打印二叉树的结点及层次

二叉树结点关系一、引言二叉树是一种常见的数据结构，它由一组称为结点的元素组成，每个结点包含一个值以及指向左子树和右子树的指针。

本文将探讨二叉树结点之间的关系，包括父结点、子结点、兄弟结点等。

二、父结点在二叉树中，每个结点都有一个父结点，除了根结点。

父结点是指指向当前结点的上一层结点。

可以通过访问结点的指针来获取其父结点。

例如，对于一个给定结点，可以通过访问其指针的地址来获取其父结点的值，这样就可以在树中自由地移动。

三、子结点每个结点可以有零个、一个或两个子结点。

如果一个结点没有子结点，则称其为叶结点。

具有一个子结点的结点称为单子结点，具有两个子结点的结点称为双子结点。

子结点可以通过指针链接到父结点。

对于一个给定的结点，可以通过访问其指针地址来获取其子结点的值。

四、兄弟结点在二叉树中，具有同一个父结点的结点称为兄弟结点。

兄弟结点之间没有直接的链接，但可以通过它们的父结点来互相访问。

兄弟结点在树中的位置是相邻的，它们具有相同的父结点，但没有直接的关联。

五、祖先结点在二叉树中，如果一个结点可以通过一系列的父结点链接到另一个结点，则称该结点为另一个结点的祖先结点。

例如，对于给定的结点，可以通过访问其父结点的指针来遍历到根结点，从而找到该结点所属的祖先结点。

六、后代结点在二叉树中，如果一个结点可以通过一系列的子结点链接到另一个结点，则称该结点为另一个结点的后代结点。

后代结点包括子结点、孙子结点、曾孙结点等。

可以通过递归遍历子结点来获取一个结点的所有后代结点。

七、深度在二叉树中，结点的深度是指从根结点到该结点的路径长度。

根结点的深度为0，其子结点的深度为1，以此类推。

可以通过递归遍历父结点来计算结点的深度。

八、层次在二叉树中，结点的层次是指从根结点到该结点的路径长度加1。

根结点的层次为1，其子结点的层次为2，以此类推。

可以通过递归遍历子结点来计算结点的层次。

九、堂兄弟结点在二叉树中，如果两个结点具有相同的深度，并且它们的父结点不同，则称这两个结点为堂兄弟结点。

二叉树知识点总结1. 二叉树的性质1.1 二叉树的性质一：二叉树的深度二叉树的深度是指从根节点到叶子节点的最长路径长度。

对于一个空树而言，它的深度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的深度为1。

根据定义可知，深度为k的二叉树中，叶子节点的深度值为k。

由此可知，二叉树的深度为所有叶子节点深度的最大值。

1.2 二叉树的性质二：二叉树的高度二叉树的高度是指从根节点到叶子节点的最短路径长度。

对于一个空树而言，它的高度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的高度为1。

由此可知，二叉树的高度总是比深度大一。

1.3 二叉树的性质三：二叉树的节点数量对于一个深度为k的二叉树而言，它最多包含2^k - 1个节点。

而对于一个拥有n个节点的二叉树而言，它的深度最多为log2(n+1)。

1.4 二叉树的性质四：满二叉树满二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的每个节点要么是叶子节点，要么拥有两个子节点。

满二叉树的性质是：对于深度为k的满二叉树而言，它的节点数量一定是2^k - 1。

1.5 二叉树的性质五：完全二叉树完全二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的所有叶子节点都集中在树的最低两层，并且最后一层的叶子节点从左到右依次排列。

对于一个深度为k的完全二叉树而言，它的节点数量一定在2^(k-1)和2^k之间。

2. 二叉树的遍历二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。

二叉树的遍历主要包括前序遍历、中序遍历和后序遍历三种。

2.1 前序遍历（Pre-order traversal）前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。

对于一个二叉树而言，前序遍历的结果就是按照“根-左-右”的顺序访问所有节点。

2.2 中序遍历（In-order traversal）中序遍历的顺序是：左子树 -> 根节点 -> 右子树。

对于一个二叉树而言，中序遍历的结果就是按照“左-根-右”的顺序访问所有节点。

2.3 后序遍历（Post-order traversal）后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。

完全二叉树结点计算方法
1.定义
(1)二叉树中所有叶子节点都在同一层；
(2)除了叶子节点外的每一层上，节点都从左到右完全填充；
(3)树中每个节点的孩子数总是相同的，或者是0，1，2三种情况。

2.计算结点数
（1）若完全二叉树为奇数层的完全二叉树，则树中结点数可以由下式计算：
N=(2^H-1)
其中，N表示结点个数，H表示树的高度。

（2）若完全二叉树为偶数层的完全二叉树，则树中结点数可以由下式计算：
N=(2^(H-1)-1)+2^(H-2)
其中，N表示结点个数，H表示树的高度。

3.应用
完全二叉树在数据结构中的应用比较广泛，常用在实现二叉堆，希尔排序，二叉树等中。

完全二叉树有把满二叉树转换为完全二叉树的性质，所以它比满二叉树更有利于表示和存储，可以把它存储在一维数组中，这是满二叉树所不能相比的。

完全二叉树也应用在了计算机科学中，如字符匹配，编码，词典等方面。

另外，定义完全二叉树及其结点的计算也有实际应用。

⼆叉树遍历（前序、中序、后序、层次、⼴度优先、深度优先遍历）⽬录转载：⼆叉树概念⼆叉树是⼀种⾮常重要的数据结构，⾮常多其他数据结构都是基于⼆叉树的基础演变⽽来的。

对于⼆叉树，有深度遍历和⼴度遍历，深度遍历有前序、中序以及后序三种遍历⽅法，⼴度遍历即我们寻常所说的层次遍历。

由于树的定义本⾝就是递归定义，因此採⽤递归的⽅法去实现树的三种遍历不仅easy理解并且代码⾮常简洁，⽽对于⼴度遍历来说，须要其他数据结构的⽀撑。

⽐⽅堆了。

所以。

对于⼀段代码来说，可读性有时候要⽐代码本⾝的效率要重要的多。

四种基本的遍历思想前序遍历：根结点 ---> 左⼦树 ---> 右⼦树中序遍历：左⼦树---> 根结点 ---> 右⼦树后序遍历：左⼦树 ---> 右⼦树 ---> 根结点层次遍历：仅仅需按层次遍历就可以⽐如。

求以下⼆叉树的各种遍历前序遍历：1 2 4 5 7 8 3 6中序遍历：4 2 7 5 8 1 3 6后序遍历：4 7 8 5 2 6 3 1层次遍历：1 2 3 4 5 6 7 8⼀、前序遍历1）依据上⽂提到的遍历思路：根结点 ---> 左⼦树 ---> 右⼦树，⾮常easy写出递归版本号：public void preOrderTraverse1(TreeNode root) {if (root != null) {System.out.print(root.val+" ");preOrderTraverse1(root.left);preOrderTraverse1(root.right);}}2）如今讨论⾮递归的版本号：依据前序遍历的顺序，优先訪问根结点。

然后在訪问左⼦树和右⼦树。

所以。

对于随意结点node。

第⼀部分即直接訪问之，之后在推断左⼦树是否为空，不为空时即反复上⾯的步骤，直到其为空。

若为空。

则须要訪问右⼦树。

注意。

在訪问过左孩⼦之后。

遍历二叉树课程教案
深度为k ，且有2k -1个结点的二叉树。

二、遍历二叉树
遍历二叉树：指按一定的规律对二叉树的每个结点，访问且仅访问
一次的处理过程。

遍历对线性结构是容易解决的。

而二叉树是非线性的，因而需要寻
找一种规律，使二叉树上的结点能排列在一个线性队列上，从而便于遍
历。

遍历的次序：假如以L 、D 、R 分别表示遍历左子树、遍历根结点和
遍历右子树，规定先左后右，则只有前三种情况，分别规定为：
DLR ——先（根）序遍历，
LDR ——中（根）序遍历，
LRD ——后（根）序遍历。

例题：
图-3 图-4
图-2 满二叉树
1
2 3 4 5 6 7 深 度：K=3 节点数：n=23-1
叶子数：N=23-1。

指定节点在二叉树中的层次（原创实用版）目录1.二叉树的基本概念2.指定节点在二叉树中的层次的计算方法3.实际应用案例正文二叉树是计算机科学中常见的数据结构，其每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。

二叉树在很多问题中都有着广泛的应用，如搜索、排序、存储等等。

在二叉树中，节点的层次是一个非常重要的概念，指定节点在二叉树中的层次可以帮助我们更好地理解树的结构和性质。

计算指定节点在二叉树中的层次，需要先明确二叉树的根节点和叶子节点。

根节点是二叉树的起点，没有父节点；叶子节点是没有子节点的节点，也称为终端节点。

从根节点到指定节点的路径上的节点个数，就是指定节点的层次。

如果指定节点是根节点，那么其层次为 1；如果指定节点是叶子节点，可以通过回溯法或者深度优先搜索（DFS）算法找到其父节点，从而计算出其层次；如果指定节点是非叶子节点，可以通过递归或者迭代的方式计算其层次。

在实际应用中，指定节点在二叉树中的层次经常被用于解决各种问题。

例如，在二叉搜索树（BST）中，我们可以通过指定节点的层次，快速找到其在树中的位置，从而进行插入、删除、查找等操作。

在二叉树遍历中，指定节点的层次也起到了重要的作用。

深度优先搜索（DFS）是一种常用的遍历方法，它可以访问到指定节点的所有子节点，然后递归地遍历子节点，直到访问完所有的节点。

DFS 可以帮助我们找到指定节点的层次，也可以帮助我们解决很多实际问题。

综上所述，指定节点在二叉树中的层次是一个非常重要的概念，可以帮助我们更好地理解二叉树的结构和性质，也可以帮助我们解决很多实际问题。

计算指定节点的层次需要根据不同的情况采用不同的方法，如回溯法、深度优先搜索（DFS）算法等。

按树状打印二叉树的算法树状打印二叉树是一种将二叉树按照树的形状在控制台上打印出来的算法。

这种打印方式可以更直观地展示二叉树的结构，帮助我们更好地理解和分析二叉树。

下面是一个实现二叉树树状打印的算法的代码示例：```pythonclass TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef print_tree(root):# 获取二叉树的深度def get_depth(node):if not node:return 0left_depth = get_depth(node.left)right_depth = get_depth(node.right)return max(left_depth, right_depth) + 1# 打印二叉树def print_node(node, row, start, end):if not node:returnmid = (start + end) // 2matrix[row][mid] = str(node.val)if node.left:print_node(node.left, row + 1, start, mid - 1) if node.right:print_node(node.right, row + 1, mid + 1, end) # 获取二叉树的深度depth = get_depth(root)# 初始化打印矩阵n = 2 ** depth - 1matrix = [['' for _ in range(n)] for _ in range(depth)] # 打印二叉树print_node(root, 0, 0, n - 1)# 输出打印结果for row in matrix:print(' '.join(row))# 示例# 1# / \# 2 3# / \ / \# 4 5 6 7root = TreeNode(1)root.left = TreeNode(2)root.right = TreeNode(3)root.left.left = TreeNode(4)root.left.right = TreeNode(5)root.right.left = TreeNode(6)root.right.right = TreeNode(7)print_tree(root)```以上是一个简单的实现树状打印二叉树的算法，通过递归遍历二叉树，并根据节点的位置将节点值打印到正确的位置。

从上到下输出⼆叉树中每⼀层最右边的节点（⼴度优先遍历）题⽬描述：从上到下输出⼆叉树中每⼀层最右边的节点。

如下图⼆叉树：输⼊为[1,2,3,4,5,'null',6,'null','null',7]要求输出为：[1，3，6，7]题⽬分析：我们需要对⼆叉树进⾏分层，因为只有分层之后才能准确地对每⼀层的节点进⾏遍历，寻找到最右边的节点。

通过⼴度优先搜索算法，我们可以根据其层次性取出每⼀层的数据，然后把每层的结果（最右边的节点）加⼊最终结果中。

现在我们为每个节点设定⼀个层级，⽐如根节点的层级是第 1 层，根节点的⼦节点的层级是第 2 层，再往下的节点的层级依次递增。

这个题⽬可以说是⼆叉树⼴度优先搜索问题的⼀种变形，我们只需要将⼀整层放⼊队列，寻找到最右边的节点，再通过队列中的节点更新下⼀层的节点，将所有下⼀层的节点放⼊队列，并把前⼀层的节点移出队列，直到没有节点可以加⼊队列，队列为空为⽌。

既然是⼴度优先搜索算法，那么⼀定要⽤到队列，使⽤队列来保存待处理的节点。

⼴度优先搜索算法代码的第⼀个核⼼是先取出每层的节点，然后处理该节点，之后把下⼀层的⼦节点都存⼊队列并移出上层已处理的节点，以此类推，直到队列为空，处理就完毕了。

为了保证⼴度优先搜索是⼀层层遍历，⽽不是按遍历的节点到根节点的距离的远近来遍历，需更新队列的时候加⼊⼀层 for 循环，保证这⼀层的节点均已⽤于更新下⼀层节点并已被移出队列。

⼴度优先搜索算法代码的第⼆个核⼼便是如何找到每层的最右边⼀个节点。

为了最⽅便快捷地寻找到题⽬所要求的节点，建议使⽤ list 列表来模拟队列，原因很简单：当⼀个队列只存储⼀层节点时，使⽤ list 列表可以直接访问队尾的节点，也就是该层最右边的节点，从⽽直接找到题⽬要求的答案。

代码：class Treenode:def __init__(self,val):self.val=valself.left=Noneself.right=Nonedef bfs(root):res=[]queue=[root]while queue:level_size=len(queue)res.append(queue[-1].val)for i in range(level_size):top=queue.pop(0)if top.left:queue.append(top.left)if top.right:queue.append(top.right)return restree=[]Input=input().split()cnt=1for item in Input:temp=Treenode(item)tree.append(temp)for item in tree:if item.val=='null':continueif 2*cnt<=len(Input) and tree[2*cnt-1]!='null': item.left=tree[2*cnt-1]if 2*cnt+1<=len(Input) and tree[2*cnt]!='null': item.right=tree[2*cnt]cnt+=1ans=bfs(tree[0])print(ans)。

二叉树各个结点层次的算法在计算机科学中，二叉树的层次遍历是一种遍历二叉树的方法，其中每个节点都按照从上到下、从左到右的顺序访问。

层次遍历通常使用队列实现。

以下是使用Python实现二叉树的层次遍历的算法：pythonfrom collections import dequeclass Node:def __init__(self, data):self.left = Noneself.right = Noneself.data = datadef level_order_traversal(root):if root is None:return []result, queue = [], deque([root]) while queue:level_size = len(queue)current_level = []for _ in range(level_size):node = queue.popleft()current_level.append(node.data) if node.left:queue.append(node.left)if node.right:queue.append(node.right)result.append(current_level)return result在这个算法中，我们首先检查根节点是否为空。

如果为空，我们返回一个空列表。

然后，我们创建一个空的结果列表和一个队列，并将根节点添加到队列中。

接下来，我们进入一个循环，只要队列不为空，我们就继续循环。

在每一轮循环中，我们首先获取队列的长度，这将是当前层的节点数。

然后，我们创建一个空列表来存储当前层的节点值。

接着，我们遍历当前层的所有节点，并依次将它们从队列中弹出，然后将它们的值添加到当前层的列表中。

如果节点有左子节点或右子节点，我们将它们添加到队列中。

最后，我们将当前层的列表添加到结果列表中。

最后，当我们完成所有层的遍历时，我们返回结果列表。

先序递归建立二叉树班级2012211313姓名:胡卓学号:2012211468姓名:郭志刚学号:2012211475分工情况:郭志刚BiTree CreateBiTree(BiTree& T)//先序递归创建二叉树int main() 胡卓void Print(BiTree& T,int t) int LEAF(BiTree& T)//计算叶子节点完成日期:2013-11-6问题描述:1）用先序递归过程建立二叉树(存储结构：二叉链表)输入数据按先序遍历所得序列输入，当某结点左子树或右子树为空时，输入‘*’号，如输入abc**d**e**得到的二叉树为：ea db页脚内容1c（选做：由二叉树的先序序列和中序序列建立一棵二叉树。

）2）编写递归算法，计算二叉树中叶子结点的数目。

3）按凹入表方式输出该二叉树。

算法思想:定义二叉树的数据结构类型typedef struct BiTNode//{char data;struct BiTNode*lchild,*rchild;//左右子树}BiTNode,*BiTree;1.先序递归创建二叉树BiTree CreateBiTree(BiTree& T)｛T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));T->data='\0';页脚内容2char ch;scanf("%c",&ch);if(ch!='*'){T->data=ch;T->lchild=CreateBiTree(T->lchild);T->rchild=CreateBiTree(T->rchild);}else if(ch=='*')return NULL;if((T->lchild==NULL&&T->rchild==NULL)||(T->lchild==NULL&&T->rchild->data!='\0')||(T->lchild->data!='\0'& &T->rchild==NULL)||(T->lchild->data!='\0'&&T->rchild->data!='\0'))return T;}2.计算叶子节点int LEAF(BiTree& T)页脚内容3{if(T->lchild==NULL&&T->rchild==NULL)return 1;else if(T->lchild==NULL&&T->rchild->data!='\0')return LEAF(T->rchild);else if(T->lchild->data!='\0'&&T->rchild==NULL)return LEAF(T->lchild);elsereturn (LEAF(T->lchild)+LEAF(T->rchild));}3.凹入表打印二叉树void Print(BiTree& T,int t){int i;if(T){Print(T->rchild,t+5);页脚内容4for(i=0;i<t;i++){printf(" ");}printf("%5c\n",T->data);Print(T->lchild,t+5);}}4.主函数int main(){BiTree T;printf("*******************************************\n");printf("****************欢迎打印二叉树*************\n");printf("*******************************************\n");printf("请按先序遍历所得数据输入(当某节点是叶子节点时用'*'表示)：\n");T=CreateBiTree(T);页脚内容5printf("叶子节点的个数是: ");printf(" %d\n",LEAF(T));printf("打印该二叉树结构后的结果为:\n");Print(T,5);system("pause");}设计描述:源程序:#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<malloc.h>#define Maxsize 100#define OVERFLOW -1#define ERROR 0int pi=0;typedef struct BiTNode//定义二叉树的数据结构类型{char data;页脚内容6struct BiTNode*lchild,*rchild;//左右子树}BiTNode,*BiTree;BiTree CreateBiTree(BiTree& T)//先序递归创建二叉树{T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));T->data='\0';char ch;scanf("%c",&ch);if(ch!='*'){T->data=ch;T->lchild=CreateBiTree(T->lchild);T->rchild=CreateBiTree(T->rchild);}else if(ch=='*')return NULL;页脚内容7if((T->lchild==NULL&&T->rchild==NULL)||(T->lchild==NULL&&T->rchild->data!='\0')||(T->lchild->data!='\0'& &T->rchild==NULL)||(T->lchild->data!='\0'&&T->rchild->data!='\0'))return T;}int LEAF(BiTree& T)//计算叶子节点{if(T->lchild==NULL&&T->rchild==NULL)return 1;else if(T->lchild==NULL&&T->rchild->data!='\0')return LEAF(T->rchild);else if(T->lchild->data!='\0'&&T->rchild==NULL)return LEAF(T->lchild);elsereturn (LEAF(T->lchild)+LEAF(T->rchild));}void Print(BiTree& T,int t)页脚内容8{int i;if(T){Print(T->rchild,t+5);for(i=0;i<t;i++){printf(" ");}printf("%5c\n",T->data);Print(T->lchild,t+5);}}int main(){BiTree T;页脚内容9printf("*******************************************\n");printf("****************欢迎打印二叉树*************\n");printf("*******************************************\n");printf("请按先序遍历所得数据输入(当某节点是叶子节点时用'*'表示)：\n");T=CreateBiTree(T);printf("叶子节点的个数是: ");printf(" %d\n",LEAF(T));printf("打印该二叉树结构后的结果为:\n");Print(T,5);system("pause");}页脚内容10测试结果:页脚内容11用户使用说明:请按先序遍历所得数据输入（当某节点是叶子时用‘*’表示）：（输入先序遍历序列）叶子节点的个数是：（显示叶子节点的个数）打印该二叉树结构后的结果为：（显示二叉树结构直观凹入图）心得体会:通过对二叉树的学习与同学之间的交流，我对二叉树及其递归建立和遍历有了更加深入的了解，感觉学到了很多东西，感受到了学习的乐趣。

完全二叉树的总结点数公式在解决完全二叉树问题时，有一个重要的公式可以帮助我们计算完全二叉树的总结点数。

根据完全二叉树的特性，我们可以通过判断左子树或右子树的高度来确定完全二叉树是满二叉树还是完全二叉树，并利用递归的方式计算总结点数。

下面是完全二叉树总结点数的公式：若完全二叉树的高度为h，根节点的高度为0，那么：-如果左子树的高度等于右子树的高度（即完全二叉树是满二叉树），则左子树为高度为h-1的满二叉树，其总结点数为2^(h-1)-1，右子树为高度为h-2的完全二叉树，其总结点数可以通过递归的方式计算。

-如果左子树的高度大于右子树的高度（即完全二叉树不是满二叉树），则右子树为高度为h-1的满二叉树，其总结点数为2^(h-2)-1，左子树为高度为h-1的完全二叉树，其总结点数可以通过递归的方式计算。

具体地，我们可以通过以下步骤来计算完全二叉树的总结点数：1.对于给定的完全二叉树，首先计算树的高度h。

可以从根节点开始，通过逐层遍历左子树来计算。

2.判断左子树和右子树的高度是否相等。

如果相等，表示完全二叉树是满二叉树，根据上述公式计算左子树和右子树的总结点数。

3.如果左子树的高度大于右子树的高度，表示完全二叉树不是满二叉树，根据上述公式计算左子树和右子树的总结点数。

4.将左子树和右子树的总结点数相加，并加上根节点，即得到完全二叉树的总结点数。

下面是一个具体的例子来说明完全二叉树的总结点数公式：```/\23/\/\4567```对于上述的完全二叉树，根节点的高度为0，左子树的高度为1，右子树的高度为2、因此，左子树为高度为1的完全二叉树，其总结点数为2^1-1=1，右子树为高度为2的完全二叉树，其总结点数为2^2-1=3、将左子树和右子树的总结点数相加，并加上根节点，即1+3+1=5，所以该完全二叉树的总结点数为5综上所述，完全二叉树的总结点数公式为根据完全二叉树的特性来判断树是满二叉树还是完全二叉树，并利用递归的方式计算总结点数。

数据结构⼆叉树知识点总结术语1. 节点的度：⼀个节点含有的⼦树的个数称为该节点的度；2. 叶节点或终端节点：度为零的节点；3. ⾮终端节点或分⽀节点：度不为零的节点；4. ⽗亲节点或⽗节点：若⼀个节点含有⼦节点，则这个节点称为其⼦节点的⽗节点；5. 兄弟节点：具有相同⽗节点的节点互称为兄弟节点；6. 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的⼦节点为第2层，以此类推；7. 树的⾼度或深度：树中节点的最⼤层次；8. 堂兄弟节点：⽗节点在同⼀层的节点互为堂兄弟；9. 节点的祖先：从根到该节点所经分⽀上的所有节点；10. 孙：以某节点为根的⼦树中任⼀节点都称为该节点的⼦孙。

11. 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；12. 满⼆叉树：⼀棵深度为k，且有2^k-1 (2的k次⽅减⼀)个节点称之为满⼆叉树13. 完全⼆叉树：完全⼆叉树是由满⼆叉树⽽引出来的。

对于深度为K的，有n个结点的⼆叉树，当且仅当其每⼀个结点都与深度为K的满⼆叉树中编号从1⾄n的结点⼀⼀对应时称之为完全⼆叉树。

叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下⾯⼀层的结点都集中在该层最左边的若⼲位置的⼆叉树⼆叉树的性质1.在⾮空⼆叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1),i>=1；2.深度为h的⼆叉树最多有2^h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；3.对于任意⼀棵⼆叉树，如果其叶结点数为N0，⽽度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；4.具有n个结点的完全⼆叉树的深度为K =[log2n」+1(取下整数)5.有N个结点的完全⼆叉树各结点如果⽤顺序⽅式存储，则结点之间有如下关系：若I为结点编号则如果I>1，则其⽗结点的编号为I/2；6.完全⼆叉树，如果2*I<=N，则其左⼉⼦（即左⼦树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则⽆左⼉⼦；如果2*I+1<=N，则其右⼉⼦的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则⽆右⼉⼦。

二叉树知识点总结二叉树是一种常见的数据结构，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。

以下是关于二叉树的知识点总结。

1. 二叉树的基本概念二叉树是一种树形结构，它由节点和边组成。

每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

如果一个节点没有子节点，则称其为叶子节点。

二叉树可以为空。

2. 二叉树的遍历方式遍历是指按照一定顺序访问二叉树中的所有节点。

常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历：先访问当前节点，然后递归访问左子树和右子树。

中序遍历：先递归访问左子树，然后访问当前节点，最后递归访问右子树。

后序遍历：先递归访问左子树和右子树，最后访问当前节点。

3. 二叉搜索树二叉搜索树（Binary Search Tree）也称为有序二叉树或排序二叉树。

它是一种特殊的二叉树，在满足以下条件的情况下被称为“搜索”：对于任意节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值。

对于任意节点，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。

左右子树也分别为二叉搜索树。

二叉搜索树支持快速查找、插入和删除操作。

它还有一些变种，如平衡二叉搜索树（AVL Tree）和红黑树（Red-Black Tree）等。

4. 二叉堆二叉堆是一种特殊的完全二叉树，它分为最大堆和最小堆两种类型。

最大堆满足父节点的值大于等于其子节点的值，最小堆满足父节点的值小于等于其子节点的值。

在最大堆中，根节点是整个堆中最大的元素；在最小堆中，根节点是整个堆中最小的元素。

二叉堆常用来实现优先队列（Priority Queue），即按照一定优先级顺序处理元素。

5. 二叉树常见问题5.1 判断是否为平衡二叉树平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是指任意节点左右子树高度差不超过1的二叉搜索树。

判断一个二叉搜索树是否为平衡二叉树可以通过递归遍历每个节点，计算其左右子树的高度差。

5.2 判断是否为完全二叉树完全二叉树（Complete Binary Tree）是指除了最后一层外，其他层都是满的，并且最后一层的节点都靠左排列的二叉树。

基本概念结点的层次（Level）从根开始定义，根为第一层，根的孩子为第二层。

二叉树的高度：树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度。

二叉树在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的有序树。

通常子树的根被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。

二叉树常被用作二叉查找树和二叉堆。

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

二叉树的第i层至多有2的（i-1）次方个结点；深度为k的二叉树至多有2的k次− 1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。

树和二叉树的2个主要差别：1. 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；2. 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。

……树是一种重要的非线性数据结构，直观地看，它是数据元素（在树中称为结点）按分支关系组织起来的结构，很象自然界中的树那样。

树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构都可用树形象表示。

树在计算机领域中也得到广泛应用，如在编译源程序如下时，可用树表示源源程序如下的语法结构。

又如在数据库系统中，树型结构也是信息的重要组织形式之一。

一切具有层次关系的问题都可用树来描述。

一、树的概述树结构的特点是：它的每一个结点都可以有不止一个直接后继，除根结点外的所有结点都有且只有一个直接前趋。

以下具体地给出树的定义及树的数据结构表示。

（一）树的定义树是由一个或多个结点组成的有限集合，其中：⒈必有一个特定的称为根(ROOT)的结点；⒉剩下的结点被分成ｎ>=0个互不相交的集合T1、T2、......Tn，而且，这些集合的每一个又都是树。

树T1、T2、......Tn被称作根的子树(Subtree)。

树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。

从键盘接受输入（先序），以二叉链表作为存储结构，建立二叉树（以先序来建立），并采用递归算法对其进行遍历（先序、中序、后序），将遍历结果打印输出，按凹入表形式横向打印二叉树结构，即二叉树的根在屏幕的最左边，二叉树的左子树在屏幕的下边，二叉树的右子树在屏幕的上边首先声明二叉树结点类:文件名为: BinaryNode.h#ifndef _BINARYNODE_H#define _BINARYNODE_H#include<iostream>usingnamespace std;template<class T>class BinaryNode{public:T data;BinaryNode<T> *left,*right;BinaryNode(T data,BinaryNode<T>*left=NULL,BinaryNode<T>*right=NULL){this->data=data;this->left=left;this->right=right;}};#endif然后声名二叉树类:文件名为BinaryTree.h其中包含二叉树的三种遍历方法#ifndef _BINARYTREE_H#define _BINARYTREE_H#include"BinaryNode.h"#include<iostream>usingnamespace std;template<class T>class BinaryTree{public:BinaryNode<T>*root;BinaryTree();BinaryTree(T prelist[],int n);bool isEmpty();void preOrder();void inOrder();void postOrder();void OppositeInOrder();private:BinaryNode<T>*create(T prelist[],int n,int&i);void preOrder(BinaryNode<T> *p);void inOrder(BinaryNode<T> *p);void postOrder(BinaryNode<T> *p);void OppositeInOrder(BinaryNode<T> *p,int space);int height(BinaryNode<T> *p);};template<class T>BinaryTree<T>::BinaryTree(){root=NULL;}template<class T>bool BinaryTree<T>::isEmpty(){return root==NULL;}template<class T>BinaryTree<T>::BinaryTree(T prelist[],int n){int i=0;root=create(prelist,n,i);}template<class T>BinaryNode<T>*BinaryTree<T>::create(T prelist[],int n,int&i){ BinaryNode<T>*p=NULL;if(i<n){T elem=prelist[i];i++;if(elem!=NULL){p=new BinaryNode<T>(elem);p->left=create(prelist,n,i);p->right=create(prelist,n,i);}}return p;}template<class T>void BinaryTree<T>::preOrder(){cout<<" 前序遍历二叉树";preOrder(root);cout<<endl;}template<class T>void BinaryTree<T>::preOrder(BinaryNode<T>*p){ if(p!=NULL){cout<<p->data<<"";preOrder(p->left);preOrder(p->right);}}template<class T>void BinaryTree<T>::inOrder(){cout<<" 中序遍历二叉树";inOrder(root);cout<<endl;}template<class T>void BinaryTree<T>::inOrder(BinaryNode<T>*p){ if(p!=NULL){inOrder(p->left);cout<<p->data<<"";inOrder(p->right);}}template<class T>void BinaryTree<T>::postOrder(){cout<<" 后序遍历二叉树";postOrder(root);cout<<endl;}template<class T>void BinaryTree<T>::postOrder(BinaryNode<T>*p){if(p!=NULL){postOrder(p->left);postOrder(p->right);cout<<p->data<<"";}}#endif然后是主函数:包含二叉树的凹入表横向打印打印以及逆中序遍历#include"BinaryTree.h"#include<iostream>usingnamespace std;void main(){charprelist[]={'a','b','d',NULL,NULL,'e',NULL,NULL,'c','f',NULL,NULL,'g',NULL,NULL,} cout<<"创建二叉树:"<<endl;cout<<" 请输入:";cin>>prelist;BinaryTree<char>bitree(prelist,15);cout<<"遍历二叉树"<<endl;bitree.preOrder();bitree.inOrder();bitree.postOrder();cout<<"凹入表横向打印二叉树:\n"<<endl;bitree.OppositeInOrder();return;}template<class T>void BinaryTree<T>::OppositeInOrder(){int space=0;OppositeInOrder(root,space);cout<<endl;}template<class T>void BinaryTree<T>::OppositeInOrder(BinaryNode<T>*p,int space){ if(p!=NULL){OppositeInOrder(p->right,space+5);int i;for(i=0;i<space;i++)cout<<" ";cout<<p->data<<"\n";OppositeInOrder(p->left,space+5);}}。

目录一．引言-----------------------------------------------------------------------21. 摘要---------------------------------------------------------------------------22. 关键字------------------------------------------------------------------------2 二．正文1. 需求分析-------------------------------------------------------------------------------------------22. 数据结构---------------------------------------------------------------------23. 算法设计---------------------------------------------------------------------3 3.1概要设计---------------------------------------------------------------------------------------------33.2详细设计--------------------------------------------------------------------------------------------44. 调试分析----------------------------------------------------------------------65. 测试结果----------------------------------------------------------------------66.源程序---------------------------------------------------------------------------97. 不足之处----------------------------------------------------------------------158.设计体会-----------------------------------------------------------------------16 四．参考文献-------------------------------------------------------------------16一. 引言二叉树是树形结构的一个重要类型，许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树的形式，即使是一般的树也能简单地转换为二叉树，因此，二叉树显得特别重要。

二叉树结点计算公式一、二叉树的结点计算公式1. 结点数计算公式二叉树的结点数可以通过递归计算的方式得到。

对于一个二叉树，其结点数等于左子树的结点数加上右子树的结点数再加1（根结点）。

2. 叶子结点数计算公式叶子结点是指没有子结点的结点。

二叉树的叶子结点数可以通过递归计算的方式得到。

对于一个二叉树，如果根结点为空，则叶子结点数为0；否则，叶子结点数等于左子树的叶子结点数加上右子树的叶子结点数。

3. 二叉树的深度计算公式二叉树的深度是指从根结点到叶子结点的最长路径长度。

可以通过递归计算的方式得到二叉树的深度。

对于一个二叉树，如果根结点为空，则深度为0；否则，深度等于左子树的深度和右子树的深度中的较大值加1。

4. 二叉树的高度计算公式二叉树的高度是指从叶子结点到根结点的最长路径长度。

可以通过递归计算的方式得到二叉树的高度。

对于一个二叉树，如果根结点为空，则高度为0；否则，高度等于左子树的高度和右子树的高度中的较大值加1。

5. 二叉树的平衡因子计算公式二叉树的平衡因子是指一个结点的左子树的高度减去右子树的高度。

可以通过递归计算的方式得到二叉树的平衡因子。

对于一个二叉树，如果根结点为空，则平衡因子为0；否则，平衡因子等于左子树的高度减去右子树的高度。

1. 计算二叉树的结点数假设有一棵二叉树，根结点是A，左子树是B，右子树是C。

根据结点计算公式，结点数等于左子树的结点数加上右子树的结点数再加1，即结点数=结点数(B) + 结点数(C) + 1。

2. 计算二叉树的深度假设有一棵二叉树，根结点是A，左子树是B，右子树是C。

根据结点计算公式，深度等于左子树的深度和右子树的深度中的较大值加1，即深度=MAX(深度(B), 深度(C)) + 1。

3. 计算二叉树的平衡因子假设有一棵二叉树，根结点是A，左子树是B，右子树是C。

根据结点计算公式，平衡因子等于左子树的高度减去右子树的高度，即平衡因子=高度(B) - 高度(C)。

C++命令⾏窗⼝打印⼆叉树（图形）写这个程序的⽬的是学习数据结构的时候⽅便调试，学习起来也⽐较直观。

这个是我测试SplayTree时候的gifSTEP 1新建⼀个头⽂件,命名为DrawATree.hh, 将以下内容复制进去#ifndef DRAWTREE_HH#define DRAWTREE_HH#include <ostream>#include <sstream>#include <iostream>#include <cmath>#include <algorithm>namespace{#define lChild l_child_ //使⽤前将 l_child_ 更换为⾃⼰树节点的左孩⼦的名字#define rChild r_child_ //使⽤前将 r_child_ 更换为⾃⼰树节点的右孩⼦的名字#define data data_ //使⽤前将 data_ 更换为⾃⼰树节点的数据的变量名#define MAXN (1000) //这棵树的节点上限#define PERID (2) //打印两个节点的横坐标间隔unsigned int SUM; //统计当前遍历到第⼏个节点#ifdef _WIN32void clear() {system("cls"); }#elif __linux__void clear() { system("clear"); }#endif// 将光标移动到 (X,Y)std::string AXIS(int X, int Y) {std::stringstream ss;ss<< "\033["<< Y << ";" <<X<<"H";return ss.str();}struct DrawNode{int x,y,dataSize;}axisArray[MAXN];//计算节点数据输出的长度template <typename TreePtr>int dataSize(TreePtr const& root) {std::stringstream ss;ss << (root->data);return (ss.str()).length();}//中序遍历, 从左往右画节点(不连线)//横坐标通过全局变量SUM和上⼀个节点数据的输出长度算出//纵坐标通过递归深度判断//PERID 是两个节点间隔长度template <typename TreePtr>void buildDrawTree (TreePtr const& root, int deep) {if(!root) return; //判断空节点,如果你的节点判空和我不⼀样,这⾥也要改, ⽐如我之前的判断空节点是(root->height_== -1).if(root->lChild) buildDrawTree(root->lChild, deep+1);axisArray[SUM] = (struct DrawNode){axisArray[SUM-1].x+axisArray[SUM-1].dataSize+PERID, deep, dataSize(root)};std::cout << AXIS(axisArray[SUM].x, axisArray[SUM].y) << root->data;++SUM;if(root->rChild) buildDrawTree(root->rChild, deep+1);}template <typename TreePtr>void Draw (TreePtr const& t) { //画树函数clear(); //清屏SUM = 1;int maxy = 0;buildDrawTree<TreePtr> (t, 2); //每个结点画出来//画节点间连线,因为画的节点不会太多,所以就写了n^2的算法,⽐较好实现//每个节点只有⼀个⽗节点,所以画出每个节点和⾃⼰⽗节点的连线即可for(int i=1; i<SUM; i++) {//x,y是⼦节点的坐标,p是⽗节点的axisArray数组的下标, px,py是⽗节点的坐标;int x = axisArray[i].x, y = axisArray[i].y, p=0, px=0, py=y-1;if(y==1) continue; // 根结点没有⽗节点,跳过for(int j=1; j<SUM; j++) { //循环找⽗节点if(i==j) continue;if((!p || abs(axisArray[j].x-x) < abs(px-x)) && axisArray[j].y+1 == y)p = j, px = axisArray[j].x;}int s = (2*x+axisArray[i].dataSize)>>1;std::cout << AXIS(s,py) << '+';if(s<px)for(int i=s+1; i<px; i++) std::cout << AXIS(i,py) << '-';elsefor(int i=px+axisArray[p].dataSize;i<s; i++) std::cout << AXIS(i,py) << '-';maxy = std::max(maxy, y);}std::cout << AXIS(1,maxy+1); //打印完把光标移到最下边.// getchar();}} // namespace#endifSTEP 2修改头⽂件DrawATree.hh 第12,13,14,51⾏代码,如果需要的话. 代码中有注释说明怎么修改.STEP 3测试你的源代码.要保证你的节点数据可以⽤cout<<输出#include "DrawATree.hh"#include "YourTree.hh"int main() {YourTreeType t;Draw(t.root()); // 这⾥要传⼊你的根结点的指针!}实例:树的头⽂件: Tree.hhtypedef struct TreeNode Node;typedef Node* PtrNode;struct TreeNode{char c_;PtrNode l_child_, r_child_;TreeNode(char c) : c_(c), l_child_(0), r_child_(0) {} void Insert(PtrNode p, bool left);};void Node::Insert(PtrNode p, bool left) {if(left) l_child_ = p;else r_child_ = p;}源代码:#include "Tree.hh"#include "DrawATree.hh"#define left (1)#define right (0)int main() {PtrNode root = new TreeNode('a');root->Insert(new TreeNode('b'), left);root->Insert(new TreeNode('c'), right);Draw(root);getchar();}效果:。