2019-2020年高考数学复习 第88课时 第十章 排列、组合和概率-相互独立事件的概率名师精品教案

第86课时：第十章排列、组合和概率——随机事件的概率一．课题：随机事件的概率二．教学目标：1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；2．掌握等可能事件的概率公式，并能熟练地运用排列组合的知识解决等可能事件的概率问题；三．教学重点：等可能事件的概率的计算．四．教学过程：（一）主要知识：1．随机事件概率的范围；2．等可能事件的概率计算公式；（二）主要方法：1．概率是对大量重复试验来说存在的一种规律性，但对单次试验而言，事件的发生是随机的；2．等可能事件的概率()mP An=，其中n是试验中所有等可能出现的结果（基本事件）的个数，m是所研究事件A中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算,m n的关键是抓住“等可能”，即n个基本事件及m个基本事件都必须是等可能的；（三）基础训练：1．下列事件中，是随机事件的是（C）（A）导体通电时，发热；（B）抛一石块，下落；（C）掷一枚硬币，出现正面；（D）在常温下，焊锡融化。

2．在10张奖券中，有4张有奖，从中任抽两张，能中奖的概率为（C）()A 12()B13()C23()D453．6人随意地排成一排，其中甲、乙之间恰有二人的概率为（ C ）()A 13()B14()C15()D1104．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两个数之和为偶数的概率为（C）()A 12()B12n()C121nn--()D121nn++（四）例题分析：例1．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率：（1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色；解：基本事件有3327=个，是等可能的，（1）记“三次颜色各不相同”为A ，332()279A P A ==； （2）记“三种颜色不全相同”为B ，2738()279P B -==； （3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为C ，332215()279P C +-==； 例2．将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率。

2020高中数学复习学案第10章计数原理、概率、随机变量及其分布2 排列与组合【要点梳理·夯实知识基础】1．排列、组合的定义2.排列数、组合数的定义、公式、性质【学练结合】[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．().()(4)k C k n＝n C k－1n－1答案：(1)×(2)√(3)×(4)√[小题查验]1．从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．6B．8C ．12D ．16解析：C [由于lg a －lg b ＝lg a b ，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a 和b 共有A 24＝12种，所以得到不同的值有12个．]2．(教材改编)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．24解析：D [“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A 34＝4×3×2＝24.]3．有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有( )A ．A 23·A 22种B ．3A 22种C ．2A 33种D ．A 44·A 22种 解析：D [根据题意，分2步分析：①由于甲、乙两人必须站在一起，将甲、乙两人看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A 22种情况；②将这个整体与其余3人全排列，有A 44种情况，则甲、乙两人必须站在一起的排法共有A 22A 44种排法，故选D.]4．安排4名机关干部去3个行政村做村官，且每人只去一个行政村，要求每个行政村至少有一名机关干部到位做村官，则不同的安排方式共有( )A ．36种B ．24种C ．34种D ．43种解析：A [由题意，先把四名机关干部分为三组，共C 24＝6(种)分法，再分配到三个行政村官，所以共有C 24A 33＝6×6＝36(种)，故选A.]5．7位身高各不相同的同学排成一排，要求正中间的最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法共有 ________ 种．解析：最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C 36种，则剩下三位同学的位置已定．故共有C 36＝20种．答案：20【考点探究·突破重点难点】考点一排列问题(师生共研)[典例](1)将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学的排法有()A．18种B．20种C．21种D．22种(2)四位男演员与五位女演员排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法种数为()A．A55A46－2A44A45B．A55A46－A44A45C．A55A45－2A44A44D．A55A45－A44A44[解析](1)B(2)A[(1)当A，C之间为B时，将3人看成一个整体与剩余2人进行排列，共有A22·A33＝12(种)排法；当A，C之间不是B时，先在A，C之间插入D，E中的任意一个，然后B在A的另一侧，再将这4人看成一个整体，与剩余1人进行排列，共有C12·A22·A22＝8(种)排法．所以共有20种不同的排法．(2)四位男演员互不相邻可用插空法，有A55A46种排法，其中女演员甲站在两端的排法有2A44A45种，因此所求排法种数为A55A46－2A44A45.故选A.] 【解题反思】求解有限制条件排列问题的主要方法[提醒](1)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．(2)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．[跟踪训练](1)5名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是()A．54 B．72C．78 D．96(2)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为()A．12 B．24C．36 D．48解析：(1)C(2)D[(1)由题得，甲不是第一，乙不是最后．先排乙：乙得第一，共有A44＝24(种)可能；乙没得第一，有3种可能，再排甲也有3种可能，余下的3人有A33＝6(种)可能，共有6×3×3＝54(种)可能．所以共有24＋54＝78(种)可能．(2)甲、乙分得的电影票连号有4×2＝8(种)分法，其余3人有A33种分法，所以共有8A33＝48(种)分法，故选D.]考点二组合问题(子母变式)[母题]要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．[解](1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法，其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有C310＝120(种)选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．[子题]在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．【解题方法总结】组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．[跟踪训练](1)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共有()A．6B．12C．18 D．24(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：(1)C(2)D[(1)法一：所有选考方法可分两类：第一类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选一科有C13种不同的选法，第二步，考生从政治、历史、地理三科中任选二科有C23种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C13C23种不同的选法；第二类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C23种不同的选法，第二步，从政治、历史、地理三科中任选一科有C13种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C23C13种不同的选法．根据分类加法计数原理，考生共有C13C23＋C23C13＝18(种)不同的选考方法，故选C.法二：依题意，考生共有C36－2C33＝18(种)不同的选考方法，故选C.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴不同的取法共有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．]考点三分组分配问题(多维探究)[命题角度1]整体均分问题1．教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33·A33＝90种分派方法．答案：90[命题角度2]部分均分问题2．今年，我校迎来了师大数学系5名实习教师，若将这5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有() A．180种B．120种C．90种D．60种解析：C[将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人．另两组都是2人，有C15·C24A22＝15(种)方法．再将3组分到3个班，共有15·A33＝90(种)不同的分配方案．故选C.] [命题角度3]不等分问题3．若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．答案：360【解题规律总结】解决分组分配问题的策略(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．2020高中数学复习学案第10章计数原理、概率、随机变量及其分布2 排列与组合检测一、选择题1．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(C)A．85 B．56C．49 D．28解析：分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C12C27＋C22C17＝49.2．4位男生和2位女生排成一排，男生有且只有2位相邻，则不同排法的种数是(C)A．72 B．96C．144 D．240解析：先在4位男生中选出2位，易知他们是可以交换位置的，则共有A24种选法，然后再将2位女生全排列，共有A22种排法，最后将3组男生插空全排列，共有A33种排法．综上所述，共有A24A22A33＝144种不同的排法．故选C.3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(D) A．144 B．120C．72 D．24解析：“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.4．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有(B)A．60种B．48种C．30种D．24种解析：由题知，可先将B，C二人看作一个整体，再与剩余人进行排列，则不同的座次有A22A44＝48种．5．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有(B)A．900种B．600种C．300种D．150种解析：依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有C25·A44＝240(种)；第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有A46＝360(种)，因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600(种)，故选B.6．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的分配方案共有(C)A．18种B．24种C．36种D．72种解析：不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有C 23A 33＝18(种)；②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有C 13A 33＝18(种)．由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．7．我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”飞机准备着舰，规定乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为( C )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：根据题意，分2种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，有A 44＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法；②丙机不最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架飞机中任选1架，作为最先着舰的飞机，将剩下的4架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C 12A 44＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法．则一共有24＋24＝48种不同的着舰方法．故选C.二、填空题8．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，若甲、乙分得的电影票连号，则共有48种不同的分法．(用数字作答)解析：电影票号码相邻只有4种情况，则甲、乙2人在这4种情况中选一种，共C 14种选法，2张票分给甲、乙，共有A 22种分法，其余3张票分给其他3个人，共有A 33种分法，根据分步乘法计数原理，可得共有C 14A 22A 33＝48种分法．9．现有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有1_260种不同的方法．(用数字作答)解析：第一步，从9个位置中选出2个位置，分给相同的红球，有C 29种选法；第二步，从剩余的7个位置中选出3个位置，分给相同的黄球，有C 37种选法；第三步，剩下的4个位置全部分给4个白球，有1种选法．根据分步乘法计数原理可得，排列方法共有C 29C 37＝1 260(种)．10．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成1_260个没有重复数字的四位数．(用数字作答)解析：若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C 25C 23A 44；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C 25C 13C 13A 33.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C 25C 23A 44＋C 25C 13C 13A 33＝720＋540＝1 260.11．某班主任准备请2018届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有1_080种．(用数字作答)解析：若甲、乙同时参加，有2C 26A 22A 22＝120种，若甲、乙有一人参加，有C 12C 36A 44＝960种，从而不同的发言顺序有1 080种．12．福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( B )A ．90种B ．180种C ．270种D ．360种解析：根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C 16＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C 15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有C 24C 22A 22×A 22＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案，故选B.13．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( D )A ．72B ．120C ．192D ．240解析：将数字“124 467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数．(1)若末位数字为2，因为其他位数上含有2个4，所以有5×4×3×2×12＝60种情况；(2)若末位数字为6，同理有5×4×3×2×12＝60种情况；(3)若末位数字为4，因为其他位数上只含有1个4，所以共有5×4×3×2×1＝120种情况．综上，共有60＋60＋120＝240种情况．14．某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有12种．解析：分三类：(1)同一天2家有快递：可能是2层和5层、3层和5层、3层和6层，共3种情况；(2)同一天3家有快递：考虑将有快递的3家插入没有快递的4家形成的空位中，有C 35种插入法，但需减去1层、3层与7层有快递，1层、5层与7层有快递这两种情况，所以有C 35－2＝8种情况；(3)同一天4家有快递：只有1层、3层、5层、7层有快递这一种情况．根据分类加法计数原理可知，同一天7家住户有无快递的可能情况共有3＋8＋1＝12种．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( B )A ．18种B ．24种C ．48种D ．36种解析：由题意，有两类：第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C 23＝3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有C 12C 12＝4种，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C 13＝3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人，有C 12C 12＝4种，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12＋12＝24种不同的乘车方式，故选B.16．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD (边长为3个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有( C )A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种解析：由题意知正方形ABCD (边长为3个单位)的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处表示三次骰子的点数之和是12，在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4，共有6种组合，前三种组合1,5,6；2,4,6；3,4,5各可以排出A 33＝6种结果，3,3,6和5,5,2各可以排出A 33A 22＝3种结果，4,4,4只可以排出1种结果．根据分类计数原理知共有3×6＋2×3＋1＝25种结果，故选C.。

2019-2020年高考数学复习 第89课时 第十章 排列、组合和概率-排列、组合、概率小结名师精品教案一．课前预习：1．从数字中，随机抽取个数字（允许重复）组成一个三位数其各位数字之和等于的概率为 （ ）2．从位男教师和位女教师中选出位教师，派到个班担任班主任（每班位班主任），要求这位班主任男、女教师都有，则不同的选派方案共有（） 种 种 种 种3．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 （ D ） 4．若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=- ，则010********()()()...()a a a a a a a a ++++++++=(用数字作答) ．5．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为，规定：同意按“”，不同意（含弃权）按“”， 令1, 0, ij i j a i j ⎧=⎨⎩第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选其中，且，则同时同意第号同学当选的人数为（ ）k k a a a a a a 2222111211+++++++ 2122211211k k a a a a a a +++ 2221212111k k a a a a a a +++++++ k k a a a a a a 2122122111+++6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆种蔬菜品种中选出种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共种． 四．例题分析：例1．对副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A ：甲正好取得两只配对手套；②B ：乙正好取得两只配对手套； （Ⅱ）A 与B 是否独立？并证明你的结论． （Ⅰ)①． ②．（Ⅱ）2152410221()63C C P AB A ⨯⨯⨯==, 又， ∴≠，故与是不独立的．例2．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的道试题中，甲能答对其中的题，乙能答对其中的题，规定每次考试都从备选题中随机抽出题进行测试，至少答对题才算合格.（Ⅰ）分别求甲答对试题数的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.24.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分12分.（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为，则 ，．因为事件相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为2141()(1)(1)31545P A B ⋅=--= ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为，答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．例3．袋中装有个红球和个白球，，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同.从袋中同时取出个球.(1)若取出是个红球的概率等于取出的是一红一白的个球的概率的整数倍，试证必为奇数； (2)在的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求失和的所有数组 . 解：(1)设取出个球是红球的概率是取出的球是一红一白个球的概率的倍(为整数)则有∴∵，∴为奇数 (2)由题意，有，∴∴2220m m n n mn -+--= 即，∵，∴，∴，的取值只可能是 相应的的取值分别是， ∴或或或或， 注意到∴的数组值为(6,3),(10,6),(15,10),(21,15)五．课后作业：1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有人解决这个问题的概率是 （ ）2．某人制定了一项旅游计划，从个旅游城市中选择个进行游览.如果为必选 城市，并且在游览过程中必须按先后的次序经过两城市（两城市可以不 相邻），则有不同的游览线路 （ ） 种 种 种 种3．某电视台邀请了位同学的父母共人，请这位家长中的位介绍教育子女的情况，那么这位中至多一对夫妻的选择方法为 （ ） 种 种 种 种4．由等式223144322314)1()1()1(+++++=++++x b x b x a x a x a x a x 定义),,,(),,,(43214321b b b b a a a a f ，则等于 （ ）5．若展开式中含有常数项，则正整数的最小值是 （ ）6．三人传球由甲开始发球，并作第一传球，经次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法共有 （ ）种 种 种 种7．有两排座位，前排个座位，后排个座位，现安排人就座，规定前排中间的个座位不能坐，并且这人不．左右相邻，那么不同排法的种数是（ ） 234 346 350 3638．口袋内装有个相同的球，其中个球标有数字，个球标有数字，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 ．9．若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 ． 10．将标号为的个球放入标号为的个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 ． 11．已知件产品中有件是次品.（1）任意取出件产品作检验，求其中至少有件是次品的概率；（2）为了保证使件次品全部检验出的概率超过，最少应抽取几件产品作检验？12．已知：有个房间安排个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（1）事件：指定的个房间各有人；（2）事件：恰有个房间各有人；（3）事件：指定的某个房间有人. 13．已知甲、乙两人投篮的命中率分别为和．现让每人各投两次，试分别求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球. 14．从汽车东站驾车至汽车西站的途中要经过个交通岗，假设某辆汽车在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是.（1）求这辆汽车首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；（2）这辆汽车在途中恰好遇到次红灯的概率．2019-2020年高考数学复习第90课时第十章排列、组合和概率-随机变量的分布列、期望和方差名师精品教案课题：随机变量的分布列、期望和方差教学目的：1．通过本课的教学，对本单元知识内容进行梳理，加深有关概念的理解，在综合运用知识能力上提高一步。

一、基本知识点回顾：（一）排列、组合1、 知识结构表：2、 两个基本原理：（1） 分类计数原理（2） 分步计数原理3、 排列（1） 排列、排列数定义（2） 排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=m n n n m n n A m n （3） 全排列公式：4、 组合（1） 组合、组合数定义（2） 组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=m m m n n n m n m n C m n （3） 组合数性质：① ② ③④n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++⑤0)1(210=-+⋅⋅⋅++-n n n n n n C C C C 即：1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C 5、 思想方法（1） 解排列组合应用题的基本思路：① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；（2） 解排列组合题的基本方法：① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

③ 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。

④ 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。

⑤插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

⑥捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。

第2讲排列与组合最新考纲１.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m（m≤n）个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组(1)从n个不同元素中取出m(m≤ｎ)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出ｍ个元素的排列数.(2)从ｎ个不同元素中取出ｍ(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．3.排列数、组合数的公式及性质公式（1）A错误!=ｎ(n－１)(n-2)…（ｎ－m＋1）＝错误! (2)Ｃ错误!＝错误!=错误!=ｎ！m！（ｎ－ｍ）!(ｎ,m∈Ｎ*，且m≤n).特别地C错误!＝1性质(1)０!=１；A错误!=ｎ!(2)C＼o＼al(ｍ，n）=C错误!；Ｃ错误!＝C错误!+C错误!1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )(3）若组合式Ｃ错误!＝C错误!,则x=m成立.（）（4)k C错误!=n C错误!.( )解析元素相同但顺序不同的排列是不同的排列,故(１)不正确;若Ｃ错误!=Ｃ错误!,则ｘ=m 或n－ｍ，故(3)不正确.答案(1）×（2)√(３)×(４)√2.从4本不同的课外读物中，买3本送给３名同学，每人各１本,则不同的送法种数是（ )A.1２B.２4C.64 ﻩD.8１解析 4本不同的课外读物选３本分给3位同学,每人一本,则不同的分配方法为A错误!＝24. 答案 B3.（选修2－3Ｐ2８A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( )A．18 Ｂ．24 ﻩ C.30 Ｄ.３６解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C错误!Ｃ错误!＝1８种，选出的３人中有1名男同学２名女同学的方法有C错误!C错误!=12种,故3名学生中男女生都有的选法有C错误!C错误!＋C错误!C错误!＝30种．法二从7名同学中任选３名的方法数,再除去所选３名同学全是男生或全是女生的方法数,即C错误!－Ｃ错误!-C错误!＝30.答案 C4.(20１7·浙江三市十二校联考)用1,2,3,４，5,6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有_＿＿_＿___个;其中1,３，５三个数字互不相邻的六位数有_______＿个．解析用1,2,3，４，5,6组成没有重复数字六位数共有A错误!=720个；将1,3，５三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个,故有Ａ错误!A错误!=1４4个.答案７20 1445.用数字1,2,３，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为____＿___(用数字作答)．解析末位数字排法有A错误!,其他位置排法有A错误!种，共有Ａ错误!Ａ错误!＝48种.答案４８６.（2017·绍兴调研)某市委从组织机关10名科员中选３人担任驻村第一书记,则甲、乙至少有１人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为＿＿_____＿(用数字作答).解析法一 (直接法)甲、乙两人均入选，有Ｃ错误!C错误!种．甲、乙两人只有1人入选,有C错误!C错误!种方法,∴由分类加法计数原理,共有C错误!C错误!+Ｃ错误!C错误!＝49(种)选法.法二（间接法)从９人中选3人有Ｃ3９种方法．其中甲、乙均不入选有C错误!种方法，∴满足条件的选排方法是C３９－C错误!=8４－35＝49(种).答案 4９考点一排列问题【例1】（2017·河南校级月考）3名女生和5名男生排成一排．（1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(２)如果女生都不相邻，有多少种排法？（3)如果女生不站两端，有多少种排法?（４）其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法?（5)其中甲不站最左边，乙不站最右边,有多少种排法?解 (１)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起有６个元素，排成一排有A６6种排法,而其中每一种排法中,三个女生间又有A错误!种排法,因此共有A错误!·A错误!＝4 320(种）不同排法.(２)（插空法)先排5个男生,有A错误!种排法，这5个男生之间和两端有６个位置,从中选取３个位置排女生，有A３，6种排法，因此共有A＼o＼ａｌ(5，5）·Ａ错误!＝14 400(种)不同排法.(3）法一(位置分析法）因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人,有A＼o＼aｌ（２,5)种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A错误!种排法,因此共有A错误!·A错误!=14 40０(种)不同排法.法二 (元素分析法) 从中间6个位置选3个安排女生,有Ａ错误!种排法，其余位置无限制，有Ａ错误!种排法，因此共有A错误!·A错误!＝14 400(种）不同排法.(４)8名学生的所有排列共A错误!种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中错误!,∴符合要求的排法种数为＼f(１，2）A错误!＝20 1６０(种）.(５）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.法一 (特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A错误!种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个,有A错误!种;而乙可排在除去最右边位置后剩余的６个中的任一个上,有A错误!种；其余人6个人进行全排列，有A错误!种.共有Ａ错误!·A错误!·A错误!种.由分类加法计数原理，共有A＼o＼aｌ（７,7)＋Ａ＼o＼al(1,6）·A16·A错误!=30 ９60(种). 法二(特殊位置法）先排最左边,除去甲外,有A错误!种，余下7个位置全排，有A错误!种，但应剔除乙在最右边时的排法A错误!·Ａ错误!种，因此共有A错误!·Ａ错误!-A错误!·A错误! =30 960（种).法三（间接法)８个人全排,共A＼ｏ＼al(8,8)种,其中，不合条件的有甲在最左边时,有A错误!种,乙在最右边时,有A错误!种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形,有A错误!种.因此共有A错误!-2A错误!+A错误!=30 960(种).规律方法 (1）对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(２)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】（1)(2０１7·新余二模）7人站成两排队列，前排３人,后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人,后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( )Ａ.120 B.24０ﻩ C．360 ﻩ D．480(2)(20１7·抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加,那么不同的发言顺序有( )A.30 ﻩB.６00 Ｃ.72０D．840解析（1）第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空,任选一个空加一人,有4种,第三步，后排４人形成了5个空,任选一个空加一人有５种，此时形成6个空,任选一个空加一人，有6种,根据分步计数原理有3×4×5×6＝３6０种方法.(2)若只有甲乙其中一人参加,有C错误!C错误!Ａ错误!＝4８０种方法;若甲乙两人都参加，有Ｃ错误!C错误!A错误!=240种方法,则共有４８0+２4０=720种方法,故选C.答案(1)C （2)C考点二组合问题【例2】某市工商局对３5种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种．(1）其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种?(4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种？解 (１)从余下的３４种商品中,选取2种有C错误!=561种,∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(２)从34种可选商品中,选取3种,有C3，3４种或者C3，３５-Ｃ错误!＝C错误!=5 98４种.∴某一种假货不能在内的不同取法有5 ９8４种.(３)从２0种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有Ｃ错误!C错误!＝2 1０0种．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(４)选取2种假货有C错误!C错误!种,选取3件假货有C错误!种，共有选取方式C错误!C错误!＋C错误!=2 1０0＋4５5=2 555种.∴至少有２种假货在内的不同的取法有2 5５5种.（５）选取３件的总数为C＼ｏ＼ａl（3,3５)，因此共有选取方式Ｃ＼o＼ａl(3,35)-C错误!＝6 5４５－455＝６０９0种.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 09０种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(１)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型;“含”,则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（２)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练２】(1)(2017·邯郸一模)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是( ）A.90 ﻩB.1１５ﻩC.２10 ﻩＤ.385(２)(２０17·湖州市质检)若从1,２，3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ）A.６0种ﻩ B．6３种ﻩC．65种ﻩD．６6种解析 (１)分三类，取２个黑球有C错误!C错误!＝９0种，取3个黑球有C错误!C错误!=24种，取４个黑球有C错误!=1种，故共有９０＋24＋1=11５种取法,选B.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数，则４个数全为奇数,或全为偶数，或2个奇数和２个偶数，∴共有不同的取法有C错误!＋C错误!＋C错误!Ｃ错误!=6６（种). 答案 (１)Ｂ(2）D考点三排列、组合的综合应用【例3】４个不同的球，4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法？(３)恰有2个盒不放球，共有几种放法?解 (1)为保证“恰有１个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“４个球,3个盒子,每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把４个球分成２，1,１的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外２个盒子内,由分步乘法计数原理，共有C错误!C错误!C错误!×A错误!=１44(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放１个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C错误!种方法．4个球放进2个盒子可分成（3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有C错误!C错误!Ａ错误!种方法;第二类有序均匀分组有错误!·A错误!种方法.故共有C错误!(C错误!C错误!A错误!+错误!·Ａ错误!)＝84(种).规律方法 (1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素（或位置),再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目,一般是将符合要求的元素取出或进行分组,再对取出的元素或分好的组进行排列.(２）不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的差异．其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.【训练3】（1）某校高二年级共有６个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A．A错误!C错误!B．错误!A错误!Ｃ错误!Ｃ.Ａ26A错误!ﻩD.2A错误!(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有___＿_＿__种(用数字作答)．解析 (1)法一将４人平均分成两组有错误!Ｃ错误!种方法,将此两组分配到6个班级中的2个班有Ａ错误!（种)．所以不同的安排方法有错误!Ｃ错误!A错误!(种).法二先从6个班级中选2个班级有C错误!种不同方法,然后安排学生有C错误!C错误!种，故有C错误!Ｃ错误!C错误!=错误!A错误!Ｃ错误!(种).(2)把８张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖，无奖）、（无奖,无奖）四组，分给4人有A错误!种分法;另一种是一组两个奖，一组只有一个奖,另两组无奖，共有C＼ｏ＼aｌ(2,3)种分法,再分给４人有C错误!A错误!种分法,所以不同获奖情况种数为A错误!+C错误!A错误!＝24+36＝60.答案(1）B (2)60[思想方法]1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑（１)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(２)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(３)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数,再减去不合要求的排列数或组合数．２.排列、组合问题的求解方法与技巧（1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步；（3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题排除法处理；(７）分排问题直排处理；（８)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型;(1０)正难则反，等价条件．［易错防范]1．区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关．２.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏.3.解组合应用题时,应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.4.对于分配问题,一般先分组,再分配，注意平均分组与不平均分组的区别,避免重复或遗漏.。