习 题 二 解 答
1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误
差不超过31
102
-⨯。
分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。
解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。 由
34311
*1022222
n n n n n n b a b a x x -----≤
===<⨯ 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。
x *≈x 11=3.632。 指出：
（1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。 （2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。 如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：
（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。
1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。 解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-
当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122
23
,x x =-=。
因为214902150327(),()y y -=-<=-<，所以方程在区间2
23(,)-上无根；
因为21490327()y -=-<，而函数在2
3
(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以
方程在该区间上无根；
因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，
而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。 所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。
2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于4
1
102
-⨯的根，需要迭代多少次？
分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间
有至少一个零点。
解：令()1sin f x x x =--，
因为(0)10sin 010,(1)11sin1sin10f f =--=>=--=-<， 则(0)(1)0f f <，
由零点定理，函数f(x)在[0,1]区间有一个根。 由
41011
*1022222
n n n n n n b a b a x x -----≤
===<⨯ 有2n-1＞10000，又为210＝1024，213＝8192<10000，214＝16384>10000 所以n ＝15，即需要二分15次。 指出：
要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。 3．试用迭代公式102
20
,1210
k k k x x x x +==++，求方程32210200x x x ++-=的根，要求精确到510-。
分析：精确到510-即误差不超过51
102
-⨯
解：令32()21020f x x x x =++-
指出：
精确到510-可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到510-位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到610-，当
511
102
k k x x -+-<⨯终止计算。
本题采用第一种方法。
4．将一元非线性方程20cos x x e -=写成收敛的迭代公式，并求其在005.x =附近的根，要求精确到
210-。
解：20cos x x e -=改写为222110cos cos cos x x x
x x
x e e e
=⇒
=⇒-=，则 21cos x
x
x x e =+
-，设 21cos ()x
x
g x x e
=+- 有 22224111)
sin cos (sin cos )
()()x
x
x x
x
x xe xe x x g x e e e π
+
--+'=+=-=-
在005.x =处，因为
05
054051096151..)
(.).g e π
+
'=-
=
<
所以迭代法121cos ()k
k
k k x x g x x e +=+-在005.x =的邻域内收敛。 列表迭代如下：
此时0692069000614.cos ..e -=。
5．为求方程3210x x --=在015.x =附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
12213
2
231211
2
11
11121111
31
1(),;
(),();(),.()k k
k k
k k x x x x x x x x x x x x +++=+=+=+=+==--迭代公式迭代公式迭代公式 试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。
解：（1）因为211x x =+，所以迭代函数为21
1()g x x
=+，则
23212()()()g x x x x --'''===-，3322
152151153375(.)...g -'=-⨯==<满足局部
收敛性条件，所以迭代公式12
1
1k k x x +=+
具有局部收敛性。 （2）因为1
23
1()x x =+,所以迭代函数为123
1()()g x x =+,则
1212233
2
23
12212133
31()()()()
x g x x x x x x --'=+=+=
+,
223
21515045613115.(.).(.)
g ⨯'=
=<+满足局部收敛性条件,所以迭代公式
12311()k k
x x +=+具有收敛性。
（3）因为12
11()
x x =
-，所以迭代函数为12
11()()
g x x =
-，则
1312211
1122
()()()g x x x ---'=--=--，
3
232
1
115151141412
205
(.)(.)..g -'=-=
=>⨯不满足收敛性条件，所以迭代公式
