第七章-时间序列分析模型

时间序列分析模型时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的建模方法，用于研究随时间变化的数据。

它的目的是揭示和预测数据中隐含的模式和关系，以便更好地理解和解释现象，并做出相应的决策。

时间序列分析模型可以分为统计模型和机器学习模型两类。

一、统计模型1.平稳时间序列模型：平稳时间序列是指在统计学意义上均值和方差都是稳定的序列。

常用的平稳时间序列模型包括：自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。

-自回归移动平均模型（ARMA）是根据时间序列数据的自相关和移动平均性质建立的模型。

它将序列的当前值作为过去值的线性组合来预测未来值。

ARMA(p,q)模型中，p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。

-自回归整合移动平均模型（ARIMA）在ARMA模型基础上引入差分操作，用于处理非平稳时间序列。

ARIMA(p,d,q)模型中，d表示差分的次数。

-季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型的扩展，在存在季节性变化的时间序列数据中应用。

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，s表示季节周期。

2.非平稳时间序列模型：非平稳时间序列是指均值和/或方差随时间变化的序列。

常用的非平稳时间序列模型包括：趋势模型、季节性调整模型、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。

- 趋势模型用于描述数据中的趋势变化，例如线性趋势模型（y = ax + b）和指数趋势模型（y = ab^x）等。

-季节性调整模型用于调整季节性变化对数据的影响，常见的方法有季节指数调整和X-12-ARIMA方法。

-自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）在非平稳时间序列中引入差分操作进行模型建立。

二、机器学习模型机器学习模型在时间序列分析中发挥了重要作用，主要应用于非线性和高维数据的建模和预测。

季节性时间序列分析⽅法第七章季节性时间序列分析⽅法由于季节性时间序列在经济⽣活中⼤量存在，故将季节时间序列从⾮平稳序列中抽出来，单独作为⼀章加以研究，具有较强的现实意义。

本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建⽴、季节调整⽅法X-11程序。

本章的学习重点是季节模型的⼀般形式和建模。

§1 简单随机时序模型在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。

⽐如：建筑施⼯在冬季的⽉份当中将减少，旅游⼈数将在夏季达到⾼峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。

对于这各时间数列我们可以说，变量同它上⼀年同⼀⽉（季度，周等）的值的关系可能⽐它同前⼀⽉的值的相关更密切。

⼀、季节性时间序列1．含义：在⼀个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。

具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这⾥S为周期长度。

注：①在经济领域中，季节性的数据⼏乎⽆处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、⽉度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若⼲种周期，如客运量数据（S=12，S=7）2．处理办法：（1）建⽴组合模型；（1）将原序列分解成S个⼦序列（Buys-Ballot 1847）对于这样每⼀个⼦序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独⽴的。

但是这种做法不可取，原因有⼆：（1）S 个⼦序列事实上并不相互独⽴，硬性划分这样的⼦序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）⼦序列的划分要求原序列的样本⾜够⼤。

启发意义：如果把每⼀时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相⽐的净增值，⽤数学语⾔来描述就是定义季节差分算⼦。

《数据分析实战-托马兹.卓巴斯》读书笔记第7章-时间序列技术（ARMA模型、ARIMA模型）第7章探索了如何处理和理解时间序列数据，并建⽴ARMA模型以及ARIMA模型。

注意：我在本章花的时间较长，主要是对dataframe结构不熟。

/*sh riverflows.webarchive*/邀⽉建议：安装cygwin巨⿇烦，还是⽤安装好的CentOS虚拟机执⾏⼀下。

7.2在Python中如何处理⽇期对象时间序列是以某个时间间隔进⾏采样得到的数据，例如，记录每秒的车速。

拿到这样的数据，我们可以轻松估算经过的距离（假设观测值加总并除以3600）或者汽车的加速度（计算两个观测值之间的差异）。

可以直接⽤pandas处理时间序列数据。

准备：需装好pandas、NumPy和Matplotlib。

1import numpy as np2import pandas as pd3import pandas.tseries.offsets as ofst4import matplotlib5import matplotlib.pyplot as plt67# change the font size8 matplotlib.rc('xtick', labelsize=9)9 matplotlib.rc('ytick', labelsize=9)10 matplotlib.rc('font', size=14)1112# files we'll be working with13 files=['american.csv', 'columbia.csv']1415# folder with data16 data_folder = '../../Data/Chapter07/'1718# colors19 colors = ['#FF6600', '#000000', '#29407C', '#660000']2021# read the data22 american = pd.read_csv(data_folder + files[0],23 index_col=0, parse_dates=[0],24 header=0, names=['','american_flow'])2526 columbia = pd.read_csv(data_folder + files[1],27 index_col=0, parse_dates=[0],28 header=0, names=['','columbia_flow'])2930# combine the datasets31 riverFlows = bine_first(columbia)3233# periods aren't equal in the two datasets so find the overlap34# find the first month where the flow is missing for american35 idx_american = riverFlows \36 .index[riverFlows['american_flow'].apply(np.isnan)].min()3738# find the last month where the flow is missing for columbia39 idx_columbia = riverFlows \40 .index[riverFlows['columbia_flow'].apply(np.isnan)].max()4142# truncate the time series43 riverFlows = riverFlows.truncate(44 before=idx_columbia + ofst.DateOffset(months=1),45 after=idx_american - ofst.DateOffset(months=1))Tips:/*Traceback (most recent call last):File "D:\Java2018\practicalDataAnalysis\Codes\Chapter07\ts_handlingData.py", line 49, in <module>o.write(riverFlows.to_csv(ignore_index=True))TypeError: to_csv() got an unexpected keyword argument 'ignore_index'D:\Java2018\practicalDataAnalysis\Codes\Chapter07\ts_handlingData.py:80: FutureWarning: how in .resample() is deprecatedthe new syntax is .resample(...).mean()year = riverFlows.resample('A', how='mean')*/解决⽅案：/*# year = riverFlows.resample('A', how='mean')year = riverFlows.resample('A').mean()# o.write(riverFlows.to_csv(ignore_index=True))o.write(riverFlows.to_csv(index=True))*/原理：⾸先，我们引⼊所有必需的模块：pandas和NumPy。

时间序列分析中常用的模型时间序列分析是一种重要的数据分析方法，用于研究随时间变化的数据。

在实际应用中，常常需要使用合适的模型来描述和预测时间序列数据。

本文将介绍时间序列分析中常用的几种模型，并对其原理和应用进行详细的讨论。

一、移动平均模型（MA模型）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。

它基于时间序列在不同时刻的观测值之间存在一定的相关性，并假设当前的观测值是过去一段时间内的观测值的线性组合。

移动平均模型一般用“MA(q)”表示，其中q表示移动平均阶数，即过去q个观测值的影响。

二、自回归模型（AR模型）自回归模型是另一种常用的时间序列模型。

它假设当前的观测值与过去一段时间内的观测值之间存在线性关系，并通过自相关函数来描述观测值之间的相关性。

自回归模型一般用“AR(p)”表示，其中p表示自回归阶数，即过去p个观测值的影响。

三、自回归移动平均模型（ARMA模型）自回归移动平均模型是将移动平均模型和自回归模型相结合得到的一种模型。

它通过同时考虑观测值的移动平均部分和自回归部分来描述时间序列的相关性。

四、季节性模型在一些具有周期性波动的时间序列数据中，常常需要使用季节性模型进行分析。

季节性模型一般是在上述模型的基础上加入季节因素，以更准确地描述和预测数据的季节性变化。

五、自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）自回归积分移动平均模型是时间序列分析中最常用的模型之一。

它通过引入差分运算来处理非平稳时间序列，并结合自回归模型和移动平均模型来描述残差项之间的相关性。

六、指数平滑模型指数平滑模型是一种常用的时间序列预测方法。

它假设未来的观测值与过去的观测值之间存在指数级的衰减关系，并通过平滑系数来反映不同观测值之间的权重。

七、ARCH模型和GARCH模型ARCH模型和GARCH模型是用于处理时间序列波动性的模型。

它们基于过去的方差序列来描述未来的波动性，并用于金融市场等领域的风险管理和波动率预测。

总结来说，时间序列分析中常用的模型包括移动平均模型、自回归模型、自回归移动平均模型、季节性模型、自回归积分移动平均模型、指数平滑模型、ARCH模型和GARCH模型等。

时间序列分析模型时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。

时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。

1. 移动平均模型（MA）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。

它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。

该模型表示为：y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。

2. 自回归模型（AR）自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。

自回归模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。

3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。

自回归移动平均模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，p 是自回归项的阶数，q 是移动平均项的阶数。

4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA）季节性自回归移动平均模型是自回归移动平均模型的扩展，用于处理具有季节性和趋势变化的时间序列数据。

时间序列分析模型时间序列分析是一种用来处理时间变化数据的统计分析方法。

它将观测数据按照时间顺序进行排列，并利用过去的数据来预测未来的发展趋势。

在时间序列分析中，通常会使用一些常见的模型，如自回归（AR）、移动平均（MA）和自回归移动平均（ARMA）模型。

自回归模型（AR）是时间序列分析中最基本的模型之一。

它假设未来的观测值可以通过当前和过去的观测值来预测。

AR 模型的数学表达式为：Y_t = c + ∑(φ_i * Y_t-i) + ε_t其中，Y_t表示第t个观测值，c表示常数，φ_i表示第i个滞后的自回归系数，ε_t表示误差项。

通过对AR模型进行参数估计，可以得到最优的系数估计值，从而进行未来观测值的预测。

移动平均模型（MA）是另一种常见的时间序列分析模型。

它假设未来的观测值可以通过当前和过去的误差项来预测。

MA 模型的数学表达式为：Y_t = μ + ∑(θ_i * ε_t-i) + ε_t其中，Y_t表示第t个观测值，μ表示均值，θ_i表示第i个滞后的移动平均系数，ε_t表示误差项。

通过对MA模型进行参数估计，可以得到最优的系数估计值，从而进行未来观测值的预测。

自回归移动平均模型（ARMA）是将AR模型和MA模型结合起来的一种复合模型。

它假设未来的观测值可以通过当前观测值、滞后观测值和误差项来预测。

ARMA模型的数学表达式为：Y_t = c + ∑(φ_i * Y_t-i) + ∑(θ_i * ε_t-i) + ε_t其中，Y_t表示第t个观测值，c表示常数，φ_i表示第i个滞后的自回归系数，θ_i表示第i个滞后的移动平均系数，ε_t表示误差项。

通过对ARMA模型进行参数估计，可以得到最优的系数估计值，从而进行未来观测值的预测。

总之，时间序列分析模型是一种通过利用过去数据来预测未来数据的统计分析方法。

其中，自回归模型、移动平均模型和自回归移动平均模型是一些常见的时间序列分析模型。

通过对这些模型进行参数估计，可以得到最优的预测结果。

时间序列分析与的基本模型时间序列分析是一种重要的统计学方法，用于预测和解释时间序列的行为。

它可以应用于各种领域，如经济学、金融学、气象学等。

本文将介绍时间序列分析的基本模型及其应用。

一、时间序列分析概述时间序列分析是指通过对时间序列数据进行建模和分析，来研究时间序列的特征、趋势和周期性等。

它可以帮助我们理解时间序列中的规律，并进行预测和决策。

二、基本模型1. 自回归模型（AR）自回归模型是一种线性模型，它假设当前观测值与过去的观测值之间存在关系。

自回归模型的一般形式为AR(p)，其中p表示过去p个观测值对当前观测值的影响程度。

AR模型可以用公式表示为：```X(t) = c + Σ(φ(i) * X(t-i)) + ε(t)```其中，X(t)表示当前观测值，φ(i)表示对应滞后期的系数，ε(t)表示误差项。

2. 移动平均模型（MA）移动平均模型是一种线性模型，它假设当前观测值与过去观测值的误差之间存在关系。

移动平均模型的一般形式为MA(q)，其中q表示过去q个观测误差对当前观测值的影响程度。

MA模型可以用公式表示为：```X(t) = μ + Σ(θ(i) * ε(t-i)) + ε(t)```其中，μ表示均值，θ(i)表示对应滞后期的系数，ε(t)表示误差项。

3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型是自回归模型和移动平均模型的结合。

ARMA模型的一般形式为ARMA(p,q)，其中p表示自回归项数，q表示移动平均项数。

ARMA模型可以用公式表示为：```X(t) = c + Σ(φ(i) * X(t-i)) + Σ(θ(i) * ε(t-i)) + ε(t)```4. 自回归积分移动平均模型（ARIMA）自回归积分移动平均模型是自回归模型、差分和移动平均模型的结合。

ARIMA模型的一般形式为ARIMA(p,d,q)，其中p表示自回归项数，d表示差分次数，q表示移动平均项数。

ARIMA模型可以用公式表示为：```(1-B)^d * X(t) = c + Σ(φ(i) * X(t-i)) + Σ(θ(i) * ε(t-i)) + ε(t)```其中，B是滞后算子。

时间序列分析模型汇总时间序列分析是一种广泛应用于各个领域的统计分析方法，它用来研究一组随时间而变化的数据。

时间序列数据通常具有趋势、季节性和随机性等特征，时间序列分析的目的是通过建立适当的模型来描述和预测这些特征。

本文将汇总一些常用的时间序列分析模型，包括AR、MA、ARIMA、GARCH和VAR等。

1.AR模型（自回归模型）:AR模型是根据过去的观测值来预测未来的观测值。

它假设未来的观测值与过去的一系列观测值有关，且与其他因素无关。

AR模型的一般形式为：Y_t=c+Σ(φ_i*Y_t-i)+ε_t，其中Y_t表示时间t的观测值，c 为常数，φ_i为系数，ε_t为误差项。

2.MA模型（移动平均模型）:MA模型是根据过去的误差项来预测未来的观测值。

它假设未来的观测值与过去的一系列误差项有关，且与其他因素无关。

MA模型的一般形式为：Y_t=μ+ε_t+Σ(θ_i*ε_t-i)，其中Y_t表示时间t的观测值，μ为平均值，θ_i为系数，ε_t为误差项。

3.ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）:ARIMA模型是AR和MA模型的组合，它结合了时间序列数据的趋势和随机性特征。

ARIMA模型的一般形式为：Y_t=c+Σ(φ_i*Y_t-i)+Σ(θ_i*ε_t-i)+ε_t，其中Y_t表示时间t的观测值，c为常数，φ_i和θ_i为系数，ε_t为误差项。

4.GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）:GARCH模型用于建模并预测时间序列数据的波动性。

它假设波动性是由过去观测值的平方误差和波动性的自相关引起的。

GARCH模型的一般形式为：σ_t^2=ω+Σ(α_i*ε^2_t-i)+Σ(β_i*σ^2_t-i)，其中σ_t^2为时间t的波动性，ω为常数，α_i和β_i为系数，ε_t为误差项。

5.VAR模型（向量自回归模型）:VAR模型用于建模并预测多个时间序列变量之间的相互关系。

它假设多个变量之间存在相互依赖的关系，即一个变量的变动会对其他变量产生影响。