(完整版)数列知识点梳理(最新整理)

一、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作 a n ； 数列的一般形式：a 1, a 2, a 3,……,a n ,……，简记作a n 。

例：判断下列各组元素能否构成数列 (1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2) 2010年各省参加高考的考生人数。

(2) 通项公式的定义：如果数列 叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 , 2 , 3 , 4, 511111 _ _ _ _ ， ? ? ?2 3 4 5a n = n ( n 7, n N ),1 a n =(n N)。

n说明:1 n 2k 1② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，a n = ( 1)n =(k Z);1,n 2k③ 不是每个数列都有通项公式。

例如， 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,…… (3) 数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项：456 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N (或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2), f(3),……,f(n),……•通常用a n 来代替f n ,其图象是一群孤立点。

例：画出数列a n 2n 1的图像•(4) 数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ (1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …(3) 1,0, 1,0, 1,0, … (4)a, a, a, a, a,…例：已知数列｛a n ｝的前n 项和s n 2n 2 3，求数列｛a n ｝的通项公式高三总复习 数列｛a n ｝的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就②:数列①的通项公式是 数列②的通项公式是①a n 表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = n 表示数列的通项公式;(5)数列｛ a n ｝的前n 项和S n 与通项a n 的关系：a nS 1(n 1)S n A n > 2)练习：1 •根据数列前4项，写出它的通项公式:(1) 1, 3, 5, 7……;22 132 1 42 1 52 1(2)234 5 (3)1 1 1 1---1*2*3*44*5(4) 9, 99, 999, 9999 …(5) 7, 77, 777, 7777,(6)8, 88, 888, 8888 2 •数列a n 中，已知a n(1)与出a i, , a 2, a 3, a n 1, a n 2 ；2（2） 79 2是否是数列中的项？若是，是第几项?33• （2003京春理14,文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____ ）内。

数列重要知识点总结一、数列的定义1.数列的概念数列是由一些按顺序排列的数所组成的集合，这些数的次序是确定的。

通常用a1，a2，a3…an表示数列中的元素，其中ai (i=1,2,3,…,n)称为数列的第i项。

2.数列的记法一般地，数列可以表示为：{an}={a1,a2,a3,…,an}其中an表示数列的第n项。

3.数列的通项公式数列的通项公式是指用n的代数式来表示数列的第n项的一种公式。

例如，等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式是an=a1*q^(n-1)。

二、数列的性质1.有界数列与无穷数列有界数列指数列中的元素有上下界，即存在M，使得|an|<=M。

无穷数列指数列中的元素没有上下界，即对于任意M，都存在n，使得|an|>M。

2.单调数列单调递增数列是指数列中的元素随着n的增大而递增，即an<an+1；单调递减数列是指数列中的元素随着n的增大而递减，即an>an+1。

3.常数数列常数数列指数列中的每一项都相等，即an=a。

三、数列的常见类型1.等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列，通常用d来表示公差。

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。

2.等比数列等比数列是指数列中任意相邻两项的比值都相等的数列，通常用q来表示公比。

等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。

3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列，通常用F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)来表示。

4.调和数列调和数列是指数列中的每一项是首项的倒数之和的数列，通常用Hn=1+1/2+1/3+…+1/n来表示。

四、数列的求和1.等差数列的求和等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式来求得：Sn=n/2(a1+an)，其中a1为首项，an为末项。

2.等比数列的求和等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式来求得：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比。

数列基础知识点和方法归纳
1.等差数列的定义与性质
定义： （ 为常数）,
等差中项: 成等差数列
前n 项和()()11122
n n a a n n n S na d +-==+ 性质: 是等差数列
（1）若 , 则
（2）数列 仍为等差数列, 仍为等差数列, 公差为 ；
（3）若三个成等差数列, 可设为
（4）若 是等差数列, 且前 项和分别为 , 则
（5） 为等差数列 （ 为常数, 是关于 的常数项为0的二次函数） 的最值可求二次函数 的最值；或者求出 中的正、负分界项,
2.等比数列的定义与性质
定义: （ 为常数, ）, .
等比中项： 成等比数列 , 或 .
前 项和: （要注意！ ）
性质: 是等比数列
（1）若 , 则
（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .
注意: 由 求 时应注意什么？
时, ；
时, .
4.求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法
（2）错位相减法
如: ①
()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……
② ①—②()21
11n n n x S x x x nx --=++++-……
时, , 时,。

数列的相关知识点总结一、数列的定义数列是按照顺序排列的一组数字。

数列中的每个数字称为这个数列的项，通常用字母来表示数列的项，例如a₁, a₂, a₃, …, aₙ。

其中n代表数列的项数，称为数列的长度或者规模。

数列通常用一个通用公式来表示，这个公式描述了数列中每一项与前一项的关系，通常用递推公式或者递归公式来表示。

例如，斐波那契数列就是一个典型的递推数列，它的通用公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F₁ = 1, F₂ = 1。

二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项的差值是一个常数的数列，这个常数称为公差。

等差数列的通用公式为an = a1 + (n-1)d，其中a₁为第一项，d为公差，n为项数。

2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项的比值是一个常数的数列，这个常数称为公比。

等比数列的通用公式为an = a₁ * rⁿ⁻¹，其中a₁为第一项，r为公比，n为项数。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个非常特殊的数列，它的每一项都等于前两项的和。

这个数列的通用公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F₁ = 1, F₂ = 1。

三、数列的性质1. 数列的有界性：如果数列中的所有项都不大于一个常数M，那么这个数列就是有上界的；如果数列中的所有项都不小于一个常数N，那么这个数列就是有下界的。

如果一个数列既有上界又有下界，则称其为有界数列。

2. 数列的单调性：如果数列中任意相邻两项的大小关系保持不变，那么这个数列就是单调数列。

如果数列中的每一项都大于前一项，那么这个数列就是严格递增的；如果数列中的每一项都小于前一项，那么这个数列就是严格递减的。

3. 数列的极限性质：数列的极限是指数列中的项随着项数趋向于无穷大时的极限值。

如果一个数列存在有限的极限，则称其为收敛数列；如果数列的项随着项数趋向于无穷大时趋向于无穷大或者无穷小，则称其为发散数列。

四、数列的求和公式1. 等差数列的求和公式：等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = n/2 * (a₁ + an)，其中Sn表示前n项和，a₁表示第一项，an表示第n项。

数学数列知识点整理数学数列是数学中的重要概念，是指按照特定规律排列的一系列数。

数列具有重要的应用价值，例如在数学、物理、计算机科学等领域中都有广泛的应用。

本文将从数列的定义、分类、性质、求和公式和应用等方面进行整理和介绍。

一、数列的定义和分类数列是按照一定规律排列的一系列数，可以用{a1, a2, a3, …, an}表示，其中a1、a2、a3等分别表示数列的第1项、第2项、第3项等。

数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等几种类型。

1.等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列，常用an=a1+(n-1)d表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

2.等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，常用an=a1*r^(n-1)表示，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

3.递推数列递推数列是指数列中每一项都是前一项的某个函数，常用an=f(an-1)表示。

二、数列的性质数列具有一些基本性质，如有限项数列的和等于各项之和，等差数列和等比数列的前n项和公式等。

1.有限项数列的和有限项数列的和是指将数列中所有项相加的结果，用Sn表示。

例如，数列{1,2,3,4,5}的和为1+2+3+4+5=15，用S5表示。

有限项数列的和公式为Sn=(a1+an)*n/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。

2.等差数列的和等差数列的和是指将等差数列中前n项相加的结果，用Sn表示。

等差数列的和公式为Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

3.等比数列的和等比数列的和是指将等比数列中前n项相加的结果，用Sn表示。

等比数列的和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

三、数列的求和公式求和公式是指可以用一种通用的方法来计算数列的和。

除了上述等差数列和等比数列的前n项和公式外，还有一些其他的求和公式。

1.调和级数调和级数是指数列1/1、1/2、1/3、1/4、1/5……的和，用Hn表示。

数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数组成的。

数列知识点归纳总结如下：一、数列的定义1. 数列是由有限个或无限个数字组成的序列。

2. 数列中的数字按照一定的顺序排列。

3. 数列中的每个数字都有一个对应的位置或项数。

二、数列的分类1. 按项数分类：有限数列和无限数列。

2. 按项的性质分类：整数数列、实数数列、复数数列等。

3. 按项的规律分类：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

三、等差数列1. 等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差都相等的数列。

2. 等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

3. 等差数列的求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和。

四、等比数列1. 等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比都相等的数列。

2. 等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r表示公比。

3. 等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。

五、斐波那契数列1. 斐波那契数列是指从第三项起，每一项都是前两项之和的数列。

2. 斐波那契数列的前几项为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...3. 斐波那契数列没有通项公式，但可以用递归或循环的方式生成。

六、递推关系与通项公式1. 递推关系是指数列中相邻两项之间的关系。

2. 递推关系可以用来推导出数列的通项公式。

3. 通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。

4. 通项公式可以通过递推关系、图形法、矩阵法等方式推导得出。

七、数列的应用1. 数列在数学中有广泛的应用，如级数求和、概率计算、线性方程组求解等。

2. 数列在自然科学、经济学、计算机科学等领域也有重要的应用。

八、数列的极限1. 数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项趋向于一个确定的数值。

高中数学数列知识点总结（精华版）一、数列1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称 为该数列的项 .⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调 有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同 的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项 a n与项数 n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集 ( 或它的有限子集 ) 的函数当自变量 从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2. 通项公式：如果数列 a n 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示 , 那么 这个公式叫做这个数列的通项公式，即 a n f(n).3. 递推公式：如果已知数列 a n 的第一项(或前几项)，且任何一项 a n 与 它的前一项 a n 1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即 a n f(a n 1) 或a n f(a n1,a n 2) ，那么这个式子叫做数列 a n 的递推公式. 如数列 a n 中， a 1 1,a n 2a n 1，其中 a n 2a n 1是数列 a n 的递推公式 .4. 数列的前 n 项和与通项的公式S 1(n 1) ① S n a 1 a 2 a n ； ② a n 1.n 1 2 n nS n S n1(n 2)5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法 .6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列， 常数数列；有界数列，无界数列 .① 递增数列 :对于任何 n N ,均有a n 1 a n . ② 递减数列 : 对于任何 n N , 均有 a n 1 a n . ③ 摆动数列 : 例如: 1,1, 1,1, 1, . ④ 常数数列 : 例如:6,6,6,6, ⋯⋯.⑤ 有界数列 :存在正数 M 使 a n M,n N .⑥ 无界数列:对于任何正数 M ,总有项a n 使得 a n M.n11、已知a n 2 n (n N * ) ，则在数列 { a n }的最大项为__(答： 1)；n 2 156 252、数列{a n }的通项为a n an，其中a,b 均为正数，则 a n 与a n1的大小关系bn 1为 ___(答： a n a n 1)；a 1 （0,1） ，由关系式 a n 1 f （a n ）得到的数列 {a n }满足 a n1 a n （n N*） ，则该函 数的图象是 （）（答： A ）1、等差数列的定义 ：如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同 一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

数列知识要点梳理知识点一：数列的概念1、数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，a n，…，可简记为{a n} 注意：（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。

函数当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。

其中是数列的第n项，也叫做通项。

（2）数列的特征：有序性。

一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺序”是对数列本质属性的刻画。

（3）数列的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。

2、数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。

注意：①不是每个数列都能写出它的通项公式。

如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。

如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。

3、数列的表示：(1)列举法：如-2，-5，-8，…注意：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。

(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。

(3)解析式法：用数列的通项公式a n=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。

4、数列的分类：（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；（4）其他数列：摆动数列、常数列。

5、数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。

注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。

数列知识要点梳理知识点一：数列的概念1、数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，a n，…，可简记为{a n} 注意：（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。

函数当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。

其中是数列的第n项，也叫做通项。

（2）数列的特征：有序性。

一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺序”是对数列本质属性的刻画。

（3）数列的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。

2、数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。

注意：①不是每个数列都能写出它的通项公式。

如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。

如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。

3、数列的表示：(1)列举法：如-2，-5，-8，…注意：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。

(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。

(3)解析式法：用数列的通项公式a n=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。

4、数列的分类：（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；（4）其他数列：摆动数列、常数列。

5、数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。

注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。

数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。

2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。

2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。

又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。

数列一、 知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n=.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n na a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==nS a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

数列知识点归纳总结简洁版数列是数学中的一种常见的数学概念，广泛应用于各个领域。

它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

在学习数列时，我们需要了解其定义、分类、性质以及相应的求解方法。

本文将对数列的相关知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、数列的定义和分类1.1 数列的定义数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

数列中的每一个数称为项，用a1、a2、a3...表示，而位置号称为下标，用n表示。

1.2 数列的分类根据数列的特点和规律，可以将数列分为以下几种类型：1）等差数列：相邻两项之差相等，常用的表示方法是an=a1+(n-1)d。

2）等比数列：相邻两项之比相等，常用的表示方法是an=a1*r^(n-1)。

3）等差-等比数列：既具有等差又具有等比的性质，常用的表示方法是an=a1+b(n-1)d。

4）斐波那契数列：前两项之和等于后一项，常用的表示方法是an=an-1+an-2。

二、数列的性质和运算2.1 数列的性质1）公式性质：数列可以通过一个通项公式来表示。

2）有界性质：数列可以是有界的，即存在上界和下界。

3）单调性质：数列可以是递增的或递减的，也可以是单调不变的。

4）有限性质：数列可以是有限的，也可以是无限的。

2.2 数列的运算1）数列的加法：将同一位置上的项相加得到一个新的数列。

2）数列的减法：将同一位置上的项相减得到一个新的数列。

3）数列的乘法：将同一位置上的项相乘得到一个新的数列。

4）数列的除法：将同一位置上的项相除得到一个新的数列。

三、数列的求解方法3.1 等差数列的求和公式对于等差数列an=a1+(n-1)d，可以通过以下公式计算其前n项和Sn：Sn=n/2*(a1+an)3.2 等比数列的求和公式对于等比数列an=a1*r^(n-1)，可以通过以下公式计算其前n项和Sn：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r≠1。

3.3 递推关系的求解方法对于一些复杂的数列，无法使用简单的公式解决。

数列知识点归纳总结笔记一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的。

我们通常用{n}来表示一个数列，其中n为自然数。

2. 数列的常见表示方式（1）通项公式表示：数列的一般形式为a₁，a₂，a₃，......，aₙ，其中aₙ是第n项的值。

数列的通项公式通常是一种算式，可以用来表示数列的第n项。

（2）递推关系表示：数列的第n项与它的前几项之间存在某种关系，这种关系称为数列的递推关系，通常用递归的方式表示。

3. 数列的分类（1）等差数列：数列中任意两项之间的差是常数，这种数列称为等差数列。

（2）等比数列：数列中任意两项之间的比是常数，这种数列称为等比数列。

（3）等差-等比混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，这种数列称为等差-等比混合数列。

（4）等差-等比-等比差混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，同时等差项间的差也构成等差数列，这种数列称为等差-等比-等比差混合数列。

二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么该数列称为有界数列。

（2）无界数列：如果一个数列不存在上界或下界，那么该数列称为无界数列。

2. 数列的单调性（1）单调递增数列：如果数列的每一项都大于等于前一项，那么该数列称为单调递增数列。

（2）单调递减数列：如果数列的每一项都小于等于前一项，那么该数列称为单调递减数列。

3. 数列的极限（1）数列的极限定义：对于一个数列{aₙ}，如果对于任意给定的ε>0，存在N∈N，对于所有n>N，有|aₙ-L|<ε成立，则称数列{aₙ}的极限为L，记为lim⁡(n→∞) aₙ=L。

（2）数列的极限存在性：一个数列未必存在极限，但只要该数列有上界和下界，则该数列一定存在极限。

4. 数列的和（1）数列的部分和：对于数列{aₙ}，它的前n项的和称为数列的部分和，用Sₙ表示。

（2）数列的无穷和：如果lim⁡(n→∞) Sₙ=L，那么L称为数列{aₙ}的无穷和，即∑ aₙ=L。

数列知识点和常用的解题方法归纳一、 等差数列的定义与性质() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2()()前项和n S a a n nan n d nn =+=+-11212{}性质：是等差数列a n（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a k a b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+（）若，是等差数列，为前项和，则；42121a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn ab n n n ⇔=+ 0的二次函数）{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。

a d a a S n n n n 110000><≥≤⎧⎨⎩+当，，由可得达到最小值时的值。

a d a a S n n n n 110000<>≤≥⎧⎨⎩+{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123（由，∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331()又·，∴S a a aa 31322233113=+===()()∴·S a a n a a n nn n n =+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12122131218 ∴=n 27） 二、等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），a a q q q a a q n nn n +-=≠=1110等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2()前项和：（要注意）n S na q a q q q n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()!{}性质：是等比数列a n（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+=（），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--121113、求差（商）法{}如：满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时，……<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21，∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()［练习］{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534 （注意到代入得：a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n144== n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……·4、叠乘法{}例如：数列中，，，求a a a a nn a n n n n 1131==++ 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a nn 133== 5、等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--()（）a n n=-1231 6、等比型递推公式()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1()⇒=+--a ca c x n n 11令，∴()c x d x d c -==-11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a dc c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111 ∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c dc n n =+-⎛⎝⎫⎭⎪---1111［练习］{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+（）a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-843117、倒数法例如：，，求a a a a a n n n n 11122==++ ，由已知得：1221211a a a a n n n n+=+=+∴11121a a n n +-= ， ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21三、 求数列前n 项和的常用方法 1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

数列一、等差数列性质总结1. 等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*1(1) ()n a a n d n N =+-∈ ， 首项:1a ，公差:d 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列*-112(2,)n n n a a a n n N +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n -时，n a 是项数为2n-1的等差数列的中间项()()()1212121212n n n n a a S n a ---+==-（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

数列重点知识点总结数列的基本概念：1. 公式表示数列可以用不同的方式来表示，最常见的是使用通项公式或递推公式。

通项公式是指数列中第n个项与n之间的关系式，一般表示为an=f(n)，其中f(n)为关于n的表达式；递推公式是指数列中第n个项与前一项之间的关系式，一般表示为an=an-1+d（等差数列）或an=an-1*r（等比数列），其中d为公差，r为公比。

2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

3. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列，其通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

4. 数列的和数列的和是指数列中所有项的总和，常用符号Sn表示，其公式为Sn=n(a1+an)/2，其中n为项数，a1为首项，an为末项。

数列的应用：1. 数列的数学归纳法数学归纳法是指证明对于一切自然数n，命题P(n)都成立的一种数学证明方法。

数列常常用来进行数学归纳法的证明。

2. 数列在数值序列中的应用数列在数值序列中有着广泛的应用，比如斐波那契数列、等差数列、等比数列等都可以用来描述各种数值序列的规律，从而可以预测未来的数值。

3. 数列在数学中的求和应用在数学中，数列的和是一个十分重要的概念，在各种数学问题中都有着重要的应用，比如在排列组合中的应用、在求极限时的应用等等。

总之，数列是数学中一个重要的基本概念，它在数学中有着广泛的应用，是建立在数学基础中不可或缺的一部分。

学好数列，对于理解数学知识和解决数学问题都具有重要的意义。

数列知识点归纳总结第一篇一、概念数列是数学中的一类有规律的数的集合，通常用数学符号表示。

数列可以根据其对应的公式或规律进行分类，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

二、常见数列类型1. 等差数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就是等差数列。

公式：an=a1+(n-1)d特征：公差d不变，每一项与前一项的差值相等。

例子：{2，5，8，11...}2. 等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项都是它前一项的r倍（r≠0），则这个数列称为等比数列。

公式：an=a1×r^(n-1)特征：公比r不变，每一项与前一项的比值相等。

例子：{1，2，4，8...}3. 斐波那契数列定义：一个数列中，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

即a(n) = a(n-1) + a(n-2)，其中n>2。

这个数列就是斐波那契数列。

斐波那契数列可以用于描述动植物种群的增长、黄金分割问题等。

例子：{1，1，2，3，5，8，13...}4. 等差-等比混合数列定义：有些数列既具有等差数列的特点，又具有等比数列的特点，那么这个数列就是等差-等比混合数列。

公式：an=a1+r^(n-1)m特征：首项a1+公差r乘上一个常数m后再乘上公比r的n-1次方。

例子：{1，3，9，27，81...}三、性质1. 推导通项公式：使用等差/等比公式或递推公式。

2. 求和公式：等差数列的和：S_n=(a1+an)n/2等比数列的和：S_n=(a1(1-r^n))/(1-r)四、求解题目步骤1. 确定数列类型（等差/等比/混合）2. 确定已知条件3. 构造数学模型4. 解方程组5. 检验答案五、应用举例1. 有一条长1000米的路需要铺设新的路面。

铺设工作将在第一天开展，每天的工作进度是前一天的50%。

问需要多少天才能完成铺设工作？解题：这是一个等比数列，首项为1000，公比为0.5。