有理数的减法专题例题

有理数减法运算律专题训练
1. 有理数的减法运算律
有理数减法运算律是指在求两个有理数之差时，可以将减号换成加号，然后将减数的符号取反。

具体来说，对于任意两个有理数a和b，其差a-b可以改写为a+(-b)。

2. 有理数减法运算的步骤
有理数减法运算的步骤如下：
1. 将减数的符号取反；
2. 将减法转化为加法，即将减号换成加号；
3. 按照加法运算的规则进行计算。

3. 有理数减法运算律的例题练
例题1
计算：(-5) - 3。

解法：
根据有理数减法运算律，(-5) - 3可以改写为 (-5) + (-3)。

根据
加法运算的规则，我们可以将加数和被加数的符号相加，并忽略符
号计算其绝对值的和。

所以，(-5) + (-3)的绝对值和为 5 + 3 = 8。

由
于两个加数的符号都为负，所以和的符号为负。

因此，(-5) - 3 = -8。

例题2
计算：2.5 - (-1.3)。

解法：
根据有理数减法运算律，2.5 - (-1.3)可以改写为 2.5 + 1.3。

根据加法运算的规则，我们可以直接将两个加数相加。

所以，2.5 + 1.3
= 3.8。

由于两个加数的符号都为正，所以和的符号为正。

因此，
2.5 - (-1.3) =
3.8。

4. 小结
有理数减法运算律是在求两个有理数之差时可以将减号换成加号，然后将减数的符号取反的规律。

通过练习例题，我们可以更好地理解和应用这一运算律。

在实际运算中，我们可以根据需要灵活运用有理数减法运算律来简化计算过程。

专题2.14 有理数的减法（拓展提高）一、单选题1．我市冬季某一天的最高气温是5℃，最低气温是-12℃，这一天的温差为（ ）A ．7℃B ．-5℃C ．22℃D ．17℃【答案】D【分析】温差=最高温度-最低温度，列式子计算即可．【详解】∵最高气温是5℃，最低气温是-12℃，∴这一天的温差为：5-（-12）=5+12=17（℃）， 故选D ．【点睛】本题考查了了温差，实质是有理数的减法，熟练掌握有理数减法法则，准确把减法转化为加法是解题的关键．2．如图，有理数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则-a b 的结果是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】A 【分析】先确定出a 、b 表示的数，然后依据有理数的运算法则进行判断即可【详解】解：根据数轴所示，a 、b 表示的数分别是-1，1，a -b =-1-1=-2，故选：A ．【点睛】本题考查了数轴的认识和有理数的减法，确定出a 、b 表示的数，依据减法法则进行计算是解题的关键．3．若||2a =，||5b =，且0a b +<，那么-a b 的值是（ ）A ．8或8-B ．2-或8-C ．3或7D ．2或2-【答案】C 【分析】先根据2a =，5b =，去绝对值符号，然后根据a+b ＜0，可分情况计算结果即可；【详解】∵ 2a =，5b =∴2a =± ，5b =±又∵ a+b ＜0，∴ a=2时，b=-5，a=-2时，b=-5，∴当a=2时，b=-5时，()25257a b -=--=+=，∴ 当a=-2时，b=-5时，()25253a b -=---=-+=，故a-b 的值为7或3；故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值的性质以及有理数的加减法，关键是掌握绝对值的性质．4．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则在下列结论中正确的是（ ）．A ．0a b +<B ．0a b -<C ．a b <-D ．||||a b > 【答案】B 【分析】结合题意，根据数轴的性质得：10a -<<，1b >；再根据有理数大小比较、绝对值、有理数加减的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意得：10a -<<，1b >∴211a -<-<-，011a <+<，01a <<∴10a b a +>+>，11a b a -<-<-，a b <∴a b >-，0a b -<故选：B ．【点睛】本题考查了有理数、数轴、绝对值的性质；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、有理数大小比较、有理数加减的性质，从而完成求解．5．数轴上的某一点距离2的长度为3个单位长度，则这个点表示的数是（ ）A ．5B ．1-C ．5或1-D ．2±【答案】C【分析】分这个点在数2的右边和这个点在数2的左边两种情况，根据数轴上两点间的距离列式计算即可．【详解】解：当这个点在数2的右边时，这个点表示的数是2+3=5；当这个点在数2的左边时，这个点表示的数是2－3=﹣1；故选：C ．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和有理数的加减运算，属于常考题型，正确分类、准确计算是解题关键．6．下列说法中，正确的为（ ）．A ．两数之差一定小于被减数B ．对任意有理数，若0a b +=，则a b =C ．若两个有理数的和是负数，则这两个有理数都是负数D ．0减去任何一个数，都得负数【答案】B【分析】根据有理数的加减法法则、绝对值运算逐项判断即可得．【详解】A 、两数之差不一定小于被减数，如()112--=，此项说法错误；B 、对任意有理数，若0a b +=，则a b =，此项说法正确；C 、若两个有理数的和是负数，则这两个有理数不一定都是负数，如()121+-=-，此项说法错误；D 、0减去任何一个数，不一定都得负数，如()011--=，此项说法错误；故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的加减法、绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．二、填空题7．已知A ，B ，C 是数轴上的三个点，且C 在B 的左侧．点A ，B 表示的数分别是1，3，如图所示，若BC =2AB ，则点C 表示的数是___________________．【答案】-1【分析】先利用点A 、B 表示的数计算出AB ，再计算出BC ，然后计算点C 到原点的距离即可得到C 点表示的数．【详解】解：∵点A ，B 表示的数分别是1，3，∴AB =3-1=2，∵BC =2AB =4，∴OC =BC -OB =4-3=1，∵C 在B 的左侧，∴点C 表示的数是-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）8．计算：111111201820172017201620182016-+---=______． 【答案】0【分析】原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值． 【详解】解：111111201820172017201620182016-+--- 111111201720182016201720162018=-+--+ 0=.故答案为：0.【点睛】此题考察了绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．已知|x |＝1，|y |＝3，若||x y x y +=+，则x －y ＝____【答案】-2或-4【分析】已知绝对值的意义和加法的符号规律，求得x =1，y =3或x =-1，y =3，再代入求值即可．【详解】∵|x |＝1，|y |＝3，∴x =±1，y =±3， ∵x y x y +=+，∴x +y ＞0，又∵|x |＜|y |，∴x =1，y =3或x =-1，y =3，当x =1，y =3时，x －y ＝1-3=-2；当x =-1，y =3时，x －y ＝-1-3=-4．综上，当|x |＝1，|y |＝3，而且x y x y +=+时， x －y ＝-2或-4．故答案为：-2或-4．【点睛】本题考查了绝对值的性质和意义及有理数的加减法，根据绝对值的意义和性质和有理数加法的符号规律求得x =1，y =3或x =-1，y =3是解决问题的关键．10．东京与北京的时差为1+，巴黎与北京的时差为7-．假如现在是北京时间7:00，那么东京时间是______，巴黎时间是________．【答案】8：00 0：00．【分析】由于带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，那么用北京时间+时差＝东京时间，用北京时间-时差＝巴黎时间．【详解】解：7+1＝8，所以东京时间为上午8：00．7-7=0，所以巴黎时间为凌晨0：00．故答案为：8：00；0：00．【点睛】此题主要考查了有理数加减法在实际生活中的应用，在学习这一部分内容时一定要联系实际． 11．两个小朋友玩跳棋游戏，游戏的规则是：先画一根数轴，棋子落在数轴上0K 点，第一步从0K 点向左跳1个单位到1K ，第二步从1K 向右跳2个单位到2K ，第三步从2K 向左跳3个单位到3K ，第四步从3K ，向右跳4个单位到4K ，…，如此跳20步，棋子落在数轴的20K 点，若20K 表示的数是16，则2019K 的值为_______．【答案】-1004【分析】根据向左减向右加可知每两步跳动向右1个单位，根据20K 表示的数是16，可得0K ，然后先得出2018K 的值，进而得出2019K 的值．【详解】解：由题意得，第一步、第二步后向右跳动1个单位，跳20步后向右20÷2=10个单位， 则K 0的值是16-10=6，因为2019÷2=1009…1，所以跳2018步时，所对应的数是1009+6=1015，跳2019步时，所对应的数是1015-2019=-1004，故答案为：-1004．【点睛】本题考查数轴上动点问题，有理数的减法的应用．解决此题的关键是理解可知每两步跳动向右1个单位．12．如图，是北京S1线地铁的分布示意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．如果在图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是4-，2，那么金安桥站表示的数是___________．【答案】0【分析】由桥户营站、苹果园站表示的数分别是4-，2，计算出两点之间的距离为6，求出一个单位长度表示的数是2，即可得到答案．【详解】∵桥户营站、苹果园站表示的数分别是4-，2，∴桥户营站与苹果园站的距离是2-（-4）=6，∵桥户营站与苹果园站之间共有三个单位长度，∴每个单位长度表示632÷=，∴金安桥表示的数是2-2=0，故答案为：0．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移规律，有理数的加减法计算，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．13．已知数轴上A 、B 两点所对应的数分别是1和3，P 为数轴上任意一点，对应的数为x ．（1）则A 、B 两点之间的距离为________；（2）式子|1||3||2017||2019|x x x x -+-++-+-的最小值为________．【答案】2； 510050．【分析】（1）根据两点间的距离公式解题即可；（2）由绝对值的几何意义，||x a -表示数x 到数a 的距离，要使式子取得最小值，则应找到与最小数和最大数距离相等的x 的值，即可解题．【详解】（1）A 、B 两点之间的距离为3-1=2，故答案为：2；（2）由已知条件可知，||x a -表示数x 到数a 的距离，只有当x 到1的距离等于x 到2019的距离时，式子即可取最小值，∴当1201910102x +==时，|1||3||2017||2019|x x x x -+-++-+-取最小值，最小值为：|10101||10103||10102017||10102019|-+-++-+-=1009+1007+1005+1+1++1005+1007+1009=2(1009+1007+1005+1)⨯(10091)505=22+⨯⨯ 510050=【点睛】本题考查数轴、绝对值、两点间的距离等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．14．在日常生活中，“八点五十八”通常可以说成“九点差二分”，有时这样表达更清楚，受此启发，我们设计了一种新的加减计数法．例如：6写成14，141046=-=；191写成209，2092009191=-=．按这个方法请计算：2020=______．【答案】1980【分析】观察例子找到规律，根据有理数的减法法则计算得出答案． 【详解】由例题可得2020=2000-20=1980，故答案为：1980．【点睛】此题考查有理数运算的规律，有理数的减法计算法则，读懂例题的计算方法并应用解决问题是解题的关键．三、解答题15．已知6x =，3y =（1）若x 、y 异号，直接写出x 和y 的差为_____（2）若x y <，直接写出x 与y 的和为_____【答案】（1）9±；（2）3-或9-【分析】（1）先根据绝对值的性质求出x 、y 的值，再由x 、y 异号，分类讨论x y -的值；（2）由x y <，得6x ≠，再分类讨论当=6x -时y 的值；算出+x y ．【详解】解：（1）∵6x =，3y =，∴6x =±，3=±y ，∵x 、y 异号，∴ 当=6x 时，3y =-，()=63639x y ---=+=，当6x =-时，3y =，639x y -=--=-，∴9x y -=±；故答案为：9±（2）∵ x y <，∴当=6x 时，x 不可能小于y ，不成立，当6x =-时，3y =时，+6+33x y =-=-，当6x =-时，3y =-时，+639x y =--=-，∴+x y 的值为3-或9-故答案为：3-或9-【点睛】本题考查绝对值的性质和有理数的加减运算，解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数加减运算法则．16．某路公交车从起点经过A ，B ，C ，D 站到达终点，各站上下乘客的人数如下（上车为正，下车为负）：起点(20,0),(12,4),(8,9),(6,4),(2,7)A B C D ----，终点()0,____．（1）在横线上填写适当的数，并说明该数的实际意义；（2）行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多？（3）若乘坐该车的票价为每人2元，则这一趟公交车能收入多少钱？【答案】（1）−24；（2）公交车行驶在C 站和D 站之间车上的乘客最多；（3）96【分析】（1）根据正负数的意义，利用有理数的加法法则计算即可；（2）根据（1）的计算解答即可；（3）根据各站之间的人数，乘以票价2，然后计算即可得解．【详解】解：（1）起点到A 站，车上人数：20，A 站到B 站，车上人数：20＋12−4＝28，B 站到C 站，车上人数，28＋8−9＝27，C站到D站，车上人数，27＋6−4＝29，D站到终点，29＋2−7＝24，所以，到终点下车还有24人；故答案为：−24；（2）由（1）的计算可知，公交车行驶在C站和D站之间车上的乘客最多，为29人；（3）（20＋12＋8＋6＋2）×2＝96（元）．答：这趟出车能收入96元．【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，读懂图表信息，求出各站点上的人数是解题的关键．17．国内汽油价格每月会有两次调整，如果以今年6月底的油价为基准，涨价记为正方向，7月至10月的油价调整情况记录如下（单位：元/吨）：（1）7月至10月之间，今年_______（填时间）的调价令油价与基准价格相差最大．（2）到10月底，油价能否回到基准价格？请说明理由．【答案】（1）8月下旬；（2）不能，理由见解析【分析】（1）计算出每个时间段与基准价格的差，即可得解；（2）将表格中的数据相加，根据结果判断即可．【详解】解：（1）7月上旬与基准价格相差：+100，7月下旬与基准价格相差：+100，8月上旬与基准价格相差：+100，8月下旬与基准价格相差：+100+85=185，9月上旬与基准价格相差：185，9月下旬与基准价格相差：185-315=-130，10月上旬与基准价格相差：-130，10月下旬与基准价格相差：-130+70=-60，∴8月下旬的调价令油价与基准价格相差最大；（2）由题意可得：100+0+0+85+0-315+0+70=-60，∴到10月底，油价不能回到基准价格．【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，有理数的加法的实际应用，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．18．（1）填空：①正数：35+= ，8= ； ②负数：0.7-= ，12-= ；③零：0= ；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是 数，即0a ≥（3）请认真阅读下列材料，求2x +的最小值 解：0x ≥，∴当0x =，即0x =时，2x +的最小值是2解答下列问题 ①求2020x +的最小值；②255a --有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a 的值【答案】（1）①35，8；②0.7，12；③0；（2）非负；（3）①2020；②最大值25，a =5 【分析】（1）根据绝对值的意义即可得出答案；（2）分析（1）中的结论，即可得到（2）中的答案；（3）①要使2020x +有最小值，则需使x 最小，结合（2）中结论有0x ≥，可得出0,x =时，2020x +最小，即可得出答案； ②由50a -≥，得出当50a -=时，原式有最大值，求出a 的值，代入即可得出答案．【详解】解：（1）①正数：35+=35，8=8； ②负数：0.7-=0.7，12-=12； ③零：0=0；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是非负数，即0a ≥；（3）①0x ≥ ∴当0,x =即0x =时∴2020x +有最小值是2020②255a --有最大值． 50a -≥∴当50a -=，即50,a -=5a =时255a --有最大值25，此时a =5．【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．19．学校为了备战校园足球联赛，利用体育课让学生进行足球训练，为了训练学生快速抢断转身，体育老师设计了折返跑训练．老师在东西方向的足球场上画了一条直线插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组的行驶记录如下（单位：米）：+40，﹣30，+45，﹣25，+25，﹣35，+15，﹣28，+16，﹣18．（1）学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？（2）学生训练过程中，最远处离出发点多远？（3）学生在一组练习过程中，跑了多少米？【答案】（1）在出发点的正西方向，距出发点5米；（2）最远处离出发点55米；（3）跑了277米【分析】（1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果；（2）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果；（3）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可．【详解】解：（1）（+40）+（﹣30）+（+45）+（﹣25）+（+25）+（﹣35）+（+15）+（﹣28）+（+16）+（﹣18）＝+5（米）．答：学生最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点5米；（2）第一段，40米，第二段，40﹣30＝10（米），第三段，10+45＝55（米），第四段，55﹣25＝30（米），第五段，30+25＝55（米），第六段，55﹣35＝20（米），第七段，20+15＝35（米），第八段，35﹣28＝7（米），第九段，7+16＝23（米），第十段，23﹣18＝5（米），故最远处离出发点55米；（3）|+40|+|﹣30|+|+45|+|﹣25|+|+25|+|﹣35|+|+15|+|﹣28|+|+16|+|﹣18|＝277（米）．答：学生在一组练习过程中，跑了277米．【点睛】此题考查有理数的加减法的实际应用，绝对值的性质，正确理解题意列式进行计算是解题的关键．20．在2020年抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满汽油后沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，﹣8，+9，﹣6，+14，﹣5，+13，﹣10．（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？【答案】（1）B地在A地的东边22千米；（2）还需补充18升汽油；（3）距A地32千米【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数，则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A 地的西方；（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．【详解】解：（1）∵15﹣8+9﹣6+14﹣5+13﹣10＝22，∴B地在A地的东边22千米；（2）这一天走的总路程为：15+|﹣8|+9+|﹣6|+14+|﹣5|+13|+|﹣10|＝80千米，应耗油80×0.6＝48（升），故还需补充的油量为：48﹣30＝18（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充18升油；（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：15千米；15﹣8＝7千米；7+9＝16千米；16﹣6＝10千米；10+14＝24千米；24﹣5＝19千米；19+13＝32千米；32﹣10＝22千米．∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和．。

20道有理数减法计算题一、整数之间的减法1. 5 - 3 = 2-解析：5 比3 大，直接相减得2。

2. 8 - 6 = 2-解析：8 减去6 等于2。

3. 10 - 7 = 3-解析：10 减去7 得3。

二、负数参与的减法4. 3 - (-2) = 3 + 2 = 5-解析：减去一个负数等于加上这个数的相反数。

5. 4 - (-1) = 4 + 1 = 5-解析：同理，4 减去-1 等于4 加1。

6. -2 - (-3) = -2 + 3 = 1-解析：-2 减去-3 变为-2 加3。

三、有正负混合的减法7. 7 - (-4) = 7 + 4 = 11-解析：7 减去-4 等于7 加4。

8.-5 - 2 = -7-解析：直接相减，-5 减2 得-7。

9.-3 - (-5) = -3 + 5 = 2-解析：-3 减去-5 变为-3 加5。

四、较大数的减法10. 15 - 8 = 7-解析：15 减去8 等于7。

11. 20 - 12 = 8-解析：20 减去12 得8。

12. 18 - 9 = 9-解析：18 减9 等于9。

五、负数与正数较大数相减13.-10 - 5 = -15-解析：-10 减去5 得-15。

14.-15 - 8 = -23-解析：直接相减，-15 减8 为-23。

15.-8 - 3 = -11-解析：-8 减去3 等于-11。

六、小数形式的有理数减法16. 3.5 - 2.2 = 1.3-解析：小数减法，对应数位相减。

17.4.8-3.1= 1.7-解析：4.8 减去3.1 得1.7。

17.4.8-3.2= 1.2-解析：2.7 减1.5 等于1.2。

七、正负小数的减法19. 5.2 - (-3.1) = 5.2 + 3.1 = 8.3-解析：减去一个负数等于加上这个数的相反数。

21-4.6 - 2.3 = -6.9-解析：-4.6 减去2.3 得-6.9。

【理数的减法】练习题1．计算：（1）（-52）-（-53）； （2）(-1)-(+121); （3）4.2-5.7;（4）152-(-2.7); (5)0-(-74); (6) (-21)-(-21). 2.计算：（1）（-32）-（+21）-（-65）-（-31）； （2）（-831）-（+12）-（-7021）-（-831）； （3）（-1221）-[-（+6.5）-(-6.3)-651]; （4）(-17)-(-8)-(-9)-(+6)-(-14);（5）(-421)-{352-[(-0.13)-(0.33)]}; （6）5-{-4-[3-7-(4-5)-6]}.（7）()()()()71012-+++-+-（8）1121153483737---+ (9) ()()12.37.2 2.315.2-+--- (10)121112242123727⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.选择题（1）.如果a<0，那么a 和它的相反数的差的绝对值等于（ ）.A ．a;B ．0;C ．-a;D ．-2a.（2）.若两个有理数的差是正数，那么（ ）A ．被减数是正数，减数是负数；B ．被减数和减数都是正数；C ．被减数大于减数；D ．被减数和减数不能同为负数.（3）.下列等式成立的是（ ）.A ．0=-+a aB ．-a-a=0C ．0=--a aD ．-a-a =0（4）.如果的关系是则n m n m ,,0=-( )A. 互为相反数；B. m=±n,且n ≥0;C. 相等且都不小于0；D. m 是n 的绝对值.(5).已知a,b 是两个有理数，那么a-b 与a 比较，必定是( )A.a-b>a;B.a-b<a;C.a-b>-a;D.大小关系取决于b.4.已知a=-341,b=-841,c=-221,求下列各式的值： （1）a-b-c （2）b-(a-c)（3）c b a -- （4）b c a --5.已知m 是5的相反数，n 比m 的相反数小6，求n 比m 大多少？6.填空题：（1）267- =276； -（-31）=2； （2）341-552= ； -64-64-= . （3）比-3小5的数是 ；比-5小-7的数是 ；比a 小-5的数是 .（4）-32与52的差的相反数是 ；比-32小-52的数的绝对值是7．a,b 是两个任意有理数，试比较：（1）a+b 与a-b 的大小；（2）b a -与a-b 的大小.。