信息安全数学基础 第5章 原根和阶

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群同构(3.2 定理 2), 所以结论成立. （13） 由题意可知ห้องสมุดไป่ตู้am=e, bn=e, m,n 为使得上式成立的最小正整数, 又因为 ab=ba, 所以 (ab)mn=amnbmn=e, 又因为(m,n)=1, 假设存在 i 使得(ab)i=e,有(ab)mi=e,有 bmi=e,有 mi|n,有 i|n,同 理 i|m,所以 i|mn,所以 mn 是使得(ab)i=e 成立的最小整数，结论成立。 （15） 设 H1, H2 是群 G 的两个正规子群, H= H1∩H2, 所以有对任意的 a∈G, h1∈H1 有 ah1a-1 ∈H1, 同样对任意的 h2∈H2 有 ah2a-1∈H2, 所以对任意的 h∈H1∩H2 有, aha-1∈H1∩H2, 所 以结论成立. (先要证明 H 是 G 的子群, 略) （16） 由题意设 eH, aH 是 H 的唯一两个左陪集, 仿照 3.4 定理 2 可证. (另证：G=H∪aH, G=H∪Ha, 又因为 H∩aH=空, H∩Ha=空, 所以有 aH=Ha). （17） 由题意有 HN=NH 即对任意的 hn∈HN 有 hn=n'h, 对任意的 h1n1∈HN, h2n2∈HN, (h1n1)(h2n2)-1= h1n1n2-1h2-1=h1h2-1n1'n2'∈HN, 所以结论成立.
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必要性：因为群 G 是交换群, 所以对任意元素 a,b 有 ab=ba, 方程两边左乘以 a 右乘 以 b 有 abab=aabb, 有(ab)2=a2b2. （9） 证明：对群中任意元素 a,b 有 ab(ab)-1=e, 方程两边先左乘以 a 的逆元有 b(ab)-1=a-1, 在 左乘以 b 的逆元有(ab)-1=b-1a-1, 所以结论成立. （12） 证明：显然 mZ 是群 Z 的一个非空子集, 验证封闭性, 结合律, 单位元, 逆元, 得出 mZ 是一个群, 所以 mZ 是 Z 的子群. （因为对 mZ 中任意元素 am, bm 有 am-bm=(a-b)m, 因为 a-b∈Z, 所以(a-b)m∈mZ, 所以 mZ 是群 Z 的一个子群）. （13） 证明：设群 G 的两个子群为 G1, G2, 则对任意 a,b∈G1∩G2 有 ab-1∈G1, ab-1∈G2, 所 以 ab-1∈G1∩G2, 所以 G1∩G2 也是 G 的子群. （14） 证明：设 G 是一个群, 对任意 a,b∈G, 存在一个 G 到 H 的映射 f,并且 f(ab)=f(a)f(b). 对任意 f(a),f(b)∈H 有 f(a)f(b)=f(ab)∈H, 所以 H 满足运算的封闭性. 对任意 f(a),f(b),f(c)有 (f(a)f(b))f(c)=f(ab)f(c)=f((ab)c), f(a)(f(b)f(c))=f(a)f(bc)=f(a(bc)), 又 因 为 (ab)c=a(bc), 所 以 (f(a)f(b))f(c)=f(a)(f(b)f(c)), 所以 H 满足结合律. 对任意 f(a)∈H, 有 f(ae)=f(a)=f(a)f(e), 所以 f(e)是 H 的单位元, 对任意的 f(a)∈H, 有 f(aa-1)=f(e)=f(a)f(a-1), 所以 f(a)的逆元为 f(a-1). 所以 H 是一个群. （16） 证明：设 a 到 a-1 的一一映射为 f.

第 5 章 原根与指标（一） 内容● 指数 ● 原根● 有原根的整数 ● 指标（对数）（二） 重点● 原根及其意义 ● 有原根的整数的条件 ● 指标及其性质5.1 指数及其基本性质准备知识：（1） 欧拉定理：m ＞1，(a,m)＝1，则()m a ϕ≡1（mod m ）（2） 问题：①()m ϕ是否是使得上式成立的最小正整数？ ②该最小正整数有何性质？ (一) 指数和原根概念【定义5.1.1】（定义1）设m ＞1，(a,m)＝1，则使得e a ≡1（mod m ）成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数（或阶），记作m ord (a)。

若a 的指数e ＝()m ϕ，则a 叫做模m 的原根。

(二) Diffie —Hellman 密钥交换算法全局公开量q 素数α q 的原根（α<q ）交换公开密钥 A →B ： A Y B →A ： B Y例如：● 素数q ＝353，原根α＝3● A 选 A X ＝97， 计算A Y ≡973≡40 mod 353 ● B 选 B X ＝233， 计算B Y ≡2333≡248 mod 353 ● A 与B 交换● A 计算密钥 K ≡97248≡160 mod 353 ● B 计算密钥 K ≡23340≡160 mod 353(三) 用定义求指数和原根【例1】（按定义求指数和原根）（例1）m ＝7，则ϕ(7)＝6。

且11≡1，32≡1，63≡1，34≡1，65≡1，26≡1（mod 7）故对模数7而言，1，2，3，4，5，6的指数分别为1，3，6，3，6，2。

列表表示为因此，3，【例2】（快速求指数）（例2）m ＝14＝2·7， ϕ(14)＝6，则11≡1，33≡－1，35≡－1，39≡1，311≡1，213≡1（mod7）列表故3，5【例3】（无原根的整数）（例3）m ＝15＝3·5， ϕ(15)＝8，则同理，可知模数m ＝9时，其原根为2，5；而整数8则没有原根。

信息安全数学基础一、说明（一）课程性质本课程是继《高等数学》、《线性代数》课之后，为信息与计算科学专业计算方向开设的一门数学基础理论课程。

本课程主要介绍用算术的方法研究整数性质以及近世代数中群与群结构、环论和有限域等内容。

（二）教学目的通过本课程的学习，使学生能熟练掌握用算术的方法研究整数性质以及近世代数中群与群结构、环论和有限域等内容，并且能够掌握如何应用信息安全数学基础中的理论和方法来分析研究信息安全中的实际问题，从而为学习密码学、网络安全、信息安全等打下坚实的基础。

（二）教学内容正确理解并掌握整数的整除概念及性质，带余除法，欧几里得除法，同余及基本性质，欧拉函数和欧拉定理。

一次同余式和二次同余式的解法，平方剩余与平方非剩余，指数及基本性质。

了解群环域等基本概念。

要求基本会用数论知识解决某些代数编码问题。

要求基本会用所学知识解决某些代数编码以及密码学问题。

（三）教学时数54学时（四）教学方式课堂讲授为主。

二、本文第一章整数的可除性教学要点：1. 整除的概念及欧几里得除法2. 算术基本定理教学内容：§1 整除概念和带余除法§2 最大公因式与欧几里得除法§3 整除的性质及最小公倍数§4 素数和算术基本定理§5 素数定理教学时数 6 学时考核要求：1.熟练掌握整除概念及性质，掌握带余除法。

2.理解欧几里得除法，会求最大公因数和最小公倍数。

3.理解素数概念和算术基本定理。

第二章同余教学要点：1.同余及基本性质，2.剩余类及完全剩余系的概念和性质3.欧拉函数和欧拉定理教学内容：§1 同余概念及其基本性质§2 剩余类及完全剩余系§3 简化剩余系与欧拉函数§4 欧拉定理与费尔马定理§5 模重复平方计算法教学时数 6 学时考核要求:1．理解同余概念，掌握其基本性质2．理解剩余类及完全剩余系，了解简化剩余系，熟悉欧拉函数3．掌握欧拉定理和费尔马定理4．掌握模重复平方计算法第三章同余式教学要点：一次同余式和二次同余式的解法，中国剩余定理教学内容：§1 基本概念及一次同余式§2 中国剩余定理§3 高次同余式的解数及解法§4 素数模的同余式教学时数 6 学时考核要求:1. 理解同余式概念，会熟练求解一次同余式2. 理解中国剩余定理第四章二次同余式与平方剩余教学要点：1.平方剩余与平方非剩余，2.勒让德符号和雅可比符号3.合数模教学内容：§1 一般二次同余式§2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余§3 勒让德符号§4 二次互反律§5 雅可比符号§6 模p平方根§7 合数模§8 素数的平方表示教学时数 8学时考核要求:1.熟悉高次同余式的解法2.理解素数模的同余式和一般二次同余式3.理解模为奇素数的平方剩余与平方非剩余4.掌握勒让德符号和雅可比符号5.掌握二次互反律6.理解合数模的二次同余式及其解法第五章原根与指标教学要点：1.指数及其基本性质2.原根存在的条件以及原根求解教学内容：§1 指数及其基本性质§2 原根存在的条件§3 指标及n次剩余教学时数 6 学时考核要求:1.掌握指数及基本性质2.理解原根存在的条件，理解指标和n次剩余概念第六章群教学要点：1.陪集、正规子群和商群的概念2.同态、同构的概念教学内容：§1 群的基本概念§2 循环群§3 陪集和Lagrange定理§4 正规子群和商群教学时数 8学时考核要求:1.掌握群理论与同余理论之间的关系2.熟练群、循环群、同态、同构的概念第七章环和域教学要点：1．环和域的基本概念以及与同态、同构的概念2．理想、商环和多项式环教学内容：§1 环和域的基本概念§2 理想和商环§3 多项式环教学时数 6 学时考核要求:掌握环和域的基本概念以及与同态、同构的概念，理想、商环和多项式环的概念第八章有限域教学要点：1．有限域的概念2．有限域上的多项式教学内容：§1 域的有限扩张§2 有限域的性质§3 有限域的表示§4 有限域上的多项式教学时数 6 学时考核要求:1.掌握有限域的基本概念及定理2.掌握域的扩张的概念3.掌握有限域上多项式的性质三、参考书[1] 信息安全数学基础。

本章节主要介绍了原根与指标的相关知识，包括指数及其基本性质、原根存在的条件以及指标及n次剩余的概念。首先，详细阐述了指数的定义及其性质，通过数学证明展示了指数在模运算中的重要性质。接着，探讨了原根存在的条件，为读者提供了判断一个数是否具有原根的准则。最后，引入了指标及n次剩余的概念，进一步丰富了数论在信息安全领域的应用。然而，本章节并未涉及信息安全数学基础第九章的内容，因此对于寻求第ห้องสมุดไป่ตู้章答案的读者，本章节无法提供直接帮助。