第三章重点知识点总结
一、线性相关与无关的相关性质
1、线性相关的两个定义和线性无关的定义。
（必须非常熟练）
2、一个向量α组成的向量组线性相关的充分必要条件是=0α；一个向量α组成的向量组线性无关的充分必要条件是0α≠。
3、含有零向量的向量组一定线性相关。
4、一个向量组的一个部分组线性相关，那么这个向量组线性相关（部分决定整体）；若一个向量组线性无关，那么它的任意一个非空的部分组都线性无关（整体决定部分）。
5、n 维单位向量(,,...,),(,,...,),...,(,,...,)12100010001n εεε===具有两个特点，一是它们线性无关；二是任意一个n 维向量都可以被它们线性表出（经常用来做下面8，9中的“镜子”,）。
6、一个向量组线性无关，那么增加它的维数得到的新向量组仍然线性无关；一个向量组线性相关，那么减少它的维数得到的新向量组仍然线性相关。
注意：要好好理解增加维数和减少维数的含义。
例如对于向量组(,,...,),,,...,1212i i i in a a a i m α==，增加它的维数就是在它的每个向量的相同位置添加一个分量，例如在第s 个分量后面添加一个分量得到向量组： ,,(,,...,,,,...,),,,...,12112i i i i s i i s in a a a b a a i m β+==，其中i b 就是添加的分量；减少维数就是在向量组的每个向量的相同位置删掉一个分量，例如,,(,,...,,,...,),,,...,121112i i i i t i t in a a a a a i m γ-+==就是在原来向量组的基础上去掉第t 个分量的结果。
同时需要注意增加或减少维数也可以同时增加或减少多个分量。
7、若,,...,12s ααα线性无关，而,,...,,12s αααβ线性相关，则β可被,,...,12s ααα线性表出。
（要会证明） 8、(1),,...,12s ααα可被,,...,12t βββ线性表出；(2)s t >。
则,,...,
12s ααα线性相关。
（课本上的证明要看） 9、(1),,...,12s ααα可被,,...,12t βββ线性表出；(2),,...,12s ααα线性无关。
则s t ≤。
10、1n +个n 维向量线性相关。
（要知道原因）
11、两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。
12、要判断一个向量组,,...,12s ααα的线性相关性，首先要写出等式...11220s s k k k ααα+++=，把这个等式看作是关于,,...,12s k k k 的方程。
则该方程只有零解⇔向量组,,...,12s ααα线性无关；该方程有非零解⇔向量组,,...,12s ααα线性相关。
同时方程...11220s s k k k ααα+++=可以同时对应分量相等的方法得到一个齐次线性方程组（一定要会写出这个方程组），要注意写出的方程组的未知量的个数等于向量组中向量的个数，方程的个数等于向量组中向量的维数。
二、极大线性无关组和秩
1、两个向量组等价的含义是它们可以相互线性表出，同时要会应用等价关系的传递性。
2、极大线性无关组的定义：一个向量组的一个部分组线性无关，而从这个向量组中再添加（如果还有的话）一个向量得到的部分组线性相关（“脆弱性”）。
3、理解一个向量组的极大线性无关组主要关注两方面，其一，极大线性无关组本身线性无关；其二，向量组中任意一个向量都可以被它的极大线性无关组线性表出。
4、任意一向量组都和它的极大线性无关组是等价的（或者说极大线性无关组是向量组的“全权代表”）。
5、同一个向量组中的任意两个极大线性无关组等价；进而含有相同个数的向量，这个向量个数定义为秩。
6、一个向量组线性无关的充要条件是它的秩等于它的向量个数；一个向量组线性相关的充要条件是它的秩小于它的向量个数。
7、向量组,,...,12s ααα可被,,...,12t βββ线性表出，则(,,...,)(,,...,)1212s t r r αααβββ<。
（要会证明） 8、两个等价的向量组具有相同的秩。
（要会证明） 9、要学会求向量组的秩和极大线性无关组的方法。
（要熟练掌握） 三、矩阵的秩
1、矩阵的行秩等于列秩。
（要看课本上的证明）
2、若A 为n 级方阵，则()0A r A n A =⇔<⇔的行（列）向量组线性相关；()0A r A n A ≠⇔=⇔的行（列）向量组线性无关。
3、若A 为m n ⨯级矩阵，则()r A r =⇔存在一个r 级子式不为零，且所有1r +级子式全为零。
4、若A 为m n ⨯级矩阵，则()r A r ≥⇔存在一个r 级子式不为零。
5、若A 为m n ⨯级矩阵，则()r A r ≤⇔所有1r +级子式全为零。
6、求矩阵的秩的方法。
四、方程组的解的相关问题
1、通过消元法判断线性方程组解的情况，首先观察有没有矛盾，然后通过比较阶梯的个数和未知量的个数判断方程组解的情况。
2、对于齐次线性方程组，有一下一些结论：
(1)齐次线性方程组中的方程个数少于未知量的个数，那么这个方程组有非零解。
(2)齐次线性方程组的系数矩阵的秩小于未知量的个数的充要条件是方程组有非零解；齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于未知量的个数的充要条件是方程组只有零解。
（思考一下为什么） (3)如果一个齐次线性方程组的系数矩阵为方阵A ，那么0A =⇔方程组有非零解；0A ≠⇔方程组只有零解。
3、要会用系数矩阵及增广矩阵的秩的关系判断非齐次线性方程组的解的情况，同时要会解非齐次和齐次线性方程组，特别是齐次线性方程组。
五、补充作业
1、求下面矩阵的秩：
(1) 01112022200111111011-⎛⎫ ⎪-- ⎪
⎪-- ⎪-⎝⎭ (2)1
010*******
1100001100
101
1⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
2、求出下面向量组的秩，并找出它们的一个极大线性无关组：
(1)(,,,,),(,,,,),(,,,,),(,,,,)12346411210234149162271013αααα=-=-=--=-； (2)(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)1234512301203246012100011ααααα==--==--=。
