＞=0,所以,＜＜19＞+＜93＞+＜4＞×＜1＞×＜8＞＞,=＜＜19＞+＜93＞＞,=＜8+24＞,=＜32＞,=11,故答案为：11．点评：解答此题的关键是,根据题意,找出新的符号表示的意义,再根据定义的新运算,找出对应量,解答即可．6．3分如果a⊙b表示3a﹣2b,例如4⊙5=3×4﹣2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x= 6 ．考点：定义新运算;分析：根据所给的运算方法,将x⊙5比5⊙x大5写成方程的形式,解答方程即可．解答：解：由x⊙5﹣5⊙x=5,可得：3x﹣2×5﹣3×5﹣2x=5,5x﹣25=5,x=6,故答案为：6．点评：解答此题的关键是,根据题意找出新的运算方法,再根据新的运算方法,列式解答即可．7．3分如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5=45678 ．考点：定义新运算;分析：根据“1※4=1234,2※3=234,7※2=78”,得出新的运算方法：※的前一个数字是等号后面数的第一个数字,※后面的数字表示连续数的个数,是从※前面的数开始连续,然后运用新的运算方法计算4※5的值即可．解答：解：由于1※4=1234,2※3=234,7※2=78,所以4※5=45678；故答案为：45678．点评：解答此题的关键是,根据所给出的式子,找出新的运算方法,再利用新的运算方法解答即可．8．3分我们规定：符号○表示选择两数中较大数的运算,例如：5○3=3○5=5,符号△表示选择两数中较小数的运算,例如：5△3=3△5=3．请计算：= ．考点：定义新运算;分析：根据符号○表示选择两数中较大数的运算,符号△表示选择两数中较小数的运算,得出新的运算方法,用新的运算方法,计算所给出的式子,即可得出答案．解答：解：○=○=,0.625△=△=,△=△=,О2.25=О=,所以：==；故答案为：．点评：解答此题的关键是,根据题意找出新的运算方法,再根据新的运算方法,解答即可．9．3分规定一种新运算“※”：a※b=a×a+1×…×a+b﹣1．如果x※3※4=421200,那么x= 2 ．考点：定义新运算;分析：先根据“a※b=a×a+1×…×a+b+1”,知道新运算“※”的运算方法,由于x※3※4=421200,这个式子里有两步新运算,所以令其中的一步运算式子为y,再根据新的运算方法,由此即可求出要求的答案．解答：解：令x※3=y,则y※4=421200,又因为,421200=24×34×52×13=24×25×26×27,所以,y=24,即x※3=24,又因为,24=23×3=2×3×4,所以,x=2；故答案为：2．点评：解答此题的关键是,根据新运算方法的特点,只要将整数写成几个自然数连乘的形式,即可得出答案．10．3分对于任意有理数x,y,定义一种运算“※”,规定：x※y=ax+by﹣cxy,其中的a,b,c表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1※2=3,2※3=4,x※m=xm≠0,则m的数值是 4 ．考点：定义新运算;分析：根据x※y=ax+by﹣cxy,找出新的运算方法,根据新的运算方法,将1※2=3,2※3=4,x※m=x写成方程的形式,即可解答．解答：解：由题设的等式x※y=ax+by﹣cxy及x※m=xm≠0,得a•0+bm ﹣c•0•m=0,所以bm=0,又m≠0,故b=0,因此x※y=ax﹣cxy,由1※2=3,2※3=4,得, 解得a=5,c=1,所以x※y=5x﹣xy,令x=1,y=m, 得5﹣m=1,故m=4；故答案为：4．点评：解答此题的关键是,根据题意找出新的运算方法,再根据新的运算方法,列式解答即可．二、解答题共4小题,满分0分11．设a,b为自然数,定义a△b=a2+b2﹣ab．1计算4△3+8△5的值；2计算2△3△4；3计算2△5△3△4．考点：定义新运算;分析：根据“a△b=a2+b2﹣ab”得出新的运算方法,然后运用新的运算方法进行计算即可．解答：解：14△3+8△5,=42+32﹣4×3+82+52﹣8×5,=1++49,=62；22△3△4,=22+32﹣2×3△4,=7△4,=72+42﹣7×4,=37；32△5△3△4,=22+52﹣2×5△32+42﹣3×4, =19△13,=192+132﹣19×13,=283；答：162,237,3283．点评：解答此题的关键是,根据所给出的式子,找出新的运算方法,再利用新的运算方法解答即可．12．设a,b为自然数,定义a※b如下：如果a≥b,定义a※b=a﹣b,如果a＜b,则定义a※b=b﹣a．1计算：3※4※9；2这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说,下面两式是否成立①a※b=b※a；②a※b※c=a※b※c．考点：定义新运算;分析：1根据“如果a≥b,定义a※b=a﹣b,如果a＜b,则定义a※b=b﹣a,”得出新的运算方法,再利用新的运算方法计算3※4※9的值即可；2要证明这个运算是否满足交换律和满足结合律,也就是证明①和②这两个等式是否成立．解答：解：13※4※9=4﹣3※9=1※9=9﹣1=8；2因为表示a※b表示较大数与较小数的差,显然a※b=b※a成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如：3※4※9=8,而3※4※9=3※9﹣4=3※5=5﹣3=2,所以,这个运算满足交换律,不满足结合律；答：这个运算满足交换律,不满足结合律．点评：解答此题的关键是,根据所给出的式子,找出新的运算方法,再根据新的运算方法解答即可．13．设a,b是两个非零的数,定义a※b=．1计算2※3※4与2※3※4．2如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值．考点：定义新运算;分析：1根据a※b=,找出新的运算方法,再根据新的运算方法,计算2※3※4与2※3※4即可；2根据新运算方法将a※3=2,转化成方程的形式,再根据a是自然数,即可求出a的值．解答：1按照定义有2※3=,3※4=,于是2※3※4=※4=,2※3※4=2※；2由已知得①若a≥6,则≥2,从而与①矛盾,因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a=3符合要求．点评：解答此题的关键是根据所给的式子,找出新运算的运算方法,再用新运算方法计算要求的式子即可．14．定义运算“⊙”如下：对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b．比如：10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70﹣2=68．1求12⊙21,5⊙15；2说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b,则c也整除b；3已知6⊙x=27,求x的值．考点：定义新运算;分析：1根据新的定义运算,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数,5与15的最小公倍数和最大公约数,问题即可解决；2根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明；3由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围,即根据6与x的最小公倍数不小于27+1,不大于27+6,由此即可得出答案．解答：解：1因为,12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,所以,12⊙21=84﹣3=81,同样道理5⊙15=15﹣5=10；2如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b,如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数, 再由c整除a⊙b推知,c整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以c整除b；3因为6与x的最小公倍数不小于：27+1=28,不大于：27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x的最小公倍数是30,因此,它们的最大公约数是30﹣27=3,由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到：30×3=6×x,6x=90,x=15,所以x的值是15．点评：解答此题的关键是,根据定义新运算,得出新的运算意义,再利用新的运算意义和运算方法,解答即可．。

第1讲定义新运算1.掌握基本的四则运算规律和计算法则；2.初步形成系统的数学思维和逻辑，培养整体代入数学思想，会根据定义的新运算计算；3.审题能力的加强，提升学生的抽象思维和综合知识应用能力，巩固数学学习的迁移能力。

1.抽象思维的形成，代数知识的掌握；2.根据定义的新运算进行题目解答；3.审题不够细致严谨，导致对定义的新运算掌握不透。

我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。

除此之外，还会有什么别的运算吗？我们就来研究这个问题。

这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。

新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

四则运算组合定义新运算熟悉四则运算顺序和运算法则，能初步利用运算定律进行计算，掌握一定的计算技巧。

例1.对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b练习1.设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b=a×3－b ×2。

试计算：（1）5△6；（2）6△5。

根据新定义运算代入数据进行运算，确保按照四则运算顺序进行计算。

例2.对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。

练习1.已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

审题要足够仔细，可以对原定义的新运算进行化简以简化计算。

例3.如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。

求3¤（4¤6）¤12的值。

练习1.定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值6△（3△4）的值。

第一讲定义新运算一、课程引入定义新运算，是在四则运算的基础上，用一种特殊的符号来表示某种特定的运算，在计算时必须严格按照所定义的运算格式进行代换计算二、基本理论理论点1在四则运算的基础上，用一种特殊的符号来表示某种特定的运算理论点2明确“新运算”的定义，再根据运算定义，完成计算三、例题精析【例题1】【题干】1、对于任意的两个自然数a,b,存在a*b=4a+2b。

那么4*5的值是多少？【答案】4*5=4×4+2×5=26【解析】a*b=4a+2b，规定“a*b”这种运算的形式就是4a+2b。

那么当a=4,b=5时，“a*b”就可以写作“4*5”。

【例题2】【题干】如果规定9*1=9，6*2=6+66，4*3=4+44+444，2*4=2+22+222+2222，那么2*5=？【答案】2*5=2+22+222+2222+22222=24690【解析】从前面几个算式知道运算符“*”表示的是几个数值相加，符号前面的数是第一个加数，且后一个加数都比前一个加数多一个数位，每个加数各个数位上的数字相同，都是符号前面的那个数，而符号后面的数恰好是加数的个数，根据这一规律，可以计算出2*5的值。

【例题3】【题干】对于任意自然数a,b,如果a*b=5a－3b,已知x*(4*2)=20.求x=?【答案】x=12.4【解析】4*2=4×5－2×3=14x*14=5x－14×3=5x－42由上面两式可得5x－42=20【例题4】【题干】a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。

定义运算“◎”表示“接着做”。

求：a◎b；b◎c；c◎a。

【答案】a◎b=c，b◎c=a，c◎a=d【解析】a◎b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转270°，也等于逆时针转90°，所以a◎b=c。

小学六年级奥数——新定义运算第一周定义新运算【名言警句】天才由于积累，聪明在于勤奋。

——华罗庚【知识点精讲】一、什么是定义新运算？定义新运算指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。

二、怎么解答定义新运算？解答这类题关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程式，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如*、△、▽、⊙、等，这是与四则运算中“＋、－、×、÷”不同。

新定义运算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

例1、假设a*b=(a＋b)＋(a-b),求13*5和13*（5*4）。

【举一反三】1、设a*b=(a+b)×(a-b)，求27*9。

2、设a *b=a 2+2b ,求10*6和5*(2*8)。

3、设a *b=3a －b ×21，求（25*12）*（10*5）。

例2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q －(p ＋q) ÷2。

求3△（4△6）【举一反三】1、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q －(p ＋q) ÷2。

求5△（6△4）。

2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=p 2＋(p －q) ×2。

求30△（5△3）。

3、设M 、N 是两个数，规定：*M N M N N M =+，求110*204－。

例3、如果1*5111111111111111=++++，2*42222222222=+++，3*3333333=++，4*2444=+，那么7*4= ；210*2= 。

【举一反三】1、如果1*5111111111111111=++++，2*42222222222=+++，3*3333333=++，…那么4*4= 。

2、规定*a b a aa aaa aa a =+++，那么8*5= 。

定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。

【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。

这里的“*”就代表一种新运算。

在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。

因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。

⑴13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26⑵5*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。

求27*9。

2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。

3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。

【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。

求3△(4△6)。

【思路导航】根据定义先算4△6。

在这里“△”是新的运算符号。

3△(4△6)＝3△【4×6－（4+6）÷2】＝3△19＝4×19－（3+19）÷2＝76－11＝65练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。

2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。

求30△（5△3）。

第六章 定义新运算知识要点加、减、乘、除四则运算是数学中最基本的运算，它的意义、法则已被我们所熟知。

所谓“定义新运算”，是以四则运算为基础，以一种特殊的符号来表示的特别定义(规定)的运算。

运算时要严格按照新运算的定义进行代换，再进行计算。

具体程序如下：1.代换。

即按照定义符号的运算方法，进行代换。

注意此程序不能轻易改变原有的运算顺序。

2.计算。

准确地计算代换后的算式结果。

例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝2m a b a b⨯+⨯⨯(m 是一个确定的整数)。

如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4＝ 。

点拨 首先，应确定所定义新运算中待定的常数m ，利用1⊗4＝2⊗3，求出m 的值，再求3⊗4的值。

解 因为a ⊗b ＝2m a b a b⨯+⨯⨯ 所以1⊗4＝14214m ⨯+⨯⨯＝48m + 2⊗3＝23223m ⨯+⨯⨯＝2312m + 又已知 1⊗4＝2⊗3所以48m +＝2312m + 即 31224m +＝4624m + 于是 3m ＋12＝4m ＋6解得 m ＝6从而 3⊗4＝634234⨯+⨯⨯＝2224＝1112说明 要准确理解新运算⊗的含义，将特定的⊗转化为普通的加、乘、除运算。

例2 定义运算“*”，对于任意数a 和b ，有a*b ＝a×b－(a ＋b)。

计算：(1)7*8；(2)12*4；(3)(3*5)*7；(4)4*(9*10).点拨 (1)、(2)根据题意可知“a*b ＝a×b－(a ＋b)”，两个数按定义的运算步骤是两个数的积减去这两个数的和。

(3)先计算出括号中3*5的值，得3*5＝3×5－(3＋5)＝15－8＝7。

求出括号内的值是7，原式(3*5)*7可化简为7*7，再计算出它的值即可。

(4)先计算9*10的值，9*10＝9×10－(9＋10)＝90－19＝71。

进而求4*(9*10)，即4*71的值。

课前热身45-26= 15-559 = 8÷4×14= 120÷50%= 59×20+20×49 = 2- 536 ÷ 19 = 0.8×0.5×45= 34 ÷16+0.75×8= 12÷25×15÷3= 30×（35+1315-56）= 专题简析A 级嘉题一 若2△3=2+3+4=9,5△4=5+6+7+8=26.按此规律5△5=49分析与解：定义新运算共有四种题型： （1）直接运算型 （2）观察规律型 （3）反解未知型 （4）其它类型综合嘉题二若3!=1×2×3,4!=1×2×3×4,5!=1×2×3×4×5，那么：6!+5!=?嘉题一有一种运算：|a b cd |=ad -bc ，例如|4322|=4×2-3×2=2，那么|a 242|=10，a=分析与解：随堂练习：1、定义x□y=xy+y²，x☆y=x+3y，已知（2□3）×（3☆m）=135，求m的值。

嘉题二定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a、b为任意两个数，k为常数。

比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。

若5⊙2=73则8⊙5=分析与解：嘉题三2、a△b=a−ba+b，求5△（4△3）的值。

分析与解：随堂练习：设p、q是两个数，规定：p△q=p²+（p-q）×2，求30（5△3）。

C 级嘉题一“ƒ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：ƒ(1)=0，ƒ(2)=1，ƒ(3)=2，ƒ(4)=3，……，ƒ(12)=2，ƒ(13)=3，ƒ(14)=4，……那么，ƒ(12007)-ƒ(2006)=分析与解：嘉题二a 3 =b 4 =c5 =20152016，求5c+b−3a c+2b−a 。