2010届高三海淀区高三年级第一学期期末练习(数学理)

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文）参考答案及评分标准 2010．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9.1-=x 10. 25 11.1224π+ 12.21 13.328 14.x y = ；②, ③ 15．（本小题共12分） 解：（I ）因为052<-+x x ，所以0)2)(5(<+-x x . ……………………………2分 解得25x -<<, ……………………………4分 则集合{|25}S x x =-<<. ……………………………6分（II ）因为P S ⊆, 所以⎩⎨⎧+≤-≤+152521a a , ……………………………8分解得⎩⎨⎧-≥-≤53a a , ……………………………10分所以]3,5[--∈a . ……………………………12分 注： 若答案写为(5,3)a ?-，扣1分. 16．（本小题共13分）解：（I ）因为乙班的成绩集中在80分，且没有低分，所以乙班的平均分比较高. ……………………………5分 （II ）设从甲班中任取两名同学，两名同学分数之和超过165分为事件A.……………………………7分 从甲班6名同学中任取两名同学，则基本事件空间中包含15个基本事件，……………………9分 而事件Ａ中包含４个基本事件, ……………………11分所以,154)(=A P . ……………………12分 答：从甲班中任取两名同学，两名同学分数之和超过165分的概率为154.……………………13分 17.（本小题共14分）解；（I ）在长方体1111ABCD A BC D -中，因为1,AB E =为AB 的中点，所以，12AE =， 又因为2AD =，所以111122222ADES AD AE ∆=⋅=⨯⨯= ， …………………2分 又1AA ⊥底面,ABCD ,21=AA 所以，三棱锥ADE A -1的体积31=V 11112323ADE S AA ∆⋅=⨯⨯=. ……………4分 （II ）因为AB ⊥平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADDA ， 所以AB ⊥1A D . …………………6分 因为11ADD A 为正方形，所以1AD ⊥1A D , …………………7分 又1AD AB A =，所以1A D ⊥平面11ABC D . …………………9分（III ）设1,AD 1A D 的交点为O ,连结OE ,因为11ADD A 为正方形，所以O 是1AD 的中点， …………………10分 在∆1AD B 中，OE 为中位线，所以1//OE BD , …………………11分 又OE ⊂平面1A DE ，1BD ⊄平面1A DE , …………………13分 所以1//BD 平面1A DE . …………………14分18.（本小题共13分）解:(I)22222(1)2'()(1)(1)+--+-==++ x x x a x x af x x x , ………………3分 若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为12， 则 1'(1)2f =. …………………5分 所以，31'(1)42-==a f ，得 a =1. …………………6分 (II) 因为()f x 在1x =处取得极值，所以'(1)0f =， ………………7分 即 120a +-=，3a =， …………………8分2223'()(1)+-∴=+x x f x x . …………………9分因为()f x 的定义域为{|1}x x ≠-，所以有：…………………11分所以，()f x 的单调递增区间是∞∞(-,-3),(1,+),单调递减区间是(-3,-1),(-1,1). …………………13分19.（本小题共14分）解：(I)设圆心(,),C a a 半径为r . 因为圆经过点(2,0),(0,2)A B -所以||||AC BC r ==，解得0,2a r == ， …………………2分 所以圆C 的方程是224+=x y . …………………4分 (II)方法一：因为22cos ,2⋅=⨯⨯〈〉=-OP OQ OP OQ , …………………6分 所以1cos 2∠=-POQ ,120∠=POQ , …………………7分 所以圆心到直线:10l kx y -+=的距离1d =, …………………8分又=d 0=k . …………………9分方法二：设1122(,),(,)P x y Q x y ,因为2214=+⎧⎨+=⎩y kx x y ，代入消元得22(1)230++-=k x kx . …………………6分 由题意得： 2212212244(1)(3)02131k k k x x k x x k ⎧⎪∆=-+->⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪⋅=⎪+⎩…………………7分 因为⋅OP OQ =12122⋅+⋅=-x x y y ，又212121212(1)(1)()1⋅=++=⋅+++y y kx kx k x x k x x ,所以, 1212x x y y ⋅+⋅ =2222233212111k k k k k---+++=-+++, …………………8分 化简得: 22533(1)0--++=k k ，所以20, =k 即0k =. …………………9分(III)方法一：设圆心O 到直线1,l l 的距离分别为1,d d ，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线1,l l 都经过点(0,1)，且1l l ⊥，根据勾股定理，有2211+=d d , …………………10分又根据垂径定理和勾股定理得到，||2|2PQ MN == ………………11分 而1||||2S PQ MN =⋅⋅，即1222 7,S =⨯==≤=…………13分当且仅当1d d =时，等号成立，所以S 的最大值为7. ………………14分方法二：设四边形PMQN 的面积为S . 当直线l 的斜率0=k 时，则1l 的斜率不存在，此时142=⋅=S . …………………10分 当直线l 的斜率0≠k 时，设11:1l y x k=-+则2214=+⎧⎨+=⎩y kx x y ，代入消元得22(1)230k x kx ++-= 所以2212212244(1)(3)02131k k k x x k x x k ⎧⎪∆=-+->⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪⋅=⎪+⎩12|||=-==PQ x x同理得到||MN ==. ………………11分1||||211 22 S PQ MN =⋅⋅====== ………………12分因为221224k k ++≥+=， 所以7272S ≤=⨯=, ………………13分当且仅当1=±k 时，等号成立,所以S 的最大值为7. ………………14分20（本小题共14分）解：（Ｉ）因为10=a ，1m =，所以2(0)1a f m ===，23()2a f m m m ==+=，()()22435a f a m m m ==++=. ………………4分（II ）方法一：假设存在实数m ，使得234,,a a a 构成公差不为0的等差数列. 由（I ）得到2(0)==a f m ，23()==+a f m m m ，()()2243==++a f a m m m .因为234,,a a a 成等差数列，所以3242=+a a a ， ………………6分 所以，()()2222m m m m m m +=+++，化简得()22210mmm +-=，解得0m =（舍）,1m =- ………………8分 经检验，此时234,,a a a 的公差不为0，所以存在1m =-±234,,a a a 构成公差不为0的等差数列.…………9分 方法二：因为234,,a a a 成等差数列，所以3243-=-a a a a ， ………………6分即222233+-=+-a m a a m a ，所以()()2232320---=a a a a ，即()()323210-+-=a a a a .因为320-≠a a ，所以3210a a +-=解得1m =- ………………8分 经检验，此时234,,a a a 的公差不为0.所以存在1m =-234,,a a a 构成公差不为0的等差数列. …………9分（III ）因为221111244n n nn n a a a m a a m m +⎛⎫⎛⎫-=+-=-+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又 14m >, 所以令104d m =->.由1n n a a d --≥， 12n n a a d ---≥， ……21a a d -≥，将上述不等式全部相加得1(1)n a a n d -≥-，即(1)n a n d ≥-， 因此只需取正整数20101>+k d ，就有2010(1)()2010k a k d d d≥->⋅=. …………14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U ，A B ⊆，那么下列结论中可能不成立的是（ ）（A ）AB A = （B ）A B B =（C ）()U A B ≠∅ð （D ）()U B A =∅ð（2）抛物线22y x =的准线方程为（ ） （A ）18y =-（B ）14y =- （C ）12y =- （D ）1y =- （3）将函数cos 2y x =的图象按向量(,1)4a π=平移后得到函数()f x 的图象，那么（ ）（A ）()sin 21f x x =-+ （B ）()sin 21f x x =+ （C ）()sin 21f x x =-- （D ）()sin 21f x x =- （4）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a c 3=，30B =?，那么角C 等于（ ）（A ）120° （B ）105° （C ）90° （D ）75° （5）位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90︒，且A 、B 两地间的球面距离为3R π（R 为地球半径），那么x 等于（ ）（A ）30 （B ） 45 （C ） 60 （D ）75 （6）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的R x Î都有1(1)()22f x f x +=-+恒成立，且1()12f =，则(62)f 等于 （ ） （A ）1 （B ） 62 （C ） 64 （D ）83（7）已知{},1,2,3,4,5αβÎ，那么使得sin cos 0αβ?的数对(),αβ共有（ ）(A) 9个 (B) 11个 (C) 12个 (D) 13个（8）如果对于空间任意()2n n ³条直线总存在一个平面α，使得这n 条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n （ ）（A ）最大值为3 （B ）最大值为4 （C ）最大值为5 （D ）不存在最大值 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. （9）22462limnnn ++++= .（10）如果()1,10,1x f x x ì£ïï=íï>ïî，， 那么()2f f 轾=臌 ；不等式()1212f x -?的解集是 .（11）已知点1F 、2F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点，若12PF F ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为_____________.（12）若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为 .（13）已知直线0=++m y x 与圆222x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，||||OA OB AB +?，那么实数m 的取值范围是 .（14）已知：对于给定的*q N Î及映射*:,N f AB B．若集合C A Í，且C 中所有元素对应的象之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集． ① 对于2q =，{},,A a b c =，映射:1,f x x A ，那么集合A 的所有好子集的个数为 ；② 对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,A π=，映射:f A B ®的对应关系如下表：1 2 3 4 5 61 1 1 1 1若当且仅当C 中含有π和至少A 中2个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集．写出所有满足条件的数组(),,q y z ： ． 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知函数22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++---. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在25,1236ππ轾犏-犏臌上的最大值和最小值并指出此时相应的x 的值. （16）（本小题共12分）已知函数)(x g 是2()(0)f x x x =>的反函数，点),(00y x M 、),(00x y N 分别是)(x f 、)(x g 图象上的点，1l 、2l 分别是函数)(x f 、)(x g 的图象在N M ,两点处的切线，且1l ∥2l ．（Ⅰ）求M 、N 两点的坐标；（Ⅱ）求经过原点O 及M 、N 的圆的方程． （17）（本小题共14分）已知正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱AB的中点，11,BC AA ==.（Ⅰ）求证：//1BC 平面DC A 1； （Ⅱ）求1C 到平面1A DC 的距离； （Ⅲ）求二面角1D AC A --的大小.（18）（本小题共14分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关. 若1≤T ，则销售利润为0元；若31≤<T ，则销售利润为100元；若3>T ，则销售利润为200元. 设每台该种电器的无故障使用时间1≤T ，31≤<T 及3>T 这三种情况发生的概率分别为321,,p p p ，又知21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根，且32p p =.（Ⅰ）求321,,p p p 的值；（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列； （Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值. （19）（本小题共14分）已知点()0,1A 、()0,1B -，P 是一个动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为12-. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设()2,0Q ，过点()1,0-的直线l 交C 于M 、N 两点，QMN ∆的面积记为S ，若对满足条件的任意直线l ，不等式tan S MQN λ≤恒成立，求λ的最小值. （20）（本小题共14分）如果正数数列{}n a 满足：对任意的正数M ，都存在正整数0n ，使得0n a M >，则称数列{}n a 是一个无界正数列．（Ⅰ）若()32s i n ()1,2,3,n a n n =+=， 1, 1,3,5,,1, 2,4,6,,2n n nb n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎩分别判断数列{}n a 、{}n b 是否为无界正数列，并说明理由；（Ⅱ）若2n a n =+，是否存在正整数k ，使得对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立； D C 1B 1A 1CBA。

海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知=-=αα2cos ,53cos 则 （ ）A ．257 B ．257-C ．2524 D ．2524- 2．已知抛物线的方程为y 2=4x ，则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．（－1，0）B ．（0，－1）C ．（1，0）D ．（0，1）3．设集合1,,},4,3,2,1{22=+∈=ny m x A n m A 则方程表示焦点位于x 轴上的椭圆有（ ）A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个4．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题： ①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③5．某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响.已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为 （ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐 标是 （ ） A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π7．已知向量),sin 3,cos 3(),sin ,cos 2(ββαα==b a 若向量a 与b 的夹角为60°，则直线 21)sin ()cos (021sin cos 22=++-=+-ββααy x y x 与圆的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且过圆心8．动点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上异于椭圆顶点（±a ，0）的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1、P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）A ．一条直线B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．椭圆二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知双曲线1422=-x y ，则其渐近线方程是 ，离心率e= . 10．在复平面内，复数i z i z 32,121+=+=对应的点分别为A 、B 、O 为坐标原点，OB OA OP λ+=.若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是 .11．等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2= . 12．已知正四棱锥P —ABCD 中，PA=2，AB=2，M 是侧棱PC 的中点，则异面直线PA 与BM 所成角大小为 .13．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C上，则平面区域C 1的面积为 ，|PQ|的最小值为 . 14．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°， 长为2的线段MN 的一个端点M 在 DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行 六面体表面所围成的几何体中较小体积值 为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c a C b cos )2(cos -=. （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程； （Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行与x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量 ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥BA 1 （Ⅰ）求证：AM ⊥平面A 1BC ； （Ⅱ）求二面角B —AM —C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABM 的距离.18．（本小题共14分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a ＜2时，求函数]30[1)()(2，在区间---=ax x x f x g 的最小值.19．（本小题共14分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点分别为F 1（－1，0）、F 2（1，0），右准线l 交x轴于点A ，且.221AF AF = （Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值.20．（本小题共13分）已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意;4)1(,3)(],1,0[=≥∈f x f x ，且总有②若.3)()()(,1,0,021212121-+≥+≤+≥≥x f x f x x f x x x x 则有 （Ⅰ）求f （0）的值； （Ⅱ）求证：4)(≤x f ； （Ⅲ）当33)(,...)3,2,1](31,31(1+<=∈-x x f n x n n时，试证明：.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．x y 2±=，（缺一扣1分）25 10．3121-<<-λ 11．－9 12．4π 13．π48+，122- 14． 92π三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………2分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ………………………………………3分 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………5分3π=B ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+==Θac c a -+=∴227………………………………………………………………8分又ac c a c a 216)(222++==+Θ3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆ 43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分 16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），其距离为32 满足题意………………………………………1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方和为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分 1|2|12++-=∴k k ，43=k ，………………………………………………………4分 故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分（Ⅱ）设点M 的坐标为)0)(,(000≠y y x ，Q 点坐标为（x ，y ）则N 点坐标是),0(0y …7分,+=Θ2,)2,(),(0000yy x x y x y x ===∴即………………………………………………9分又)0(44,4222020≠=+∴=+y y x y x Θ……………………………………………11分 ∴Q 点的轨迹方程是)0(,116422≠=+y y x …………………………………………12分 轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点. …………………………………13分 注：多端点时，合计扣1分. 17．（共13分）证明：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，易知面⊥11A ACC 面ABC ， ︒=∠90ACB Θ，11A ACC BC 面⊥∴，……………………………………………………………2分 11A ACC AM 面⊆Θ AM BC ⊥∴B BA BC BA AM =⊥11I Θ，且BC A AM 1平面⊥∴……………………………………………………………4分解：（Ⅱ）设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ，由（Ⅰ）可知AM ⊥OB ，且AM ⊥OC ，所以∠BOC 为二面角 B －AM －C 的平面角，…………………………5分在Rt △ACM 和Rt △A 1AC 中，∠OAC+∠ACO=90°， ∴∠AA 1C=∠MAC ∴Rt △ACM~ Rt △A 1AC ∴AC 2= MC ·AA 1 ∴26=MC ……………………………………7分 ∴在Rt △ACM 中，223=AMCO AM MC AC ⋅=⋅2121Θ1=∴CO∴在Rt △BCO 中，1tan ==COBCBOC . ︒=∠∴45BOC ，故所求二面角的大小 为45°………………………………9分 （Ⅲ）设点C 到平面ABM 的距离为h ，易知2=BO ，可知2322232121=⨯⨯=⋅⋅=∆BO AM S ABM ……………………………10分 ABC M ABM C V V --=Θ………………………………………………………………11分 ABC ABM S MC hS ∆∆⋅=∴313122232326=⨯=⋅=∴∆∆ABMABCS S MC h ∴点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一…………………………4分 （Ⅱ）如图以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A ，设 M （0，0，z 1）1BA AM ⊥Θ.01=⋅∴BA AM 即06031=++-z ，故261=z ，所以)26,0,0(M …………………6分 设向量m =（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m ⊥AM ，m ⊥AB ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m m 即,030263⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-y x z x 令x =1，平面AMB 的一个法向量为 m =)2,3,1(，……………………………………………………………………8分显然向量CB 是平面AMC 的一个法向量22||||,cos =⋅⋅>=<CB m m m 易知，m 与CB 所夹的角等于二面角B －AM －C 的大小，故所求二面角的大小为 45°. ………………………………………………………………………………9分2263== 即点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分 18．（共14分）解：（Ⅰ）.1)2(212)1(2)('++=+-+=x x x x x x f Θ…………………………2分 由0)('>x f 得012>-<<-x x 或；由0)('<x f ，得.012<<--<x x 或 又)(x f Θ定义域为（－1，+∞）∴所以函数f (x )的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（－1，0）…5分 （Ⅱ）)1(212)(x n ax x x g +--=，定义域为（－1，+∞）1)2(122)('+--=+--=x ax a x a x g ……………………………………………7分 0202,20>->-∴<<aaa a 且Θ由0)('>x g 得a a x ->2，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a a 上单调递增； 由0)('<x g 得a a x -<<-21，即)(x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a 2,1上单调递减…………8分①时 )(,320x g a a <-<在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 2,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-3,2a a 上单调递增； ∴在区间[0，3]上，ana a a g x g --=-=2221)2()(min ； (23)0<<a …10分 ②当)(,32,223x g aaa ≥-<≤时在（0，3）上单调递减， ∴在区间[0，3]上，42136)3()(min n a g x g --==…………………………13分 综上可知，当230<<a 时，在区间[0，3]上，an a a a g x g --=-=2221)2()(min ；当223<≤a 时，在区间[0，3]上42136)3()(min n a g x g --==.…14分 19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意，),0,(,22||221a A C F F ∴==…………………………………2分212AF AF =Θ 2F ∴为AF 1的中点……………………………………………3分2,322==∴b a即：椭圆方程为.12322=+y x ……………………………………………………5分 （Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==a b DE ， 此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .…7 分 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ∶)1(+=x k y ，代入椭圆方程，消去 y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x kk x x y x E y x D 则…………………………………8分所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-k k x x x x x x ，所以，2221232)1(34||1||k k x x k DE ++=-+=，同理，.32)11(34)1(32)1)1((34||2222kk k k MN ++=-++-=………………………………10分 所以，四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||kk kk MN DE S ++⋅++⋅=⋅= 13)1(6)21(242222++++=kk k k ，…………………………………12分 令u u u S kk u 61344613)2(24,122+-=++=+=得 因为,2122≥+=kk u当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S .综上可知，四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596.…………………14分20．（共13分）解：（Ⅰ）令021==x x ，由①对于任意]1,0[∈x ，总有3)0(,3)(≥∴≥f x f ……………………………1分 又由②得 3)0(,3)0(2)0(≤-≥f f f 即；……………………………………2分.3)0(=∴f …………………………………………………………………………3分证明：（Ⅱ）任取2121]1,0[,x x x x <∈且设，则3)()()]([)(1211212--+≥-+=x x f x f x x x f x f ， 因为1012≤-<x x ，所以03)(,3)(1212≥--≥-x x f x x f 即，).()(21x f x f ≤∴………………………………………………………………5分 .4)1()(,]1,0[=≤∈∴f x f x 时当……………………………………………7分（Ⅲ）先用数学归纳法证明：)(331)31(*11N n f n n ∈+≤--（1）当n =1时，331314)1()31(0+=+===f f ，不等式成立； （2）假设当n=k 时，)(331)31(*11N k f k k ∈+≤--由6)31()31()31(3)3131()31()]3131(31[)31(1-++≥-++≥++=-k k k k k k k k k k f f f f f f f 得≤)31(3k f 9316)31(11+≤+--k k f 331)31(+≤∴k k f即当n=k+1时，不等式成立.由（1）（2）可知，不等式331)31(+≤∴kk f 对一切正整数都成立. 于是，当)31(331331333,...)3,2,1](31,31(111---≥+=+⨯>+=∈n n n n n f x n x 时，，而x ∈[0，1]，f （x ）单调递增)31()31(1-<∴n n f f 所以33)31()31(1+<<∴-x f f n n ……………………………………13分。

北京市海淀区第一学期期末练习高三数学（理科）学校： 班级： 姓名：一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）设集合{|12},{|}.A x x B x x a ==≤≤≥若A B ⊆，则a 的范围是 ( )（A ）1a < （B ）1a ≤ （C ）2a <（D ）2a ≤（2）函数⎪⎭⎫⎝⎛+=34cos πx y 图象的两条相邻对称轴间的距离为 （ ）（A ）8π （B ） 4π （C ）2π（D ）π （3的正三角形ABC 中，设,,,AB BC CA ===c a b 则⋅⋅⋅a b+b c +c a 等于（ ）(A) 3- (B) 0 (C)1 (D) 3（4）设i 为虚数单位，则()41i +展开式中的第三项为（ ）（A ）4 i （B ）4i - (C) 6(D) 6-（5）设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中真命题的序号是（ ）(A) ①④ (B) ②③ (C) ②④ (D) ①③（6）已知点()0,A b ，B 为椭圆22x a+22y b =1()0a b >>的左准线与x 轴的交点，若线段AB的中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为( )（A（B ）（C ）（D（7）已知函数)()1f x x =≥，()1f x -为()f x 的反函数，则函数y x =与（A ） （B ） （C ） （D ）(8) 已知函数()y f x =是定义在[,]a b 上的增函数，其中,0.a b b a ∈<<-R,且设函数22()[()][()]F x f x f x =--，且()F x 不恒等于0，则对于()F x 有如下说法：①定义域为[,]b b - ②是奇函数 ③最小值为0 ④在定义域内单调递增 其中正确说法的个数有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）双曲线22194x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 . （10）在ABC ∆中， 2A C B +=，5,BC =且ABC ∆的面积为B = ；AB = .（11）已知函数2|1|(0),()1(0),x x f x x x -+⎧=⎨->⎩≤ 那么不等式()0f x <的解集为 .（12）设不等式组||203022x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≤所表示的平面区域为S ,则S 的面积为 ；若A ，B 为S 内的两个点， 则||AB 的最大值为 .（13）已知,,,P A B C 是以O 为球心的球面上的四个点，,,PA PB PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，则球O 的半径为 ；球心O 到平面ABC（14）在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是 个. 把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第____个数. （用数字作答）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知向量(cos 2sin ,sin ),(cos sin ,2cos ),x x x x x x =+=-a b 设函数()f x =⋅a b . (I) 求函数)(x f 的单调递增区间；(II) 求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合.（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N .（I ） 求证： //SB 平面ACM ； （II ） 求二面角D AC M --的大小； （III ）求证：平面SAC ⊥平面AMN .（17）（本小题共12分）某城市有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报，从该城市中任取4个家庭.（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率； （Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率； （Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B 报都没有订阅的概率.（18）（本小题共14分）已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4200.x y +-= （I ）求抛物线S 的方程；（II ）若O 是坐标原点，P 、Q 是抛物线S 上的两动点，且满足PO OQ ⊥.试说明动直线PQ 是否过一个定点.（19）（本小题共14分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点.SNMDCBA（I ）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式； （II ）若22||||21=+x x ，求b 的最大值;（III ）设函数)()(')(1x x a x f x g --=，12(,)x x x ∈，当a x =2时，求证：21()(32)12g x a a +≤.（20）（本小题共14分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：，5(1)2f =，且对于任意实数,x y ，总有 ()()()()f x f y f x y f x y =++-成立.（I ）求(0)f 的值，并证明函数()f x 为偶函数； （II ）定义数列{}n a ：2(1)()(1,2,3,)n a f n f n n =+-=，求证：{}n a 为等比数列；（III ）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1()f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论.北京市海淀区2019-2020学年第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）2 （10）3π，8 （11）(,1)(1,1)-∞-- （12）16（13，3（14） 204 ，53三、解答题（本大题共6小题,共80分.） (15) （共12分） 解: (I)由已知可得xx x x x x x f cos sin 2)sin )(cos sin 2(cos )(+-+=1分x x x x x x x x cos sin 2sin 2cos sin 2cos sin cos 22+-+-=x x x x 22sin 2cos sin 3cos -+=)12(cos 2sin 23)2cos 1(21-+++=x x x 21)42sin(22321)2cos 2(sin 23-+=-+=πx x x 6分由224222πππππ+<+<-k x k 得：883ππππ+<<-k x k 8分即函数)(x f 的单调递增区间为)8,83(ππππ+-k k ()k ∈Z . 9分 (II) 由(I) 有21)42sin(223)(-+=πx x f ， ∴2123)(max -=x f . 10分所求x 的集合为{|,}8x x k k ππ=+∈Z . 12分(16) （共14分）方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME . 1分 A B C D是正方形，∴ E 是BD 的中点. M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB.2分又∵ME ⊂平面ACM ， SB ⊄平面ACM ， 3分∴SB //平面A.4分（Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . 5分∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影.∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC . ∴FQM∠为二面角D AC M--的平面角.7分设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,2224a MF SA FQ DE a ====，∴tan 4aFQM ==∴ 二面角D A C --的大小为a r t a n .9分（III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.A M D C ⊥ 10分又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.S D11分∴.SC AM ⊥由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN 又SC ⊂平面,S A C∴平面SAC ⊥平面.A M N14分方法二：解：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 5分由SA AB =故设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M .SA ⊥底面ABCD ，∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=． 设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==,7分则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =,则(1,1,1)=--n .8分∴cos ,||||AS AS AS ⋅<>===⋅n n n∴二面角D A--的大小为ac c o s 9分 （III）11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,1CS =--，10分11022AM CS ∴⋅=-+=AM CS∴⊥12分 又SC AN ⊥且AN AM A =.SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC⊥平面AMN.14分（17）（共12分）解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报”的事件为A ， 1分334()(0.3)(0.7)0.0756P A C ==4分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率为0.0756.（Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报”的事件为B ， 5分8704.01296.01)6.0(1)(4=-=-=B P8分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率为0.8704.（III ） 设“这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅”的事件为C ， 9分因为有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪. 所以()()2224()0.30.70.2646P C C ==12分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅的概率为0.2646.注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪，后面计算有误，给到10分.（18）（共14分）解：(I)设抛物线S 的方程为22.y px =1分由24200,2,x y y px +-=⎧⎨=⎩ 可得2220y p y +-=3分由0∆>，有0p >，或160.p <- 设1122(,),(,),B x y C x y 则12,2py y +=-121212(5)(5)1010.4448y y y y p x x +∴+=-+-=-=+5分设33(,)A x y ，由ABC ∆的重心为(,0),2p F 则123123,0323x x x y y y p ++++==， 331110,.82p px y ∴=-=6分∵点A 在抛物线S上，∴2112(10),28p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴8.p =7分∴抛物线S 的方程为216.y x = 8分（II ）当动直线PQ 的斜率存在时，设动直线PQ方程为y k x =+，显然0,k b ≠≠9分∵PO OQ ⊥，∴ 1.OP OQ k k ⋅=- 设(,)(,)P P Q Q P x y Q x y∴1,QP P Qy y x x ⋅=- ∴0.P Q P Q x x y y +=10分将y kx b =+代入抛物线方程，得216160,ky y b -+=∴16.P Q by y k=从而22222,16P Q P Q y y b x x k ⋅==∴22160.b b k k+= ∵0,0k b ≠≠，∴16,b k =-∴动直线方程为16(16)y kx k k x =-=-， 此时动直线PQ 过定点(16,0).12分当PQ 的斜率不存在时，显然PQ x ⊥轴，又P O O Q ⊥，∴P O Q 为等腰直角三角形.由216,,y x y x ⎧=⎨=⎩216,,y x y x ⎧=⎨=-⎩得到(16,16),(16,16)P Q -， 此时直线PQ 亦过点(1.13分综上所述，动直线PQ 过定点(16,0)M .14分（19）（共14分）解（I ）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f1分 依题意有⎩⎨⎧='=-'0)2(0)1(f f ，∴)0(041202322>⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--a a b a a b a .2分解得⎩⎨⎧-==96b a ，∴x x x x f 3696)(23-+=. . 4分（II ）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，且22||||21=+x x ，∴8||22)(2121221=+-+x x x x x x .∴8|3|2)3(2)32(2=-+-⋅--aa ab ，∴)6(322a a b -=. ∵20b ≥，∴06a <≤.6分设2()3(6)p a a a =-，则2()936p a a a '=-+.由()0p a '>得40<<a ，由()0p a '<得4>a .即：函数()p a 在区间(0,4]上是增函数，在区间[4,6]上是减函数， ∴当4=a 时，()p a 有极大值为96，∴()p a 在]6,0(上的最大值是96， ∴b的最大值为64.9分（III ） 证明：∵21,x x 是方程0)('=x f 的两根，∴))((3)('21x x x x a x f --=.10分∵321a x x -=⋅，a x =2，∴311-=x . ∴|]1)(3)[31(||)31())(31(3||)(|--+=+--+=a x x a x a a x x a x g ∵21x x x <<，即1.3x a -<< ∴)133)(31(|)(|++-+=a x x a x g12分∴|()|g x )313)(31(3+-+-=a x x a a a a a x a 3143)2(3232+++--= 323143a a a++≤12)23(2+=a a .14分∴|()|g x 2(32)12aa +≤成立.（20）（共14分）解：(I) 令1,0x y ==()()()()1011f f f f ∴⋅=+5(1)2f =，()02f ∴=.1分令0x =，∴(0)()()()f f y f y f y =+-即2()()()f y f y f y =+-∴()()f y f y =-，对任意的实数y 总成立。