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2012北京理科高考试卷及答案解析精校版一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合A={x ∈R ｜3x+2>0﹜，B={x ∈ R ｜(x+1)(x-3)>0﹜则A ∩B=( ) A ．（﹣∞，﹣1） B.｛21,3--｝ C. ﹙2,33-﹚ D.（3，＋∝） 2. 设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A.4π B.22π- C.6πD. 44π-3.设,a b R ∈.“0a =”是‘复数a bi +是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 2 B .4 C.8 D. 165.如图. ∠ACB=90º，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则（ ） A. CE ·CB=AD ·DB B. CE ·CB=AD ·AB C. 2AD AB CD =g D.2CE EB CD =g6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 67.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ） A.2865+ B. 3065+ C.56125+ D.60125+8.某棵果树前n 前的总产量S 与看，前mA.5B.7C.9D.11二.填空题共6小题。
每小题5分。
共30分. 9.直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩ (t 为参数)与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的交点个数为10.已知{}n a 等差数列n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则2a = ，n S =11.在△ABC 中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b =12.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60º.则OAF V 的面积为13.己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点.则DE CB u u u r u u u rg的值为14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若同时满足条件：①x R ∀∈，有()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，使得()()0f x g x <g 则m 的取值范围是三、解答题公6小题，共80分。
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷带解析1．已知集合={x R|3x+2>0}A ∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B =（ ） A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3-D ．(3,)+∞ 2．设不等式0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的是（ ）A ．4π B．22π- C ．6π D ．44π- 3．设,a b R∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．如图，090ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( )A. CE CB AD DB ∙=∙B. CE CB AD AB ∙=∙C. 2AD AB CD ∙= D. 2CE EB CD ∙=6．从0,2中选一个数字.从 1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．28+．30+ C ．56+．60+8．某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11A DBCE第3页共4页◎第4页共4页第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）9．直线21x ty t=+⎧⎨=--⎩(t为参数)与曲线3cos3sinxyαα=⎧⎨=⎩(“为多α数)的交点个数为10．已知{}na为等差数列，nS为其前n项和，若112a=，23S a=，则2a=nS=11．在△ABC中，若2,7a b c=+=,1cos4B=-，则b=12．在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜·B={x∈ R｜(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B=( )A．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，-⅔｝ C. ﹙﹣⅔，3﹚ D.（3，＋∝）2. 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A. B. C. D.3.设a，b∈R.“a=O”是‘复数a+bi是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 2B .4C.8D. 165.如图. ∠ACB=90º。
CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·ABC. AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD²6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 67.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A. 28+6B. 30+6C. 56+ 12D. 60+128.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。
m值为（）A.5B.7C.9D.11第二部分(非选择题共110分)二.填空题共6小题。
每小题5分。
共30分.9.直线(t为参数)与曲线 (“为多α数)的交点个数为10.已知﹛﹜等差数列为其前n项和.若=，=，则=11.在△ABC中，若α=2，b+c=7,=-，则b=12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。
【精品解析】市海淀区2012届高三政治上学期期末练习试题（教师版）新人教版【试题总体说明】本套试卷严格按照2011年卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。
所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。
如选择题2,4；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题3,7.（4）深入探究2011高考试题，精选合适的试题进行改编；如填空题9,11.（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．如填空题13和解答题20等；（6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
如17题。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数i(12i)-=（A ）2i -+ （B ）2i + （C ）2i - （D ）2i --【答案】B（3）已知数列{}n a 满足：22111, 0, 1(*)n n n a a a a n +=>-=∈N ，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）24 （D ）25【答案】C【解析】22222111,{}1,11(1),n n n n a a a a a n n +-=∴=∴=+-=是以为公差的等差数列， 0,.5,5,25.n n n a a n a n n n >∴=<∴<∴<∴的最大值为24，故选C 。
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1212121212,11,;,110,.k k l l l l k k k k =≠-∴∴⨯-⨯=∴=∥∥故为充要条件。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π- 3.设,a b R ∈, “0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ． 2 B ． 4 C ． 8 D ． 165.如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（） A ．CE ·CB=AD ·DB B ．CE ·CB=AD ·AB C ．AD ·AB= 2CD D ．CE ·EB= 2CD6.从0,2 中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数， 其中奇数的个数为（ ）A ． 24B ． 18C ． 12D ． 67. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A．28+ B．30+ C．56+．60+8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）A ．5B ． 7C ． 9D ．11（第4题图）B第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y =α⎧⎨=α⎩（α为参数）的交点个数为 .10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = ；n S = . 11.在△ABC 中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = . 12.在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为 .13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为 ； DE DC ⋅的最大值为 .14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-.若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞- ，()()0f x g x <. 则m 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.16. （本小题14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D,E 分别是AC ，AB 上的点， 且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2. （1）求证：A 1C ⊥平面BCDE;（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由. 17.（本小题13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,n x x x 的平均数） 18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.（本小题14分）已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈ (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆，求m 的范围；(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A,B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M,N,直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A,G,N 三点共线. 20.（本小题13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和1i m ≤≤，()j c A 为A 的第j 列各数之和1j n ≤≤； 记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值. （1）对如下数表A,求()k A 的值；（2）设数表A=(2,3)S 形如求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S(2，21t +),求()k A 的最大值.（李国波录入2012-6-8）参考答案 一、选择题1、D2、D3、B4、C5、A6、B7、B8、C 二、填空题9、2；10、1，1(1)4n n +；11、4；1213、1,1；14、(4,2)--； 三、解答题15、解：（1）由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈，故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈.因为(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈. 由222,()242k x k x k k Z ππππππ-≤-≤+≠∈得3,()88k x k x k k Z πππππ-≤≤+≠∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为[,)8k k k Z πππ-∈，和3(,]()8k k k Z πππ+∈. 16．解：（1） ,AC BC DE BC ⊥∥∴DE AC ⊥∴1DE A D ⊥,DE CD ⊥(1A D CD D = )又 DE ⊥平面1A DC ，∴DE 1AC ⊥ 又∵1A C CD ⊥，(DE CD D = ) ∴1AC ⊥平面BCDE （2）如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则(100A ，，，()020D ，，，M ,()300B ，，，()220E ，，，设平面1A BE 法向量为()n x y z = ，，，则10,0A B n BE n ⋅=⋅=∴(130A B =- ，，,()120BE =- ，，，∴3020x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则2,x z ==∴(21n = 设CM 与平面1A BE 所成的角为θ∵(0CM =∴sin |cos ,|||||||CM n n CM CM n θ⋅=====⋅CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）线段BC 上不存在点P,使平面1A DP 与平面1ABE 垂直。
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文科）2012.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）函数21,12y x x=-+-?的值域是（A ）(3,0]- （B ） (3,1]- （C ）[0,1] （D ）[1,5) （2）已知命题p ：1,sin 2x x x $?R . 则p Ø为 （A ）1,sin 2x x x $?R （B ）1,sin 2x x x "?R （C ）1,sin 2x xx $纬R （D ）1,sin 2x x x "纬R （3）22cos 15sin 15-的值为（A ）12 （B）2 （C）2 （D）2（4）执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为10，则输出的x（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0（5）已知平面,αβ和直线m ，且m Ìα，则“α∥β”是“m ∥β”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）为了得到函数21log (1)2y x =-的图象，可将函数2log y x =的图象上所有的点的 （A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 （D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（A ）203（B ）43（C ）6 （D ）4（8）点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的面积为定值；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数31iiz +=，则z = . （10）已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是2y x =?，那么此双曲线的离心率为 .（11）在ABC ∆中，若120A??，6c =，ABC ∆的面积为，则a = .（12）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________．左俯视图主视图（13）某同学为研究函数()1)f x x=＃的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的极值点是 ；函数()f x 的值域是 .（14）已知定点(0,2),(2,0)M N -，直线:220l kx y k --+=（k 为常数）. 若点,M N 到直线l 的距离相等，则实数k 的值是 ；对于l 上任意一点P ，MPN Ð恒为锐角，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ¹，5346S a =+，且139,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}nS 的前n 项和公式.（16）（本小题满分13分）在一次“知识竞赛”活动中，有12,,,A A B C 四道题，其中12,A A 为难度相同的容易题，B 为中档题，C 为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； （Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.(17)（本小题满分14分）在正方体''''ABCD AB C D 中, 棱,','',''AB BB B C C D 的中点分别是,,,E F G H , 如图所示． （Ⅰ）求证：'AD ∥平面EFG ；EFAB C DPC'C（Ⅱ）求证：'A C ^平面EFG ；（Ⅲ）判断点,',,A D H F 是否共面? 并说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数22()3x af x x a+=+（0a ≠，a ∈R ）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值.（19）（本小题满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(-在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点5(,0)4Q ，动直线l 过点F ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，证明：QA QB ⋅为定值.（20）（本小题满分14分）将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++?N 的形式，其中*i a ÎN ，1,2,,i p =，且p a a a ≤≤≤ 21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故5)4(=f ）.（Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由； （Ⅱ）证明：(1)()1f n f n +-?（1,2,n =）；（Ⅲ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([21++n f n f 的大小，并给出证明．海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．05一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9 （11） （12）12（13）12；1]（14）1或13；1(,)(1,)7-?+? 注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为5346S a =+，所以115454(2)62da a d 创+=++. ①……………………………………3分 因为139,,a a a 成等比数列，所以2111(8)(2)a a d a d +=+. ② ……………………………………5分 由①，②及0d ¹可得：12,2a d ==.……………………………………6分 所以2n a n =. ……………………………………7分 （Ⅱ）由2n a n =可知：2(22)2n n nS n n +?==+.……………………………………9分所以1111(1)1n S n n n n ==-++. ……………………………………11分 所以1211111n nS S S S -++++11111111122311n n n n =-+-++-+--+1111n n n =-=++. ……………………………………13分 所以 数列1{}nS 的前n 项和为1n n +. (16)（本小题满分13分）解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：11(,)A A ，12(,)A A ，1(,)A B ，1(,)A C ，21(,)A A ，22(,)A A ，2(,)A B ，2(,)A C ，1(,)B A ，2(,)B A ，(,)B B ，(,)B C ，1(,)C A ，2(,)C A ，(,)C B ，(,)C C . ……………………………………3分（Ⅰ）用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：11(,)A A ，12(,)A A ，21(,)A A ，22(,)A A ，(,)B B ，(,)C C . 所以63()=168P M =. ……………………………………8分 （Ⅱ）用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N 包含的基本事件有：1(,)B A ，2(,)B A ，1(,)C A ，2(,)C A ，(,)C B . 所以5()16P N =. ……………………………………13分 (17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接'BC .在正方体''''ABCD A B C D -中，''AB C D =，AB ∥''C D . 所以 四边形''ABC D 是平行四边形. 所以 'AD ∥'BC .因为 ,F G 分别是',''BB B C 的中点，所以 FG ∥'BC .所以 FG ∥'AD . ……………………………………2分因为 ,'EF AD 是异面直线， 所以 'AD Ë平面EFG .因为 FG Ì平面EFG ，所以 'AD ∥平面EFG .………………………………………4分（Ⅱ）证明：连接'B C .在正方体''''ABCD A B C D -中，''A B ^平面''BCC B ，'BC Ì平面''BCC B ， 所以 '''A B BC ⊥.在正方形''BCC B 中，''B C BC ⊥，因为 ''A B Ì平面''A B C ，'B C Ì平面''A B C ，''''A B B C B =，所以'BC ⊥平面''A B C . ……………………………………6分因为 'A C Ì平面''A B C ， 所以''BC A C ⊥. ……………………………………7分因为 FG ∥'BC ， 所以 'A C FG ⊥.同理可证：'A C EF ⊥.因为 EF Ì平面EFG ，FG Ì平面EFG ，EFFG F =，所以 'A C ^平面EFG . ……………………………………9分 （Ⅲ）点,',,A D H F 不共面. 理由如下： ……………………………………10分 假设,',,A D H F 共面. 连接',,C F AF HF . 由（Ⅰ）知，'AD ∥'BC ， 因为 'BC Ì平面''BCC B ，'AD Ë平面''BCC B .所以 'AD ∥平面''BCC B .……………………………………12分 因为 ''C D H Î，所以 平面'AD HF 平面'''BCC B C F =. 因为 'AD Ì平面'AD HF ， 所以 'AD ∥'C F .所以 'C F ∥'BC ，而'C F 与'BC 相交，矛盾.所以 点,',,A D H F 不共面. ……………………………………14分 (18)（本小题满分13分） 解：222()(3)'()(3)x a x a f x x a --+=+. HG FED'C'B'A'D C BAHG FED'C'B'A'DC BA令'()0f x =，解得x a =或3x a =-. ……………………………………2分 （Ⅰ）当0a >时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表函数()f x 的单调递增区间是(3,)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,3)a -∞-，(,)a +∞. ……………………………………4分当0a <时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表函数()f x 的单调递增区间是(,3)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,)a -∞，(3,)a -+∞. ……………………………………6分（Ⅱ）当1a =时，由（Ⅰ）得()f x 是(3,1)-上的增函数，是(1,)+∞上的减函数.又当1x >时，21()03x f x x +=>+. ……………………………………8分 所以 ()f x 在[3,)-+∞上的最小值为1(3)6f -=-，最大值为1(1)2f =.……………………………………10分 所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，122()()(1)(3)3f x f x f f -≤--=. 所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，使12()()f x f x m -≤恒成立的实数m 的最小值为23. ……………………………………13分（Ⅰ）解：由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：2a =a = ……………………………………3分 所以 2211b =-=.所以 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. ……………………………………4分 （Ⅱ）证明：当直线l 的斜率为0时，(A B . 则557(2,0)(,0)4416QA QB ⋅=⋅=-. ……………………………………6分当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=.显然0∆>.1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî……………………………………9分 因为 111x ty =+，221x ty =+，所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+ 2121211(1)()416t y y t y y =+-++2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+. 即 716QA QB ⋅=-. ……………………………………13分（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以3)3(=f ．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1， 所以7)5(=f ． ……………………………………3分 （Ⅱ）证明：因为21≥+n ，把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉，就可得到一个n 的表示法；反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个1n +的表示法，即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数，所以 )()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数.即 (1)()1f n f n +-?． ……………………………………8分 （Ⅲ）结论是)1(+n f )]2()([21++≤n f n f . 证明如下：由结论知，只需证 ).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f由（Ⅱ）知：)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数，)1()2(+-+n f n f 是2+n 的表示法中11a ¹的表示法数．考虑到21≥+n ，把一个11a ¹的1+n 的表示法中的p a 加上1，就可变为一个11a ¹的2+n 的表示法，这样就构造了从11a ¹的1+n 的表示法到11a ¹的2+n 的表示法的一个对应，所以有).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………14分。
2012年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学试卷1.已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x ﹣3)>0}，则A ∩B ＝( ).A .(﹣∞，﹣1)B .21,-3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C .2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .(3，＋∞) D 由题意得，A ＝2x|x }3⎧>-⎨⎩，B ＝{x|x<﹣1或x>3}， 所以A∩B ＝(3，＋∞).2.设不等式组0x 2,0y 2≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ). A .4πB .22π-C .6πD .44π-D 由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A ，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A 的是阴影部分区域μA ，故由几何概型的概率公式得：P(A)＝22212242π-⨯⨯＝44π-. 3.设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ).A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件B 由已知得，“a ＋b i 是纯虚数”⇒“a ＝0”，但“a ＝0”“复数a ＋b i 是纯虚数”，因此“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件.4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ).A .2B .4C .8D .16C初始：k＝0，S＝1，第一次循环：由0<3，得S＝1×20＝1，k＝1;第二次循环：由1<3，得S＝1×21＝2，k＝2;第三次循环：由2<3，得S＝2×22＝8，k＝3.经判断此时要跳出循环，因此输出的S值为8.5.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则().A.CE·CB＝AD·DBB.CE·CB＝AD·ABC.AD·AB＝CD2D.CE·EB＝CD2A由切割线定理得，CD2＝CE·CB，又在Rt△CAB中，△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD·DB，∴CE·CB＝AD·DB.6.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为().A.24B.18C.12D.6B先分成两类：(一)从0，2中选数字2，从1，3，5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为23C×4＝12;(二)从0，2中选数字0，从1，3，5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为23C×2＝6.故满足条件的奇数的总个数为12＋6＝18.7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是().A.28＋B.30＋C.56＋D.60＋B根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为：此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S＝12×(2＋3)×4＋12×4×5＋12×4×(2＋3)＋1230＋8.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为( ). A .5 B .7 C .9 D .11C 结合S n 与n 的关系图象可知，前2年的产量均为0，显然2S 2＝0为最小，在第3年~第9年期间，S n 的增长呈现持续稳定性，但在第9年之后，S n 的增速骤然降低.因为当n ＝9时，9S 9的值为最大，故m 值为9.9.直线x 2t,y 1t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线x 3αy 3αcos sin =⎧⎨=⎩(α为参数)的交点个数为__________. 2 由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x ＋y ﹣1＝0，x 2＋y 2＝9，进而求出圆心(0，0)到直线x ＋y﹣1＝0的距离d，∴交点个数为2.10.已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.1 14(n 2＋n) 由a 1＝12，S 2＝a 3得，a 1＋a 2＝a 3，即a 3﹣a 2＝12，∴{a n }是一个以a 1＝12为首项，以12为公差的等差数列.∴a n ＝12＋(n ﹣1)×12＝12n.∴a 2＝1，S n ＝n 2(a 1＋a n )＝14n 2＋14n ＝14(n 2＋n).11.在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝﹣14，则b ＝__________.4 由余弦定理得，cos B ＝222a c b 2ac +-＝224(7b)b 22(7b)+--⨯⨯-＝﹣14，解得b ＝4.12.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为__________.由已知得抛物线的焦点坐标为(1，0)，直线l 的方程为y ＝tan 60°(x ﹣1)，即y联立得2y y 4x.⎧=⎪⎨=⎪⎩①②由①得x ＋1，③将③代入②并整理得y 2﹣4＝0，解得y1＝y 2又点A 在x 轴上方，∴A(3， ∴S△OAF ＝12×|OF|×|y 1|＝1213.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为__________，DE ·DC 的最大值为__________.1 1 DE ·CB ＝(DA ＋AE )·CB ＝(CB ＋AE )·CB ＝|CB |2＋AE ·CB .因为AE CB ⊥，所以AE ·CB ＝0. 所以DE ·CB ＝12＋0＝1.DE ·DC ＝(DA ＋AE )·DC ＝DA ·DC ＋AE ·DC ＝λ|DC |2(0≤λ≤1)， ∴DE ·DC 的最大值为1.14.已知f(x)＝m(x ﹣2m)(x ＋m ＋3)，g(x)＝2x ﹣2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0; ②∃x ∈(﹣∞，﹣4)，f(x)g(x)<0. 则m 的取值范围是__________.(﹣4，﹣2) (一)由题意可知，m ≥0时不能保证对∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0成立.(1)当m ＝﹣1时，f(x)＝﹣(x ＋2)2，g(x)＝2x ﹣2，此时显然满足条件①; (2)当﹣1<m<0时，2m>﹣(m ＋3)，要使其满足条件①，则需1m 0,2m 1,-<<⎧⎨<⎩解得﹣1<m<0; (3)当m<﹣1时，﹣(m ＋3)>2m ，要使其满足条件①，则需m 1,-(m 3)1,<-⎧⎨+<⎩解得﹣4<m<﹣1. 因此满足条件①的m 的取值范围为(﹣4，0).(二)在满足条件①的前提下，再探讨满足条件②的m 的取值范围. (1)当m ＝﹣1时，在(﹣∞，﹣4)上，f(x)与g(x)均小于0，不合题意; (2)当m<﹣1时，则需2m<﹣4，即m<﹣2，所以﹣4<m<﹣2; (3)当﹣1<m<0时，则需﹣(m ＋3)<﹣4，即m>1，此时无解. 综上所述满足①②两个条件的m 的取值范围为(﹣4，﹣2). 15.已知函数f(x)＝(x x)2x xsin cos sin sin -.(1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间.解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k ∈Z )，故f(x)的定义域为{x ∈R |x≠kπ，k ∈Z }.因为f(x)＝(x x)2x xsin cos sin sin -＝2cos x(sin x ﹣cos x) ＝sin 2x ﹣cos 2x ﹣12x 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭﹣1， 所以f(x)的最小正周期T ＝22π＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为2k ,2k 22ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).由2kπ﹣2π≤2x ﹣4π≤2k π＋2π，x ≠k π(k ∈Z )，得kπ﹣8π≤x ≤k π＋38π，x ≠k π(k ∈Z ).所以f(x)的单调递增区间为k ,k 8πππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭和3k ,k 8πππ⎛⎤+ ⎥⎝⎦(k ∈Z ). 16.如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2. (1)求证：A 1C ⊥平面BCDE;(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小;(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?说明理由.图1 图2解：(1)因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC.所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD. 所以DE ⊥平面A 1DC. 所以DE ⊥A 1C.又因为A 1C ⊥CD ，所以A 1C ⊥平面BCDE.(2)如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C ﹣xyz ，则A 1(0，0，，D(0，2，0)，M(0，1，B(3，0，0)，E(2，2，0). 设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·1A B ＝0，n ·BE ＝0.又1A B ＝(3，0，﹣，BE ＝(﹣1，2，0)，所以3x 0,x 2y 0.⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令y ＝1，则x ＝2，z所以n ＝(2，1设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.因为CM ＝(0，1，所以sin θ＝|cos <n ，CM >|＝n?|n|||CM CM ＝所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为4π.(3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直. 理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p ，0，0)，其中p ∈[0，3]. 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·1A D ＝0，m ·DP ＝0.又1A D ＝(0，2，﹣，DP ＝(p ，﹣2，0)，所以2y 0,px 2y 0.⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令x ＝2，则y ＝p ，z所以m ＝⎛ ⎝.平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0， 即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝﹣2，与p ∈[0，3]矛盾.所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直.17.近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾.(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a>0，a ＋b ＋c ＝600，当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值. (求：s 2＝1n[(x 1﹣x )2＋(x 2﹣x )2＋…＋(x n ﹣x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“”厨余垃圾箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400100100++＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确.事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A )约为400240601000++＝0.7，所以P(A)约为1﹣0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值.因为x ＝13(a ＋b ＋c)＝200，所以s 2＝13×[(600﹣200)2＋(0﹣200)2＋(0﹣200)2]＝80000.18.已知函数f(x)＝ax 2＋1(a>0)，g(x)＝x 3＋bx.(1)若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a ，b 的值; (2)当a 2＝4b 时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(﹣∞，﹣1]上的最大值. 解：(1)f'(x)＝2ax ，g'(x)＝3x 2＋b.因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以f(1)＝g(1)，且f'(1)＝g'(1). 即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b. 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当b ＝14a 2时，h(x)＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h'(x)＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h'(x)＝0，得x 1＝﹣a 2，x 2＝﹣a 6.a>0时，所以函数h(x)的单调递增区间为a ,-2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和a ,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭; 单调递减区间为a a ,-26⎛⎫-⎪⎝⎭. 当﹣a 2≥﹣1，即0<a ≤2时，函数h(x)在区间(﹣∞，﹣1]上单调递增，h(x)在区间(﹣∞，﹣1]上的最大值为h(﹣1)＝a ﹣14a 2.当﹣a 2<﹣1，且﹣a 6≥﹣1，即2<a ≤6时，函数h(x)在区间a ,-2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间a ,-12⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，h(x)在区间(﹣∞，﹣1]上的最大值为h a 2⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1. 当﹣a 6<﹣1，即a>6时，函数h(x)在区间a ,-2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间a a ,-26⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间a ,-16⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增， 又因为h a 2⎛⎫- ⎪⎝⎭﹣h(﹣1)＝1﹣a ＋14a 2＝14(a ﹣2)2>0，所以h(x)在区间(﹣∞，﹣1]上的最大值为h a 2⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1. 19.已知曲线C ：(5﹣m )x 2＋(m ﹣2)y 2＝8(m ∈R).(1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围;(2)设m ＝4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B(点A 位于点B 的上方)，直线y ＝kx ＋4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线y ＝1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线. 解：(1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当5m 0,m 20,88,5m m 2⎧⎪->⎪->⎨⎪⎪>--⎩解得72<m<5，所以m 的取值范围是7,52⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0，2)，(0，﹣2).由22y kx 4,x 2y 8,=+⎧⎨+=⎩得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0. 因为直线与曲线C 交于不同的两点， 所以Δ＝(16k)2﹣4(1＋2k 2)×24>0，即k 2>32.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4， x 1＋x 2＝216k 12k -+，x 1x 2＝22412k +. 直线BM 的方程为y ＋2＝11y 2x +x ，点G 的坐标为113x ,1y 2⎛⎫⎪+⎝⎭. 因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝22y 2x -，k AG ＝﹣11y 23x +，所以k AN ﹣k AG ＝22y 2x -＋11y 23x +＝22kx 2x +＋11kx 63x +＝43k ＋12122(x x )x x +＝43k ＋2216k212k 2412k -⨯++＝0，即k AN ＝k AG .故A ，G ，N 三点共线.20.设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记S(m ，n)为所有这样的数表构成的集合.对于A ∈S(m ，n)，记r i (A)为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤m)，c j (A)为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤n); 记k(A)为|r 1(A)|，|r 2(A)|，…，|r m (A)|，|c 1(A)|，|c 2(A)|，…，|c n (A)|中的最小值. (1)对如下数表A ，求k(A)的值;(2)设数表A ∈S(2，3)形如求k(A)的最大值;(3)给定正整数t ，对于所有的A ∈S(2，2t ＋1)，求k(A)的最大值.解：(1)因为r 1(A)＝1.2，r 2(A)＝﹣1.2，c 1(A)＝1.1，c 2(A)＝0.7，c 3(A)＝﹣1.8，所以k(A)＝0.7.(2)不妨设a ≤b.由题意得c ＝﹣1﹣a ﹣b. 又因为c ≥﹣1，所以a ＋b ≤0.于是a ≤0. r 1(A)＝2＋c ≥1，r 2(A)＝﹣r 1(A)≤﹣1，c 1(A)＝1＋a ，c 2(A)＝1＋b ，c 3(A)＝﹣(1＋a)﹣(1＋b)≤﹣(1＋a). 所以k(A)＝1＋a ≤1.当a ＝b ＝0且c ＝﹣1时，k(A)取得最大值1.(3)对于给定的正整数t ，任给数表A任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *∈S(2，2t ＋1)，并且k(A)＝k(A *).因此，不妨设r 1(A)≥0，且c j (A)≥0(j ＝1，2，…，t ＋1).由k(A)的定义知，k(A)≤r 1(A)，k(A)≤c j (A)(j ＝1，2，…，t ＋1). 又因为c 1(A)＋c 2(A)＋…＋c 2t ＋1(A)＝0，所以(t ＋2)k(A)≤r 1(A)＋c 1(A)＋c 2(A)＋…＋c t ＋1(A)＝r 1(A)﹣c t ＋2(A)﹣…﹣c 2t ＋1(A)＝t 1j 1+=∑a j ﹣2t 1j t 2+=+∑b j≤(t ＋1)﹣t×(﹣1)＝2t ＋1. 所以k(A)≤2t 1t 2++.对数表A 0：第1列 第2列 … 第t ＋1列第t ＋2列 … 第2t ＋1列则A 0∈S(2，2t ＋1)，且k(A 0)＝2t 1t 2++.综上，对于所有的A ∈S(2，2t ＋1)，k(A)的最大值为2t 1t 2++.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、 选择题共8小题。
每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}023|>+∈=x R x A ，{}0)3)(1(|>-+∈=x x R x B 则=⋂B A ( )A ．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，32-｝ C. ﹙32-，3﹚ D.（3，＋∞ ） 2. 设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A.4π B. 22-π C 6π. D. 4-4π3. 设a ，b ∈R.“a=0”是‘复数a+bi 是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 2 B .4 C. 8 D. 165. 如图， ∠ACB=90º。
CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( ) A. CE ·CB=AD ·DB B. CE ·CB=AD ·AB C. AD ·AB=CD ² D.CE ·EB=CD ²6. 从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 67. 某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A. 28+6B. 30+6C. 56+ 12D. 60+128. 某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为（）A .5B. 7C. 9D. 11第二部分(非选择题 共110分)二.填空题共6小题。
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题数 学（理）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数52i=+ ( ) （A ）2i - （B ）21i 55+ （C ）105i - （D ）105i 33- （2）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF（A ）1123AB AD-（B ）1142AB AD+（C ）1132AB DA+（D ）1223AB AD-（3）若数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9（4）已知平面α，β，直线l ，若αβ^，l αβ= ，则（A ）垂直于平面β的平面一定平行于平面α （B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α （C ）垂直于平面β的平面一定平行于直线l （D ）垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直（5）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f = （ ）（A ）12-（B）2-（C ）1- （D）-（6）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（7）已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）()f x 既不是奇函数也不是偶函数 （B ）()f x 在[,0]π-上恰有一个零点（C ）()f x 是周期函数 （D ）()f x 在(,2π5π)6上是增函数（8）点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是 （ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）51)的展开式中2x 的系数是 . （用数字作答）（10）若实数,x y 满足40,20,250,x y x y x y ì+- ïïï-- íïï+- ïïî则2z x y =+的最大值为 .（11）抛物线2x ay =过点1(1,)4A ，则点A 到此抛物线的焦点的距离为 .甲城市 乙城市（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)2x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为 . （14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .8,3π说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin 3B =. （Ⅰ）求cos A 及sinC 的值； （Ⅱ）若2b =，求ABC ∆的面积.9 0 8 7 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7侧（左）视图正（主）视图(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.(17)（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC ? ，2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ^平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB ^平面PBC ；（Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90°）的大小； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在，求PMPB的值；若不存在，请说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数.PABC D(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)（本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1),Q 为椭圆C 的左顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.(20)（本小题满分14分）已知集合{1,2,3,,}(*)M n n = N ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m =臀N ，且对任意的b M Î，存在,(1)i j a a A i jm 危＃，使得12i j b a a λλ=+（其中12,{1,0,1}λλ?），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；②{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.（Ⅱ）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n + ；（Ⅲ）若集合A 为集合{1,2,3,,19}M = 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .参考答案及评分标准 2012．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案ADBDCABD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）5 （10）7 （11）54（12）乙，乙（13）(1)3y x =+或(1)3y x =-+ （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分因为sin B =， 所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分 由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =………………………………………5分因为sin sin 22sin cos A B B B ===.………………………………………6分 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=. ………………………………………8分 （Ⅱ）因为sin sin b aB A=，2b =， ………………………………………10分=.所以3a =. ………………………………………11分所以1sin 29ABC S ab C ∆==. ………………………………………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. ………………………………………4分 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. ………………………………………10分随机变量X 的分布列为：因为 01231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以 随机变量X 的数学期望为1. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 90ABC? ，所以 AB BC ⊥. ………………………………………1分 因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，AB Ì平面ABCD ，所以 AB ^平面PBC . ………………………………………3分 （Ⅱ）解：取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB PC =， 所以 PO BC ⊥.因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，PO Ì平面PBC ， 所以 PO ^平面ABCD . ………………………………………4分 如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．不妨设2BC =.由 直角梯形ABCD 中2AB PB PC BC CD ====可得P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以(1,DP =- ，(2,1,0)DA =.设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.DP DAìï?ïíï?ïî m m所以(,,)(1,0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ìï?=ïíï?ïî即0,20.x y x y ìï-+=ïíï+=ïî 令1x =，则2, y z =-=-所以(1,2,=--m . ………………………………………7分取平面BCP 的一个法向量n ()0,1,0=. 所以cos ,⋅==m n m n m n . 所以 平面ADP 和平面BCP 所成的二面角（小于90°）的大小为4π. ………………………………………9分 （Ⅲ）解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB =. 理由如 下： ………………………………………10分 取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN . 则 MN ∥PA ，12AN AB =. 因为 2AB CD =，NMPABCD所以 AN CD =. 因为 AB ∥CD ，所以 四边形ANCD 是平行四边形. 所以 CN ∥AD .因为 , MN CN N PA AD A == ，所以 平面MNC ∥平面PAD . ………………………………………13分 因为 CM Ì平面MNC ，所以 CM ∥平面PAD . ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]xf x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………5分 （Ⅱ） 令2'()e ((2))0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………6分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2((2))ea f a +-+=. ………………………………………10分 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当x a ≥-时，有()f x e ()aa a -≥->-. ………………………………………11分所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-. ……………………………………13分 (19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，2c a =. ………………………………………2分 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.………………………………………5分则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-， 所以 AQ BQ ^.所以 2AQB π∠=. ………………………………………6分 （ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>. 21222122240,25100144100.25100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+ ，116()5y k x =+，226()5y k x =+，所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+ 2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++. 所以 QA QB ⊥.所以 QAB ∆为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA QB =取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^.记点6(,0)5-为N . 另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x k k x k k+==-=-++， 所以 点M 的纵坐标266()5520M M ky k x k=+=+. 所以 222221016666(,)(,)520520520520k k k QM NMk k k k+? ++++222601320(520)k k += +. 所以 QM 与NM不垂直，矛盾.所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底.理由是 1212315(,{1,0,1})λλλλ棺+孜-；②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底. 理由是 11213,21203,30213=-????? ， 41212,51213,61313=????? .………………………………………3分 （Ⅱ）不妨设12m a a a <<< ，则 形如10i j a a ? (1)ij m ＃ 的正整数共有m 个； 形如11ii a a ? (1)im ＃的正整数共有m 个；形如11i j a a ? (1)ij m ? 的正整数至多有2mC 个； 形如(1)1i j a a -? (1)ij m ? 的正整数至多有2mC 个. 又集合{1,2,3,,}M n = 含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底. 故22m m m m C C n +++ ，即(1)m m n + . ………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知(1)19m m + ，所以4m ³.当4m =时，(1)191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M = 的一个4元基底， 不妨设1234a a a a <<<，则410a ³. 当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，则16a =或5.易知{6,7,9,10A =和{5,7,9,10}A =都不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾. 当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11}A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12}A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,1A =不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾. 当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,1A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{2,3,4,1A =不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾. 当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{1,2,3,16}A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当417a ³时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m =时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A =；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，m 的最小可能值为5. ………………………………………14分。
