习 题 四 解 答
1、设010,1x x ==，写出()x f x e -=的一次插值多项式1()L x ，并估计插值误差。
设插值函数为1()L x ax b =+，由插值条件，建立线性方程组为
1
01
1a b a b e -⨯+=⎧⎨⨯+=⎩ 解之得11
1a e b -⎧=-⎨=⎩
则11()(1)1L x e x -=-+ 因为(),()x x y x e y x e --'''=-= 所以，插值余项为
(1)(2)
(2)011
()()()()()
(1)!
1()()2!1
()()()2!1
(0)(1)((0,1))2n r x f x p x f x n f x f x x x x e x x ξξπξπξξ+-=-=+=
=--=--∈
所以
01
0101
()max max (1)
2111248x r x e x x e ξξ-≤≤≤≤-≤-=⨯⨯=。
2选用合适的三次插值多项式来近似计算f 和f 。
解：设三次插值多项式为230123()f x a a x a x a x =+++，由插值条件，建立方程组为
23012323
012323
01232301
23(0.1)(0.1)(0.1)0.9950.30.30.30.995
0.70.70.70.7651.1 1.1 1.10.454
a a a a a a a a a a a a a a a a ⎧+⨯-+⨯-+⨯-=⎪+⨯+⨯+⨯=⎪⎨+⨯+⨯+⨯=⎪⎪+⨯+⨯+⨯=⎩
即
012301230123
123012312301230.10.010.0010.9950.10.010.0010.9950.30.090.0270.9950.40.080.02800.70.490.3430.7650.80.480.344 1.761.1 1.21 1.3310.454a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=-+-=⎧⎪+++=++=⎪⇒⎨
+++=++=⎪⎪+++=⎩12301231232330.40.720.9880.3110.10.010.0010.9950.40.080.02800.320.288 1.760.384 3.831a a a a a a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪++=-⎩
-+-=⎧⎪++=⎪⇒⎨
+=⎪
⎪-=-⎩
解之得 01
230.416.293.489.98
a a a a =⎧⎪=-⎪⎨
=-⎪⎪=⎩ 则所求的三次多项式为23()0.41 6.29 3.489.98f x x x x =--+。 所以
2323
(0.2)0.41 6.290.2 3.480.29.980.20.91
(0.8)0.41 6.290.8 3.480.89.980.8 1.74f f =-⨯-⨯+⨯=-=-⨯-⨯+⨯=-
3、设(0,1,2,,)i x i n =L 是 n+1个互异节点，证明： （1）0()(0,1,2,,)n
k k i i i x l x x k n ===∑L ；
（2）0
()()0(0,1,2,,)n k i i i x x l x k n =-==∑L 。
证明： （1）由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对y=f(x)=x k 作n 次插值，插值多项式为 0()()n
n i i i p x l x y ==∑，
而y i =x i k ,
所以0
()()()n
n
k n i i i i i i p x l x y l x x ====∑∑
同时，插值余项
(1)(1)11
()()()()()()0(1)!(1)!
n k n k n r x x p x f x x x n n ξξππ++=-=
==++
所以0
()n
k k i i i l x x x ==∑
结论得证。
（2）取函数()(),0,1,2,,k f x x t k n =-=L
对此函数取节点(0,1,2,,)i x i n =L ，则对应的插值多项式为
()()()n
k n i i i p x x t l x ==-∑，
由余项公式，得
(1)
(1)011
()()()()()()()()0
(1)!(1)!
n
n k
k n k
i i i r x x t x t l x f x x t x n n ξ
ξππ++==---=
=-=++∑所以
0()()()n
k
k i i i x t x t l x =-=-∑
令t=x ，
()()0n
k
i
i
i x x l x =-=∑
4
、给定数据（()f x =
(1)试用线性插值计算f 的近似值，并估计误差；
(2)试用二次Newton 插值多项式计算f 的近似值，并估计误差。 解：用线性插值计算f ，取插值节点为和，则相应的线性插值多项式是
1.54919 1.48320
() 1.48320( 2.2)
2.4 2.2
1.483200.32995(
2.2)
p x x x -=+--=+- 用x=代入，得
(2.3) 1.483200.32995(2.3 2.2) 1.450205f ≈+⨯-= (2)
根据定理2f(x)＝f(x 0)＋f[x 0，x 1](x-x 0)+f[x 0，x 1，x 2](x-x 0)(x-x 1)+…
+f[x 0，x 1，…，x n ](x-x 0)(x-x 1)…(x-x n －1)
+f[x 0，x 1，…，x n ，x]π(x) 。 以表中的上方一斜行中的数为系数，得 f ＝＋ × × × ＝ 指出：
