高中数学必修四基础详细讲义(整理了一个暑假的)

高中数学必修四知识点总结一、函数与方程1.1 函数的概念函数是一种数学工具，用于描述自变量和因变量之间的关系。

自变量是输入，因变量是函数根据输入计算得到的输出。

1.2 函数的表示方法•函数可以用公式表示，如f(x)=ax2+bx+c。

•函数可以用图像表示，将自变量和因变量的取值用坐标系中的点连接起来。

1.3 一次函数一次函数又称为线性函数，其表示形式为f(x)=kx+b。

其中，k表示斜率，b 表示截距。

1.4 一元二次函数一元二次函数的一般形式为f(x)=ax2+bx+c。

其中，a、b、c为常数，且a e0。

一元二次函数的图像呈抛物线状。

1.5 捏合捏合是指将两个或多个函数的图像在一定区间内拼接在一起，形成一个新的函数。

1.6 反函数若函数f的定义域和值域分别为D f和R f，则对于每个$y \\in R_f$，如果存在$x \\in D_f$使得f(x)=y，则函数f的反函数定义为$g: R_f \\rightarrow D_f$，其中g(y)=x。

反函数的图像是函数f的图像关于直线y=x的镜像。

二、立体几何2.1 空间几何空间几何是研究三维空间中的图形的几何学。

空间几何的基本概念包括点、直线、平面、角等。

2.2 空间坐标系空间坐标系用于在三维空间中确定点的位置。

常见的空间坐标系包括直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。

2.3 空间图形的性质空间图形的性质包括表面积、体积、长度等。

常见的空间图形包括立方体、圆柱体、球体等。

2.4 空间直线和平面的位置关系空间直线和平面的位置关系包括平行、垂直、相交等。

通过判断两个空间直线或平面的位置关系，可以解决一些几何问题。

2.5 空间几何证明方法空间几何的证明方法包括利用定义、性质、定理等进行推理和论证。

在解决几何问题时，合理运用证明方法可以得到正确的结论。

三、立体几何3.1 概率的基本概念概率是用来描述随机试验结果的可能性的数值，通常用0到1之间的数表示。

概率越大，事件发生的可能性越高。

数学必修4知识点总结1.三角函数与单位圆(1)三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数等(2)单位圆：单位圆的性质、角度的弧度制转化、三角函数与单位圆上坐标的关系2.三角函数的基本关系与恒等变换(1)三角函数的基本关系：同角三角函数的关系、余弦函数与正弦函数的关系、正切函数与余切函数的关系等(2)三角函数的恒等变换：和差化积公式、积化和差公式等3.三角函数的图像与性质(1)正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质：振幅、周期、对称轴等(2)变换后的三角函数图像：三角函数的图像平移、伸缩、翻折等变换4.三角函数的应用(1)三角函数在解直角三角形问题中的应用：利用三角函数解决角度、边长等问题(2)三角函数在解一般三角形问题中的应用：利用正弦定理、余弦定理、正切定理等解决角度和边长等问题5.平面向量(1)平面向量的定义：向量的表示方法、向量加法、向量减法等(2)向量的数量积：数量积的定义、数量积的性质、数量积的应用等6.空间直角坐标系与空间向量(1)空间直角坐标系的建立：坐标轴的方向、坐标轴的位置、坐标点的表示等(2)空间向量的定义：向量的表示方法、向量加法、向量减法等(3)空间向量的数量积：数量积的定义、数量积的性质、数量积的应用等7.平面解析几何(1)平面方程的一般式与一般参数方程：直线的一般式方程、直线的一般参数方程、直线的斜截式方程等(2)平面的点、直线与圆的位置关系：点到直线的距离、点到平面的距离、直线与直线的夹角等(3)直线与平面的位置关系：直线与平面的交点、直线垂直于平面的条件、直线与平面的位置关系等8.函数与导数(1)函数的基本概念：函数的定义、函数的定义域、函数的值域等(2)函数的运算：函数的和、差、积、商等(3)导数的概念：导数的定义、导数与函数的关系、导数的几何意义等(4)常见函数的导数公式：常数函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式以上是数学必修4的主要知识点总结，希望能对你的学习有所帮助。

数学必修4知识点归纳总结第一章 三角函数周期现象与周期函数周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T ；x 必须是定义域内的任意值； f(x ＋T)＝f(x)。

练习:（1）已知函数f(x)对定义域内的任意x 满足：存在非零常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立。

求：f(x ＋2T) ，f(x ＋3T)解：f(x ＋2T)＝f[(x ＋T)＋T]＝f(x ＋T)＝f(x)， f(x ＋3T)＝f[(x ＋2T)＋T]＝f(x ＋2T)＝f(x)(2)已知函数f(x)是R 上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11) 解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005(3)已知函数f(x)是R 上的奇函数，且f(1)＝2，f(x ＋3)＝f(x)，求f(8) 解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2 角的概念的推广1、正角、负角、零角的概念一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向(或顺时针方向)旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角,如果α是零角，那么α＝0°；钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角。

过去我们研究了0°～360°（00360α≤<）范围的角。

如果我们将角α=030的终边OB 继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角分别得到390°，750°……的角。

角的概念经过这样的推广以后就成为任意角，任意角包括正角、负角和零角． 2．象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角。

人教数学必修四知识点人教数学必修四是高中数学的一门重要课程，涵盖了许多基础的数学知识点。

本文将以“step by step thinking”的方式，逐步介绍这门课程的知识点。

一、二次函数与一元二次方程1.二次函数的定义和性质：介绍了二次函数的概念以及它的图像特征，如顶点、对称轴、开口方向等。

2.一元二次方程的解法：通过一些例题，介绍了解一元二次方程的方法，如因式分解、配方法和求根公式。

3.二次函数与一元二次方程的关系：通过图像和方程之间的转换，说明了二次函数与一元二次方程之间的联系。

二、三角函数与图形的性质1.三角函数的定义与性质：介绍了正弦函数、余弦函数和正切函数的定义以及它们的图像和周期性。

2.三角函数的基本变换与性质：介绍了三角函数的平移、伸缩和反转等基本变换，以及它们对图像的影响。

3.三角函数的图像与方程的关系：通过图像和方程之间的转换，说明了三角函数与三角方程之间的联系。

三、数列与数学归纳法1.数列的定义与性质：介绍了数列的概念和常见的数列类型，如等差数列和等比数列。

2.数列的通项公式与求和公式：介绍了如何根据数列的特点来确定通项公式和求和公式。

3.数学归纳法的应用：通过一些例题，介绍了数学归纳法在证明数学命题中的应用。

四、立体几何1.空间几何体的性质：介绍了常见的几何体，如立方体、正方体、棱柱和棱锥等的定义和性质。

2.空间几何体的表面积和体积：介绍了如何计算立体几何体的表面积和体积，以及一些常见立体几何体的计算公式。

3.空间几何体的投影和截面：介绍了立体几何体在投影和截面时的特点和计算方法。

以上是人教数学必修四的一些重要知识点，通过“step by step thinking”的方式，逐步介绍了每个知识点的基本概念、性质和应用。

通过学习这些知识点，可以帮助我们更好地理解和应用数学的基本原理，提高解决问题的能力。

希望本文对您的学习有所帮助。

余弦函数与正切函数的图象和性质【学习目标】1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.2.借助图象理解余弦函数的性质.3.借助正切线画出正切函数的图象，并通过该图象理解正切函数的性质. 【要点梳理】要点一：余弦函数图象的画法 1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出余弦函数图象的方法． 2．几何法利用三角函数线作出余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到cos y x =的图象． 3．五点法先描出余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到余弦曲线在一个周期内的图象．在确定余弦函数cos y x =在]2,0[π上的图象形状时，起关键作用的五个点是3(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)22ππππ-要点诠释：（1）熟记余弦函数图象起关键作用的五点．（2）若x R ∈，可先作出余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到cos y x =的图象．（3）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到．要点二：余弦曲线（1）定义：余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做余弦曲线． （2）图象要点诠释：（1）由余弦曲线可以研究余弦函数的性质．（2）运用数形结合的思想研究与余弦函数有关的问题． 要点三：余弦函数的性质函数 余弦函数y=cosx定义域 R 值域 [-1，1] 奇偶性 偶函数 周期性最小正周期2π 单调区间（k ∈Z ）增区间[]22k k πππ-，减区间[]22k k πππ+， 最值点（k ∈Z ）最大值点()21k π，最小值点()2,1k ππ+-对称中心（k ∈Z ） (,0)2k ππ+对称轴（k ∈Z ） x k π=要点诠释：（1）余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。

数学必修四知识点归纳一、函数与导数1. 函数的概念- 函数的定义- 函数的表示方法：解析式、图像、表格- 函数的域与值域- 函数的奇偶性2. 函数的运算- 函数的四则运算- 复合函数- 反函数3. 常见函数类型- 一次函数、二次函数- 幂函数、指数函数、对数函数- 三角函数4. 导数的概念- 导数的定义- 导数的几何意义- 导数的物理意义5. 导数的运算- 导数的四则运算- 复合函数的导数- 反函数的导数6. 导数的应用- 函数的单调性- 函数的极值与最值 - 曲线的切线与法线二、极限与连续1. 极限的概念- 数列极限的定义 - 函数极限的定义 - 无穷小与无穷大2. 极限的性质- 唯一性、有界性 - 四则运算性质- 夹逼定理3. 连续函数- 连续性的定义- 函数的间断点- 连续函数的性质三、不等式与方程1. 不等式的性质- 不等式的基本性质 - 不等式的解集表示2. 解不等式- 一次不等式- 二次不等式- 绝对值不等式3. 方程的解法- 一元一次方程- 一元二次方程- 高次方程与降次解法四、数列1. 数列的概念- 数列的定义- 数列的通项公式2. 等差数列与等比数列- 等差数列的通项公式与求和公式 - 等比数列的通项公式与求和公式3. 数列的极限- 数列极限的概念- 无穷等比数列的和五、空间几何1. 平面与直线- 平面的方程- 直线的方程- 平面与直线的位置关系2. 空间直线与平面- 空间直角坐标系- 空间向量及其运算- 直线与平面的方程推导3. 空间几何体- 多面体- 旋转体- 空间几何体的表面积与体积计算六、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的概念- 概率的定义与性质- 条件概率与独立事件2. 随机变量及其分布- 随机变量的概念- 离散型分布与连续型分布- 期望值与方差3. 统计量与抽样分布- 常见的统计量- 抽样分布的概念- 正态分布的特点与应用七、数学归纳法1. 数学归纳法的原理- 归纳法的基本步骤- 归纳假设与归纳步骤的正确性2. 应用数学归纳法证明- 证明数学命题- 证明与自然数相关的命题以上是数学必修四的知识点归纳，每个部分都包含了该章节的核心概念、性质、公式和应用。

高中数学必修4 知识点总结第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π.§1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan y xα= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°，§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、 诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质12、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位 ()sin y x ϕ=+（左加右减） 横坐标不变 ()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 ()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍 纵坐标不变 sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍()sin y A x ωϕ=+平移||B 个单位()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =， 变形： 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α α2sin 21-=. 变形如下：升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 3、ααα2tan 1tan 22tan -=.4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2++.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴= ⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()≠与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x y x ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θcos .3、 2=.4、=.5、 0=⋅⇔⊥.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式 2cos a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. （如图）2 用向量方法判定空间中的平行关系设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=.②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直. ⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角 的余角.即有：cos s .ina ua uϕθ⋅==①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： ◆如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==；◆ 如果θ是钝角，则cos cos m n m nθϕ⋅=-=-.5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l 距离为1(||||h a b a =⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP =n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=⑶直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n⋅=⑷两平行平面,αβ之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅=⑸异面直线间的距离高中数学必修四 知识梳理 10设向量n 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向上投影的绝对值.即.n MP d n⋅=6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.8、 面积射影定理已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为()S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++= 222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。

数学必修4知识点总结一、函数与导数1. 函数的概念与性质- 函数定义：描述变量间依赖关系的一种数学表达方式。

- 函数的域与范围：自变量的取值集合称为函数的定义域，因变量的取值集合称为函数的值域。

- 函数的奇偶性：奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。

2. 函数的极限与连续性- 极限定义：描述函数值趋近某一点的行为。

- 连续函数：在定义域内任意一点都连续的函数。

3. 导数与微分- 导数定义：描述函数在某一点处的变化率。

- 微分：函数在某一点的线性主部，用于近似计算函数值的变化。

- 常见函数的导数公式：如多项式、指数函数、对数函数、三角函数的导数。

4. 高阶导数- 高阶导数：对一阶导数再次求导得到的导数。

- 常见高阶导数的计算方法。

二、一元函数微积分1. 不定积分- 不定积分的概念：求函数原函数的过程。

- 基本积分表：掌握常见的积分公式。

- 积分技巧：换元积分法、分部积分法等。

2. 定积分- 定积分的概念：计算曲线与x轴之间的有界区域的面积。

- 定积分的性质：对称性、可加性等。

- 定积分的应用：物理、几何问题中的计算。

3. 微分方程- 微分方程的概念：含有未知函数及其导数的方程。

- 常微分方程的解法：分离变量法、常数变易法等。

- 偏微分方程简介：涉及多个自变量的函数的导数问题。

三、向量代数与空间解析几何1. 向量的运算- 向量的加法、数乘、数量积（点积）和向量积（叉积）。

- 向量的坐标表示与线性运算。

2. 平面解析几何- 平面直角坐标系中的曲线方程：圆、椭圆、双曲线、抛物线等。

- 圆锥曲线的性质和方程。

3. 空间解析几何- 空间直角坐标系与向量表示。

- 直线与平面的方程。

- 常见立体图形的体积与表面积计算。

四、概率论与数理统计1. 随机事件与概率- 随机事件的定义与分类。

- 概率的计算：加法公式、条件概率、独立事件等。

- 贝叶斯定理。

2. 随机变量及其分布- 随机变量的定义：将随机事件映射到实数轴上的变量。

高中数学必修四知识点总结高中数学必修四知识点总结如下：
1. 极限与连续
- 无穷小和无穷大的概念与性质
- 函数的极限与连续
- 极限运算的性质
- 利用极限计算函数的极限值
2. 导数与微分
- 导数的定义与性质
- 微分的定义与性质
- 导数的运算法则与应用
- 函数的单调性与最值
3. 不等式与降幂解法
- 二次函数与一元二次不等式
- 绝对值与绝对值不等式
- 分式不等式与整式不等式- 降幂解法与根、次方的性质
4. 三角函数
- 弧度制与角度制
- 基本三角函数及其性质
- 三角函数的和差与倍角公式- 三角函数的图像与性质
5. 三角恒等变换
- 三角函数的基本关系式
- 三角恒等变换的基本公式- 三角方程及其解法
- 三角函数的复合与反函数
6. 平面向量
- 平面向量的定义与运算
- 坐标表示与线性运算
- 平面向量的数量积与几何应用- 平面向量的叉乘与坐标表示
7. 解析几何
- 平面直角坐标系
- 点、线、圆、抛物线方程
- 二次曲线的性质与直线判定- 三角形与圆的性质
8. 数列与数学归纳法
- 数列的概念与表示
- 等差数列与等比数列
- 数列的通项公式与前n项和- 数学归纳法与应用
9. 概率与统计
- 随机事件与概率
- 条件概率与乘法定理
- 独立事件与加法定理
- 统计图表的分析与应用
这些是高中数学必修四的主要知识点，通过学习这些知识点，可以帮助学生建立扎实的数学基础，为高级数学学习打下坚实的基础。

高中数学必修4知识点(完美版)高中数学必修4第一章三角函数角是指由两条射线（或直线）共同端点所组成的图形。

按照旋转方向，角可以分为正角、负角和零角。

其中，正角是按逆时针方向旋转形成的角，负角是按顺时针方向旋转形成的角，零角是不作任何旋转形成的角。

如果一个角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角。

各象限角的集合可以表示为：第一象限角的集合为：α ∈ {α | k360° < α < k360° + 90°，k∈Z}；第二象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 90° < α < k360° + 180°，k∈Z}；第三象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 180° < α < αk360° + 270°，k∈Z}；第四象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 270° < α < αk360° + 360°，k∈Z}；终边在x轴上的角的集合为：α ∈{α | α = k180°，k∈Z}；终边在y轴上的角的集合为：α ∈ {α | α = k180° + 90°，k∈Z}；终边在坐标轴上的角的集合为：α ∈ {α | α = k90°，k∈Z}。

根据终边所在的象限，可以将角分为四个象限。

第一象限角的终边落在第一象限，第二象限角的终边落在第二象限，以此类推。

在第一象限，角的值在0°到90°之间；在第二象限，角的值在90°到180°之间；在第三象限，角的值在180°到270°之间；在第四象限，角的值在270°到360°之间。

高考数学必修4知识点归纳总结高考数学是每个学生都要面对的科目之一，而数学必修4是其中的一部分内容。

本文将对数学必修4的知识点进行归纳总结，以便帮助同学们更好地复习备考。

1. 二次函数与一元二次方程1.1 二次函数的定义和性质- 二次函数的定义：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

- 二次函数的图像特征：开口方向、顶点、对称轴、零点等。

1.2 一元二次方程- 一元二次方程的定义：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数，且a ≠ 0。

- 一元二次方程的解的判别式：Δ = b^2 - 4ac。

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

- 当Δ < 0时，方程无实数解。

2. 分式函数和分式方程2.1 分式函数的定义和性质- 分式函数的定义：f(x) = (P(x))/(Q(x))，其中P(x)和Q(x)是两个多项式函数，且Q(x) ≠ 0。

- 分式函数的特点：定义域、零点、图像等。

2.2 分式方程- 分式方程的定义：(P(x))/(Q(x)) = 0，其中P(x)和Q(x)是两个多项式函数，且Q(x) ≠ 0。

- 分式方程的解的求解步骤：1) 化简分式方程；2) 求解分子为零的方程；3) 检查解是否在原方程中成立。

3. 概率与统计3.1 概率- 概率的定义：某一事件发生的可能性。

- 概率的计算方法：- 等可能概型：P(A) = (事件A的样本点数)/(样本空间的样本点数)；- 非等可能概型：P(A) = (事件A的样本点数)/(样本空间的样本点数)。

3.2 统计- 统计的基本概念：总体、样本、频数、频率等。

- 统计的方法：- 平均数：算术平均数、加权平均数等。

- 中位数：有序数据中位于中间位置的数。

- 众数：重复次数最多的数。

- 极差：最大值与最小值之差。

4. 解析几何4.1 平面直角坐标系- 平面直角坐标系的定义和性质。

高中数学必修4知识点总结
三角函数：这是必修4的重要内容，包括正角、负角和零角的概念，以及角度的象限划分。

此外，还有任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、正余弦诱导公式、两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切等内容。

平面向量：平面向量的基本概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标计算、线段的定比分点、平面向量的数量积与运算律等也是必修4的重要知识点。

复数：复数的表示、复数的代数形式、复数的实部和虚部、以及复数的周期性等也是必修4的一部分内容。

集合：集合的基本性质、子集、真子集、集合的相等、空集等概念也是必修4的重要知识点。

以上就是高中数学必修4的主要知识点，需要学生在理解的基础上熟练掌握，并能够应用到解题中。