8-3 自感 互感 磁场的能量

§8-3 自感 互感 磁场的能量
(Self-Induction and Mutual Induction)
1、自感
(1) 自感现象
B
IL
A
R, L
R
K

o
t
当通过一个回路的电流变化时，引起穿过回路包围面 积的全磁通变化，从而在回路自身中产生感应电动势的现象 叫自感现象。
(2) 自感系数
设线圈有N 匝, 通电流 I
（3）M与L的关系 已知两线圈的互感系数 因为两线圈的自感系数
N1
N2
S
l
Ψ 21 N1 N 2 M 0 S I1 l
2 2
N N L1 0 S , L2 0 S l l
2 1
N1 N 2 M 0 S l
L1 L2

2 0 2 1 2 2
L1
2
0 N S
2 1
l
线圈的磁通互相加强，称为顺接（图a），如果两磁通互相削弱， 称为反接（图b）。计算在这两种接法下两线圈的等效总自感。
L1
M
L2
L1
M
L2
（ 图 a）
（图b）
解：顺接
线圈1中的电动势：
dI dI 1 L1 M dt dt
线圈2中的电动势：
dI dI 2 L2 M dt dt
s
① 设线圈（回路）通电流 I ② 求 磁场 B ③ 求全磁通
N
④
N L I
例1、长为 l 的螺线管，横断面为 S ，线圈总匝数为 N ，管
中磁介质的磁导率为 ，求自感系数。
解： 设螺线管通电流 I
管内磁场
N B I l
S
N2 Ψ NBS IS l 螺线管的自感系数 Ψ N2 N2 L S 2 lS I l l
2
磁场的能量密度：
BH
Wm 1 B wm V 2
2
2
1B 1 1 2 wm BH H 2 2 2
2
此式适用于任何磁场。对非均匀磁场，把磁场划分为无数 体元 dV, dV内的磁能
1B dWm wm dV dV 2 2 1 B 磁场的总能 Wm wm dV dV V V 2
R

i K
L
如图：电键K闭合时，电路中的电流 I 从零开始增加，L产 生自感电动势 di
L L
回路方程：
idt Lidi Ri dt t I t 2 0 idt 0Lidi 0 Ri dt
2
di L Ri dtdtRiLK式中：
idt 是电源在 0 ~ t 内作的功
Φ 0 l R2 L ln I 2 R1
1 2 0 I l R2 Wm LI ln 2 4 R1
2
作业：p 131~140页
第6，11和 12题作业本上
第5,17和18题课外自己做
d ( LI ) d dI dL L L I dt dt dt dt
若L 不变,
dL 0 dt
,则
dI L L dt
负号表示自感电动势总是要阻 碍线圈回路本身电流的变化。
自感系数 描述线圈电磁惯性大小的物理量
求 L 的步骤：
Ψ m NΦ L I
Φ B dS
dI 1 2 ( L1 L2 2M ) dt
总自感电动势 等效自感系数
dI 1 2 ( L1 L2 2M ) dt
L L1 L2 2M
L L1 L2 2M
当两线圈无漏磁耦合，且 L1 = L2 = L0 顺接： 反接：
通过线圈的全磁通
l
Ln V
2
V lS
为线圈体积
N n l
例2、求长为 l 的一段同轴电缆的自感系数。电缆由两个“无
限长”同轴圆筒组成，设内、外圆筒的半径分别为 R1和R2 ， 其间充满磁导率为 的磁介质。
解： 设电缆通电流 I ，则
I B 2 r
s
( R1 r R2 )
磁场总能
Wm wm dV
V
R2
R1
0 I 2 2 lrdr 2 2 8 r
0 I l R dr 0 I 2l R2 ln 4 R1 4 R r
2
2 1
2.直接能量法
Wm
1 LI 2 2
R2 I 0 Il R2 0 Φ B dS ldr ln s R1 2 r 2 R1
I
N
由毕-萨定律与叠加原理可知， B
通过回路的全磁通
I
Ψ NΦ N B dS I
s
Ψ m NΦ L I
L
— 自感系数 单位: H (亨利) 一个线圈的自感系数 L , 由线圈的形状、大小、匝数、 周围介质分布等因素决定。与I无关.
(3)自感电动势
当通过线圈的电流变化时, 线圈自身产生的感应电动 势(自感电动势)
互感电动势
(2) 互感系数
如图，设回路1中通电流 I1，产生穿过回路2的全 磁通
1
2
Ψ21 N 2Φ21 M 21I1
同理，回路2中通电流 I2， 产生穿过回路1的全磁通
I1
I2
Ψ12
Ψ21
Ψ12 N1Φ 12 M12 I 2
比例系数
M12 M 21 M
称为两线圈的互感系数。它仅与 两回路的形状，相对位置，周围磁 介质有关。与I1、I2无关。 M 的单位与 L 相同。
L2
0 N S
2 2
l
N N S
l
2
M2
M L1 L2 (理想耦合）
一般情况下：
M k L1L2
0 k 1
k 称为“耦合系数”，由两线圈的相对位置确定
例3、在磁导率为 的均匀无限大的磁介质中，有一无限长直
导线，与一边长分别为 b 和 l 的矩形线圈在同一平面内，求它 们的互感系数。
2. 楞次定律：感应电流产生的磁场总是要阻碍或反抗原来磁场 的变化。
3、动生电动势
磁场不变，导体在磁场中切割磁力线 运动产生的感应电动势叫动生电动势

( v B) dl
b

B
BS Blx
i
d dx Bl Bl v dt dt
反接 顺接
M L1L2 L0
L 4 L0
L0
3、磁场的能量
电场有能量，带电电容器的能量为
1 Q2 1 1 We QU CU 2 2 C 2 2
电场的能量密度
We 1 2 1 we E DE V 2 2
同理磁场也有能量 （1）载流线圈的磁能
一个含有L的电路，电路中的 电流不能突变。
L L 0 0
l v
x
a

i Ek dl
4. 用
i
d dt
求感应电动势的步骤：
B dS
s
(1) 求通过回路的全磁通 (2) 把 对 t 求导得
i 的大小 i d
dt
(3) 用楞次定律判别 i 的方向：由电势低端指向高端
总自感电动势 等效自感系数
dI 1 2 ( L1 L2 2M ) dt
L L1 L2 2M
顺接
反接:
线圈1中的电动势：
线圈2中的电动势：
dI dI 1 L1 M dt dt dI dI 2 L2 M dt dt
总自感电动势
解：（1）设原线圈通电流I1
管内磁场
N1
N2
S
N1 B 0 I1 l
通过副线圈的全磁通
l
N1 N 2 I1S Ψ21 N 2 BS 0 l Ψ21 0 N1 N 2 S 5 互感系数 M 2.5110 H I1 l
（2）回路2中的互感电动势
dI1 21 M dt 5 2.5110 10 2.5110 4 V
互感系数 反映两耦合回路互感的强弱
例2、设在一长l = 1 m，横断面积 S = 10 cm2，密绕N1= 1000
匝线圈的长直螺线管中部，再绕 N2= 20 匝的线圈。（1）计算 互感系数；（2）若回路1中电流的变化率为 10 A/s，求回路2 中引起的互感电动势；（3）M 和 L1、 L2的关系。
Ψ21 M I1 Ψ12 M I 2
(3) 互感电动势
当回路1中的电流 I1 变化时，在回路2中引起的互 感电动势为
dΨ21 dI1 21 M dt dt
当回路2中的电流 I2 变化时，在回路1中引起的互 感电动势为
dΨ12 dI 2 12 M dt dt
0
t 0 I
t
1 Lidi 2 LI
Ri dt
2
是 0 ~ t 内消耗在电阻上的焦耳热
2
0
是 0 ~ t 内电源反抗自感电动势作的 功，这个功转化为磁场的能量
所以, 一个自感为L的线圈，通电流 I 时，具有磁能
1 2 Wm Lidi LI 0 2
I
1 2 Wm LI 2
例5、一根长直电缆，由半径为 R1 和 R2 的两同轴圆筒组成，
稳恒电流 I 经内层流进外层流出。 试计算长为 l 的一段电缆 内的磁场能量。
解：
R1
R2 I
r
1 B2 Wm wm dV dV V V 2
1. 从磁能密度
磁场分布
磁能密度