九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.1相似三角形作业课件新版华东师大版

23.3.1相似三角形课时作业一、选择题1. 若△ABC ∽△A′B′C′且 ''AB A B ＝34 ，△ABC 的周长为15cm ，那么△A′B′C′的周长为（ ） A ．18 B ．20 C ．154 D ．803 答案：B解析：解答：∵△ABC ∽△A′B′C′，∴''AB A B = ''AC AC =''BC B C ∴ABC A B C ’’’的周长的周长=''AB A B =34， ∵△ABC 的周长为15cm ，∴△A′B′C′的周长为20cm ．应选B ．分析：依照比例的等比性质可得相似三角形周长的比等于相似比，可得ABC A B C ’’’的周长的周长=''AB A B =34 ，由△ABC 的周长为15cm ，即可求得△A ′B ′C ′的周长．2. 一个三角形三边的长别离为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，那么其它两边的和是（ ）A ．19B ．17C ．24D ．21答案：C解析：解答：设另一个三角形的最短边为x ，第二短边为y ，依照相似三角形的三边对应成比例，知3x ＝5y ＝217， ∴x=9，y =15，∴x+y =24．应选C ．分析：依照相似三角形的性质三边对应成比例作答即．3. 如图，△ADE ∽△ABC ，假设AD =1，BD =2，那么△ADE 与△ABC 的相似比是（ ）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2答案：B解析：解答：∵AD=1，BD=2，∴AB=AD+BD=3．∵△ADE∽△ABC，∴AD：AB=1：3．∴△ADE与△ABC的相似比是1：3．应选B．分析：依照相似三角形的性质，相似三角形的相似比等于对应边的比．4. 在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，那么△DEF最短的一边是（）A．72 B．18 C．12 D．20答案：B解析：解答：设△DEF最短的一边是x，∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，∴12x=2436，解得：x=18．应选B．分析：设△DEF最短的一边是x，由相似三角形的性质取得12x=2436，即可求出x，取得△DEF最短的边．5. 平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=- 1 x图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．假设以点O、P、Q为极点的三角形与△OAB相似，那么相应的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：D解析：解答：∵点P是反比例函数y=-1x图象上，∴设点P（x，y），当△PQO∽△AOB时，那么PQAO＝OQBO，又PQ =y ，OQ =-x ，OA =2，OB =1， 即2y ＝1x -，即y =-2x ， ∵xy =-1，即-2x 2=-1，∴x =±22， ∴点P 为（22，-2）或（-22，2）； 同理，当△PQO ∽△BOA 时，求得P （-2，2）或（2，-2）； 故相应的点P 共有4个．应选：D ．分析：能够别离从△PQO ∽△AOB 与△PQO ∽△BOA 去分析，第一设点P （x ，y ），依照相似三角形的对应边成比例与反比例函数的解析式，联立可得方程组，解方程组即可求得点P 的坐标，即可求得答案．6. △ABC ∽△A ′B ′C ′，且∠A =68°，那么∠A ′=（ ）A ．22° B．44° C．68° D ．80°答案：C解析：解答：因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么∠A 与∠A ′是对应角，依照相似三角形的性质取得∠A =∠A ′=68°，应选C ．分析：依照相似三角形的对应角相等即可求得∠A ′的度数．7. 如图，假设△ACD ∽△ABC ，以下4个等式错误的选项是（ ）A ． AC AB CD BC = B ． CD BC AD AC= C ．CD 2=AD •DB D ．AC 2=AD •AB 答案：C解析：解答：∵△ACD ∽△ABC ，∴AD AC ＝AC AB ＝CD BC； A.AC CD =AB BC ⇒CD BC ＝AC AB，故A 正确； B.CD AD ＝BC AC ⇒CD BC ＝AD AC，故B 正确； C.CD 2=AD •DB ⇒BD CD ＝CD AD，与相似三角形所得结论不符，故C 错误；D.AC2=AD•AB⇒ADAC＝ACAB，故D正确；应选C．分析：可依照相似三角形的对应边成比例来进行判定．8. △ABC和△DEF相似，且相似比为23，那么它们的周长比是（）A. 23B.32C.49D.94答案：A解析：解答：∵△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为2：3，∴它们的周长比是2：3．应选A．分析：依照相似三角形性质，相似三角形周长的比等于相似比可求．9.点D、E别离在△ABC的边AB、AC上，AD=2，DB=8，AC=5．假设△ADE与△ABC相似，那么AE的长为（）A．1.25 B．1 C．4 D．1或4答案：D解析：解答：①若∠AED对应∠B时，AEAB=ADAC，即10AE＝25，解得AE=4；②当∠ADE对应∠B时，ADAB=AEAC，即210=5AE，解得AE=1．应选D．分析：由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确信，因此应分两种情形进行讨论．10.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12．在AB上取一点E．使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，那么AE的长为（）A．16 B．14 C．16或14 D．16或9答案：D解析：解答：此题分两种情形：①△ADE∽△ACB∴AE AD AB AC=∵AB=24，AC=18，AD=12，∴AE=16；②△ADE∽△ABC∴AE AD AC AB=∵AB=24，AC=18，AD=12，∴AE=9．故选D分析：此题应分两种情形进行讨论，①△ABC∽△AED；②△ABC∽△ADE；可依照各相似三角形得出的关于AE、AE、AB、AC四条线段的比例关系式求出AE的长.11. 如图，Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=35°，那么∠E的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°答案：C解析：解答：∵Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=35°，∴∠D=∠A=35°．∵∠F=90°，∴∠E=55°．应选C．分析：由Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=35°，依照相似三角形的对应角相等，即可求得∠D的度数，又由∠F=90°，即可求得∠E的度数．12. 如图，已知△ACD∽△ABC，∠1=∠B，以下各式正确的选项是（）A．ADAB＝ACAB＝CDBCB．ADAC＝ACAB＝CDBCC．ADCD＝ABAC＝CDBCD．ADAB＝ABAC＝CDBC答案：B解析：解答：∵△ACD∽△ABC，∴ADAC＝ACAB＝CDBC．应选B．分析：依照相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例作答．13. 若△ABC与△DEF的相似比是3：2，△DEF的最长边是6cm，那么△ABC的最长边是（）A．4cm B．9cm C．4cm或9cm D．以上答案都不对答案：B解析：解答：∵△ABC与△DEF的相似比是3：2，△DEF的最长边是6cm，∴△ABC的最长边：△DEF的最长边=3：2，即△ABC的最长边是9cm．应选B．分析：依照相似三角形的相似比的概念，即对应边的比即为相似比，进行求解．14. 若△ABC∽△A΄B΄C΄，∠A=40°，∠B=110°，那么∠C΄=（）A．40° B．110° C．70° D．30°答案：D解析：解答：∵∠A=40°，∠B=110°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-110°=30°又∵△ABC∽△A΄B΄C΄，∴∠C΄=∠C=30°．应选D．分析：依照相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，即可解答．15. 如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的极点都在边长为1的小正方形的极点上，作一个与△ABC相似的△DEF，使它的三个极点都在小正方形的极点上，那么△DEF的最大面积是（）A．5 B．10 C．52D．5答案：A解析：解答：从图中能够看出△ABC的三边别离是2要让△ABC的相似三角形最大，就要让DF=△ABC的面积为2×1÷2=1，因此△DEF的最大面积是5．应选A．分析：要让△ABC的相似三角形最大，就要让AC为网格最大的对角线，据此可依照相似三角形的性质解答．二、填空题16. 已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠C=∠F且AB：DE=1：2，那么EF：BC= ．答案：2：1解析：解答：∵△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠C=∠F，∴ABDE＝ACDF＝BCEF，∵AB：DE=1：2，∴EF：BC=2：1，故答案为2：1．分析：利用相似三角形的对应边的比相等能够求得两条线段的比．17. 假设两个三角形相似，其中一个三角形的两个角别离为60°、50°，那么另一个三角形的最小的内角为度．答案：50解析：解答：∵一个三角形的两个角别离为60°、50°，∴另一个角为180°-（60°+50°）=70°，∴三角形的最小的内角为50°．∵两个三角形相似，∴相似的另一个三角形的最小的内角为50°．分析：先求出三角形的另一个角，比较后得出三角形的最小的内角为50°．再依照相似三角形的性质得出结论．18. 已知△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，那么∠A的对应角∠A′= 度．答案：50解析：解答：∵△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，∴∠A′=50度．分析：依照相似三角形的对应角相等解答．19. 如图，已知△ABC∽△DEF，且相似比为k，那么k= ，直线y=kx+k的图象必通过象限．答案：12|一、二、三解析：解答：k=ABDE=ACDF=BCEF，∴c b ab a ac c b==+++=k，∴c=（a+b）k，b=（a+c）k，a=（c+b）k，相加得：（a+b+c）=2k（a+b+c），当a+b+c=0时，k=cb a+=cc-=-1，∵相似比是k，∴k=-1舍去；当a+b+c≠0时，k=12，现在y=12x+12图象通过一、二、三象限；故答案为：12，一、二、三．分析：依照相似比的概念得出c b ab a ac c b==+++=k，推出c=（a+b）k，b=（a+c）k，a=（c+b）k，求出k的值，即可求出答案．20. 已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边之比为3：4：5．假设△A′B′C′的最长边为20cm，那么它的最短边长为 cm．答案：12解析：解答：设△A′B′C′的最短的边是x，依照相似三角形的对应边的比相等，取得x：20=3：5，解得：x=12cm．它的最短边长为12cm．分析：设△A′B′C′的最短的边是x，依照相似三角形的性质，可得x：20=3：5，解方程即可．三、解答题21. 如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，点D、E别离在AB、AC上，若是以A、D、E为极点的三角形和△ABC相似，且相似比为14，试求AD、AE的长．答案：解答：当△ABC ∽△ADE 时，相似比为14，AD AB ＝AE AC ＝14， 即：8AD ＝6AE ＝14， 解得：AD =2，AE =1.5；当△ABC ∽△AED 时，AD AC ＝AE AB ＝14， 即：6AD ＝8AE ＝14， 解得：AD =1.5，AE =2．分析：利用三角形相似的性质分△ABC ∽△ADE 和△ABC ∽△AED 两种情形讨论即可求得AD 、AE 的长．22. 一个三角形三边长别离为5cm ，8cm ，12cm ，另一个与它相似的三角形的最长边为4.8cm ，求另外两边长． 答案：解答：设另一个三角形的两边长是x cm ，y cm ，由题意，得：x ：5=y ：8=4.8：12，解得x =2cm ，y =3.2cm ．因此另两条边的边长为2cm ，3.2cm ．分析：依照两个相似三角形的最长边的值，可求出它们的相似比，由此可求出另两条边的长．23. 已知：如图，△ABC ∽△ADE ，∠A =45°，∠C =40°．求：∠ADE 的度数．答案：解答：∵△ABC ∽△ADE ，∠C =40°，∴∠AED =∠C =40°．在△ADE 中，∵∠AED +∠ADE +∠A =180°，∠A =45°即40°+∠ADE +45°=180°，∴∠ADE =95°．分析：由△ABC ∽△ADE ，∠C =40°，依照相似三角形的对应角相等，即可求得∠AED 的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠ADE 的度数．24. 如图，点D、E别离在△ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，假设使△ADE与△ABC相似，求AE的长．答案：解答：①若∠AED对应∠B时，AE AB =ADAC，即9AE=36，解得AE=92；②当∠ADE对应∠B时，AD AB =AEAC，即39=6AE，解得AE=2．因此AE的长为2或92．分析：由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确信，因此应分两种情形进行讨论．25. 如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A动身，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C 动身，以2cm∕秒的速度向点A运动，假设两点同时运动，是不是存在某一时刻t，使得以点A、M、N为极点的三角形与△ABC相似，假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由．答案：解答：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为极点的三角形与△ABC相似（无此进程不扣分）设通过t秒时，△AMN与△ABC相似，现在，AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，则AMAB＝ANAC，即6t＝12212t-，解得t=3；（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，则AMAC＝ANAB，即12t=1226t-，解得t=4.8；故所求t的值为3秒或4.8秒．分析：第一设通过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），然后别离从当MN ∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，依照相似三角形的对应边成比例即可求得答案．。

[推荐学习]2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.1相似三角形同步23.3.1 相似三角形知识点 1 相似三角形的有关概念 1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝6 cm ，其对应边A ′B ′＝4 cm ，则相似比为________．2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是23，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是( )A. 23B. 32C. 49D. 943．如图23－3－1，Rt △ADC ∽Rt △DBC ，AC ＝3，BC ＝4，试求△ADC 与△DBC 的相似比．图23－3－1＝∠B＝50°，∠C＝70°，则∠2＝________°，AD（）＝（）BC.7．如图23－3－3所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；(2)△OAB∽△OA′B′，其中A′B′∥AB；(3)△ADE∽△ABC，其中∠ADE＝∠B.图23－3－38．如图23－3－4，已知AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，且△ABC∽△DAC.(1)求∠BAD的大小；(2)求CD的长．图23－3－4知识点 3 由平行线判定三角形相似9．如图23－3－5，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对图23－3－510．如图23－3－6，点F在平行四边形ABCD 的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个图23－3－611．［教材例1变式］如图23－3－7，在△ABC 中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.(1)求ADAB的值；(2)求BC的长．图23－3－712．已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC 与△A2B2C2的相似比为________．13．已知△ABC的三边长分别为2，6，2，△A′B′C′的两边长分别为1和 3.若△ABC∽△A′B′C′，则△A′B′C′的第三边长为________．图23－3－814. 如图23－3－8所示，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶DF＝__________．15．如图23－3－9，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，DC＝3，求GH 的长．图23－3－916．［2016·黄冈］如图23－3－10，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1.连结AI，交FG于点Q，则QI ＝________．图23－3－1017．已知边长分别为5，6，7的三角形与一边长为3的三角形相似，求另一个三角形的另外两边的长．1. 322. B3．解：∵Rt △ADC ∽Rt △DBC ，∴AC DC ＝DC BC ，即3DC ＝DC 4， ∴DC 2＝12，则DC ＝2 3，∴△ADC 与△DBC 的相似比为32 3＝32.4．D ． 5．B6．70 AC ED 7．解：(1)AD AB ＝AE AC ＝DEBC .(2)AO A ′O ＝BO B ′O ＝AB A ′B ′.(3)AD AB ＝AE AC ＝DE BC.8．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°.(2)∵△ABC∽△DAC，∴BCAC＝ACCD.又∵AC＝4，BC＝6，∴CD＝4×46＝83.9．C [解析] ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴△ADE∽△EFC，共3对．故选C.10．C [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．11．解：(1)∵AD＝4，DB＝8，∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12，∴ADAB＝412＝13.(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB.∵DE＝3，∴3BC＝13，∴BC＝9.12 2∶5[解析] ∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，∴AB∶A1B1＝2∶3，A1B1∶A2B2＝3∶5.设AB＝2x，则A1B1＝3x，A2B2＝5x，∴AB∶A2B2＝2∶5，∴△ABC与△A2B2C2的相似比为2∶5.13． 214．2∶515．∵AB∥GH∥DC，∴△CGH∽△CAB，△BGH∽△BDC，∴GHAB＝CHCB，GHDC＝BHBC，∴GH AB ＋GH DC ＝CH CB ＋BH BC＝1. ∵AB ＝2，DC ＝3，∴GH 2＋GH 3＝1，∴GH ＝65. 16． 4317．解：因为题目没有具体说明相似三角形的对应边，所以分三种情况讨论．设另外两条边的长分别为x ，y (x <y )． 根据题意，得5x ＝6y ＝73或5x ＝63＝7y 或53＝6x ＝7y， 所以x ＝157，y ＝187或x ＝52，y ＝72或x ＝185，y ＝215. 故另一个三角形的另外两边的长为157，187或52，72或185，215.。

23.3.3 相似三角形的性质知识点 1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3，则这两个三角形的相似比为( )A ．5∶3B ．3∶5C ．25∶9 D.5∶ 3 2．［2017·重庆］若△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶2，则对应边上的高的比为( ) A ．3∶2 B ．3∶5 C ．9∶4D ．4∶93．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的AC 边和A ′C ′边上的高，且AB ＝10，A ′B ′＝2，BD ＝6，求B ′D ′的长．知识点 2 相似三角形周长的比等于相似比4．若△ABC ∽△DEF ，且AB DE ＝12，所以BC （ ）＝AC （ ）＝________，则AB ＋BC ＋AC（ ）＋（ ）＋（ ）＝________，所以△ABC 与△DEF 的周长之比为________．5．［2016·乐山］如图23－3－38，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC .若△ADE 与△ABC 的周长之比为2∶3，AD ＝4，则DB ＝________。

图23－3－386．若两个相似三角形的相似比为2∶5，它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________． 7．［教材练习第2题变式］已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别为60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求AC 和A ′C ′的长．知识点 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( ) A ．2∶3 B.2∶ 3 C ．4∶9 D ．8∶279．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶5 D ．1∶1610．如图23－3－39，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，且DE ∥BC ，则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶1图23－3－3911. 如图23－3－40所示，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则AD AB＝________．图23－3－4012．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝12，AB 边上的中线CD ＝4 cm ，△ABC 的周长为20 cm ，△A ′B ′C ′的面积为64 cm 2，求：(1)A ′B ′边上的中线C ′D ′的长； (2)△A ′B ′C ′的周长； (3)△ABC 的面积． 13．［2017·永州］如图23－3－41，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ，AD ＝1，AC ＝2，△ACD 的面积为1，则△BCD 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4图23－3－4114．如图23－3－42，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △BAF ＝4∶25，则DE ∶EC 等于( )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶2图23－3－4215．如图23－3－43，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B .如果△ABD 的面积为15，那么△DAC 的面积为( )A ．15B ．10 C. 152 D ．5图23－3－4316．如图23－3－44所示，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，且AE ∶EC ＝2∶1，连结DC ，求S △ADE ∶S △BDC 的值．图23－3－4417．如图23－3－45，AD ，BE 分别是△ABC 的角平分线和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的角平分线和中线，已知∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，AB ·A ′D ′＝A ′B ′·AD .求证：AD ·B ′E ′＝A ′D ′·BE .图23－3－4518．如图23－3－46，矩形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点P.若矩形EFGH的周长为24，BC ＝10，AP＝16，求S△BPC的值．图23－3－461．A 2．A 3．解：由题意知AB A ′B ′＝BD B ′D ′，∴102＝6B ′D ′，解得B ′D ′＝1.2.4．EF DF 12 DE EF DF 12 125．26．157．解：因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以6072＝AB A ′B ′＝BC B ′C ′.又因为AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，所以56＝15A ′B ′＝BC24，所以A ′B ′＝18(cm)，BC ＝20(cm)，所以AC ＝60－15－20＝25(cm)，A ′C ′＝72－18－24＝30(cm)．8．C 9.A 10.B 11.22[解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵S △ADE ＝S 四边形BCED ， ∴S △ADE S △ABC ＝12， ∴AD AB＝12＝22. 12．解：(1)∵CD C ′D ′＝AB A ′B ′，∴4C ′D ′＝12， ∴C ′D ′＝8(cm)． (2)∵C △ABCC △A ′B ′C ′＝AB A ′B ′，∴12＝20C △A ′B ′C ′，∴C △A ′B ′C ′＝40(cm)．(3)∵S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB A ′B ′2，∴14＝S △ABC 64，∴S △ABC ＝16(cm)2.13．C [解析] ∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴S △ACD S △ABC ＝(AD AC )2＝14. ∵S △ACD ＝1，∴S △ABC ＝4，S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝3. 故选C.14．A [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴△DEF ∽△BAF .∵S △DEF ∶S △BAF ＝4∶25， ∴DE AB ＝25. ∵AB ＝CD ，∴DE ∶EC ＝2∶3. 故选A. 15．D16．因为AE ∶EC ＝2∶1，所以AE ∶AC ＝2∶3，CE ∶AC ＝1∶3. 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以S △ADE ∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝4∶9. 因为DE ∥BC ，所以BD AB ＝CE AC ＝13.设△ABC 中BA 边上的高为h ，则△BDC 中BD 边上的高也为h ， 所以S △BDC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12AB ·h ，所以S △BDC ∶S △ABC ＝BD ∶AB ＝1∶3， 所以S △ADE ∶S △BDC ＝49S △ABC ∶13S △ABC ＝4∶3.17．[证明：∵∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC 和∠B ′A ′C ′的平分线，BE ，B ′E ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，∴∠BAD ＝∠B ′A ′D ′，AC ＝2AE ，A ′C ′＝2A ′E ′. 又∵AB ·A ′D ′＝A ′B ′·AD ，∴AB A ′B ′＝ADA ′D ′， ∴△BAD ∽△B ′A ′D ′， ∴∠ABC ＝∠A ′B ′C ′. 又∵∠BAC ＝∠B ′A ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝2AE 2A ′E ′＝AEA ′E ′， ∴△ABE ∽△A ′B ′E ′， ∴BE B ′E ′＝ABA ′B ′. 又∵AD A ′D ′＝AB A ′B ′，∴AD A ′D ′＝BEB ′E ′， ∴AD ·B ′E ′＝A ′D ′·BE . 18．解：设PD ＝x ，则EF ＝x . ∵矩形EFGH 的周长为24， ∴EF ＋EH ＝12， ∴EH ＝12－x . 又∵EH ∥BC ， ∴△AEH ∽△ABC ， ∴EH BC ＝AP AD， 即12－x 10＝1616＋x， 解得x 1＝4，x 2＝－8(不合题意，舍去)， ∴x ＝4，即PD ＝4，∴S △BPC ＝12BC ·PD ＝12×10×4＝20.。

华东师大版九年级数学上册第23章 (23.1～23.3.1) 同步练习题(时间：100分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分) 1．观察下列每组图形，相似图形是(D)2．下列各组中的四条线段不是成比例线段的是(C) A ．a ＝1，b ＝1，c ＝1，d ＝1 B ．a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝8 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3 D ．a ＝2，b ＝5，c ＝23，d ＝153．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3，则下列结论正确的是(A) A ．AB 是A ′B ′的3倍 B ．A ′B ′是AB 的3倍 C ．∠A 是∠A ′的3倍D ．∠A ′是∠A 的3倍4．若x －y 13＝y 7，则x ＋y y ＝(C)A.137B.207C.277D ．无法确定5．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，AO ∶DO ＝1∶2，那么下列式子正确的是(B) A ．BO ∶BC ＝1∶2 B ．CD ∶AB ＝2∶1 C ．CO ∶BC ＝1∶2D ．AD ∶DO ＝3∶16．如图，在▱ABCD 中，E 为AD 的三等分点，AE ＝23AD ，连结BE 交AC 于点F ，AC ＝12，则AF为(B) A ．4B ．4.8C ．5.2D ．67．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步：分别以点A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于M ，N 两点；第二步：连结MN 分别交AB ，AC 于点E ，F ； 第三步：连结DE ，DF.若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是(D) A ．2B ．4C ．6D ．88．【动手操作】宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是(D)A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH二、填空题(每小题4分，共20分)9．在比例尺为1∶8 000的地图上，两地的距离为25 cm ，它的实际距离约为2_000m. 10．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，且b ＝6 cm ，c ＝2 cm ，d ＝4 cm ，那么a ＝3cm. 11．一个五边形的各边长分别是2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形的最长边是8，则该五边形的周长是803．12．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AD ，DE ∶EB ＝2∶3，EF ＝6，那么BC 的长为10．13．如图，菱形ABCD 的周长为12，∠DAB ＝60°，对角线AC 上有两点E 和F(点E 在点F的左侧)，且要使四边形DEBF 与菱形ABCD 相似，则AE三、解答题(共48分)14．(8分)已知P 为线段AB 上一点，且AB 被点P 分为AP ∶PB ＝3∶5.如果AB ＝160 cm ，试求PB 的长．解：设AP ＝3x ，则PB ＝5x ，AB ＝8x ，其中x ≠0， ∴AB PB ＝85. 当AB ＝160 cm 时，160PB ＝85，∴PB ＝100 cm.15．(8分)若x 3＝y 4＝z5，x ＋y ＋z ＝36，求x ，y ，z 的值．解：设x 3＝y 4＝z5＝k(k ≠0)，则x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝5k. ∵x ＋y ＋z ＝36， ∴3k ＋4k ＋5k ＝36. 解得k ＝3.∴x ＝9，y ＝12，z ＝15.16．(10分)如图，已知AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，∠B ＝30°，∠D ＝115°，△ABC ∽△DAC. (1)求CD 的长； (2)求∠BAD 的大小．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ， ∴AC CD ＝BC AC ，即5CD ＝105. ∴CD ＝2.5 cm. (2)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠BAC ＝∠D ＝115°，∠CAD ＝∠B ＝30°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝115°＋30°＝145°.17．(10分)如图，在▱ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连结AE 并延长交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ，DF FC ＝32.(1)若BD ＝20，求BG 的长； (2)求CMCD的值．解：(1)∵GF ∥BC ， ∴DF FC ＝DG BG ＝32. ∵BD ＝20， ∴32＝20－BG BG . ∴BG ＝8.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD. ∴DM AB ＝DG BG ＝32. ∴DM CD ＝32.∴CM CD ＝12.18．(12分)如图，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点．若△PAD 与△PBC 是相似三角形，求AP 的长．解：∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠PAD ＝180°－∠ABC ＝90°. ∴∠PAD ＝∠PBC.设AP 的长为x ，则BP 的长为8－x.如果AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况： ①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x)＝3∶4， 解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ，即x ∶4＝3∶(8－x)， 解得x ＝2或x ＝6. ∴AP ＝247或AP ＝2或AP ＝6.。

2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形23.3.2 第2课时相似三角形的判定定理同步练习（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形23.3.2 第2课时相似三角形的判定定理同步练习（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2 第2课时相似三角形的判定定理知识点 1 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．如图23－3－26，若错误!＝________,则△AEF∽△ABC，理由是___________________图23－3－262．如图23－3－27,已知∠1＝∠2，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A. 错误!＝错误! B。

错误!＝错误!C．∠B＝∠ADE D．∠C＝∠E图23－3－273．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°,AC＝12，BC＝15，A′C′＝8，则当B′C′＝________时，△ABC∽△A′B′C′。

4．如图23－3－28,△ABC中，点D,E分别在边AB，AC上．若AE＝2，AB＝5,AD＝4,AC＝10，则△ABC与△AED相似吗?请说明理由．图23－3－285．如图23－3－29，AE与BD相交于点C，AB＝4，BC＝2，AC＝3,DC＝6，CE＝4，试问：（1）△ABC与△DEC是否相似？为什么？(2)求DE的长．图23－3－29知识点 2 三边成比例的两个三角形相似6．已知AB＝12 cm，AC＝15 cm，BC＝21 cm，A1B1＝16 cm，B1C1＝28 cm,当A1C1＝________ cm时，△ABC∽△A1B1C1.7．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，错误!，错误!，乙三角形木框的三边长分别为错误!,错误!，5,则甲、乙两个三角形( )A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．无法判断8．图23－3－30中的两个三角形是否相似?为什么？图23－3－309．［2017·枣庄］如图23－3－31,在△ABC中，∠A＝78°,AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图23－3－32中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）图23－3－31图23－3－3210．如图23－3－33，点P在△ABC的边AC上，要判定△ABP∽△ACB,添加一个条件，不正确的是( ）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC. 错误!＝错误! D。

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3。

3 相似三角形的性质知识点 1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3，则这两个三角形的相似比为( ) A．5∶3 B．3∶5 C．25∶9 D.错误!∶错误!2．［2017·重庆］若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应边上的高的比为( ）A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶93．已知△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的AC边和A′C′边上的高，且AB＝10，A′B′＝2,BD＝6，求B′D′的长．知识点 2 相似三角形周长的比等于相似比4．若△ABC∽△DEF，且错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝________,则错误!＝________，所以△ABC与△DEF的周长之比为________．5．［2016·乐山］如图23－3－38，在△ABC中，D，E分别是边AB,AC上的点，且DE∥BC。

若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝________.图23－3－386．若两个相似三角形的相似比为2∶5,它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．7．［教材练习第2题变式］已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求AC和A′C′的长．知识点 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( ) A．2∶3 B.错误!∶错误! C．4∶9 D．8∶279．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1610．如图23－3－39,D，E分别为△ABC的边AB,AC的中点，且DE∥BC，则△ADE的面积与四边形BCED的面积比为( ）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1图23－3－3911。

华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是；最小值是．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=x cm（x＞0），四边形BCDP的面积为y cm2．求y关于x的函数关系式．14．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE ∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4=0，求△ABC的面积．15．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O 于D、C两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离．16．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．17．腰长为6的等腰直角△ABC中，D是BC上的一动点（不与BC重合），过点D作AB，AC的垂线，垂足为E，F．（1）证明：△BDE∽△CDF；（2）设BD=x，四边形AEDF的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时y最大？y的最大值是多少？18．已知：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1，延长CD交AE于K（1）求证：AE=CD，AE⊥CD．（2）类比：如图2所示，将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？请直接写出线段AE，CD间的数量关系和位置关系．19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：AP=PD；（2）若⊙O的半径为5，AF=7，求的值．20．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．（1）求CE长度；（2）证明：AC2=CM•CF；（3）求CM长度．21．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．（1）求证：△ABD∽△AHG．（2）若4AB=5AC，且点H是AC的中点，求的值．22．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13，AC=5，（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PB的长；（2）如图（2），过点P作PD⊥BC于点E，交AB于点D，若=，求PC的长．23．如图，△ABC为一锐角三角形，BC=12，BC边上的高AD=8．点Q，M在边BC上，P，N分别在边AB，AC上，且PNMQ为矩形．（1）设MN=x，用x表示PN的长度；（2）当MN长度为多少时，矩形PNMQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当MN长度为多少时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和？24．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s 的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．25．如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；（2）求△DEG和△CGH的面积比．26．如图，△ABC中，D，E分别为BC，AB中点，连接EC，AD，且AD与EC交于点F，延长AD至点G使GD=AD，连结CG．（1）请在图中找出一对全等三角形，并证明．（2）若AB=x，EB：DF=3：2，试用含x的代数式表示线段AG的长．27．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F是线段AD上的三等分点，连接BE、CE、BF、CF，若，且BC=4a．（1）求四边形ABEC的面积；（2）写出与△CEF相似但不全等的三角形，并证明其中的一对．28．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC 于点D．求证：PA•CD=PC•BD．29．如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）求证：DH2=HE•HC．30．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似？31．如本题图①，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求∠ACD的大小；（2）在线段CD的延长线上取一点F，以FD为角的一边作∠DFE=α，另一边交BD延长线于点E，若FD﹣kAD（如本题图②所示），试求的值（用含k 的代数式表示）．32．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．（1）求证：AB•AD=BF•ED；（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．33．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．（1）判断△ABE与△ADB是否相似，并说明理由；（2）求∠C的度数．34．如图，AD是△ABC的高，点Q、M在BC边上，点N在AC边上，点P在AB 边上，AD=60cm，BC=40cm，四边形PQMN是矩形．（1）求证：△APN∽△ABC；（2）若PQ：PN=3：2，求矩形PQMN的长和宽．35．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC 的边上，已知：AC=8，BC=6．（1）当四边形DEFG为正方形时，求EF的长；（2）△BEF与△FCG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由；（3）△BEF与△ADG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由．36．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系；明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等，得到AF与BE的数量关系；请回答：AF与BE的数量关系是．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，请参考明明思考问题的方法，求的值．37．如图所示，D是以AB为直径的半圆O上的一点，C是弧AD的中点，点M 在AB上，AD与CM交于点N，CN=AN．（1）求证：CM⊥AB；（2）若AC=；，BD=2，求半圆的直径．38．在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任一点，PE∥AB交AC 于E，PF∥AC交AB于F．用x表示；（1）设BP=x，将S△PEF（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．39．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．40．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9cm，BC=2cm，点M，N分别从A，B 同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求△MBN的面积的最大值．41．如图，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AD=3，DC=4，点M在线段AC上运动，ME⊥AD于点E，连结BE并延长交AC于点F，连结BM．设=m （0＜m＜1），△BEM的面积为S．（1）当m=时，求的值．（2）求S关于m（0＜m＜1）的函数解析式并求出S的最大值．（3）设=k，猜想k与m的数量关系并证明．42．以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长．43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB 的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．根据上面的信息，解答下面的问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t 之间的函数表达式．44．如图，已知AB是⊙O的直径，点E在线段AB上，CD⊥AB于G，连接DE 交⊙O于F，连接CF交AB延长线于P．求证：OF2=OE•OP．45．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．（1）请回答：∠ACE的度数为，AC的长为．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求AC的长．46．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），连接DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F，G；（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．47．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF ∥AD交BC于点F，且BF2=BD•BC，联结FG．（1）求证：FG∥CE；（2）设∠BAD=∠C，求证：四边形AGFE是菱形．48．在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在BC边的延长线上，且BE=CF．（1）求证：MA=MF；（2）连接AF，分别交DE、CD于M、N，若∠B=∠AME，求证：ND•ME=AD•MN．49．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E是CD的中点，BE交AC于F，过点F作FG∥AB，交AE于点G．（1）求证：AG=BF；（2）当AD2=CA•CF时，求证：AB•AD=AG•AC．50．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠DEC=∠ABC，且CD2=CE•CA．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE=∠DCE，求证：四边形EFCD是菱形．华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．（1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，【分析】得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．【解答】解：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，∴AB=BE；（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF．在△BDE与△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴=．在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，∴==，∴BD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识，有一定难度．连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．【分析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出，，进而得出即，即可得出答案；②由（1）证得△APB≌△APD，得到∠ABP=∠ADP，根据平行线的性质，得到∠G=∠ABP，（Ⅰ）若DG=PG根据△DGP∽△EBP，得DG=a，由勾股定理得到FH=，于是得到结论；（Ⅱ）若DG=DP，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，设AH=x，求得FH=，得到tan∠DAB= =．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP=∠BAP，在△APB和△APD中，，∴△APB≌△APD，∴PB=PD；（2）解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AFP∽△CBP，∴，∵，∴，∴，由（1）知PB=PD，∴，∴PF=PD．②由（1）证得△APB≌△APD，∴∠ABP=∠ADP，∵GC∥AB，∴∠G=∠ABP，∴∠ADP=∠G，∴∠GDP＞∠G，∴PD≠PG．（Ⅰ），若DG=PG，∵DG∥AB，∴△DGP∽△EBP，∴PB=EB，由（2）知，设PF=2a，则PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，由△DGP∽△EBP，得DG=a，∴AB=AD=2DG=9a，∴AF=6a，如图1，作FH⊥AB于H，设AH=x，则（6a）2﹣x2=（5a）2﹣（9a﹣x）2，解得x=a，∴FH=，∴tan∠DAB=；（Ⅱ）若DG=DP，如图2，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，∴（4m）2﹣x2=（5m）2﹣（6m﹣x）2，解得x=m，∴FH=，∴tan∠DAB==．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；（3）根据题意得到AC=，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）解：∵AB=AC，∵∠B=∠E，∴∠E=∠C，∴BD=DC=DE=3，∵BD﹣AD=2，∴AD=1，在RT△ABD中，AB==，∴⊙O的半径为；（3）解：∵AB=AC=，BD=DC=3，∴BC=6，∵∠B=∠E，∠C=∠C，∴△EDC∽△BAC，∵AC•EC=DC•BC，∴•EC=3×6，∴EC=，∴AE=EC﹣AC=﹣=．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD 为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，【分析】由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．【解答】（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．【分析】利用勾股定理求出BC，过B向MC作垂线，利用三角形相似求BE．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，BC==3，作BE⊥MC，垂足是E，∵∠ACB=∠BEC=90°，∴△ACB∽△BCE，∴，∴，∴BE=，∴点B到直线MC的距离．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出∠CED=∠CBA，再由公共角相等，即可证出△CDE∽△CAB；（2）由等腰三角形的性质得出∠C=∠CBA，证出∠C=∠CED，得出DE=CD，再由圆周角定理和三线合一性质得出CD=BD，即可得出DE=BD；（3）由割线定理求出CE，由圆周角定理得出∠AEB=∠BEC=90°，根据勾股定理即可求出BE的长．【解答】（1）证明：连接AD，如图所示：∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠CED=∠CBA，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB；（2）证明：∵AB=AC，∴∠C=∠CBA，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴CD=BD，∴DE=BD；（3）解：由割线定理得：CE•AC=CD•BC，∵CD=BD=BC=3，AC=AB=5，∴CE===，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°，∴BE===．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、割线定理、勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）（3）中，需要运用圆周角定理、割线定理和勾股定理才能得出结果．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）【分析】（1）根据矩形的性质易证，OA=OC，AB∥CD，根据AB∥CD，得到∠EAO=∠FCO，满足ASA可证；（2）①先证△MOC∽△ACB，得MC：AC=OC：BC，计算MC，即可求出BM；②若△BMO是等腰三角形，则可能BM=OM，OB=BM，OB=OM，分类讨论即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）①解：如图1，∵MO⊥AC，∴∠MOC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠MOC=∠ABC，又∵∠MCO=∠MCO，∴△MOC∽△ACB，∴MC：AC=OC：BC，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∴OC=2.5，∴MC：5=2.5：4，∴MC=，∴BM=；②如图2，△BMO是等腰三角形时，有三种情况：（Ⅰ）OB=OM，此时M与C重合，BM=4；（Ⅱ）OB=BM，BM=OB=BD=2.5；（Ⅲ）BM=OM，作MN⊥BD，∴BN=B0=；∵△BMN∽△BDC∴，∴BM===，∴BM=2.5或4或．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，第3小题考查学生思维的全面性，恰当分类讨论是解决问题的关键．9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是4；最小值是．【分析】（1）连接AD、BC，由∠AOB=∠COD=90°∠ABO=∠DCO=30°，得到，∠AOD=∠BOC，推出△AOD∽△BOC，求得∠OAD=∠CBO，，证得AD⊥BC由于点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，根据三角形的中位线的性质得到EF∥AD，EF=AD，于是得到MF∥AD，MF=AD，在Rt△EFM中，=；（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=4．【解答】解：（1）不变；=，如图1，连接AD、BC交于一点Q，AD交BO于P，∵∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°，∵，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴∠OAD=∠CBO，，∵∠APO=∠BPQ，∴∠BQP=∠AOB=90°，∴AD⊥BC，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，EF=AD，∴MF∥BC，MF=BC，在Rt△EFM中，=；（2）如图2，过O作OE⊥AB于E，∵BO=3，∠ABO=30°，∴AO=，AB=，∴AB•OE=OA•OB，∴OE=，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+1=4，∴线段PN长度的最小值为，最大值为4．故答案为：4，．【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．【分析】（1）如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，由∠ABC+∠ADE=180°，得到BC∥DE，得到∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，证出△CBN ≌△EFN，得到BN=FN，EF=CB=AD，于是得到DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，证得△DEF∽△DAB，得到．由sin∠BAC=，得到tan∠BAC=，即DF=BD，得到MN=DF=BD即可得到结论．【解答】解：（1）MN⊥BD，MN=BD；如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴BC∥DE，∴∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，∵CN=EN，在△CBN与△EFN中，，∴△CBN≌△EFN，∴BN=FN，EF=CB=AD，∴DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，又∵BM=MD，∴MN=DF=BD，MN∥DF，∴∠BMN=∠BDE=90°，∴MN⊥BD；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，∴EF=CB=DE，∠BCE=∠CEF，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴∠BAD+∠BCE+∠CED=540°﹣180°=360°，∵∠DEF+∠CEF+∠CED=360°，∴∠BAD=∠DEF，∵，∴△DEF∽△DAB，∴．∵sin∠BAC=，∴tan∠BAC=，即DF=BD，∴MN=DF=BD．即．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 即可得证；（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证．【解答】证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，【分析】然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm ，BC=9cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP=x cm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为y cm 2．求y 关于x 的函数关系式．【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC ，则可判断Rt △DFA ∽Rt △ACB ，根据相似三角形的性质得AB•AF=BC•AD ，然后利用AD=CD 代换即可得到结论；（2）连结PC ，如图，先在Rt △ACB 中利用勾股定理计算出AC=12，再利用等腰三角形的性质AF=FC=AC=6，接着证明DE ∥BC ，则P 点到BC 的距离等于CF ，然后根据三角形面积公式和y=S △CPD +S △BCP 即可得到y 与x 的函数解析式．【解答】（1）证明：∵∠DAB=∠ACB=90°，∴∠DAC +∠BAC=90°，∠BAC +∠B=90°，∴∠B=∠DAC ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，∴Rt △DFA ∽Rt △ACB ，∴=，即AB•AF=BC•AD ，而AD=CD ，∴AB•AF=CB•CD ；（2）解：连结PC ，如图，在Rt △ACB 中，∵AB=15，BC=9，∴AC==12，∵DF ⊥AC ，DA=DC ，∴AF=FC=AC=6，∵∠DFC=∠ACB=90°，∴DE ∥BC ，∴P 点到BC 的距离等于CF ，∴y=S △CPD +S △BCP=•x•6+•9•6=3x +27（x ＞0）．【点评】本题考查了相似三角形的判断与性质：在判定两个三角形相似时，合理利用直角的作用．也考查了利用三角形面积公式列函数关系式．把四边形的面积化为两三角形面积的和是求函数关系式的关键．14．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点．过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，且S 12﹣16S 2+4=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由AD 是△ABC 的角平分线，得到∠BAD=∠DAC ，由于∠E=∠BAD ，等量代换得到∠E=∠DAC ，根据平行线的性质和判定即可得到结果；（2）由BE ∥AD ，得到∠EBD=∠ADC ，由于∠E=∠DAC ，得到△EBD ∽△ADC ，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC ，∵∠E=∠BAD ，。