二次根式化简与有意义范围

二次根式的化简与运算二次根式是指含有根号的代数表达式，通常是一种简化和运算方式，可以将复杂的表达式化简为简单的形式，并进行加减乘除等基本运算。

本文将介绍二次根式化简与运算的基本方法和技巧。

一、二次根式的化简1. 同底数的根式相加减：当根式的底数相同且指数相同时，可以直接对系数进行加减运算，保持根号不变。

例如：√2 + √2 = 2√22. 二次根式的有理化：当二次根式的底数是一个整数，但含有一个或多个根号时，可以通过有理化的方法化简。

例如：√(2/3) = (√2)/(√3) = (√2)/(√3) × (√3)/(√3) = √6/33. 二次根式的合并：当二次根式的底数相同，但系数不同时，可以合并为一个根式，将系数加在一起，并保持底数不变。

例如：3√2 + 2√2 = 5√24. 二次根式的分解：当二次根式的底数是一个整数，且无法进行合并时，可以进行分解，并找出其中可以合并的部分。

例如：√12 = √(4 × 3) = 2√3二、二次根式的运算1. 加减运算：当二次根式的底数和指数都相同时，可以直接对系数进行加减运算，保持底数和指数不变。

例如：2√5 + 3√5 = 5√52. 乘法运算：当二次根式相乘时，可以将根式的系数分别相乘，并保持底数和指数不变。

例如：2√3 × 3√2 = 6√63. 除法运算：当二次根式相除时，可以将根式的系数分别相除，并保持底数和指数不变。

例如：6√8 ÷ 2√2 = 3√24. 乘方运算：当二次根式进行乘方运算时，可以将指数分别应用到系数和根号上，并保持底数不变。

例如：(2√3)^2 = 2^2 × (√3)^2 = 4 × 3 = 12总结：二次根式的化简与运算是一种常见的数学操作，在代数表达式的计算中经常会遇到。

通过适当的化简和运算，可以简化复杂的根式，得到更加简单和规范的表达形式。

熟练掌握二次根式的化简和运算方法，有助于提高数学计算的效率和准确性。

二次根式的化简与运算规则二次根式是指具有形如√a的数学表达式，其中a是一个非负实数。

化简与运算二次根式是数学中的重要概念，本文将详细讨论二次根式的化简与运算规则。

一、二次根式的化简1. 化简含有相同因数的二次根式当二次根式中的被开方数具有相同的因数时，可以利用同底数幂的乘法规则将二次根式合并为一个较简单的表达式。

例如：√(4x^2) = 2x√(9y^6) = 3y^32. 化简含有互质因数的二次根式当二次根式中的被开方数的因数互质时，我们无法简化二次根式，只能保留原始形式。

例如：√(2x) 无法化简，保留原始形式3. 化简分数形式的二次根式当二次根式中的被开方数为分数时，可以将分子和分母分别进行开平方操作，然后将得到的结果进行约分。

例如：√(4/9) = 2/3二、二次根式的运算规则1. 加减法规则当两个二次根式相加或相减时，要求它们的被开方数和指数相同。

可以直接对被开方数进行加减操作，同时保留相同的根号。

例如：√5 + √5 = 2√52√3 - √3 = √32. 乘法规则当两个二次根式相乘时，我们可以利用指数运算规则对被开方数进行乘法操作，再将结果开平方。

例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √63. 除法规则当两个二次根式相除时，我们可以利用指数运算规则对被开方数进行除法操作，再将结果开平方。

例如：√8 / √2 = √(8 / 2) = √4 = 2三、例题解析1. 化简二次根式√(18x^2y^4z^6)解：√(18x^2y^4z^6) = √(9 × 2 × (xy^2z^3)^2)= 3xy^2z^3√22. 计算二次根式的和：√2 + √8解：√2 + √8 = √2 + √(4 × 2)= √2 + 2√2= 3√23. 计算二次根式的积：(2√6)(3√3)解：(2√6)(3√3) = 6√18= 6√(9 × 2)= 18√2四、总结二次根式的化简与运算规则是数学中的重要内容。

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如仁.）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以匚二丨是仁为二次根式的前提条件，如门，∖i ' ，等是二次根式，而辰，y∣-x-l等都不是二次根知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，二；有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a< 0时，仁没有意义。

知识点三：二次根式化I）的非负性仁（匚二I）表示a的算术平方根，也就是说，仁（匚二I ）是一个非负数，即仁二O （ = _ I ）。

注：因为二次根式仁（「：_ .∣）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，O的算术平方根是0,所以非负数（「：_.）的算术平方根是非负数，即■'-：上0^|），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若丄V ,则a=0,b=0 ;若S L' '■;" r,贝Ua=0,b=0 ;若-Jl-■- ÷∙-' ：J I,则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（仁）*的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

知识点五：二次根式的性质知识点六：V：'1与「的异同点1、不同点:与= 表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方，而二表示一个实数a的平方的算术平方根；在'x-1''中匸二1，而中a可以是正实数，0,负实数。

但\-.：|；'与都是非负数，即J"；」，" H。

因而它的运算的结果是有差别的■山，2、相同点：当被开方数都是非负数，即一丨时，■」£「；时，A「无意义，而=-■.知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面•（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，？乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算•【例题精选】二次根式有意义的条件：例1:求下列各式有意义的所有X的取值范围O 3 - 2x；2)x T；⑶____ 3解：（1）要使∙∙3-2X有意义，必须3-2x_ 0,由3-2x_0得x_?， .当X空？时，,ab =、. a ∙ b (a≥0 b≥0 ；式子..、3-2X在实数范围内有意义。

专题04 二次根式的运算1．二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。

（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。

2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0 3．二次根式的性质： （1）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积， 即=·（a ≥0,b ≥0）。

（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a ≥0,b>0）。

反之，4．最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

5．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

6．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。

7．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。

8．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b ab a b a ab b a 专题知识回顾（＞0）（＜0）0 （=0）；9．找有理化因式的方法：（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。

如：①的有理化因式为，②的有理化因式为。

（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。

即的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为10．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。

一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组（3）合并同类二次根式11．二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。

二次根式的化简与运算法则二次根式是数学中的一种特殊表达形式，通常以√来表示。

在实际应用中，我们经常会遇到需要对二次根式进行化简和运算的情况。

本文将介绍二次根式的化简方法以及运算法则。

一、二次根式的化简方法对于二次根式，我们希望将其化简为最简形式，即分子与分母互质的形式。

1. 化简含有平方数的二次根式当二次根式的被开方数是平方数时，可以直接提取出该平方数的因子。

例如√36，由于36是6的平方，即36 = 6^2，因此√36 = 6。

2. 有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们可以通过有理化分母的方法将其转化为最简形式。

有理化分母的基本思想是将分母中的二次根式去除，实现分母为有理数的形式。

例如，对于分母为√a的二次根式，我们可以将其有理化分母得到如下形式：1/√a = (√a) / a二、二次根式的运算法则在进行二次根式的运算时，我们需要根据运算法则进行相应的操作。

1. 二次根式的加减法对于二次根式的加减法，要求根号下的被开方数相同，即二次根式相同。

例如√a + √a = 2√a2. 二次根式的乘法对于二次根式的乘法，我们直接将根号下的被开方数相乘，并转化为最简形式。

例如√a * √b = √(ab)3. 二次根式的除法对于二次根式的除法，我们可以借助有理化分母的方法进行转化，然后进行乘法运算。

例如√a / √b = (√a * √b) / (√b * √b) = √(a/b)三、综合运用下面通过几个例题来综合运用二次根式的化简与运算法则：例题1：化简√(108)。

解：首先，将108分解成最简的平方数的乘积，即108 = 4 * 27 = 4* 3^3。

然后，根据化简含有平方数的二次根式的方法，√(108) = √(4 * 3^3) = √4 * √(3^3) = 2 * 3√3 = 6√3。

例题2：进行二次根式的加法运算：√(8) + √(18)。

解：首先，化简每个二次根式√(8) = √(4 * 2) = 2√2，√(18) = √(9 * 2) = 3√2。

二次根式的化简与计算【知识要点】1．最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母。

②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数。

2．化为最简二次根式的方法：①把被开方数的分子、分母尽量分解出一些平方数或平方式；②将这些平方数或平方式，用它的算术平方根代替移到根号外；③化去被开方数中的分母。

3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

判断同类二次根式时，注意以下三点：①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同。

4．二次根式的加减法：先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

合并同类二次根式的方法与合并同类项类似。

5．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：=①单项二次根式：利用a理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a与a，，6．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

7．二次根式的混合运算：①二次根式的混合运算的运算顺序与有理式的混合运算的顺序相同；②在二次根式的混合运算中，有理式的运算法则、定律、公式等同样适用。

【典型例题】例1 解答下列各题：（1）下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？，（其中0x >，0y >）。

（2）下列根式中，哪些是同类二次根式？为什么？（题中字母都为正数）2x ，127，（3）如果最简根式，m +m ，n 的值。

例2 计算下列各题：（1）⎛- ⎝ （2）-⎝（3例3 （1）把下列各式分母有理化：)a b ≠（2）把下列各式化简：练 习A 组1．下列各式正确的是（ ）A ===B =C a b =+D =2．下列各式正确的是（ ）A =B ()230,0a b a b =><C = D== 3．在下列二次根式中，若0,0a b >>，则属于最简二次根式的是（ ）A B C D4 ） A ．4x < B ．1x ≥ C ．14x ≤< D ．14x ≤≤5．化简的结果是（ ）A B ．3 C ． D ．a6的相反数的倒数为 。

二次根式的化简二次根式是数学中的一个重要概念，它在解方程、求平方根等方面都有广泛的应用。

化简二次根式是指将其写成最简形式，以便于计算和理解。

本文将介绍二次根式的化简方法，并给出一些例子进行演示。

1. 同底数的二次根式相加减：当两个二次根式的底数相同时，可以直接将它们的系数相加或相减，并保持底数不变。

例如，化简√5 + 2√5：可以将√5看作是√5的系数为1的一次方根，则√5 + 2√5 = （1 + 2）√5 = 3√5。

再例如，化简4√7 - 3√7：可以将√7看作是√7的系数为1的一次方根，则4√7 - 3√7 = （4 - 3）√7 = √7。

2. 二次根式的有理化：有些二次根式的底数含有其他根号，这时可以采用有理化的方法化简。

例如，化简√（2 + √3）：先将其表示为a + b√c的形式，其中a、b、c为有理数，即√（2 + √3）= a + b√c。

根据平方根的性质，可得（a + b√c）² = 2 + √3。

展开并比较实部和虚部的系数，解得a = 1，b = 1，c = 3。

因此，√（2 + √3）= 1 + √3。

再例如，化简1/√（2 + √3）：同样地，将其表示为a + b√c的形式，即1/√（2 + √3）= a + b√c。

根据倒数的性质，可得（a + b√c）² = 1/(2 + √3)。

展开并比较实部和虚部的系数，解得a = 1/3，b = -1/3，c = 3。

因此，1/√（2 + √3）= 1/3 - 1/3√3。

3. 二次根式的乘法和除法：二次根式的乘法和除法可以采用分配律的方法进行。

例如，化简（√2 + √3）²：根据分配律和平方根的性质，（√2 + √3）² = (√2 + √3)(√2 + √3)= 2 + 2√6 + 3= 5 + 2√6。

再例如，化简（√6 - √2）/√3：同样地，根据分配律和平方根的性质，（√6 - √2）/√3 = (√6/√3) - (√2/√3)= √2 - √(2/3)。

二次根式的化简与运算方法二次根式是指含有根号的算式，可以看作是根数和字母的组合。

化简二次根式是对根式进行简化，使得根号下的数变得更简洁。

而运算二次根式则是对含有二次根式的算式进行加减乘除等数学运算。

一、二次根式的化简方法二次根式的化简涉及到有理化的概念，有理化即通过变形将根式转换成有理数的操作。

下面将分别介绍三种常见的二次根式的化简方法。

1. 同底同指并简化当二次根式的根号下的数相同，指数相同时，可以进行合并并简化。

例如：√8 + √8 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 有理化分母对于分母含有根号的二次根式，可以通过有理化的方法将其转化为有理数。

例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/33. 用有理数乘以二次根式可以使用有理数乘以二次根式进行化简。

例如：2√5 × 3√5 = 6√25 = 30二、二次根式的运算方法二次根式的运算涉及到加减乘除等数学运算，下面将分别介绍这几种运算方法。

1. 加减运算二次根式的加减运算需要先找到根号下的数相同的根式，然后根据正负号进行合并。

例如：√5 + √8 = √5 + 2√2 （不能合并）2√3 + 3√3 = 5√32. 乘法运算二次根式的乘法运算可以直接相乘。

例如：√5 × √2 = √103√3 × 2√3 = 6√9 = 6×3 = 183. 除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化的方法转化为乘法。

例如：(√10) / (√5) = (√10) / (√5) × (√5) / (√5) = (√50) / 5 = 10/5 = 24. 指数运算对于含有二次根式的指数运算，可以将根式拆解成两个因数相同的根式。

例如：(√2) ^ 3 = (√2) × (√2) × (√2) = (√8) = 2√2结论二次根式的化简与运算方法在数学的学习中经常会用到，掌握了这些方法能够帮助我们更好地解决问题。

二次根式讲义 一、知识点梳理 1.二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2.定义重点①式子有意义：)0(≥a a 中必须，否则，式子没有意义②隐含条件：)0(≥a a ，则，即也为非负数4. 二次根式的乘除运算b a ab ⋅=（00≥≥b a ，）)0,0(≥≥=b a b ab a根式中分母不能含有根号，且要变为最简。

6.最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

三、典型例题讲解 例11、用代数式表示：（1）面积为S 的正方形的边长为______．(2）•面积为10•的直角三角形的两直角边的比为1：•2，•则这两条直角边分别为______．2、在二次根式1a -中，字母a 的取值范围是（ ）A ．1<aB ．1≤aC ．1≥aD ．1>a 3、下列式子中，是二次根式的有（ ）①22x +，②3x ，③32，④2()x -A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、（1）若0≥a ，则a _____0．（2）若021=++-x y ，则=x _____，=y ______． 5、求使式子有意义的实数x 的取值范围．（1）2x - （2）11x - 例21、计算：（1）=2)3(______；（2）=-2)52(_____． 2、下列式子正确的个数是（ ）①2)4(4±=；②3)3(2-=--；③1)2()3(22=-；④2)7(7=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在实数范围内分解因式792-a ．解：=-=-222)7()3(79a a （ ）·（ ）4、计算：（1）22＝______．（2）2(5)-＝_____； （3）2211010-=＝______．5、计算： （1）2(2)x -（2≤x ） （2）2(32)- （3）－2(3.14)π-例31、计算：（1）2×7＝______．（2）12×8＝______； （3）0.1×100＝_______．2、下列运算不正确的是（ ）A ．0.40.6⨯＝0.2×0.6＝1.2B ．4×36＝2×6＝12C ．0.4 3.60.4 3.6 1.44⨯=⨯=＝＝1.2D ．a ·3＝3a （0≥a ） 3、计算：（1）3×（－212） （2）2×6×13（3）2ab ·1b （4）－12xy ·（－4y ）4、计算：（1）812＝______；（2）126＝_____．5、计算：（1）318÷2＝_____；（2）293x y xy ÷＝______． 例41、化简：（1）8＝______；（2）1327＝____．2、化简：（1）3a ＝_____；（2）2316x y ＝_____．3、化简：（1）56＝______； （2）－125015⨯＝______； （3）2332ab c＝______；4、下列计算正确的是（ ）A ．－1210×2＝－1220B ．y x xy x xy x 31313313=⋅=⋅C ．112882887272⨯=⨯＝4＝2 D ．534＝5435、把38化为最简二次根式为_______．6、下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）A ．aB ．31C ．1x D ．21a +四、举一反三 1．（2012义乌）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间2．（2012杭州）已知)212()33(-⨯-=m ，则有（ ）A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－5 3.（2012泰安）下列运算正确的是（ ）A ．2(5)5-=- B ．21()164--= C ．632x x x ÷= D ．325()x x =4．（2012德阳）使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是（ ）A ． 0≥xB ．21≠x C ．0≥x 且21≠x D ．一切实数5.（2011山东菏泽）实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a -+- 化简后为（ ）A ． 7B ． －7C ．152-aD ． 无法确定6.（2011山东济宁）若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为 （ ）A ．1B ．－1C ．7D ．－77．（2011山东烟台）如果aa 21)12(2-=-，则（ ）A ．21<a B. 21≤a C. 21>a D. 21≥a8．（2011山东日照）已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(＝0，那么20112011y x -＝ ．9. （2011山东枣庄）对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a※b ＝b a b a -+，如3※2＝32532+=-．那么8※12＝ ．10.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简22()()a b c b a c +-+--－a b c --．a 105第2题图第4题图 五、过关测试二次根式的定义 1、二次根式11x --有意义，则实数x 的取值范围为_____． 2、矩形面积为12cm 2，矩形的长与宽之比为3：2，则矩形长为_____cm ，宽为____cm ． 3、无论实数x 取何值下列式子总有意义为（ ）A ．2(1)x -- B ．21x -+ C ．21x + D ．1x -4、如图所示，方格图中小正方形的边长为1，将方格图中阴影部分剪下来，再把剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．65、如图所示，在平面直角坐标系中，A （－2，3），B （－4，0），C （－2，0）是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．6、已知1433b a --与114+-b a 互为相反数，试求a ，b 的值．7、已知x ，y 为实数，且y ＝1122x x -+-＋12，求x ，y 的值．二次根式的性质1、计算：（1）=2)75(____________； （2）=-2)2(x ______．2、（1）当0≥x 时，=-2x ______________；（2）当0≤x 时，2x ＝______． 3、下列式子计算不正确的是（ ）A ．3)3(2=B ．a a =-2)(（0≥a ）C ．2(32)-＝3－2D ．15)53(2-=- 4、计算：（1）22)3553()54(- （2）22(6)(8)-+-（3）2)52(494-⋅+ （4）2230.6--5、已知实数x 在数轴上的位置如图所示，化简2222(1)(2)x x x --+-．6、（改错题）计算：（2x -）2＋2(3)x - 解：（2x -）2＋2(3)x -＝2－x ＋x －3 ① ＝－1 ②你认为上述解答过程是错在第_____步，为什么？并求出正确的结果．二次根式的乘法 1、计算：（1）－122×3＝_____； （2）18×（－32）＝_____． 2、计算：（1）110×110＝______； （2）131x·3xy ＝______． 3、化简：（1）3a -＝_____；（2）34m n （0<m ）＝______． 4、若)2)(1(21--=-⋅-x x x x ．则x 的取值范围是（ ）A ．1>xB ．2≥xC ．2>xD ．1≥x 5、定义运算“@”运算法则，x@y@z ＝xyz ，则2@3@6值为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．126、下列各等式成立的是（ ）A ．45×25＝85B ．53×42＝205C ．43×32＝75D ，53×42＝20 7、已知2＝a ，则200的值为（ ）A ．a 2B ．a 3C ．a 10D ．a 8 8、下列计算正确的是（ ）A ．(121)(9)1219-⨯-=-⨯-＝33B ．23x ＝x 3C ．(16)(25)1625-⨯-=⨯＝20D ．249x -＝32-x 9、阅读解答题:因为23＝223⨯＝12 ①－23＝2(2)3-⨯＝12 ②所以23＝－23 ③ 即2＝－2导致以上出现错误的结果错因在第几步（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 10、化简：（1）2000 （2）250a b （0<a ，0>b ）（3）18×3220×（－1315） （4）627×（－23）（5）2xy ×12x （6）115×23×（－1210）11、计算（1）5xy ×（－323x y ）×361y （2）32ab b ·（－323a b ）·3ab（0<a ，0>b ）（3）)))((abx ax x a b x ab --- （0>a ，0>b ，0>x ）12、将aa 1-括号外的因式a 移到括号内部．二次根式的除法及最简二次根式 1、计算：（1）49＝_____________；（2）2764＝______．2、计算：（1）0.680.17＝__________；（2）328＝______． 3、计算：（1）0.48＝______；（2）512＝_____． 4、若2211x xx x--=++，则x 取值范围为_______． 5、下列各式是最简二次根式为（ ） A ．15B ．24C ．28D ．7326、如图所示，小芳想在墙壁上钉一个三角形架，•其中两直角边的长度之比为3：2，斜边长为520，则较短直角边的长度为（ ） A ．40 B ．210 C ．410 D ．426 7、化去下列各式中根号内的分母正确的是（ ） A ．2225555== B ．22151535=⨯ C ．3333n n mn m m m ==（0>m ，0>n ） D ．11aa a a==＝a 8、下列各式计算正确的是（ ）A ．442939---==---＝23B ．238499=＝2132C ．3163727÷= D ．825＝58 9、把下列二次根式化为最简二次根式： （1）338＝_______； （2）712＝_______；（3）2.11.0⋅＝_______；（4）3273x ＝_______； 10、计算：（1）48÷（32·3）（2）43623x x ÷（3）3520÷（－136）（4）8243311、计算：（1）3223×（－1815）÷1225（2）－4318÷（28×1354）。

二次根式判定：①二次根式必须有二次根号，如，等；②二次根式中，被开方数a可以是具体的一个数，也可以是代数式；③二次根式定义中a≥0 是定义组成的一部分,不能省略;④二次根式是一个非负数;⑤二次根式与算术平方根有着内在的联系,(a≥0 )就表示a的算术平方根。

怎么化简二次根式二次根式化简就是把根号里的数拆分成一个完全平方数和一个非完全平方数的乘积形式，然后将完全平方数开平方放到根号外面，再乘以剩下的根式。

列式为√a=√b2c=b√c。

1、根号下是一个正整数或分数将该数字拆分成一个完全平方数和一个非完全平方数的乘积，然后将完全平方数开平方放到根号外面。

2、根号下是代数式这种情况下，由于不确定字母是正数还是负数，因此开放的时候要带着绝对值开方。

√9a2=3丨a丨3、两个根式相加减首先将两个根式通分，然后再化简。

4、两个根式相乘除注意观察两个式子的特点，决定先化简再乘除，还是先乘除再化简。

二次根式:我们把形如叫做二次根式。

二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

确定二次根式中被开方数的取值范围：要是二次根式有意义，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围。

1、我们把形如叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2、确定二次根式中被开方数的取值范围：要是二次根式有意义，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围。

3、性质：（1）是一个非负数；（2）；（3）；（4）；（5）。

二次根式性质：（1）a≥0 ；≥0 （双重非负性 )；（2）；（3）0(a=0);（4）；（5）。

二次根式的应用：主要体现在两个方面：（1）利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；（2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。

这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

初中数学知识归纳二次根式的化简及运算初中数学知识归纳：二次根式的化简及运算二次根式是初中数学中一个重要的概念，它在解方程、图形的性质等各个方面都有广泛的应用。

本文将对二次根式的化简和运算进行归纳总结，并提供相应的例题和解答，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、二次根式的化简1. 特殊二次根式的化简对于平方数a，可将其开平方后得到一个整数，即√(a^2) = a。

例如，√(4^2) = 4，√(9^2) = 9。

这类二次根式已经是化简到最简形式。

2. 拆分因式法的应用对于二次根式中的非完全平方数，可以利用拆分因式的方法进行化简。

例如，√3 = √(1 × 3) = √1 × √3 = √3。

再例如，√15 = √(3×5) = √3 ×√5 = √15。

3. 有理化分母有时候我们需要将二次根式的分母有理化，即将根号去掉。

例如，对于分母为√2的分式，可以用有理数2来乘以分式的分子和分母，即(3√2)/(√2) = (3√2 × 2)/(√2 × 2) = (6√2)/2 = 3√2。

二、二次根式的运算1. 加减运算当二次根式的根号内部相同，只是前面的系数不同，可以进行加减运算。

例如，√2 + 2√2 = 3√2，3√5 - 2√5 = √5。

2. 乘法运算二次根式的乘法运算遵循乘法分配律。

例如，(√3 + √2) × (√3 - √2) = (√3)^2 - (√2)^2 = 3 - 2 = 1。

3. 除法运算二次根式的除法运算可以进行有理化分母的处理，将分母有理化之后再进行运算。

例如，(4√3)/(2√2) = (4√3 × 2)/(2√2 × 2) = (8√3)/4 = 2√3。

三、例题与解答1. 化简以下的二次根式：√(12) + 5√(27) - √(48)解：√(12) = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√35√(27) = 5√(9 × 3) = 5√9 × √3 = 15√3√(48) = √(16 × 3) = √16 × √3 = 4√3将这些结果代入原式，得到：2√3 + 15√3 - 4√3 = 13√32. 计算以下的二次根式：(√6 + √2) × (√6 - √2)解：根据乘法公式，展开后得到：(√6 + √2) × (√6 - √2) = (√6)^2 - (√2)^2 = 6 - 2 = 43. 计算以下的二次根式：(3√5 - √3)/(2√5)解：利用有理化分母的方法，得到：(3√5 - √3)/(2√5) = (3√5 - √3) × (2√5)/(2√5 × 2) = (6√25 - 2√15)/(4√10) = (6 × 5 - 2√15)/(4√10) = (30 -2√15)/(4√10) = (15 - √15)/(2√10)通过以上的例题与解答，我们可以加深对二次根式化简和运算的理解。

考点：二次根式有意义的条件。

分析：根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，就可得到x的范围，就可去掉式子中的绝对值符号，求得x的值．解答：解：∵x﹣2009≥0，∴x≥2009，则原式可化简为：x﹣2008+=x，即：=2008，∴x﹣2009=20082，∴x﹣20082=2009．点评：求出x的范围，对原式进行化简是解决本题的关键．2、已知数a满足，求a﹣20042的值．考点：二次根式有意义的条件；绝对值。

分析：根据二次根式的性质可得，a﹣2005≥0，即a≥2005．化简原式即可求解．解答：解：根据二次根式的性质可得，a﹣2005≥0，即a≥2005，由原式可得，a﹣2004+=a∴=2004∴a﹣2005=20042∴a﹣20042=2005．点评：考查了二次根式和绝对值的有关内容，二次根式中被开方数是非负数，是此题的突破口．3、已知x、y为实数，，试求3x+4y的值．考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件。

分析：根号内是非负数，分母不为0来综合考虑，得到相应的未知字母的值．解答：解：依题意得∴x2=4，∴x=±2又∵x﹣2是原式分母，∴x﹣2≠0∴x≠2∴x=﹣2，此时，y=﹣，∴3x+4y=3×（﹣2）+4×（﹣）=﹣7．点评：用到的知识点为：互为相反数的两个数都在根号里，那么这两个数都为0．4、求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）（2）（3）（4）考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件。

分析：（1）（2）（3）根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知．（4）根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可知：﹣≥0且x≠0，即可求解．解答：解：（1）依题意有3x﹣4≥0，解得．即时，二次根式有意义；（2）依题意有1﹣2a≥0，解得．即时，二次根式有意义；（3）依题意有m2+4＞0，故m取全体实数，有意义；（4）依题意有：﹣≥0且x≠0，解得x＜0．即x＜0时，二次根式有意义．点评：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．5、已知x，y是实数，且y=，求5x+6y的值．考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件。

二次根式化简的五种常用方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：根式化简是数学中一种常用的操作，尤其在解决代数问题时经常用到。

而二次根式化简作为根式化简中的一种重要形式，在数学学习中也是必须掌握的技能之一。

本文将介绍二次根式化简的五种常用方法，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。

在本篇文章中，我们将会依次介绍五种常用的二次根式化简方法。

每种方法都有其特定的适用场景和优势，通过详细的解释和实例演示，读者将能够全面了解每种方法的操作步骤和应用技巧。

文章的重点将在正文部分展开。

首先，我们将介绍方法一，其中包括要点一、要点二和要点三。

每个要点都将详细说明具体的操作步骤，并给出相应的例子进行演示。

接下来，我们将继续介绍方法二和方法三，同样包括各自的要点和具体的操作示例。

通过这些例子，读者将能够清晰地理解每种方法的原理和应用场景。

最后，在结论部分，我们将对每种方法进行总结，分别列举出它们的优点和适用情况。

这样，读者可以根据问题的具体要求和特点，选择合适的方法进行二次根式化简，提高问题的解题效率。

通过阅读本文，读者将能够全面了解二次根式化简的五种常用方法，并能够灵活运用它们解决实际问题。

无论是在学习阶段还是在数学实践中，掌握这些方法都是非常有益的。

希望本文能对读者有所启发，提升其数学解题能力和对根式化简的理解。

1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将围绕二次根式化简展开，共分为三个主要部分：引言、正文和结论。

引言部分将对二次根式化简的概念进行概述，介绍二次根式化简在实际应用中的重要性，并明确本文的目的。

通过引言，读者将对二次根式化简有一个整体的认识，为接下来的内容做好准备。

正文部分是本文的核心部分，将详细介绍五种常用的二次根式化简方法。

具体而言，正文将分为三个章节，分别介绍方法一、方法二和方法三。

每个章节将分别列出该方法的要点，并逐一详细解释说明。

读者将通过正文部分全面了解每种方法的实施步骤和注意事项，从而掌握不同方法的应用场景和技巧。

二次根式取值范围二次根式是一种常见的数学表达式，它的取值范围是所有实数。

在本文中，我们将探讨二次根式的定义、性质以及它的应用。

一、二次根式的定义和性质在数学中，二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

二次根式是一种特殊的根式，它表示一个数的平方根。

值得注意的是，二次根式的取值范围是非负实数。

二次根式具有以下性质：1. 非负实数的二次根式是唯一确定的，即每个非负实数都有唯一的二次根式。

2. 二次根式可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。

3. 二次根式的平方是原来的非负实数，即(√a)^2=a。

4. 二次根式的和差可以化简为一个二次根式，例如√a±√b可以化简为√(a±b)。

5. 二次根式可以进行有理化处理，即将含有二次根式的表达式化为不含二次根式的表达式。

二、二次根式的应用二次根式在数学和实际生活中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 几何学中的二次根式：在几何学中，二次根式常常用于计算图形的边长、面积和体积。

例如，计算正方形的对角线长度、圆的周长和面积等问题都可以用到二次根式。

2. 物理学中的二次根式：在物理学中，二次根式经常出现在物理量的计算中。

例如，计算速度、加速度、力和能量等物理量时，常常需要使用二次根式。

3. 金融学中的二次根式：在金融学中，二次根式可以用于计算利率、股票收益和投资回报率等金融指标。

例如，计算复利的本利和、计算投资组合的收益等问题都可以使用二次根式。

4. 统计学中的二次根式：在统计学中，二次根式可以用于计算方差、标准差和均方根误差等统计指标。

例如，计算数据集的离散程度和误差大小等问题都可以使用二次根式。

5. 工程学中的二次根式：在工程学中，二次根式常常用于计算电路的电流、电压和功率等电气参数。

例如，计算电路中的电阻、电感和电容等参数时，常常需要使用二次根式。

二次根式是一种常见的数学表达式，它的取值范围是所有实数。

二次根式具有独特的定义和性质，可以进行各种运算和化简。

二次根式的取值范围和化简二次根式是数学中一个重要的概念，它可以用来表示平方根的形式。

在代数学中，我们经常需要对二次根式进行取值范围的确定和化简。

本文将讨论二次根式的取值范围以及如何化简二次根式。

一、二次根式的取值范围对于二次根式√x，其中x为一个实数，它的取值范围可以通过以下几个步骤来确定：1. 如果x为非负数（x ≥ 0），则√x的取值范围为[0, +∞)。

这是因为对于非负数x，其平方根为一个非负数。

2. 如果x为负数（x < 0），则√x的取值范围为虚数集合。

这是因为负数的平方根是一个虚数，无法用实数表示。

二次根式的取值范围可以分为两种情况：当x为非负数时，取值范围为[0, +∞)；当x为负数时，取值范围为虚数集合。

二、二次根式的化简化简二次根式是将其写成最简形式的过程。

下面我们将介绍几种常见的化简方法：1. 化简含有完全平方数的二次根式。

完全平方数是指其平方根为一个整数的数。

当二次根式中的被开方数含有完全平方因子时，可以将其化简。

例如，√16可以化简为4，因为16是一个完全平方数，其平方根为4。

2. 化简含有分数的二次根式。

当二次根式中的被开方数为一个分数时，可以将其化简。

例如，√(1/4)可以化简为1/2，因为1/4可以化简为1/2的平方。

3. 化简含有变量的二次根式。

当二次根式中的被开方数为一个变量时，可以使用平方公式将其化简。

例如，√(x^2)可以化简为|x|，因为x^2可以化简为|x|^2。

需要注意的是，在化简二次根式时，要根据实际情况选择合适的化简方法，以得到最简形式的结果。

化简二次根式的方法主要包括化简含有完全平方数的二次根式、化简含有分数的二次根式和化简含有变量的二次根式等。

二次根式的取值范围和化简是数学中的基础知识，对于解决实际问题和理解抽象概念具有重要意义。

希望通过本文的介绍，读者能够对二次根式的取值范围和化简有更深入的理解和掌握。

初中数学二次根式的性质
二次根式具有多种性质，以下是其中一些主要的性质：
1.非负性：对于任意的实数a，如果a≥0，那么√a是一个非
负数。

也就是说，二次根式的结果总是非负的。

这个性质在二次根式的运算中非常重要，因为它可以帮助我们确定结果的符号。

2.定义域：二次根式有意义的条件是被开方数必须是非负
数。

也就是说，如果我们要对一个数进行开方运算，那么这个数必须是大于或等于0的。

否则，二次根式就没有意义。

3.运算性质：二次根式满足一些基本的运算性质，如加法、
减法、乘法和除法。

这些性质与整数的运算性质类似，但需要注意的是，二次根式的运算结果可能需要进行化简。

4.化简性质：在二次根式中，我们可以利用一些公式和性质
进行化简。

例如，我们可以利用平方差公式将√(a^2 -
b^2)化简为√a^2 - √b^2，或者利用完全平方公式将√(a^2 + 2ab + b^2)化简为√(a + b)^2。

以上是二次根式的一些主要性质，这些性质在解二次根式方程和不等式，以及进行二次根式的运算时都非常重要。

第五讲二次根式归纳1：二次根式的意义及性质基础知识归纳：二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0．注意问题归纳：1．首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2、利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．【例1x的取值范围为（）A．x≤0B．x≥﹣1C．x≥0D．x≤﹣1【例2】当﹣1＜a＜0=．归纳2：最简二次根式与同类二次根式基础知识归纳：1．最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2．同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．注意问题归纳：最简二次根式的判断方法：1．最简二次根式必须同时满足如下条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；（2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1．2．判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．【例3】下列二次根式是最简二次根式的是（）A B C D归纳3：二次根式的运算基础知识归纳：（1）．二次根式的加减法：实质就是合并同类二次根式．合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）．二次根式的乘除法二次根式的乘法：ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）． 二次根式的除法：b a b a =（a ≥0，b ＞0）．注意问题归纳：正确把握运算法则是解题的关键【例4】下列计算正确的是（ ）A ．﹣B •）C ． D归纳 4：二次根式混合运算基础知识归纳：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 注意问题归纳：注意运算顺序．【例5】计算：2）2【例6】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记p 2a b c ++=，那么三角形的面积为S =．如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别记为a ，b ，c ，若a =5，b =6，c =7，则△ABC 的面积为（ ）A．B．C．18D．192归纳5：二次根式运算中的技巧基础知识归纳：1．二次根式的被开方数是非负数；2．非负数的性质．注意问题归纳：【例7】“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，22++==除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：设x=，故x＞0，由x2=2=332=2，解得x==后的结果为（）A．B．5C．5D．5﹣【基础练习】1．函数y=x的取值范围是（）A ．x ＜2B ．x ≤2C ．x ＞2D ．x ≥22．下列运算正确的是（ ）A ．a 2+a 3=a 5B ．3a 2•4a 3=12a 6 C.533-=5 D ．236⨯= 3．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A ．12B ．2C ．4D ．12 4．化简12的结果是（ ）A ．43B ．23C ．32D ．265．若式子12x x --在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1且x ≠2 B ．x ≤1 C ．x ＞1且x ≠2 D ．x ＜16.下列运算正确的是（ ）A ．347+=B ．12=32C ．()22-=-2D ．142136= 7.计算：（1﹣π）0+|23-|12-+（12）﹣1．【提升练习】 8．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．69．下列各式不成立的是（ ）A ．8718293-=B ．223+=223C ．818492+=+=5D ．13232=-+10．计算：2）20182）2019的结果是．11．观察下列等式：①3﹣=1）2，②5﹣=2，③7﹣=2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．12．若|1001﹣a|=a，则a﹣10012=．13．观察下列各式：=1112+=⨯1+（112-）=1123+=⨯1+（1123-），=1134+=⨯1+（1134-），…请利用你发现的规律，计算：12018++为．14与最简二次根式是同类二次根式，则a=．【突破练习】15．阅读下面材料：我们知道一次函数y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C=0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离可用公式d=计算．例如：求点P（3，4）到直线y=﹣2x+5的距离．解：∵y=﹣2x+5，∴2x+y﹣5=0，其中A=2，B=1，C=﹣5，∴点P（3，4）到直线y=﹣2x+5的距离为：d====根据以上材料解答下列问题：（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7=0的距离；（2）如图，直线y=﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．1．x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x=2D．x≠22x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣232得（）A．2B．﹣4x+4C．﹣2D．4x﹣44x的取值范围是．5最接近的整数是．6．（已知x=，y=x2﹣2xy+y2的值是．7的结果是．8的结果是．9．化简：(02= ．10．计算：)1111()3--11．计算：2﹣1+（π﹣3）0﹣|4|．12．计算：（1）⎛÷ ⎝ （2）())2122+．13．我们将、称为一对“对偶式”，因为）=2）2=a ﹣b ）和-中的去掉于是二次根式除法可以这样解：==，3==+母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1_______（用“＞”、“＜”或“=”填空）；=y=x2+y2的值；（2）已知x（3。

二次根式知识点总结及常见题型二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如$a\sqrt{a}$的式子叫做二次根式。

其中$\sqrt{a}$叫做二次根号，$a$叫做被开方数。

1) 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。

据此可以确定字母的取值范围。

2) 判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断：①是否含有二次根号“$\sqrt{}$”；②被开方数是否为非负数。

若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式。

3) 形如$m\sqrt{a}$的式子也是二次根式，其中$m$叫做二次根式的系数，它表示的是：$m\sqrt{a}=m\cdot\sqrt{a}$。

4) 根据二次根式有意义的条件，若二次根式$A-B$与$B-A$都有意义，则有$A=B$。

二、二次根式的性质二次根式具有以下性质：1) 双重非负性：$a\geq0$，$\sqrt{a}\geq0$。

（主要用于字母的求值）2) 回归性：$(\sqrt{a})^2=a$，其中$a\geq0$。

（主要用于二次根式的计算）begin{cases}sqrt{a}(a\geq0)\\sqrt{a}(a\leq0)end{cases}$（主要用于二次根式的化简）重要结论：1) 若几个非负数的和为0，则每个非负数分别等于0.若$A+B^2+C=0$，则$A=0$，$B=0$，$C=0$。

应用与书写规范：$\because A+B^2+C=0$，$A\geq0$，$B^2\geq0$，$C\geq0$，$\therefore A=0$，$B=0$，$C=0$。

该性质常与配方法结合求字母的值。

2) $\begin{cases}A-B(A\geq B)\\frac{(A-B)^2}{A+B}\end{cases}$（主要用于二次根式的化简）3) $AB=\begin{cases}A\cdot B(A>0)\\A\cdot B(A<0)\end{cases}$，其中$B\geq0$。