2019-2020学年安徽省淮北市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}1,3,5,7A =，{|25}B x x =≤≤，则A B ⋂= A ．{1,3} B ．{3,5} C ．{5,7} D ．{1,7}【答案】B【解析】试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B.【考点】集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解.2．已知0.30.22log 0.3,2,0.3a b c ===，则,,a b c 三者的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a b c <<【答案】A【解析】根据对数函数与指数函数的性质，分别判断这三个数的大致范围，即可得出结果. 【详解】∵22log 0.3log 10<=，∴0a <， ∵0.30221>=，∴1b >， ∵0.200.30.31<=，∴01c <<， ∴b c a >>， 故选：A . 【点睛】本题主要考查比较对数与指数幂的大小，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于基础题型.3．若角α的终边经过点(3,4)P -，则sin tan αα+的值是( ) A ．1115-B ．2915-C ．815-D ．3215【答案】C【解析】由题意，结合三角函数的定义求解三角函数值，然后求解两者之和即可. 【详解】由三角函数的定义可得：4sin 5α==，44tan 33α==--， 则448sin tan 5315αα+=-=-. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．已知扇形的周长为4，面积为1，则该扇形的圆心角是（ ） A ．1 B ．2C ．2πD ．π【答案】B【解析】先设扇形的半径为r ，弧长为l ，根据扇形面积公式，以及弧长公式，即可求出结果. 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，则24l r +=，①112S lr ==， 即2lr =，② 得1,2r l ==，则扇形圆心角的弧度数为221l r ==， 故选：B. 【点睛】本题主要考查求扇形的圆心角，熟记扇形面积公式， 以及弧长公式即可，属于基础题型.5．已知||4a =r ，||2b =r ，()()3b a b a a b +⋅-=⋅v v vv v v ，则向量a r 与向量b r 的夹角等于( )A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B【解析】由题意首先求得a b ⋅r r的值，然后求解向量的夹角即可.【详解】由向量的运算法则可知：()()b a b a +⋅-=v v v v 2241612b a -=-=-v v ，故312,4a b a b ⋅=-⋅=-v vv v ，设向量a v 与向量b v 的夹角为θ，则412cos 4223a b a bπθθ⋅-===-∴=⨯⨯v v v v ，. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查向量的运算法则，平面向量夹角计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知函数131log ,1()3,1x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎪≤⎩，则()()2f f =（ ）A ．﹣1B ．32C ．16D ．3【答案】C 【解析】先计算13(2)log 2f =，再代入计算得到答案.【详解】131log ,1()3,1x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎪≤⎩，则()()133log lo 13221g l 3122336og f f f --⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 故选：C 【点睛】本题考查了分段函数的计算，意在考查学生的计算能力.7．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈uu u r uu u r uuu r，则λμ⋅等于（ ）A ．316-B ．316C ．12D ．12-【答案】A【解析】利用平面向量的线性运算，将DE u u u r 用AB u u u r 和AD u u u r表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值. 【详解】E Q 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD ===+uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r，()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=+-=-uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r ，14λ∴=，34μ=-.因此，1334416λμ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.8．设函数f （x ）=log 2x +2x -3，则函数f （x ）的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】因为函数()2log 23xf x x =+-，所以f （1）=12log 123+-=﹣1＜0，f （2）=22log 223+-=2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选：B ．点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点. 9．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x +1）()1f x =-，且在（2，3）上f （x ）＝4x ，则f （2019.5）＝（ ） A ．10 B ．0C ．﹣10D ．﹣20【答案】C【解析】利用题中推导关系式求得函数的周期为2,然后由函数奇偶性和周期推导()()2019.5 2.5f f =-,代入求解即可得出答案.由()1(1)+=-f x f x ,得()1()1=--f x f x 则()(1)1+=-f x f x 所以函数()f x 为周期函数且周期为2,所以()()()2019.520200.50.5f f f =-=-又因函数()f x 为奇函数,可得()()()0.50.5 2.5f f f -=-=-,因为在区间(2,3)上函数()4f x x =,所以()2.54 2.510f =⨯=,即()()2019.5 2.510f f =-=-.故选:C. 【点睛】本题考查了函数基本性质的综合应用,属于一般难度的题.10． 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P ，Q 分别为图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则A=( )A ．3B ．32πC ．3π D ．1【答案】B【解析】由题意函数0f x Asinx A =（）（＞），周期2T π=， 由图像可知322P A Q A ππ-（，），（，）． 连接PQ ， 过P Q ，作x 轴的垂线，可得：22222222234[()]()()222QP A OP A OQ A πππ=+=+=+，，，由题意，OPQ △ 是直角三角形，222222522QP OP OQ A ππ∴=++=，即， 解得：32A π=.11．设函数2(0)()ln(1)2(0)x bx c x f x x x ⎧++≤=⎨++>⎩，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】首先利用(4)(0)f f -=，(2)2f -=-求得,b c 的值，然后结合()f x 图像，求得()f x x =解得个数. 【详解】依题意164422b c cb c -+=⎧⎨-+=-⎩，解得42b c =⎧⎨=⎩，所以242(0)()ln(1)2(0)x x x f x x x ⎧++≤=⎨++>⎩，画出函数()f x 图像和y x =的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有3个交点，故()f x x =有3个解.故选：C.【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查方程的解与函数图像交点的关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[3,5]4-=-，[2,1]2=，已知函数31()133x xf x =-+，则函数[()]y f x =的值域是（ ） A ．{0,1} B ．{1}C ．{1,0,1}-D ．{1,0}-【答案】D【解析】采用分离常数法可将函数化简为()21313x f x =-+，进而求得()f x 的值域；根据[]x 定义可求得()f x ⎡⎤⎣⎦的所有可能的值，进而得到函数的值域. 【详解】()31311111211133133133313x x x x x xf x +-=-=-=--=-++++ 30xQ > 10113x ∴<<+ 121233133x∴-<-<+，即()12,33f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()1f x ∴=-⎡⎤⎣⎦或0 ()y f x ∴=⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-故选：D 【点睛】本题考查新定义运算问题的求解，关键是能够通过分离常数的方式求得已知函数的解析式，再结合新定义运算求得所求函数的值域.二、填空题13．已知向量(,1)m x =r ，(1,2)n =r，且//m n r r，则x =_________. 【答案】12【解析】根据向量共线的坐标表示，得到2110x -⨯=，即可求出结果. 【详解】因为(),1m x =r ，()1,2n =r ，且//m n r r， 所以2110x -⨯=，解得12x =.故答案为：12. 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型. 14．已知1sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 【答案】12【解析】根据诱导公式，直接计算，即可得出结果. 【详解】∵1sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴5sin sin 44ππαπα⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin sin 442ππαα⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：12. 【点睛】本题主要考查由三角函数的诱导公式求值，熟记公式即可，属于基础题型.15．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.【答案】(]()(]3,21,01,2--⋃-⋃ 【解析】不等式()()f x 0g x ≥的解集，与f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，得到f （x ）⋅g （x ）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可. 【详解】 将不等式()()f x 0g x ≥转化为f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f （x ）是偶函数，y=g （x ）是奇函数∴f （x ）⋅g （x ）是奇函数, 故在y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2]U (-1,0) 故不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是(-3,-2]U (-1,0)U （1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键. 16．对于函数()cos 3f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，下列结论中，正确的是（填序号）__________．①()y f x =的图像是由()cos f x x π=的图像向右平移3π个长度单位而得到，②()y f x =的图像过点1,2⎛- ⎝⎭，③()y f x =的图像关于点5,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，④()y f x =的图像关于直线23x =-对称. 【答案】③④【解析】由题意结合函数的解析式逐一考查所给的命题是否成立即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()f x cos x π=的图像向右平移3π个长度单位，所得函数的解析式为()2cos cos 33f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，说法①错误；当1x =时，()11cos 32f ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，说法②错误； 当56x =时，55cos 0663f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()y f x =的图像关于点5,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，说法③正确； 当23x =-时，22cos 1333f ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()y f x =的图像关于直线23x =-对称，说法④正确；综上可得，正确的说法为③④. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称轴、对称中心等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．设集合{|21}A x m x m =-<<,集合{|45}B x x =-≤≤． （1）若3m =-,求A B U ；（2）若A B φ⋂=,求实数m 的取值范围．【答案】（1）{|75}A B x x ⋃=-<≤（2）{|4m m ≤-或1}m ≥ 【解析】（1）当3m =-时,求出集合A ,B ,由此能求出A B U ． （2）根据A φ=和A φ≠,进行分类讨论,能求出实数m 的取值范围． 【详解】解：（1）因为集合{|21}A x m x m =-<<,集合{|45}B x x =-≤≤．∴当3m =-时,{|73}A x x =-<<-,{|75}A B x x ∴⋃=-<≤．（2）①若A φ=,则21m m ≤-,解得m 1≥． ②若A φ≠,则21m m >-,解得1m <,要使A B φ⋂=,则4m ≤-或215m -≥,解得4m ≤-． 综上,实数m 的取值范围是{|4m m ≤-或1}m ≥． 【点睛】本题考查并集的求法,考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集性质的合理运用．18．已知向量(sin ,1),(1,cos )a b αα==r r（1）若34πα=，求||a b +rr 的值； （2）若15a b ⋅=-r r ，(0,)απ∈，求sin()2sin 2ππαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的值．【答案】（12）115-【解析】（1）运用坐标求出a b +r r ，再由向量的模长公式即可求出||a b +r r 的值；（2）由已知可求得1sin cos 5αα+=-，再由22sin cos 1αα+=，可求得sin α，cos α的值，再运用诱导公式即可求值.【详解】 解：（1）34πα=时，2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r，1,2b ⎛=- ⎝⎭r ，∴122a b ⎛+=+- ⎝⎭r r ，∴||a b +==r r （2）∵15a b ⋅=-r r ， ∴1sin cos 5αα+=-， ∴1cos sin 5αα=--， ∴221sin sin 15αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，且(0,)απ∈，∴sin 0α>， ∴解得3sin 5α=，4cos 5α=-， ∴3811sin()2sin sin 2cos 2555ππαααα⎛⎫+++=-+=--=-⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了向量的模的运算、向量的数量积运算及三角函数的诱导公式，属中档题. 19．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()lg(()1)g x f x =-的定义域.【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈【解析】（1）先由函数图像，得到2A =，22T π=，求出2ω=，再由26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据题中条件，求出6π=ϕ，即可得出函数解析式； （2）根据解析式，得到()1f x >，即1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质求解，即可得出结果.【详解】 （1）由函数()()sin f x A x =+ωϕ的部分图象知，2A =，22362T πππ=-=， ∴T π=，∴22πωπ==； 又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2,6k k Z πϕπ=+∈； 又2πϕ<，∴6π=ϕ； ∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）∵函数()()lg 1g x f x =-⎡⎤⎣⎦，∴()10f x ->，∴()1f x >；又()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， ∴5222666k x k ππππ+<+<π+， 解得：,3k x k k Z πππ<<+∈；∴()g x 的定义域为{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈.【点睛】 本题主要考查由三角函数的图像求函数解析式，以及求复合函数定义域的问题，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.20．已知一次函数()f x 是R 上的增函数，且()()()()43,f f x x g x f x x m =+=+⎡⎤⎣⎦. （1）求()f x ；（2）若()g x 在()1,+∞上单调递增，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()21f x x =+；（2）52m ≥- 【解析】（1）设()(0)f x kx b k =+>，由恒等式性质可得,k b 的方程组，解方程即可得到所求解析式；（2）求得()g x 的解析式，以及对称轴，考虑对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围．【详解】解：（1）设()(0)f x kx b k =+>，()2()()( b) 43f kx b k kx b b k x k x x b f f =+=++=++⎡⎣=⎤⎦+∴，可得24,3k k b b =+=，解得2,1k b ==，即()21f x x =+；（2）2()()()(21)()2(12)g x f x x m x x m x m x m =+=++=+++，对称轴为124m x +=-， ()g x 在()1,+∞单调递增，可得1214m +-≤， 解得52m ≥-． 【点睛】 本题考查一次函数和二次函数的解析式和单调性、最值求法，属于基础题． 21．已知函数()12sin 2,,342f x x x πππ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. （1）求()f x 的最大值和最小值； （2）若不等式2()2f x m -<-<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）最大值为3，最小值为2（2）()1,4【解析】（1）根据,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到22633x πππ≤-≤，再由正弦函数的性质，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，得到使()22f x m -<-<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，只需3222m m -<⎧⎨->-⎩，求解即可得出结果. 【详解】（1）∵42ππx ≤≤，∴22633x πππ≤-≤， ∴1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴()212sin 233f x x π⎛⎫≤=+-≤ ⎪⎝⎭， 故()f x 的最大值为3，最小值为2；（2）由（1）知，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()23m f x m m -≤-≤-， 要使()22f x m -<-<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，只需3222m m -<⎧⎨->-⎩，解得14m <<，∴实数m 的取值范围是()1,4.【点睛】本题主要考查求正弦型三角函数的最值，以及由三角函数的范围求参数的问题，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.22．已知函数212sin cos 8y x m x =+-. （1）当1m =-且233x ππ-≤≤时，求函数值域； （2）当x ∈R 时，试讨论函数最大值.【答案】（1）9,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）见详解. 【解析】（1）由1m =-得212sin cos 8y x x =+-，再进一步整理，得到212(cos )24y x =-++，根据二次函数的性质，以及三角函数的性质，即可得出结果； （2）先将函数整理，得到22152(cos )48m m y x +=--+，根据二次函数的性质，分别讨论14m <-，14m >，114m -≤≤三种情况，即可得出结果. 【详解】（1）当1m =-时，22112sin cos 2sin cos 88y x m x x x =+-=-- ()2121cos cos 8x x =---， 221512cos cos 2(cos )284x x x =--+=-++， ∵233x ππ-≤≤，∴1cos 12x -≤≤， 由二次函数可知当1cos 4x =-时，y 取最大值2， 当cos 1x =时，y 取最小值98-， 故函数的值域为9,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）配方可得2152cos cos 8y x m x =-++22152(cos )48m m x +=--+， ∵x ∈R ，∴[]cos 1,1x ∈-，由二次函数区间的最值可知， 当14m <-即4m <-时，在cos 1x =-时，y 取最大值18m --； 当14m >即4m >时，在cos 1x =时，y 取最大值18m -； 当114m -≤≤即44m -≤≤时，在cos 4m x =时，y 取最大值2158m +. 综上，2max 1,4815,4481,48m m m y m m m ⎧--<-⎪⎪+⎪=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩. 【点睛】本题主要考查求含余弦函数的二次函数的最值问题，熟记二次函数的性质，以及三角函数的性质，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.。
