八年级因式分解难题(附答案及解析)

05月21日数学（因式分解难题）2一．填空题（共10小题）1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．4．分解因式：4x2﹣4x﹣3=．5．利用因式分解计算：2022+202×196+982=．6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是．7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=．8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=．10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x ﹣1）（x+5），则b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x （x+1），则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x ﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．05月21日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为160 ．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为：160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多项式为2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．3．（春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是±4．【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（秋•利川市期末）分解因式：4x2﹣4x﹣3= （2x﹣3）（2x+1）．【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（春•东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202×196+982=90000 ．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（秋•浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出：a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，解得：a=b=c，所以，△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．7．（秋•鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= 5151 ．【分析】通过观察，原式变为1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）=（1+101）×101÷2=5151．故答案为：5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b 不一定等于b★a，本选项错误；③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（春•张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 0 ．【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是：0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（春•昆山市期末）若多项式x2﹣6x﹣b 可化为（x+a）2﹣1，则b的值是﹣8 ．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（x+a）2﹣1，∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，解得：a=﹣3，b=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【分析】用平方差公式展开（n+7）2﹣（n﹣3）2，看因式中有没有20即可．【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2=（n+7+n ﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），∴（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（秋•农安县校级期末）因式分解：4x2y ﹣4xy+y．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（秋•成都校级期末）因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=a（a2﹣b2）=a （a+b）（a﹣b）；（2）原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？【分析】（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（秋•太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500 ．【分析】（1）利用36=102﹣82；=5052﹣5032说明36是“和谐数”，不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：22﹣02=4，最大的为：502﹣482=196，将它们全部列出不难求出他们的和．【解答】解：（1）36是“和谐数”，不是“和谐数”．理由如下：36=102﹣82；=5052﹣5032；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），∵（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣02）+（42﹣22）+（62﹣42）+…+（502﹣482）=502=2500．故答案是：2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（春•兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，∴a2+b2=169．将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）∴正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵现有三种纸片各8张，∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．17．（秋•莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1 = （a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．【解答】解：（1）①长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（a+1）2；②a2+2a+1=（a+1）2；（2）①如图，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．18．（秋•海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1= 4你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；（3）根据（1）所推出的结论，即可推出Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；（4）根据（3）的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3；（2）∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），∴3×1=a3+b3﹣1，∴a3+b3=4，即S3=4；∵S4=（a2+b2）2﹣2（ab）2=7，∴S4=7；（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，∴S2+S3=S4，∴Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；（3）∵Sn﹣2+Sn﹣1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律：Sn﹣2+Sn﹣1=Sn．19．（春•重庆校级期末）（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；（2）4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）=（a﹣1）（4a2﹣4a+1）=（a﹣1）（2a﹣1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（春•惠山区校级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c= 7 ．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a ﹣b+c的值．【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0∴（x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又c是正整数，∴c最大为6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（秋•温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ﹣3 ；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x ﹣1）（x+5），则b= 9 ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx ﹣5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k的值为12．故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（春•碑林区校级期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c，故△ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（秋•北辰区校级期末）分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x4﹣2x2y2+y4）=2（x2﹣y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（秋•苏州期末）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn ．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2= 9 ．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（2）题．（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣40=9；（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．26．（秋•海淀区期末）已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为a﹣b=8，所以a=b+8．（1分）又ab+c2+16=0，所以（b+8）b+c2+16=0．（2分）即（b+4）2+c2=0．又（b+4）2≥0，c2≥0，则b=﹣4，c=0．（4分）所以a=4，（5分）所以2a+b+c=4．（6分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（春•北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=，（1+b）（c+1+a+ac）=，（1+b）（c+1）（a+1）=，只能分解为3×3×223∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223∴a、b、c也只能分别为2、2、222∴长方体的体积abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（秋•普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．【分析】把（x2﹣4x）看作一个整体，先把﹣15写成3×（﹣5），利用十字相乘法分解因式，再把3写成（﹣1）×（﹣3），﹣5写成1×（﹣5），分别利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15，=（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5），=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（春•镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2 次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x （x+1），则需应用上述方法次，结果是（1+x）．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）需应用上述方法次，结果是（1+x）．（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x （x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（x+1）n+x（x+1）n，=（x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（春•射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．【分析】（1）根据（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，得出有关m，n 的方程组求出即可；（2）由把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．【解答】解：（1）方法一：因（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，=x3﹣5x2+x+10，（2分）所以，解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x=0，x=1，即可求出：m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）。

2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题） 2一．填空题（共 10 小题）1．已知 x+y=10， xy=16，则 x 2y+xy 2 的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x ﹣1）（x ﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成 2（x ﹣2）（ x ﹣ 4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．．若多项式x 2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则 m 的值是 ．34．分解因式： 4x 2﹣4x ﹣ 3=．5．利用因式分解计算： 2022+202× 196+982= ．．△ 三边 a ，b ，c 满足 a 2+b 2+c 2，则△ ABC 的形状是 ．6 ABC =ab+bc+ca 7．计算： 12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯﹣1002+1012=．8．定义运算 a ★b=（ 1﹣ a ） b ，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣ 2）=3②a ★b=b ★a③若 a+b=0，则（ a ★ a ） +（ b ★ b ） =2ab④若 a ★ b=0，则 a=1 或 b=0．其中正确结论的序号是 （填上你认为正确的所有结论的序号） ．9 ．如果 1+a+a 2+a 3 ，代数式 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8 = ．=0 a+a．若多项式2﹣6x ﹣ b 可化为（ x+a ）2﹣1，则 b 的值是．10x二．解答题（共 20 小题）11．已知 n 为整数，试说明（ n+7）2﹣（ n ﹣3）2的值一定能被 20 整除． 12．因式分解： 4x 2y ﹣4xy+y ．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（ x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2 +2mn+2n2﹣ 6n+9=0，求 m 和 n 的值．解：∵ m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（ m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若 x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求 x y的值．（2）已知△ ABC的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足a2+b2﹣ 6a﹣6b+18+| 3﹣c| =0，请问△ ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如 4=22﹣02，12=42﹣22， 20=62﹣42，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数．（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和为．16．如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形①、长为 b 宽为 a 的长方形②以及边长为 b 的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式 a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（ 1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知 a+b=1，ab=﹣1，设 s1=a+b， s2=a2+b2，s3=a3+b3，⋯，s n=a n+b n（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为 a+b=1，ab=﹣1，所以 s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ ab（a+b）=1×s2﹣（﹣ 1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中 s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出 s n﹣2， s n﹣1，s n三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算： 9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式： 4a（a﹣1）2﹣（ 1﹣a）20．阅读材料：若 m 2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求 m、n 的值．解：∵ m2﹣2mn+2n2﹣ 8n+16=0，∴（ m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（ m﹣ n）2+（n﹣4）2=0，∴（ m﹣n）2=0，（ n﹣ 4）2=0，∴ n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 x﹣y 的值．（2）已知△ ABC的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足a2+b2﹣ 6a﹣8b+25=0，求△ ABC的最大边 c 的值．（3）已知 a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则 a﹣b+c=．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 x2﹣4x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及 m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则 x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n解得： n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（ x﹣7）， m 的值为﹣ 21．问题：（1）若二次三项式 x2﹣5x+6 可分解为（ x﹣ 2）（x+a），则 a=；（2）若二次三项式 2x2+bx﹣5 可分解为（ 2x﹣1）（ x+5），则 b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣ k 有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k 的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣ 1；（3）6xy2﹣ 9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2．23．已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（ a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣ n）2、 mn 之间的等量关系是．（3）若 x+y=7，xy=10，则（ x﹣y）2=．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知 a、b、c 满足 a﹣b=8，ab+c2+16=0，求 2a+b+c 的值．27 ．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、 b 、 c ，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣ 2（ x2﹣4x）﹣ 15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（ x+1）2=（ 1+x） [ 1+x+x（x+1）]=（ 1+x）2（ 1+x）=（ 1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（ x+1）2+⋯+x（x+1）n（n 为正整数）．30．对于多项式 x3﹣5x2+x+10，如果我们把 x=2 代入此多项式，发现多项式 x3﹣5x2 +x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（ x﹣ 2）（注：把 x=a 代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（ x﹣a）），于是我们可以把多项式写成： x3﹣5x2+x+10=（x﹣ 2）（x2+mx+n），（1）求式子中 m 、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣ 2x2﹣ 13x ﹣10 的因式．2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一．填空题（共10 小题）1．（2016 秋 ?望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2的值为160．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵ x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为： 160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016 秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（ x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成 2（ x﹣2）（x﹣ 4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x ﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（ x﹣ 2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式 2 后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵ 2（x﹣ 1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（ x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣ 12x+16；∴原多项式为 2x2﹣12x+18．2x2﹣ 12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．3．（2015 春?昌邑市期末）若多项式x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则m 的值是± 4．【分析】利用完全平方公式（ a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（ a﹣ b）2=（ a+b）2﹣ 4ab 计算即可．【解答】解：∵ x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：± 4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（2015 秋 ?利川市期末）分解因式： 4x2﹣ 4x﹣3= （2x﹣ 3）（2x+1）．【分析】 ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1， a2的积 a1?a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1， c2的积 c1?c2，并使 a1c2+a2c1正好是一次项 b，那么可以直接写成结果： ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解： 4x2﹣ 4x﹣3=（ 2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（2015 春?东阳市期末）利用因式分解计算： 2022+202×196+982=90000．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．第 9页（共 31页）=（ 202+98）2=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（2015 秋 ?浮梁县校级期末）△ ABC三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（ a﹣ b）2+（a ﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出： a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac 等号两边均乘以 2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣ 2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（ a﹣b）2+（ a﹣ c）2+（b﹣c）2=0，解得： a=b=c，所以，△ ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ ABC是等边三角形．7．（2015 秋?鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯﹣1002+1012= 5151．【分析】通过观察，原式变为 1+（32﹣22）+（52﹣ 42）+（1012﹣ 1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解： 12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯﹣1002+1012=1+（32﹣22） +（ 52﹣42） +（ 1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+⋯+（101+100）=（ 1+101）× 101÷2=5151．故答案为： 5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（2015 秋?乐至县期末）定义运算 a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣ 2）=3②a★b=b★a③若 a+b=0，则（ a★ a） +（ b★ b） =2ab④若 a★ b=0，则 a=1 或 b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：① 2★（﹣ 2）=（1﹣2）×（﹣ 2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故 a★ b 不一定等于 b★ a，本选项错误；③若a+b=0，则（ a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣ a2+b﹣b2=﹣ a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若 a★ b=0，即（ 1﹣a）b=0，则 a=1 或 b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（ 2015 春?张掖校级期末）如果 1+a+a2+a3=0，代数式 a+a2+a3+a4+a5 +a6+a7+a8=0．【分析】 4 项为一组，分成 2 组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵ 1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7 +a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是： 0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（2015 春?昆山市期末）若多项式 x2﹣ 6x﹣b 可化为（ x+a）2﹣ 1，则 b 的值是﹣8．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．【解答】解：∵ x2﹣6x﹣ b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（ x+a）2﹣ 1，解得： a=﹣3，b=﹣8．故答案为：﹣ 8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20 小题）11．已知 n 为整数，试说明（ n+7）2﹣（ n﹣3）2的值一定能被 20 整除．【分析】用平方差公式展开（ n+7）2﹣（ n﹣3）2，看因式中有没有20 即可．【解答】解：（n+7）2﹣（ n﹣ 3）2=（n+7+n﹣ 3）（n+7﹣ n+3）=20（n+2），∴（ n+7）2﹣（ n﹣ 3）2的值一定能被 20 整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（2016 秋?农安县校级期末）因式分解：4x2y﹣ 4xy+y．【分析】先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解： 4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣ 1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（2015 秋?成都校级期末）因式分解32（1）a ﹣ab（2）（ x﹣y）2+4xy．【分析】（ 1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式 =a（a2﹣ b2）=a（ a+b）（ a﹣ b）；（2）原式 =x2﹣ 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2015 春?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2 +2mn+2n2﹣ 6n+9=0，求 m 和 n 的值．解：∵ m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（ m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若 x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求 x y的值．（2）已知△ ABC的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足a2+b2﹣ 6a﹣6b+18+| 3﹣c| =0，请问△ ABC是怎样形状的三角形？【分析】（ 1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（ x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把 a2+b2﹣6a﹣ 6b+18+| 3﹣c| =0，配方得到（ a﹣ 3）2+（b﹣3）2+| 3﹣c| =0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵ x2 +2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（ x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣ 2∴；22（2）∵ a +b ﹣6a﹣6b+18+| 3﹣ c| =0，22∴a ﹣6a+9+b ﹣6b+9+| 3﹣c| =0，22∴（ a﹣3） +（ b﹣ 3） +| 3﹣c| =0∴a=b=c=3∴三角形 ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（2015 秋?太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如 4=22﹣02， 12=42﹣22，20=62﹣42，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数．（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和为2500．【分析】（ 1）利用 36=102﹣82；2016=5052﹣5032说明 36 是“和谐数”，2016不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为 2n，2n+2（n 为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（ 2n）2，利用平方差公式展开得到（ 2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（ 2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是 4 的倍数；（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”中，最小的为： 22﹣02=4，最大的为：2250 ﹣ 48 =196，将它们全部列出不难求出他们的和．【解答】解：（1）36 是“和谐数”，2016 不是“和谐数”．理由如下：36=102﹣ 82；2016=5052﹣5032；（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（n 为自然数），∵（ 2k+2）2﹣（ 2k）2=（2k+2+2k）（ 2k+2﹣ 2k）=（ 4k+2）× 2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被 4 整除，∴“和谐数”一定是 4 的倍数；（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣ 02）+（42﹣ 22）+（62﹣42） +⋯+（502﹣482）=502 =2500．故答案是： 2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（2015 春?兴化市校级期末）如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形①、长为 b 宽为 a 的长方形②以及边长为 b 的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式 a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为 169，长方形②的周长为 34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（ 1）根据小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为 34，得出 a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为 a2+b2=169，将 a+b=17 两边同时平方，可求得 ab 的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（ na+mb），其中（ n、m 为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，n2≤8，m2≤8，2mn≤ 8（ n、 m 为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：拼成边为（ a+2b）和（ a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（ a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为 169，∴a2+b2=169．将 a+b=17 两边同时平方得：（ a+b）2=172，整理得： a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（ na+mb），其中（ n、m 为正整数）∴正方形的面积 =（ na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵现有三种纸片各8 张，∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m 为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．17．（2014 秋 ?莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为： a2+2a+1 = （a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（ 1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．【解答】解：（1）①长方形的面积 =a2+2a+1；长方形的面积 =（a+1）2；②a2+2a+1=（a+1）2；（2）①如图，可推导出（ a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（ 2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．18．（2013 秋?海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设 s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，⋯， s n =a n+b n（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为 a+b=1，ab=﹣1，所以 s33+b3（a+b ）（2+b2）﹣ ab（a+b）=1×s2﹣（﹣ 1）=s2+1= 4=a=a你读懂了吗？请你先填空完成（ 2）中 s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出 s n﹣2， s n﹣1，s n三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s6．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab 的值，即可推出结论；（3）根据（ 1）所推出的结论，即可推出 S n﹣2+S n﹣1=S n；（4）根据（ 3）的结论，即可推出 a6+b6=S6=S4+S5 =2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（ a+b）2﹣ 2ab=3；（2）∵（ a2+b2）（a+b） =a3+ab2+a2 b+b3=a3+b3+ab（ a+b），∴a3+b3=4，即 S3=4；2222∵S4=（a +b ）﹣2（ab） =7，（3）∵ S2=3，S3=4， S4=7，∴S2+S3=S4，∴S n﹣2+S n﹣1=S n；（3）∵ S n﹣2+S n﹣1=S n，S2=3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出 S2=3，S3=4， S4=7，分析归纳出规律： S n﹣2+S n﹣1=S n．219．（2013 春?重庆校级期末）（ 1）利用因式分解简算：9.8 +0.4×9.8+0.04【分析】（ 1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式 =9.82+2×0.2×9.8+0.22=（ 9.8+0.2）2=100；（2）4a（ a﹣1）2﹣（ 1﹣a）=（ a﹣ 1）（4a2﹣4a+1）=（ a﹣ 1）（2a﹣ 1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（ 2013 春?惠山区校级期末）阅读材料：若 m2﹣2mn+2n2﹣ 8n+16=0，求 m、n的值．解：∵ m2﹣2mn+2n2﹣ 8n+16=0，∴（ m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（ m﹣ n）2+（n﹣4）2=0，∴（ m﹣n）2=0，（ n﹣ 4）2=0，∴ n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 x﹣y 的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c 都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ ABC的最大边 c 的值．（3）已知 a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则 a﹣b+c= 7．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 x 与 y 的值，即可求出 x﹣y 的值；（2）将已知等式 25 分为 9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 a 与 b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出 c 的长；（3）由 a﹣ b=4，得到 a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 b 与 c 的值，进而求出 a 的值，即可求出 a﹣b+c 的值．【解答】解：（1）∵ x2 +2xy+2y2+2y+1=0 222∴（ x +2xy+y ） +（ y +2y+1）=0∴（ x+y）2+（ y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得 x=1， y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵ a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（ a2﹣ 6a+9） +（ b2﹣8b+16）=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得 a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又 c 是正整数，∴c最大为 6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且 c﹣3=0，即 b=﹣ 2， c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣ 2）+3=7．故答案为： 7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（2012 秋?温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则 x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n解得： n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（ x﹣7）， m 的值为﹣ 21．问题：（1）若二次三项式 x2﹣5x+6 可分解为（ x﹣ 2）（x+a），则 a= ﹣ 3 ；（2）若二次三项式 2x2+bx﹣5 可分解为（ 2x﹣1）（ x+5），则 b= 9 ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣ k 有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及 k 的值．【分析】（ 1）将（ x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出 a 的值；（2）（ 2x﹣1）（ x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出 b 的值；（3）设另一个因式为（ x+n），得 2x2 +5x﹣ k=（2x﹣3）（ x+n） =2x2+（2n﹣ 3）x﹣ 3n，可知 2n﹣ 3=5，k=3n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式．【解答】解：（1）∵（ x﹣ 2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣ 5，解得： a=﹣3；（2）∵（ 2x﹣1）（ x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣ 5，（3）设另一个因式为（ x+n），得 2x2 +5x﹣ k=（2x﹣3）（ x+n） =2x2+（2n ﹣ 3）x﹣ 3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得： n=4，k=12，故另一个因式为（ x+4），k 的值为 12．故答案为：（1）﹣ 3；（ 2 分）（2）9；（ 2 分）（ 3）另一个因式是 x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（2012 春?郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣ 1；（3）6xy2﹣ 9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2．【分析】（ 1）直接提取公因式x 即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣ y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（ x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣ 1）；（2）16x2﹣ 1=（4x+1）（ 4x﹣1）；223（3）6xy ﹣ 9x y﹣y ，22=﹣ y（ 9x ﹣ 6xy+y ），2=﹣ y（ 3x﹣y）；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2，=（ 3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y 后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（ 2012 春?碑林区校级期末）已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（ a+b+c）2=3（ a2 +b2+c2），试确定三角形的形状．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（ a+b+c）2=3（ a2+b2+c2），∴a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣ 2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（ a﹣b）2+（ b﹣ c）2+（c﹣ a）2=0，∴a=b=c，故△ ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（2011 秋?北辰区校级期末）分解因式4 2 24（1）2x ﹣4x y +2y（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（ 1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x2﹣ y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（2011 秋?苏州期末）图①是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出三个代数式（ m+n）2、（m﹣ n）2、 mn 之间的等量关系是（m+n）2﹣（ m﹣n）2=4mn ．（3）若 x+y=7，xy=10，则（ x﹣y）2= 9．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了（ m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【分析】（ 1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（ 2）题．（4）可利用各部分面积和 =长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（ 4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（ m+n）2﹣（ m﹣ n）2=4mn；222（3）（ x﹣y） =（ x+y）﹣ 4xy=7 ﹣ 40=9；22（4）（ m+n）（2m+n）=2m +3mn+n ；（5）答案不唯一：例如：．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．26．（ 2009 秋?海淀区期末）已知 a、b、c 满足 a﹣ b=8，ab+c2 +16=0，求2a+b+c 的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由 a﹣b=8 可得 a=b+8；将其代入 ab+c2+16=0 得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现 b2+8b+16 正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出 b、 c 的值，进而可求得 a 的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为 a﹣b=8，所以 a=b+8．（1 分）又ab+c2+16=0，所以（ b+8）b+c2+16=0．（ 2 分）又（ b+4）2≥0，c2≥ 0，则b=﹣4，c=0．（4 分）所以 a=4，（ 5 分）所以 2a+b+c=4．（ 6 分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（2010 春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将 a+b+c+ab+bc+ac+abc 分解因式可变为（ a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（ 1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于 a、b、c 均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而 2007 只可分解为 3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为 3、3、223，所以 a、b、c 值为 2、 2、222．就可求出长方体体积 abc 了．【解答】解：原式可化为： a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣ 1=2006，a（ 1+b）+c（1+b） +ac（1+b）+（1+b）﹣ 1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（ a+1）=2007，2007 只能分解为 3×3×223∴（ a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为 3、 3、223 ∴a、b、c 也只能分别为 2、2、222 ∴长方体的体积 abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（2007 秋?普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣ 2（ x2﹣4x）﹣ 15．【分析】把（x2﹣ 4x）看作一个整体，先把﹣ 15 写成 3×（﹣ 5），利用十字相乘法分解因式，再把 3 写成（﹣ 1）×（﹣ 3），﹣5 写成 1×（﹣ 5），分别利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（x2﹣4x）2﹣ 2（ x2﹣4x）﹣ 15，=（ x2﹣4x+3）（x2﹣ 4x﹣5），=（ x﹣1）（x﹣3）（ x+1）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（2007 春?镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：2=（ 1+x） [ 1+x+x（x+1）]=（ 1+x）2（ 1+x）=（ 1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）2004，则需应用上述方法2004第 29 页（共 31 页）次，结果是（ 1+x）2005．（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（ x+1）2+⋯+x（x+1）n（n 为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2 次．（2）需应用上述方法2004 次，结果是（ 1+x）2005．（3）解：原式 =（1+x）[ 1+x+x（x+1） ]+ x（ x+1）3+⋯+x（ x+1）n，=（ 1+x）2（ 1+x） +x（x+1）3+⋯+x（x+1）n，=（ 1+x）3+x（ x+1）3+⋯+x（ x+1）n，=（ x+1）n+x（ x+1）n，=（ x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（2007 春 ?射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式 x3﹣ 5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x ﹣2）（注：把 x=a 代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣ 2）（x2+mx+n），（1）求式子中 m 、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣ 2x2﹣ 13x ﹣10 的因式．【分析】（ 1）根据（ x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣ 2）x2+（ n﹣ 2m） x﹣ 2n，得出有关 m，n 的方程组求出即可；（2）由把 x=﹣1 代入 x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为 0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．【解答】解：（1）方法一：因（ x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣ 2n，=x3﹣ 5x2+x+10，（2 分）所以，解得： m=﹣ 3， n=﹣5（5 分），方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令 x=0，x=1，即可求出： m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把 x=﹣1 代入 x3﹣2x2﹣13x﹣ 10，得其值为 0，则多项式可分解为（ x+1）（x2+ax+b）的形式，（ 7 分）所以 x3﹣2x2﹣13x﹣10=（x+1）（x2﹣ 3x﹣10），（9 分）=（ x+1）（x+2）（x﹣5）．（10 分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．。

八年级因式分解难题一、基础概念类。

1. 分解因式：x^2-4y^2解析：这是一个平方差公式的应用，a^2-b^2=(a + b)(a b)，在这里a=x，b =2y，所以x^2-4y^2=(x+2y)(x 2y)。

2. 分解因式：9x^2-16解析：同样是平方差公式，9x^2=(3x)^2，16 = 4^2，所以9x^2-16=(3x + 4)(3x-4)。

二、提取公因式与公式结合类。

3. 分解因式：2x^3-8x解析：首先提取公因式2x，得到2x(x^2-4)，然后x^2-4可以继续用平方差公式分解为(x + 2)(x-2)，所以2x^3-8x=2x(x + 2)(x 2)。

4. 分解因式：3x^2y-6xy + 3y解析：先提取公因式3y，得到3y(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x 1)^2，所以3x^2y-6xy + 3y=3y(x 1)^2。

三、完全平方公式类。

5. 分解因式：x^2+6x + 9解析：这是完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab+b^2的形式，在这里a=x，b = 3，所以x^2+6x + 9=(x + 3)^2。

6. 分解因式：4x^2-20x+25解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2x，b=5，所以4x^2-20x + 25=(2x 5)^2。

四、较复杂的综合类。

7. 分解因式：x^4-81解析：可以先将x^4-81看作(x^2)^2-9^2，根据平方差公式得到(x^2+9)(x^2-9)，而x^2-9还可以继续分解为(x + 3)(x-3)，所以x^4-81=(x^2+9)(x + 3)(x 3)。

8. 分解因式：x^3+2x^2-9x-18解析：分组分解，将式子分为(x^3+2x^2)-(9x + 18)，分别提取公因式得到x^2(x + 2)-9(x + 2)，再提取公因式(x + 2)得到(x + 2)(x^2-9)，最后x^2-9=(x + 3)(x-3)，所以x^3+2x^2-9x-18=(x + 2)(x + 3)(x 3)。

2017年05月21日数学（因式分解难题）2一．填空题（共10小题）22的值为xy，则x．y+1．已知x+y=10，xy=162．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是3．若多项式x．2﹣4x﹣3=4x．4．分解因式：22=196+985．利用因式分解计算：202．+202×222=ab+bc+ca，则△+cABC的形状是6．△ABC三边a，b，c满足a+b．22222222=101 +…﹣+3100﹣4+5．﹣6+7．计算：12﹣8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．232345678=a+a．+a++a+aa+aa19．如果+a+++a=0，代数式a22﹣1，则b的值是﹣b可化为（x+a）．．若多项式10x6x﹣二．解答题（共20小题）22的值一定能被20整除．n﹣3）为整数，试说明（11．已知nn+7）﹣（2y﹣4xy+12．因式分解：4xy．13．因式分解第1页（共31页）32ab﹣（1）a2+4xy．x﹣y）（2）（14．先阅读下面的内容，再解决问题，22﹣6n+9=0，求m+2mn+2n和n的值．例题：若m22﹣6n++2n解：∵m9=0+2mn222﹣6nn++2mn+n9=0+∴m22=0）n﹣+n）3+（∴（m∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：22y的值．x4=0，求2xy+）若（1x4y+2y+﹣22﹣6a﹣6b+18c都是正整数，且满足a+|+b3b（2）已知△ABC的三边长a，，﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和222222，因此4，124，012=4，20﹣2这三个数都是和，20=6﹣”谐数．如4=2﹣谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．第2页（共31页）张，请你将它们张，长方形②3）如果现有小正方形①1张，大正方形③2（1将，并运用面积之间的关系，（在图2虚线框中画出图形）拼成一个大长方形22分解因式．+3ab+多项式a2b，34已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为（2）求长方形②的面积．张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，8（3）现有三种纸片各，求把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接）可以拼成多少种边长不同的正方形．用若干块这样的硬纸片有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，17．（1）．拼成一个新的长方形，如图2中长方形的面积；①用两种不同的方法，计算图2．②由此，你可以得出的一个等式为：所示．32）有若干块长方形和正方形硬纸片如图（①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；22因式分解的结果，画出你的拼图．2b+5ab+②请你用拼图等方法推出2ann3223b，…s=a+b=ab=a，+=a，设﹣，+．已知18ab=1ab=1sbs+，s+，n213313第页（共页）；1）计算s（2的过程：）请阅读下面计算s（23，﹣1a+b=1，ab=因为23231=1）=s+（a+b）=1=a×+b=（a+b）（as+b﹣（﹣）﹣ab所以s232的计算结果，再用你学到的方法计算）中s你读懂了吗？请你先填空完成（23．s4三者之间的关系式；，s）试写出s，s（3nn2n1﹣﹣．）得出的结论，计算s（4）根据（3 620.049.8++0.419．（1）利用因式分解简算：9.8×2）a﹣﹣（14a（a﹣1）（2）分解因式：22的值．n，求m2n、﹣8n+20．阅读材料：若m16=0﹣2mn+22222=0）+（n16，∴（m﹣﹣2mn+n8n）m解：∵+﹣2mn+2n8n﹣+16=0 2222．，m=4=0，∴4=0，（n﹣）m∴（﹣n）﹣+（n4）n=0，∴（m﹣）n=4根据你的观察，探究下面的问题：22的值．y，求x2y﹣+2y+1=0（1）已知x+2xy+22，+25=0﹣6a﹣、a、bc都是正整数，且满足a8b+b的三边长（2）已知△ABC的值．的最大边c求△ABC2． +a﹣bc=，则aba（3）已知﹣b=4，+c﹣6c+13=021．仔细阅读下面例题，解答问题：2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及例题：已知二次三项式xm的值．第4页（共31页）222+（n++m=x3）x+n），则x﹣4x解：设另一个因式为（x+n），得x4x﹣+m=（x+3）（x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a）（1）若二次三项式x，则a=；2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+（2）若二次三项式2x5），则b=；2+5x﹣k有一个因式是（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x（2x ﹣3），求另一个因式以及k的值．22．分解因式：2﹣x2x；（1）2﹣116x；（2）223；yy﹣9x﹣（3）6xy2．y）9（x﹣+12（x﹣y）+（4）42222），试确定+=3（ac+ba23．已知，b，c是三角形的三边，且满足（a++c）b三角形的形状．24．分解因式42242yy﹣4x+）（12x322．+4a2abb（2）2a﹣25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；22、mn）之间的等量关）nm、（﹣n+）观察图②请你写出三个代数式（（2m系是．第5页（共31页）2．yy=7，xy=10，则（x﹣）=（3）若x+）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．（4．如图③，它表示了22．3n4mn（n）m+3n）=m++（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+2的值．cb+ab+c16=0+，求2a+．已知26a、b、c满足a﹣b=8，且满足，、c分别为正整数a、b高27．已知：一个长方体的长、宽、，+abc=2006c++ab+bc+aca+b求：这个长方体的体积．222．）﹣2（x15x28．（﹣﹣4x）4x﹣．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：292）+x（x+11+x+x（x+1）]1）x（xx=（1+x）[1+++2）+）x（1x=（1+3）x=（1+次．，共应用了（1）上述分解因式的方法是20042若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）（x+1）则需应用上述方法x+…+2，（）次，结果是．2n（n）为正整数）．（…+xx+1++xx3（）分解因式：1++x（+1）x（x1）+323xx=2代入此多项式，发现多项式x+10．对于多项式30x5x﹣，如果我们把+2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）5x﹣（注：把x=a代入多项第6页（共31页）式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式322+mx+n（2）x），x写成：x﹣5xx++10=（﹣（1）求式子中m、n的值；32﹣2x﹣）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式（2x13x﹣10的因式．第7页（共31页）2017年05月21日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）22的值为160xy，xy=16，则x．y+．1（2016秋?望谟县期末）已知x+y=10【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，22=xy（x+yxy）=10×16=160∴x．y+故答案为：160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x2）．﹣3【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．2﹣20x+189）=2x；﹣2【解答】解：∵（x﹣1）（x2﹣12x+=2x16；）﹣2（x﹣4）（2x2﹣12x+18．∴原多项式为2x222．3）﹣）6x+9=2（xx18=212x2x﹣+（﹣【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次第8页（共31页）项正确．2+mx+4?昌邑市期末）若多项式x能用完全平方公式分解因式，则20153．（春m 的值是±4．2222﹣）4ab（a+、（a﹣b）b【分析】利用完全平方公式（a+b））=（a﹣b=+4ab计算即可．22，2）4=（x【解答】解：∵x±+mx+22±4x+4=x4即x，+mx+∴m=±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（（2015秋?利川市期末）分解因式：4x2x+1）．4．2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项【分析】ax系数a分解成两个因数a，a的积a?a，把常数项c分解成两个因数c，c2211122+bx+那么可以直接写成结果：axc=cac+a正好是一次项b，并使的积c?c，112221（ax+c）（ax+c），进而得出答案．21122﹣4x﹣3=（2x﹣3）4x【解答】解：（2x+1）．故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．22=90000+98．利用因式分解计算：20155．（春?东阳市期末）202202+×196【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．2298+解：原式=202+2x202x98【解答】第9页（共31页）2）98202+=（2=300=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．222=ab+bc++cb，c满足aca+b，，6．（2015秋?浮梁县校级期末）△ABC三边a则△ABC的形状是等边三角形．2+（aa，再化简得（﹣b）【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以222=0，得出：a=b=c﹣c）﹣c），即选出答案．+（b222=ab+bc+ac等号两边均乘以+bc+2得：【解答】解：等式a222=2ab+2bc+2a2ac+2b，+2c222222=0，2bcc++bab﹣2ab+c+a﹣﹣2ac+即222=0，c）+（b﹣即（a﹣b））+（a﹣c解得：a=b=c，所以，△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．22222222=101100﹣6++（2015秋?鄂托克旗校级期末）计算：1﹣2…+3﹣﹣4+5．75151．222222），进一﹣+（101﹣2）+（5100﹣4）1【分析】通过观察，原式变为+（3步运用高斯求和公式即可解决．22222222101100+﹣6…+【解答】解：1﹣23+﹣﹣4+5222222）100+（101﹣4（2（=1+3﹣）+5﹣）第10页（共31页）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）=（1+101）×101÷2=5151．故答案为：5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（2015秋?乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；222ab﹣=b=a﹣ab+﹣﹣1b★b）=（﹣a）a+（1b）+aa③若+b=0，则（★a）（22=2ab，本选项正确；=﹣﹣b2a④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．232345678=a+aaaaa，aa1张掖校级期末）春（9．2015?如果+++a=0代数式++a++a++第11页（共31页）0．【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．23=0，++a+aa【解答】解：∵12345678，aaa++a++aa∴a+a++23523）a+a，）+a+（1a=a（1+a+++aa=0+0，=0．故答案是：0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．22﹣1，则）b的﹣b可化为（x+a10．（2015春?昆山市期末）若多项式x﹣6x值是﹣8．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．222﹣1a），﹣b=（x﹣﹣6xb=（x﹣3）+﹣【解答】解：∵x9∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，解得：a=﹣3，b=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20小题）22的值一定能被20整除．﹣3）为整数，试说明（n+7）﹣（n11．已知n22，看因式中有没有203）7+）即可．﹣（n﹣【分析】用平方差公式展开（n 22=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3n【解答】解：（+7）﹣（n﹣）3）=20（n+2），22的值一定能被20整除．）﹣（n﹣3+∴（n7）22=（a+b）（a﹣ba【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：﹣b）．第12页（共31页）2y﹣4xy4x+y．12．（2016秋?农安县校级期末）因式分解：【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．2y﹣4xy4x+y【解答】解：2﹣4x+4x1）=y（2．）2x（﹣1=y【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（2015秋?成都校级期末）因式分解32ab）a﹣（12+4xy）．）（x﹣y（2【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．22）=a（a+b）﹣b（a﹣b）；【解答】解：（1）原式=a（a22222．）x+2xy++yy（2）原式=x2xy﹣+y=+4xy=x（【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2015春?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，22﹣6n+9=0，求m和例题：若m2mn++2nn的值．22﹣6n2n+9=0解：∵m+2mn+222﹣6n++n9=0m∴++2mnn22=0）﹣+（n3nm∴（+）第13页（共31页）∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：22y的值．x4=0，求2xy+（1）若x4y+2y+﹣22﹣6a﹣6b+18，bc都是正整数，且满足a+|+b3（2）已知△ABC的三边长a，﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？2222=0），y+x﹣y）2+（1）首先把x（+2y﹣2xy+4y+4=0，配方得到（【分析】再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；2222+|33）﹣+（b﹣，配方得到（18+|3﹣c|=0a﹣3）（2）先把a+b+﹣6a﹣6bc|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．22﹣2xy+4y+2y+4=0【解答】解：（1）∵x222+4y++2xyy∴x4=0+y，﹣22=02）+（y∴（x﹣y）+∴x=y=﹣2∴；22﹣6a﹣6b+18+|3﹣c（2）∵a|+b=0，22﹣6b+9+|3﹣c﹣6a+9+b|=0a∴，22+|3﹣c）b﹣3|=03∴（a﹣）（+∴a=b=c=3∴三角形ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（2015秋?太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，第14页（共31页）222222，因此4﹣24”．如4=2，﹣020=6，12=4，﹣那么称这个正整数为“和谐数12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500．2222说明36是“和谐数”﹣8，；2016=5052016﹣）利用【分析】（136=10503不是“和谐数”；2﹣（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）（2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；22=4，最大的为：﹣0之间的所有“和谐数”中，最小的为：2（3）介于1到20022=196，将它们全部列出不难求出他们的和．﹣4850【解答】解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：2222；5038﹣；2016=50536=10﹣（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），22=（2k+2+2k）（2k+2﹣∵（2k+2）﹣（2k）2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，222222222=2500．﹣48）=50（…4（2（0（S=2﹣）+4﹣）+6﹣）++50第15页（共31页）故答案是：2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（2015春?兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将22分解因式．2b+3ab多项式a+（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正22=169，将a+b=17两边同时平方，可求得aba方形③的面积之和为的值，从+b而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式第16页（共31页）22222．因为现有三种纸片各8+m=n张，ab+2nmab可知：（na+mb）22≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知nn≤≤8，m2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形22=（a+2b）（a+∴ab+3ab+2b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，22=169．+∴ab2222=289b，+b）2ab=17，整理得：a+两边同时平方得：将a+b=17（a+∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）22222．b+2nmab（na+mb）+=nam=∴正方形的面积∵现有三种纸片各8张，22≤8，2mn≤8（n、m∴n8≤，m为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；第17页（共31页）；2b，正方形的边长为a+②n=1，m=2；b，正方形的边长为2a+③n=2，m=1．2b，正方形的边长为2a+④n=2，m=2解题的关键是要注意结合图形解决问题，【点评】此题考查因式分解的运用，灵活运用完全平方公式．1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图（1（2014秋?莱城区校级期中）17．．2所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图中长方形的面积；2①用两种不同的方法，计算图22．a+1）+1=a②由此，你可以得出的一个等式为：（+2a（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；22因式分解的结果，画出你的拼图．2b+5ab+②请你用拼图等方法推出2a【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．22；1+）；长方形的面积=（a【解答】解：（1）①长方形的面积=a2a++122；1）（a+②a+2a+1=222；+）2ab=ab++（2）①如图，可推导出（ab22=（2a+b）（a+2b+2a②+5ab2b）．第18页（共31页）运用本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；【点评】图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．22，+b=a+b，s=a+（2013秋?海淀区校级期末）已知ab=1，ab=﹣1，设s18．21n33n b+，…，ss=a=a+b n3；1）计算s（2的过程：2）请阅读下面计算s（3，﹣1a+b=1，ab=因为23234+1=﹣（﹣）=1×s1）ab=（a+b）（=s+ba）﹣ab（+=a所以sb+232的计算结果，再用你学到的方法计算）中s你读懂了吗？请你先填空完成（23．s4三者之间的关系式；s，s，（3）试写出s n2n1n﹣﹣．s3）得出的结论，计算（4）根据（6的值，即可，ab）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b【分析】（1）（2推出结论；；=SS+S3（）根据（1）所推出的结论，即可推出nnn21﹣﹣66．S+S+b=S=S+=2Sa34（）根据（）的结论，即可推出364453119第页（共页）222﹣2ab=3）；=（a解：（1）S=a++bb【解答】222322333+ab（a+bb+b）a=a+b，）（a+b）=a+ab++ab（2）∵（33﹣11=a，+b∴3×33=4，即S+b=4∴a；32222=7），2+b（）ab﹣∵S=（a4∴S=7；4（3）∵S=3，S=4，S=7，423∴S+S=S，423∴S+S=S；nn2n1﹣﹣（3）∵S+S=S，S=3，S=4，S=7，41n3nn22﹣﹣∴S=4+7=11，5∴S=7+11=18．6【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S=3，S=4，S=7，分析归纳出规律：S+S=S．nn32n241﹣﹣2+0.4×9.8）利用因式分解简算：9.8+0.04重庆校级期末）19．（2013春?（12﹣（1﹣）a）4a（2）分解因式：（a﹣1【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．220.2+0.2××9.8（【解答】解：1）原式=9.8+22）+0.2（=9.8=100；第20页（共31页）2﹣（1﹣a）（a﹣1）（2）4a2﹣4a+11）（4a）a=（﹣2．）﹣1﹣1）（2a=（a【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．22﹣8n+16=0，求m惠山区校级期末）阅读材料：若m、﹣2mn+2n20．（2013春?n 的值．22222﹣8n+n16）﹣2mn+n=0）解：∵m﹣2mn+2n+﹣8n+16=0，∴（m（2222=0，∴n=4，m=4．，（n﹣4+（n﹣4））=0，∴（m﹣n）n∴（m﹣）=0根据你的观察，探究下面的问题：22+2y+1=0，求+2yx﹣y（1）已知x的值．+2xy22﹣6a﹣8b+b+25=0都是正整数，且满足2）已知△ABC的三边长a、b、ca，（求△ABC的最大边c的值．2﹣6c+13=0，则a﹣b+c+c=7．b=4（3）已知a﹣，ab【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．22+2y+1=0+2xy+2y1【解答】解：（）∵x222+2y+y1）=0（y2xy∴（x++）+第21页（共31页）22=0）+）1+（y∴（x+y∴x+y=0 y+1=0解得x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；22﹣6a﹣8b+b+（2）∵a25=022﹣8b+b16）=0﹣6a+9）+（∴（a22=04）+（b∴（a﹣3）﹣∴a﹣3=0，b﹣4=0解得a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又c是正整数，∴c最大为6；2﹣6c+13=0）b+c，4a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+（3）∵2222=0），（c﹣b）=（+2）3+整理得：（b+4b+4）+（c﹣6c+9∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（2012秋?温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：2﹣4x+m有一个因式是（x+例题：已知二次三项式x3），求另一个因式以及m的值．222+（n+3）m=x4x则）+（3xm=4x得）+（解：设另一个因式为xn，x﹣+（+）xn，x﹣+第22页（共31页）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=（1）若二次三项式x﹣3；2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=（2）若二次三项式2x9；2+5x﹣）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2xk有一个因式是（3（2x ﹣3），求另一个因式以及k的值．【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；22+（2n﹣n）=2x3）++5x﹣k=（2x﹣3）（n（3）设另一个因式为（x+），得2xxx ﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．22﹣5x+2a=x6，x+（a﹣2）=x﹣【解答】解：（1）∵（x2）（x+a）﹣∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；22+bx﹣5+9x﹣5=2x（）∵（2x﹣1）x+5）=2x，（2∴b=9；22+（2n﹣）=2x3）+3k=），得2x+5x﹣（2x﹣）（xnnx3（）设另一个因式为（+x ﹣3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，第23页（共31页）故另一个因式为（x+4），k的值为12．故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（2012春?郯城县期末）分解因式：2﹣x）2x；（12﹣1）16x；（2223；yy）6xy﹣9x﹣（32．）﹣y+9（x（4）4+12x﹣y）（【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．2﹣x=x（2x﹣1（1）2x）；【解答】解：2﹣1=（4x+1）（4x﹣（2）16x1）；223，﹣﹣9xy6xy（3）y22），6xy+y=﹣y（9x﹣2；）﹣y=﹣y（3x2，）﹣9（xy+yx1244（）+（﹣）第24页（共31页）2，]y）3（x﹣=[2+2．2）3x﹣3y+=（【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（2012春?碑林区校级期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2222）cb，试确定三角形的形状．=3（a++【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．2222），+=3（ac+【解答】解：∵（a+b+c）b222222，3c，=3a++b3b+c+2ab+2bc+a∴2ac+222222﹣2ac=0a，+2ab+bc+c+a﹣+b2bc﹣222=0），c﹣b﹣c）a+（即（a﹣b）+（∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c，故△ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（2011秋?北辰区校级期末）分解因式42242y4x+2x（1）y﹣322．2abb）2a﹣4a+2（【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．42242y﹣4xy+）（【解答】解：12x第25页（共31页）4224）y+=2（xy﹣2x222）y﹣=2（x22；﹣y（=2x+y））（x2322ab2（）2ab﹣4a+22）b=2a（a﹣2ab+2．）=2a（a﹣b提取公因式后利用公式此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，【点评】进行二次分解，注意分解要彻底．的长方形，沿图中虚2n25．（2011秋?苏州期末）图①是一个长为2m、宽为线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．2）；（m）图②中的阴影部分的面积为﹣n（122、mn之间的等量关﹣n）m+n）、（m（2）观察图②请你写出三个代数式（22=4mn n）n）．﹣（m﹣+系是（m2=9x﹣y）．）若（3x+y=7，xy=10，则（（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．22．3mn+n2m+）=2mn+）（如图③，它表示了m+n（22．3n4mn++）（m3n）=m+nm使它的面积能表示）（5试画出一个几何图形，（+【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．第26页（共31页）（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（2）题．（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（4）题画图．2；）m﹣n）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（【解答】解：（1 22=4mn；n））﹣（m﹣+（2）（mn222﹣40=94xy=7y）；x﹣y）﹣=（x+（（3）22；+n+3mn）n）（2m+n=2mm（4）（+（5）答案不唯一：例如：．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．2+16=0，求2a+b+﹣c满足ab=8，ab+cc、已知200926．（秋?海淀区期末）a、b 的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；将其2222+8b+16正好符合完全平方c+8b+；+16=0此时可发现b得：cab代入++16=0b 公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可．第27页（共31页）【解答】解：因为a﹣b=8，所以a=b+8．（1分）2+16=0+c，又ab2+16=0．（2）b+c分）所以（b+822=0．+c即（b+4）22≥0c），≥0，又（b+4则b=﹣4，c=0．（4分）所以a=4，（5分）所以2a+b+c=4．（6分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（2010春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（a+1）=2007，第28页（共31页）2007只能分解为3×3×223∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223∴a、b、c也只能分别为2、2、222∴长方体的体积abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．222﹣4x）﹣（xx15﹣4x）．﹣228．（2007秋?普陀区校级期末）（2﹣4x）看作一个整体，先把﹣15写成3×（﹣【分析】把（x5），利用十字相乘法分解因式，再把3写成（﹣1）×（﹣3），﹣5写成1×（﹣5），分别利用十字相乘法分解因式即可．222﹣4x）﹣15）4x，﹣2（【解答】解：（xx﹣22﹣4x﹣5）3）（x，=（x﹣4x+=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（2007春?镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：2）+1x（x（+xx+1）+1+x=（1+x）[1+x+x（x+1）]2（1+x1+x））=（3）+x1=（（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．22004，（2）若分解1+x+x（x+1）+x（xx…+++1）（x+1）则需应用上述方法2004第29页（共31页）2005．+x）次，结果是（12n（n为正整数）．（x+1）x（x+1）++…xx（3）分解因式：1+x+（x+1）+【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．2005．）+x2）需应用上述方法2004次，结果是（1（3n，1）x（xx（+1）++…+x（1+）[1+x+x（x+1）]+x（3）解：原式=23n，1）（x1）++…+x（1+x）x（1+x）+x（+=33n，）x+1）+…+x=（1+x）（+x（x+1nn，）x+）1+x（1=（x+．）+=（x1+1n【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．32+x+10﹣5x，如果我们把．30（2007春?射洪县校级期末）对于多项式xx=232+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式代入此多项式，发现多项式x（﹣5xx﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），322+mx+n（2）x）于是我们可以把多项式写成：x，﹣5xx++10=（x﹣（1）求式子中m、n的值；32﹣2x）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x13x﹣（2﹣10的因式．232+（n﹣2mx））x﹣2n，得2m=xnmx（2x1【分析】（）根据（﹣）x++）+（﹣出有关m，n的方程组求出即可；第30页（共31页）32﹣13x﹣10，得其值为02x，则多项式可分解为（x+1由把（2）x=﹣1代入x）﹣2+ax+（xb）的形式，进而将多项式分解得出答案．232+（n﹣2m）（m﹣2）x﹣2）（xn+mx+）=xx+【解答】解：（1）方法一：因（x ﹣2n，32+x+10，﹣5x（2分）=x所以，解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），322+mx+n）（x）中，5x（+x+10=x﹣2方法二：在等式x﹣分别令x=0，x=1，即可求出：m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）32﹣13x﹣10，得其值为1代入x0﹣2x，2（）把x=﹣2+ax+b）的形式，）（x（7分）则多项式可分解为（x+1用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，（8分）322﹣3x﹣10）（）x，（9分）x所以x﹣2x13x﹣﹣10=（+1=（x+1）（x+2）（x﹣5）．（10分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．第31页（共31页）。

2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题） 2一．填空题（共10 小题）1．已知 x+y=10， xy=16，则 x2y+xy2的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（ x﹣ 4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．3．若多项式 x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．24．分解因式： 4x ﹣4x﹣ 3=．5．利用因式分解计算： 2022+202× 196+982= ．6．△ ABC三边 a，b，c 满足 a2+b2 +c2=ab+bc+ca，则△ ABC的形状是．7．计算： 12﹣22+32﹣ 42 +52﹣ 62 +⋯﹣ 1002+1012 = ．8．定义运算 a★b=（ 1﹣ a） b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣ 2）=3②a★b=b★a③若 a+b=0，则（ a★ a） +（ b★ b） =2ab④若 a★ b=0，则 a=1 或 b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果 1+a+a2+a3 =0，代数式 a+a2+a3 +a4+a5+a6+a7+a8= ．10．若多项式 x2﹣6x﹣ b 可化为（ x+a）2﹣1，则 b 的值是．二．解答题（共20 小题）11．已知 n 为整数，试说明（ n+7）2﹣（ n﹣3）2的值一定能被 20 整除．12．因式分解： 4x2y﹣4xy+y．13．因式分解...（1）a3﹣ab2（2）（ x﹣ y）2 +4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，2 2例题：若 m+2mn+2n﹣6n+9=0，求 m和 n 的值．2 2解：∵ m+2mn+2n﹣ 6n+9=02 2 2∴m+2mn+n+n﹣6n+9=0∴（ m+n）2+（n﹣ 3）2=0∴m+n=0， n﹣3=0∴m=﹣ 3， n=3问题：（1）若 x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求 x y的值．（2）已知△ ABC的三边长 a， b， c 都是正整数，且满足a2 +b2﹣ 6a﹣6b+18+|3 ﹣c|=0 ，请问△ ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如 4=22﹣ 02，12=42﹣22，20=62﹣ 42，因此 4，12， 20 这三个数都是和谐数．（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为 2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和为．16．如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形①、长为 b 宽为 a 的长方形②以及边长为 b 的大正方形③的纸片．...（1）如果现有小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式 a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（ 1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知 a+b=1， ab=﹣1，设 s1=a+b， s2 =a2+b2，s3=a3 +b3，⋯，sn=a n +b n...（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算s3 的过程：因为 a+b=1，ab=﹣1，所以 s3=a3+b3=（ a+b）（ a2+b2）﹣ ab（ a+b）=1× s2﹣（﹣ 1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（ 2）中 s3 的计算结果，再用你学到的方法计算 s4 ．（3）试写出 sn﹣ 2，sn﹣ 1， sn 三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s6 ．219．（1）利用因式分解简算：9.8 +0.4 ×9.8+0.0420．阅读材料：若2 2m﹣ 2mn+2n﹣8n+16=0，求 m、n 的值．2 2 2 2 2解：∵ m﹣2mn+2n﹣8n+16=0，∴（ m﹣2mn+n）+（n ﹣8n+16）=0∴（ m﹣n）2 +（n﹣4）2 =0，∴（ m﹣n）2=0，（ n﹣4）2 =0，∴ n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 x﹣y 的值．（2）已知△ ABC的三边长 a、 b、 c 都是正整数，且满足a2+b2﹣ 6a﹣8b+25=0，求△ ABC的最大边 c 的值．（3）已知 a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则 a﹣b+c= ．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣ 4x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及m 的值．2 2 2解：设另一个因式为（x+n），得 x ﹣ 4x+m=（x+3）（ x+n），则 x ﹣4x+m=x+（n+3）...x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得： n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（ x ﹣7）， m的值为﹣ 21．问题：（1）若二次三项式 x2﹣5x+6 可分解为（ x﹣2）（x+a），则 a= ；（2）若二次三项式2可分解为（ 2x﹣1）（ x+5），则 b=；2x +bx﹣5（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣ k 有一个因式是（2x﹣ 3），求另一个因式以及k 的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣ 1；（3）6xy2﹣ 9x2y﹣y 3；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2．23．已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（a+b+c）2 =3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣ n）2、mn 之间的等量关系是．（3）若 x+y=7，xy=10，则（ x﹣y）2 = ．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．...如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（26．已知 a、b、c 满足 a﹣b=8，ab+c2+16=0，求27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（ x2﹣ 4x）﹣ 15．2 2 m+n）（ m+3n） =m+4mn+3n．2a+b+c 的值．a 、b 、c ，且满足29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（ 1+x）[1+x+x （x+1）]=（ 1+x）2（ 1+x）=（ 1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（ x+1）n（ n 为正整数）．30．对于多项式 x3﹣5x2+x+10，如果我们把 x=2 代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2 +x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（ x﹣ 2）（注：把 x=a 代入多项式能使多项式的值为 0，则多项式含有因式（ x﹣a）），于是我们可以把多项式写成： x3﹣5x2+x+10=（ x﹣ 2）（x2+mx+n），...（1）求式子中 m、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣ 2x2﹣ 13x ﹣10 的因式．...2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题） 2参考答案与试题解析一．填空题（共10 小题）1．（2016 秋 ?望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2的值为160 ．【分析】首先提取公因式xy ，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵ x+y=10，xy=16，2 2∴x y+xy =xy（x+y） =10× 16=160．故答案为： 160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016 秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（ x﹣ 1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成 2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x ﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（ x﹣ 2）（x﹣ 4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式 2 后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵ 2（ x﹣ 1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（ x﹣ 2）（x﹣4）=2x2﹣ 12x+16；∴原多项式为 2x2﹣ 12x+18．2x2﹣ 12x+18=2（x2﹣ 6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次...项正确．3．（2015 春 ?昌邑市期末）若多项式x2 +mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是±4 ．【分析】利用完全平方公式（ a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（ a﹣ b）2=（a+b）2﹣ 4ab计算即可．【解答】解：∵ x2 +mx+4=（x±2）2，2 2即 x +mx+4=x±4x+4，∴m=± 4．故答案为：± 4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（2015 秋 ?利川市期末）分解因式： 4x2﹣ 4x﹣3= （2x﹣ 3）（2x+1）．【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1， a2 的积 a1?a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1， c2 的积c1?c2，并使 a1c2+a2c1 正好是一次项 b，那么可以直接写成结果： ax2 +bx+c= （a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．2【解答】解： 4x ﹣4x﹣3=（ 2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（2015 春?东阳市期末）利用因式分解计算： 2022+202×196+982= 90000 ．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．【解答】解：原式 =2022+2x202x98+982 =（ 202+98）2...=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（2015 秋 ?浮梁县校级期末）△ ABC三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以 2，再化简得（ a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出： a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式 a2+b2+c2 =ab+bc+ac等号两边均乘以 2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣ 2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣ 2bc+c2=0，即（ a﹣b）2 +（a﹣c）2 +（ b﹣ c）2=0，解得： a=b=c，所以，△ ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ ABC是等边三角形．7．（2015 秋 ?鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42 +52﹣62 +⋯﹣ 1002+1012= 5151 ．【分析】通过观察，原式变为 1+（32﹣22） +（ 52﹣ 42）+（1012﹣ 1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解： 12﹣ 22 +32﹣ 42 +52﹣ 62 +⋯﹣1002+1012 =1+（32﹣22）+（52﹣ 42）+（1012﹣ 1002）=1+（3+2）+（5+4） +（7+6） +⋯+（101+100）=（ 1+101）× 101÷ 2...=5151．故答案为： 5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（2015 秋?乐至县期末）定义运算 a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣ 2）=3②a★b=b★a③若 a+b=0，则（ a★ a） +（ b★ b） =2ab④若 a★ b=0，则 a=1 或 b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：① 2★（﹣ 2）=（1﹣2）×（﹣ 2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故 a★ b 不一定等于 b★ a，本选项错误；③若a+b=0，则（ a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（ 1﹣ b） b=a﹣a2+b﹣ b2 =﹣ a22 2﹣b =﹣2a =2ab，本选项正确；④若 a★ b=0，即（ 1﹣a）b=0，则 a=1 或 b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（2015 春?张掖校级期末）如果 1+a+a2 +a3=0，代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6 +a7+a8= 0．【分析】 4 项为一组，分成 2 组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵ 1+a+a2+a3=0，...∴a+a2+a3+a4 +a5+a6 +a7+a8，=a（1+a+a2+a3） +a5（ 1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是： 0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（2015 春?昆山市期末）若多项式 x2﹣ 6x﹣b 可化为（ x+a）2﹣ 1，则 b 的值是﹣8．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．222【解答】解：∵ x ﹣6x﹣ b=（x﹣3）﹣9﹣b=（ x+a）﹣1，解得： a=﹣3，b=﹣ 8．故答案为：﹣ 8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20 小题）11．已知 n 为整数，试说明（ n+7）2﹣（ n﹣3）2的值一定能被 20 整除．【分析】用平方差公式展开（ n+7）2﹣（ n﹣3）2，看因式中有没有20 即可．【解答】解：（n+7）2﹣（ n﹣3）2 =（ n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（ n+2），∴（ n+7）2﹣（ n﹣3）2的值一定能被 20 整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（2016 秋?农安县校级期末）因式分解：4x2 y﹣ 4xy+y．【分析】先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解： 4x2y﹣4xy+y...=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（2015 秋?成都校级期末）因式分解32（1）a ﹣ab（2）（ x﹣ y）2 +4xy．【分析】（ 1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．22【解答】解：（1）原式 =a（a ﹣ b ）=a（ a+b）（ a﹣ b）；22222（2）原式 =x ﹣2xy+y +4xy=x +2xy+y =（ x+y）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2015 春?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，2 2例题：若 m+2mn+2n﹣6n+9=0，求 m和 n 的值．2 2解：∵ m+2mn+2n﹣ 6n+9=02 2 2∴m+2mn+n+n﹣6n+9=0∴（ m+n）2+（n﹣ 3）2=0∴m+n=0， n﹣3=0∴m=﹣ 3， n=3问题：（1）若 x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求 x y的值．（2）已知△ ABC的三边长 a， b， c 都是正整数，且满足a2 +b2﹣ 6a﹣6b+18+|3 ...﹣c|=0 ，请问△ ABC是怎样形状的三角形？【分析】（ 1）首先把x2+2y2﹣ 2xy+4y+4=0，配方得到（ x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把 a2+b2﹣6a﹣ 6b+18+|3﹣c|=0 ，配方得到（ a﹣ 3）2+（b﹣3）2+|3 ﹣c|=0 ，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵ x2+2y2﹣2xy+4y+4=02 2 2∴x +y ﹣2xy+y +4y+4=0，∴（ x﹣y）2 +（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；22（2）∵ a +b ﹣6a﹣ 6b+18+|3﹣c|=0 ，22∴a ﹣6a+9+b﹣ 6b+9+|3 ﹣ c|=0 ，22∴（ a﹣3） +（b﹣3） +|3 ﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形 ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（2015 秋?太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如 4=22﹣02，12=42﹣ 22，20=62﹣42，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数．（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？...（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和为2500 ．【分析】（ 1）利用 36=102﹣82； 2016=5052﹣ 5032说明 36 是“和谐数”，2016 不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为 2n，2n+2（n 为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（ 2n）2，利用平方差公式展开得到（ 2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（ 2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是 4 的倍数；2 2（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”中，最小的为： 2 ﹣0 =4，最大的为：22【解答】解：（1）36 是“和谐数”，2016 不是“和谐数”．理由如下：2222（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（n 为自然数），∵（ 2k+2）2﹣（ 2k）2=（2k+2+2k）（ 2k+2﹣ 2k）=（ 4k+2）× 2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被 4 整除，∴“和谐数”一定是 4 的倍数；（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣ 02）+（ 42﹣22）+（62﹣ 42）+⋯+（502﹣482）=502=2500．故答案是： 2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（2015 春?兴化市校级期末）如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形①、长为 b 宽为 a 的长方形②以及边长为 b 的大正方形③的纸片．...（1）如果现有小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式 a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为 169，长方形②的周长为 34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（ 1）根据小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为34，得出 a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为 a2+b2=169，将 a+b=17 两边同时平方，可求得 ab 的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（ na+mb），其中（ n、 m为正整数）由完全平方公式可2 2 2 2 2知：（na+mb）=n a +2nmab+m．因为现有三种纸片各 8张，2 2n ≤8，m≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知 n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：...拼成边为（ a+2b）和（ a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（ a+2b）（a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，∴a2+b2=169．将a+b=17 两边同时平方得：（ a+b）2=172，整理得： a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（ n、m为正整数）2 2 2 2 2∴正方形的面积 =（ na+mb） =n a +2nmab+m ．∵现有三种纸片各8 张，2 2∴n ≤8，m≤8，2mn≤ 8（ n、 m为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是...灵活运用完全平方公式．17．（2014 秋?莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1 = （a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出 2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（ 1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．2 2【解答】解：（1）①长方形的面积 =a +2a+1；长方形的面积 =（a+1）；②a2+2a+1=（a+1）2；222（2）①如图，可推导出（a+b） =a +2ab+b；22②2a +5ab+2b=（2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．...18．（2013 秋?海淀区校级期末）已知 a+b=1，ab=﹣1，设 s1=a+b，s2=a2+b2， s3 =a3+b3，⋯，sn=a n+b n（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算s3 的过程：因为 a+b=1，ab=﹣1，所以 s3=a3+b3=（ a+b）（ a2+b2）﹣ ab（ a+b）=1× s2﹣（﹣ 1）=s2+1= 4你读懂了吗？请你先填空完成（ 2）中 s3 的计算结果，再用你学到的方法计算 s4 ．（3）试写出 sn﹣ 2，sn﹣ 1， sn 三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s6 ．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入 a+b，ab 的值，即可推出结论；（3）根据（ 1）所推出的结论，即可推出 Sn ﹣2+Sn﹣ 1=Sn ；（4）根据（ 3）的结论，即可推出 a6 +b6=S6=S4+S5=2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2 +b2=（a+b）2﹣2ab=3；22322333（2）∵（ a +b ）（a+b）=a +ab +a b+b =a +b +ab（a+b），∴a3+b3=4，即 S3=4；2222∵S4=（a +b ）﹣2（ ab） =7，...（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，∴S2+S3=S4，∴Sn﹣ 2+Sn ﹣1=Sn；（3）∵ Sn﹣ 2+Sn ﹣1=Sn， S2 =3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3， S3 =4，S4=7，分析归纳出规律： Sn﹣ 2 +Sn﹣ 1=Sn．219．（2013 春?重庆校级期末）（ 1）利用因式分解简算： 9.8 +0.4 × 9.8+0.04【分析】（ 1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式 =9.8 2+2×0.2 × 9.8+0.2 2=（ 9.8+0.2 ）2=100；（2）4a（ a﹣1）2﹣（ 1﹣a）=（ a﹣ 1）（4a2﹣4a+1）=（ a﹣ 1）（2a﹣ 1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（2013 春?惠山区校级期末）阅读材料：若2 2m﹣ 2mn+2n﹣8n+16=0，求 m、n的值．2 2 2 2 2 解：∵ m﹣2mn+2n﹣ 8n+16=0，∴（ m﹣2mn+n）+（n ﹣8n+16）=0...∴（ m﹣n）2 +（n﹣4）2 =0，∴（ m﹣n）2=0，（ n﹣4）2 =0，∴ n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 x﹣y 的值．（2）已知△ ABC的三边长 a、 b、 c 都是正整数，且满足 a2+b2﹣ 6a﹣8b+25=0，求△ ABC 的最大边 c 的值．（3）已知 a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则 a﹣b+c= 7 ．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0 求出 x 与 y 的值，即可求出 x﹣y 的值；（2）将已知等式 25 分为 9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 a 与 b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出 c 的长；（3）由 a﹣ b=4，得到 a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0 求出 b 与 c 的值，进而求出 a 的值，即可求出a﹣b+c 的值．【解答】解：（1）∵ x2+2xy+2y2+2y+1=02 2 2∴（ x +2xy+y ） +（ y +2y+1）=0∴（ x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得 x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵ a2+b2﹣6a﹣ 8b+25=0∴（ a2﹣ 6a+9）+（b2﹣ 8b+16）=0∴（ a﹣3）2 +（b﹣4）2 =0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得 a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边...∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又 c 是正整数，∴c 最大为 6；（3）∵ a﹣b=4，即 a=b+4，代入得：（ b+4）b+c2﹣ 6c+13=0，整理得：（ b2 +4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣ 3）2=0，∴b+2=0，且 c﹣3=0，即 b=﹣ 2， c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣ 2）+3=7．故答案为： 7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（2012 秋?温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 x2﹣ 4x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及 m 的值．2 2 2解：设另一个因式为（x+n），得 x ﹣ 4x+m=（x+3）（ x+n），则 x ﹣4x+m=x+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得： n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（ x ﹣7）， m的值为﹣ 21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6 可分解为（ x﹣2）（x+a），则 a= ﹣3 ；（2）若二次三项式2x2 +bx﹣5 可分解为（ 2x﹣1）（ x+5），则 b= 9 ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣ k 有一个因式是（2x﹣ 3），求另一个因式以及k 的值．【分析】（ 1）将（ x ﹣2）（ x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出 a 的值；...（2）（ 2x﹣1）（ x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出 b 的值；（3）设另一个因式为（ x+n），得 2x2 +5x﹣k=（ 2x﹣3）（ x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣ 3n，可知 2n﹣ 3=5，k=3n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式．2 2 【解答】解：（1）∵（ x﹣ 2）（x+a） =x +（a﹣2）x﹣2a=x ﹣5x+6，∴a﹣2=﹣ 5，22（2）∵（ 2x﹣1）（ x+5）=2x +9x﹣ 5=2x +bx﹣5，（3）设另一个因式为（ x+n），得 2x2 +5x﹣k=（ 2x﹣3）（ x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣ 3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得： n=4，k=12，故另一个因式为（ x+4），k 的值为 12．故答案为：（1）﹣ 3；（ 2 分）（2）9；（2 分）（ 3）另一个因式是 x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（2012 春?郯城县期末）分解因式：2（1）2x ﹣x；（2）16x2﹣ 1；（3）6xy2﹣ 9x2y﹣y 3；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2．...【分析】（ 1）直接提取公因式x 即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣ y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（ x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；2（2）16x ﹣ 1=（4x+1）（ 4x﹣1）；223（3）6xy ﹣ 9x y﹣y ，22=﹣ y（ 9x ﹣ 6xy+y ），=﹣ y（ 3x﹣y）2；2（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y），=（ 3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（ 3），提取公因式﹣ y 后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（ 2012 春?碑林区校级期末）已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（ a+b+c）2222【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（ a+b+c）2=3（ a2 +b2+c2），∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2， a2 +b2﹣ 2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣ 2ac=0，即（ a﹣b）2 +（b﹣c）2 +（ c﹣ a）2=0，...∴a﹣b=0，b﹣c=0， c﹣a=0，∴a=b=c，故△ ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（2011 秋?北辰区校级期末）分解因式4224（1）2x ﹣4x y +2y（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（ 1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．4224【解答】解：（1）2x ﹣4x y +2y=2（x2﹣ y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（2011 秋?苏州期末）图①是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣ n）2、mn 之间的等量关系...是（ m+n）2﹣（ m﹣ n）2=4mn ．（3）若 x+y=7，xy=10，则（ x﹣y）2 = 9 ．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了2 2．（ m+n）（ 2m+n） =2m+3mn+n（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（2 2 m+n）（ m+3n） =m+4mn+3n．【分析】（ 1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（ 2）题．（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（ 4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（ m﹣n），阴影部分的面积为（ m﹣n）2；（2）（ m+n）2﹣（ m﹣ n）2=4mn；（3）（ x﹣ y）2 =（ x+y）2﹣ 4xy=72﹣ 40=9；2 2（4）（ m+n）（2m+n） =2m+3mn+n；（5）答案不唯一：例如：...．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．226．（ 2009 秋?海淀区期末）已知 a、b、c 满足 a﹣ b=8，ab+c +16=0，求 2a+b+c 的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由 a﹣b=8 可得 a=b+8；将其代入 ab+c2+16=0得： b2 +8b+c2+16=0；此时可发现 b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出 b、 c 的值，进而可求得 a 的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为 a﹣b=8，所以 a=b+8．（1 分）又ab+c2+16=0，2所以（ b+8）b+c +16=0．（2 分）22即（ b+4） +c =0．又（ b+4）2≥0，c2≥ 0，则b=﹣4，c=0．（ 4 分）所以 a=4，（ 5 分）所以 2a+b+c=4．（ 6 分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代...数式求值的方法．27．（2010 春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将 a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（ a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于 a、b、c 均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而 2007 只可分解为 3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为 3、3、223，所以 a、b、c 值为 2、2、222．就可求出长方体体积abc 了．【解答】解：原式可化为： a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，a（ 1+b）+c（1+b） +ac（1+b）+（1+b）﹣ 1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac） =2007，（1+b）（c+1）（ a+1）=2007，2007 只能分解为 3× 3×223∴（ a+1）、（b+1）、（ c+1）也只能分别为 3、3、223∴a、b、c 也只能分别为 2、2、222 ∴长方体的体积abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（2007 秋?普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣ 2（x2﹣4x）﹣ 15．【分析】把（x2﹣ 4x）看作一个整体，先把﹣ 15 写成 3×（﹣ 5），利用十字相乘法分解因式，再把 3 写成（﹣ 1）×（﹣ 3），﹣5 写成 1×（﹣ 5），分别利用十字相乘法分解因式即可．...【解答】解：（x2﹣4x）2﹣ 2（ x2﹣4x）﹣ 15，=（ x2﹣4x+3）（x2﹣ 4x﹣5），=（ x﹣ 1）（x﹣3）（ x+1）（ x﹣ 5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（2007 春?镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（ 1+x）[1+x+x （x+1）]=（ 1+x）2（ 1+x）=（ 1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2 次．（2）若分解 1+x+x（x+1）+x（ x+1）2+⋯+x（x+1）2004，则需应用上述方法2004 次，结果是（ 1+x）2005．（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（ x+1）n（ n 为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2 次．（2）需应用上述方法2004 次，结果是（ 1+x）2005．（3）解：原式 =（1+x）[1+x+x （ x+1）]+x （x+1）3+⋯+x（ x+1）n，=（ 1+x）2（ 1+x） +x（x+1）3+⋯+x（x+1）n，=（ 1+x）3+x（x+1）3+⋯+x（ x+1）n，=（ x+1）n+x（x+1）n，...=（ x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（2007 春?射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2 代入此多项式，发现多项式 x3﹣ 5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把 x=a 代入多项式能使多项式的值为 0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成： x3﹣5x2 +x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中 m、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式 x3﹣ 2x2﹣ 13x ﹣10 的因式．【分析】（ 1）根据（ x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，得出有关 m，n 的方程组求出即可；（2）由把 x=﹣1 代入 x3﹣2x2﹣13x﹣ 10，得其值为 0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．2 3 2【解答】解：（1）方法一：因（ x﹣2）（x +mx+n）=x +（ m﹣ 2） x +（n﹣2m）x﹣2n，=x3﹣ 5x2+x+10，（2 分）所以，解得： m=﹣3，n=﹣ 5（ 5 分），方法二：在等式 x3﹣ 5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x=0，x=1，即可求出： m=﹣ 3， n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把 x=﹣1 代入 x3﹣2x2﹣13x﹣ 10，得其值为 0，...WORD 格式专业资料整理则多项式可分解为（ x+1）（x 2+ax+b ）的形式，（7 分）用上述方法可求得： a=﹣3，b=﹣ 10，（8 分）所以 x 3﹣2x 2 ﹣13x ﹣10=（x+1）（x 2﹣ 3x ﹣10），（9 分）=（ x+1）（ x+2）（x ﹣ 5）．（ 10 分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息， 是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。

八年级上册因式分解难题一、题目。

1. 分解因式：x^4 - 81解析：x^4-81=(x^2)^2 - 9^2 =(x^2 + 9)(x^2-9) =(x^2+9)(x + 3)(x - 3)2. 分解因式：9x^2 - 16y^2解析：根据平方差公式a^2 - b^2=(a + b)(a - b)，这里a = 3x，b=4y所以9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)3. 分解因式：(a + b)^2 - 4(a + b)+4解析：将(a + b)看成一个整体，设m=a + b，则原式变为m^2-4m + 4，根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a=m，b = 2所以m^2-4m + 4=(m - 2)^2，即(a + b-2)^24. 分解因式：x^3 - 2x^2+x解析：x^3-2x^2+x=x(x^2-2x + 1) =x(x - 1)^25. 分解因式：25m^2 - 80m+64解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 5m，b=8所以25m^2-80m + 64=(5m - 8)^26. 分解因式：x^2y - 4y^3解析：x^2y-4y^3=y(x^2-4y^2) =y(x + 2y)(x - 2y)7. 分解因式：a^2 - 2ab + b^2 - c^2解析：a^2-2ab + b^2-c^2=(a - b)^2-c^2 =(a - b + c)(a - b - c)8. 分解因式：x^3+27解析：根据立方和公式a^3+b^3=(a + b)(a^2 - ab + b^2)，这里a=x，b = 3所以x^3+27=(x + 3)(x^2-3x + 9)9. 分解因式：16x^4 - 1解析：16x^4-1=(4x^2)^2-1^2 =(4x^2 + 1)(4x^2-1) =(4x^2+1)(2x + 1)(2x - 1) 10. 分解因式：3ax^2+6axy+3ay^2解析：3ax^2+6axy + 3ay^2=3a(x^2+2xy + y^2) =3a(x + y)^211. 分解因式：m^2(m - 1)-4(1 - m)^2解析：m^2(m - 1)-4(1 - m)^2=m^2(m - 1)-4(m - 1)^2 =(m - 1)[m^2-4(m - 1)] =(m - 1)(m^2-4m + 4) =(m - 1)(m - 2)^212. 分解因式：(x + y)^2 - 10(x + y)+25解析：设m=x + y，则原式为m^2-10m + 25=(m - 5)^2=(x + y - 5)^213. 分解因式：x^2 - y^2 - z^2+2yz解析：x^2-y^2 - z^2+2yz=x^2-(y^2 - 2yz+z^2) =x^2-(y - z)^2 =(x + y - z)(x - y + z)14. 分解因式：8x^3 - 27y^3解析：根据立方差公式a^3 - b^3=(a - b)(a^2+ab + b^2)，这里a = 2x，b=3y所以8x^3-27y^3=(2x - 3y)(4x^2+6xy + 9y^2)15. 分解因式：a^4 - b^4解析：a^4 - b^4=(a^2)^2-(b^2)^2 =(a^2 + b^2)(a^2 - b^2) =(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)16. 分解因式：x^2 - 4xy+4y^2 - 9解析：x^2-4xy + 4y^2-9=(x - 2y)^2-3^2 =(x - 2y + 3)(x - 2y - 3)17. 分解因式：2x^2 - 12x+18解析：2x^2-12x + 18=2(x^2-6x + 9) =2(x - 3)^218. 分解因式：x^3 - 6x^2+9x解析：x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x + 9) =x(x - 3)^219. 分解因式：m^2 - 5m - 14解析：对于二次三项式ax^2+bx + c，这里a = 1，b=-5，c=-14 m^2-5m - 14=(m - 7)(m+ 2)20. 分解因式：a^2 - 4a - 21解析：对于二次三项式ax^2+bx + c，这里a = 1，b=-4，c = - 21 a^2-4a - 21=(a - 7)(a + 3)。

专题09因式分解之八大题型判断是否是因式分解【变式训练】1．（2023下·浙江温州·七年级校考期末）下列变形是因式分解的是（ ）已知因式分解的结果求参数【变式训练】已知二次三项式22x x k +-有一个因式是6x -，求另一个因式以及k 的值．【答案】8x +，48k =【分析】设另一根因式为x n +，可得()()()222666x x k x x n x n x n +-=-+=+--，再建立方程组626n n k-=ìí-=-î，再解方程组即可得到答案．【详解】解：∵二次三项式22x x k +-有一个因式是6x -，∴设另一根因式为x n +，∴()()()222666x x k x x n x n x n +-=-+=+--，∴626n n k -=ìí-=-î，解得：848n k =ìí=î，∴另一根因式为：8x +．【点睛】本题考查的是因式分解的含义，二元一次方程组的解法，熟练的利用待定系数法建立方程组是解本题的关键．公因式例题：（2023上·福建厦门·八年级校考期末）单项式33a b 与239a b 的公因式是（ ）A ．23a bB ．333a bC ．abD ．339a b 【答案】A【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．【详解】解：单项式33a b 与单项式239a b 的公因式是23a b ．故选：A ．【点睛】此题考查公因式，掌握由几个单项式的各系数最大公约数与各相同字母最小次幂的乘积，组成的式子叫这几个单项式的公因式是解决此题的关键．【变式训练】【变式训练】综合提公因式法和公式法分解因式（2）()()22a x y b y x -+-()()22x y a b =--()()()x y a b a b =-+-．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式，掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-和完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+．【变式训练】1．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）分解因式：(1)228m -；(2)()()244x y x y +-++．【答案】(1)()()222m m +-(2)()22x y +-【分析】（1）先提取公因式2，再用平方差公式进行因式分解即可；（2）将x y +看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】（1）解：原式()()()224222m m m =-=+-；（2）解：原式()()22222x y x y =+-´++()22x y =+-．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-和完全平方公式()222a b a ab b ±=±+．2．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）分解因式：(1)2273x -+；(2)22344xy x y y --；(3)()()2221619y y ---+.【答案】(1)()()333x x +-(2)()22y x y --(3)()()2222+-y y【分析】（1）利用提公因式法及平方差公式，即可分解因式；（2）利用提公因式法及完全平方公式，即可分解因式；（3）利用完全平方公式及平方差公式，即可分解因式．【详解】（1）解：2273x -+2327x =-()239x =-()()333x x =+-（2）解：22344xy x y y --()2244y x xy y =--+()22y x y =--（3）解：()()2221619y y ---+()()2221619y y =---+()2213y éù=--ëû()224y =-()()222y y =+-éùëû()()2222y y =+-【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．十字相乘法分解因式例题：（2023下·四川达州·八年级校考期末）将多项式234--x x 分解因式后正确的是（ ）A ．()()223x x x+--B ．()34x x --C ．()()14x x -+D ．()()14x x +-【答案】D【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：()()23414.x x x x --=+-故选：D ．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．【变式训练】【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．分组分解法分解因式例题：（2023下·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1）23355x xy x y +-- （2）2244a b a b-+-【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：（1）23355x xy x y+--分析：甲发现该多项式前两项有公因式3x ，后两项有公因式5-，分别把它们提出来，剩下的是相同因式()x y +，可以继续用提公因式法分解．解：()22335533(55)3()5()()(35)x xy x y x xy x y x x y x y x y x +--=+-+=+-+=+-另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式y ，第一项和第三项含有公因式x ，把y ，x 提出来，剩下的是相同因式(35)x -，可以继续用提公因式法分解．解：()22335535(35)(35)(35)(35)()x xy x y x x xy y x x y x x x y +--=-+-=-+-=-+探究2：分解因式：（2）2266a b a b-+-分析：甲发现先将22a b -看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．解：()222266(66)()()6()()(6)a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+-=-+-=+-+-=-++【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；（1）分解因式：3244x x x +--；（2）分解因式：22229y yz z x ++-；【拓展提升】：（3）分解因式：2815m m -+．【答案】（1）()()()122x x x ++-；（2）()()33y z x y z x +++-；（3）()()53m m --．【分析】（1）把前面两个和后面两个分别组成两组，提公因式()1x +后再利用平方差公式继续分解；（2）把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可；（3）把15分解成161-，再把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可．【详解】解：（1）3244x x x +--()()3241x x x =+-+()()2141x x x =+-+()()214x x =+-()()()122x x x =++-；（2）22229y yz z x ++-()22229y yz z x =++-()()223y z x =+-()()33y z x y z x =+++-；（3）2815m m -+()28161m m =-+-()241m =--()()4141m m =-+--()()53m m =--．【点睛】解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式．【变式训练】1．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式22424x y x y -++．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：例1：22424x y x y-++()()22424x y x y =--- 分成两组()()()2222x y x y x y =+--- 分别分解()()222x y x y =-+- 提取公因式完成分解像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．(1)关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是______．①分组后组内能出现公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间能继续分解．(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？①22x y x y -++=______．②22222a a b ab b +--+=______．(3)利用分组分解法进行因式分解：22441x x y +-+．【答案】(1)①②③(2)①()()22x y x y -++，②()()22222a b a ab b -+-+；(3)()()2121x y x y ++-+【分析】(1)根据阅读材料解答即可；(2)运用分组分解法直接作答即可；(3)运用分组分解法直接作答即可．【详解】（1）解：从材料可知：“分组”的目的是：①分组后组内能出现公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间能继续分解；故正确的序号是①②③，故答案为：①②③；（2）解：①()()2222x y x y x y x y -++=-++，②()()2222222222a a b ab b a b a ab b +--+=-+-+，故答案为：①()()22x y x y -++，②()()22222a b a ab b -+-+；（3）解：22441x x y +-+()22441x x y =++-()2221x y =+-()()2121x y x y =++-+【点睛】本题考查了因式分解，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解答本题的关键．因式分解的应用例题：（2023下·辽宁丹东·八年级统考期末）已知a ，b ，c 是三角形的三边，且满足()2222333a b c a b c ++=++则ABC V 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】将()2222333a b c a b c ++=++进行变形得2222222220a b c ab ac bc ++---=，根据完全平方公式得222()()()0a b b c a c -+-+-=，即可得a b c ==，即可得．【详解】解：()2222333a b c a b c ++=++，222222222333a b c ab ac bc a b c +++++=++，2222222220a b c ab ac bc ++---=，222()()()0a b b c a c -+-+-=，0a b -=，0b c -=，0a c -=，a b =，b c =，a c =，∴a b c ==，∴三角形ABC 为等边三角形，故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，完全平方公式，等边三角形的判定，解题的关键是掌握因式分解，完全平方公式，等边三角形的判定．【变式训练】(2)14【分析】（1）①仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式；②仿照例题的方法，根据拆项法分解因式；（2）仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式，根据非负数的性质，求得,,a b c 的值，即可求解．【详解】（1）①()()()222222961961313131x x y x x y x y x y x y +-+=++-=+-=+++-；②()()()()()2226869131313124x x x x x x x x x -+=-+-=--=-+--=--（2）a ，b ，c 为ABC V 的三条边，22254610340a b c ab b c --++-=+，∴2222446910250a b ab b b c c +-+-++-+=，∴()()()2222350a b b c -++-=-，∴20a b -=，30b -=，50c -=，∴6a =，3b =，5c =，∴ABC V 的周长为63514++=．【点睛】本题考查了因式分解以及因式分解的应用，仿照例题的方法因式分解是解题的关键．一、单选题1．（2023下·云南昭通·八年级校联考期末）在多项式323124a b a bc -中，各项的公因式是（ ）A ．34a bcB ．34a bC ．24abD ．224a b 【答案】B【分析】根据多项式的公因式来进行求解即可．【详解】解： ()323312443a b a bc a b b c =--Q ，34a b \是多项式323124a b a bc -中各项的公因式．故选：B ．【点睛】本题主要考查了多项式的公因式，理解多项式的公因式是解答关键．2．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）A ．()1ax ay a x y +=++B ．()ma mb m a b -=-C ．()22444x x x ++=+D ．()2211x x -=-【答案】B【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可．【详解】A 、()ax ay a x y +=+，因式分解错误，该选项不符合题意；B 、因式分解正确，该选项符合题意；C 、()22442x x x ++=+，因式分解错误，该选项不符合题意；D 、()()2111x x x -=-+，因式分解错误，该选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查因式分解，牢记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解）和方法（提公因式法和公式法）是解题的关键．3．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）如果()()21052x kx x x ++=--，则k 应为（ ）A ．3-B ．3C ．7D ．7-【答案】D 【分析】先利用整式乘法化简等式的左边代数式，再根据对应系数相等求解k 值即可．【详解】解：∵()()22525210710x x x x x x x --=--+=-+，∴2210710x kx x x ++=-+，∴7k =-，故选：D ．【点睛】本题考查因式分解，熟知因式分解和整式乘法是互为逆运算是解答的关键．4．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）要使多项式22x M x ++能运用平方差公式进行分解因式，整式M 可以是（ ）A ．1B ．1-C ．24x -+D ．24x --【答案】D【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A .()22211x x x ++=+是完全平方公式因式分解，不合题意；B .221x x +-不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；C .222424x x x x x -++=+，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；D . ()()22242422x x x x x x --+=-=+-，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．5．（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）已知ABC V 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足22a ac b bc -=-，则ABC V 一定是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】D 【分析】依据题意，由22a ac b bc -=-得220a b ac bc --+=，从而()()0a b a b c -+-=，由两边之和大于第三边可得a b c +>，即0a b c +->，进而0a b -=，故可得解．【详解】解：由题意，∵22a ac b bc -=-，∴220a b ac bc --+=．∴()()0a b a b c -+-=．又∵a b c +>，即0a b c +->，∴0a b -=，即a b =．∴ABC V 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时需要熟练掌握并能理解．二、填空题【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键．三、解答题11．（2023下·四川达州·八年级校考期末）分解因式：(1)32231212a a b ab -+-；(2)229()()m n m n +--．【答案】(1)23(2)a a b --(2)()()422m n m n ++【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可．【详解】（1）原式()22344a a ab b =--+23(2)a a b =--；（2）()2原式()()()()33m n m n m n m n =++-+--éùéùëûëû()()422m n m n =++．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（2023下·四川达州·八年级校考期末）因式分解：(1)()()42a x y b y x ---；(2)22168x xy y -+；【答案】(1)()()22x y a b -+(2)2(4)x y -【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；（2）利用完全平方公式进行分解，即可解答．【详解】（1）解：()()42a x y b y x ---【答案】(1)(3)(3)+++-a b a b (2)ABC V 是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）运用完全平方公式分解222a ab b ++，再运用平方差公式进行分解即可；（2）运用乘法公式进行分组分解法分解因式即可．【详解】（1）解：2229a ab b ++-2()9a b =+-(3)(3)a b a b =+++-．（2）解：20a ab ac bc -+-=，因式分解为：()2()0a ab ac bc -+-=，()()0a a b c a b -+-=，()()0a b a c -+=，0a b \-=，即a b =，∴ABC V 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查因式分解的知识，掌握乘法公式的运用，因式分解的方法是解题的关键．15．（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务．生活中我们经常用到密码，例如用支付宝或微信支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：3222x x x +--可以因式分解为()()()112x x x -++，当29x =时，128x -=，130x +=，231x +=，此时可以得到数字密码283031．任务：(1)根据上述方法，当15x =，5y =时，对于多项式32x xy -分解因式后可以形成哪些数字密码？(2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x ，y ，求出一个由多项式33x y xy +分解因式后得到的密码（只需一个即可）．【答案】(1)可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015(2)24121（或12124）【分析】（1）先将32x xy -进行因式分解，再根据题意代入15x =，5y =计算，即可求解；（2）根据勾股定理和三角形周长公式得2213121x y x y +=ìí+=î，解得24xy =，再将多项式33x y xy +分解因式后，代入24xy =，22121x y +=进行计算即可求解．【详解】（1）解：()()32x xy x x y x y -=-+，当15x =，5y =时，10x y -=，20x y +=，可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015．（2）由题意得：2213121x y x y +=ìí+=î，解得24xy =，而()3322x y xy xy x y +=+，所以可得数字密码为24121（或12124）．【点睛】本题考查因式分解和因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法以及题目中数字密码的计算方法．16．（2023下·辽宁锦州·八年级统考期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.如图1，有足够多的A ，B ，C 三种纸片：A 种是边长为m 的正方形，B 种是边长为n 的正方形，C 种是宽为m ，长为n 的长方形．用A 种纸片1张，B 种纸片1张，C 种纸片2张可以拼出（不重不漏）如图2所示的正方形．根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法()()222m n m n m mn n ++=++，反过来也可以解释多项式222m mn n ++，因式分解的结果为2222()m mn n m n ++=+，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：(1)若多项式2223m n mn ++表示分别由1，2，3张A ，B ，C 三种纸片拼出如图3所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式2232m mn n ++进行因式分解；(2)我们可以借助图3再拼出一个更长方形，使该长方形刚好由3张A 种纸片，2张B 种纸片，7张C 种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式______，据此可得到该多项式因式分解的结果为______．【答案】(1)长是2m n +，宽是m n +，因式分解结果是()()2m n m n ++(2)22372m mn n ++，()()23m n m n ++【分析】（1）根据A ，B ，C 三种纸片的边长即可求出图2中长方形的长和宽，根据长方形的面积等于长乘宽即可进行因式分解；（2）根据长方形由3张A 种纸片，2张B 种纸片，7张C 种纸片拼成，即可求出这个长方形的面积，然后进行因式分解即可．【详解】（1）解：根据图形可知这个长方形的长是2m n +，宽是m n +，2232(2)()m mn n m n m n \++=++；（2）根据长方形刚好由3张A 种纸片，2张B 种纸片，7张C 种纸片拼成，则这个长方形的面积可以表示为多项式22372m mn n ++，22372(2)(3)m mn n m n m n \++=++，故答案为：22372m mn n ++，(2)(3)m n m n ++．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，利用数形结合思想与长方形的面积解答是解题的关键．。

因式分解专项训练（30道）1．（拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．2．（拜泉县期中）因式分解（1）6x2﹣3x；（2）16m3﹣mn2；（3）25m2﹣10mn+n2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．3．（浠水县月考）分解因式：（1）3pq3+15p3q；（2）ab2﹣a；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3；（4）（a2+1）2﹣4a2．4．（绿园区校级月考）把下列多项式分解因式．（1）3x2﹣3y2．（2）a2b+2ab2+b3．（3）（m﹣1）（m﹣3）+1．（4）2a2+4ab+2b2．5．（2021春•东昌府区期末）把下列各式进行因式分解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2；（2）﹣x2+8x﹣15；（3）8m3n+40m2n2+50mn3；（4）a4﹣b4．6．（2021春•南山区校级期中）分解因式：（1）12ab2﹣6ab；（2）a2﹣6ab+9b2；（3）x4﹣1；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）．7．（2021春•邗江区期中）分解因式：（1）2x2﹣12x+18；（2）a3﹣a；（3）4ab2﹣4a2b﹣b3；（4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）．8．（2020秋•丛台区期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．9．（2021春•江北区校级期中）因式分解：（1）﹣8ab2+6a2b﹣2ab；（2）4a2﹣（a2+1）2；（3）x4﹣8x2﹣9；（4）（2﹣x2）2+2x（x2﹣2）+x2．10．（2021春•福田区校级期中）因式分解：（1）ab2﹣a；（2）2xy2﹣12x2y+18x3；（3）a4﹣8a2+16；（4）（x﹣4）（x+1）+3x．11．（2021秋•姜堰区月考）因式分解：（1）a4﹣1；（2）x3﹣2x2y+xy2．12．（2021春•平山区校级期中）分解因式：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（2）3x2﹣18xy+27y2．13．（2021春•鄄城县期末）因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．14．（2021春•福田区校级期中）分解因式：（1）4x2﹣（x2+1）2；（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．15．（2021春•凤翔县期末）分解因式：（1）9a2（x﹣y）+y﹣x；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．16．（2021春•沈北新区期末）因式分解：（1）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2c；（2）（x2+1）2﹣4x2．17．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2﹣c2；（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．18．（2021春•覃塘区期末）因式分解：（1）3x3﹣12x；（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2．19．（2021春•江宁区月考）分解因式：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．20．（2021春•汉寿县期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．21．（2020秋•浦东新区期末）因式分解（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．22．（2020春•市南区校级期中）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．23．（2020秋•宝山区期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．24．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．25．（2020秋•松江区期末）因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y．26．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．27．（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．28．（2021秋•浦东新区校级期中）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．29．（2020秋•海淀区校级期中）因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．30．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）因式分解专项训练（30道）【答案版】1．（2021春•拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【解题思路】（1）逆用平方差公式进行因式分解．（2）先逆用平方差公式，再提公因式．（3）先逆用平方差公式，再提公因式．（4）运用十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底．【解答过程】解：（1）﹣a2+1＝（1+a）（1﹣a）．（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2．（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2＝[2（x+2y）+5（x﹣y）][2（x+2y）﹣5（x﹣y）]＝（2x+4y+5x﹣5y）（2x+4y﹣5x+5y）＝（7x﹣y）（﹣3x+9y）＝﹣3（7x﹣y）（x﹣3y）．（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．2．（2021秋•拜泉县期中）因式分解（1）6x2﹣3x；（2）16m3﹣mn2；（3）25m2﹣10mn+n2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【解题思路】（1）原式提取公因式3x，分解即可；（2）原式提取公因式m，再利用平方差公式分解即可；（3）原式利用完全平方公式分解即可；（4）原式变形后，提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解即可．【解答过程】解：（1）6x2﹣3x＝3x（2x﹣1）；（2）16m3﹣mn2＝m（16m2﹣n2）＝m（4m+n）（4m﹣n）；（3）25m2﹣10mn+n2＝（5m﹣n）2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．3．（2021秋•浠水县月考）分解因式：（1）3pq3+15p3q；（2）ab2﹣a；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3；（4）（a2+1）2﹣4a2．【解题思路】（1）原式提取公因式3pq即可；（2）原式提取公因式a，再利用平方差公式分解即可；（3）原式提取公因式﹣y，再利用完全平方公式分解即可；（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）3pq3+15p3q＝3pq（q2+5p2）；（2）ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（y2+4x2﹣4xy）＝﹣y（2x﹣y）2；（4）（a2+1）2﹣4a2＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．4．（2021秋•绿园区校级月考）把下列多项式分解因式．（1）3x2﹣3y2．（2）a2b+2ab2+b3．（3）（m﹣1）（m﹣3）+1．（4）2a2+4ab+2b2．【解题思路】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可；（2）先提公因式，再利用完全平方公式即可；（3）先计算多项式乘多项式，整理后，再利用完全平方公式即可；（4）先提公因式，再利用完全平方公式即可；【解答过程】解：（1）原式＝3（x2﹣y2）＝3（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝b（a2+2ab+b2）＝b（a+b）2；（3）原式＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2；（4）原式＝2（a2+2ab+b2）＝2（a+b）2．5．（2021春•东昌府区期末）把下列各式进行因式分解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2；（2）﹣x2+8x﹣15；（3）8m3n+40m2n2+50mn3；（4）a4﹣b4．【解题思路】（1）直接提取公因式；（2）先加上负括号，再利用十字相乘法；（3）先提取公因式2mn，再利用完全平方公式；（4）利用平方差公式因式分解．【解答过程】解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2＝（x﹣y）[2﹣（x﹣y）]＝（x﹣y）（2﹣x+y）；（2）﹣x2+8x﹣15＝﹣（x2﹣8x+15）＝﹣（x﹣5）（x﹣3）；（3）8m3n+40m2n2+50mn3＝2mn（4m2+20mn+25n2）＝2mn（2m+5n）2；（4）a4﹣b4＝（a2+b2）（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．6．（2021春•南山区校级期中）分解因式：（1）12ab2﹣6ab；（2）a2﹣6ab+9b2；（3）x4﹣1；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）．【解题思路】（1）直接提取公因式6ab，进而分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；（3）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（4）直接提取公因式（m﹣2），再利用平方差公式分解因式即可．【解答过程】解：（1）12ab2﹣6ab＝6ab（2b﹣1）；（2）a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2；（3）x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x﹣1）（x+1）；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）＝n2（m﹣2）﹣（m﹣2）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）．7．（2021春•邗江区期中）分解因式：（1）2x2﹣12x+18；（2）a3﹣a；（3）4ab2﹣4a2b﹣b3；（4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）．【解题思路】（1）首先提公因式2，再利用完全平方公式进行分解即可；（2）首先提公因式a，再利用平方差公式进行分解即可；（3）首先提公因式﹣b，再利用完全平方公式进行分解即可；（4）首先提公因式m（a﹣2），再利用平方差公式进行分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2；（2）原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；（3）原式＝﹣b（b2﹣4ab+4a2）＝﹣b（b﹣2a）2；（4）原式＝m（a﹣2）（m2﹣1）＝m（a﹣2）（m﹣1）（m+1）．8．（2020秋•丛台区期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．【解题思路】（1）先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据十字相乘法分解因式即可；（3）先分组，根据完全平方公式进行计算，再根据平方差公式分解因式，最后根据“十字相乘法”分解因式即可；（4）把x2+3x当作一个整体展开，再根据“十字相乘法”分解因式即可．【解答过程】解：（1）（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16＝（x4﹣6x3+9x2）﹣16＝x2（x﹣3）2﹣42＝[x（x﹣3）+4][x（x﹣3）﹣4]＝（x2﹣3x+4）（x2﹣3x﹣4）＝（x2﹣3x+4）（x﹣4）（x+1）；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+5+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+8＝（x2+3x+2）（x2+3x+4）＝（x+1）（x+2）（x2+3x+4）．9．（2021春•江北区校级期中）因式分解：（1）﹣8ab2+6a2b﹣2ab；（2）4a2﹣（a2+1）2；（3）x4﹣8x2﹣9；（4）（2﹣x2）2+2x（x2﹣2）+x2．【解题思路】（1）原式提取﹣2ab，利用提公因式法因式分解即可；（2）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可；（4）利用完全平方公式变形，再利用提公因式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝﹣2ab（4b﹣3a+1）；（2）原式（2a）2﹣（a2+1）2＝（2a+a2+1）（2a﹣a2﹣1）＝﹣（a+1）2（a﹣1）2；（3）原式＝（x2+1）（x2﹣9）＝（x2+1）（x+3）（x﹣3）；（4）原式＝（x2﹣2）2+2x（x2﹣2）+x2＝（x2+x﹣2）2＝（x+2）2（x﹣1）2．10．（2021春•福田区校级期中）因式分解：（1）ab2﹣a；（2）2xy2﹣12x2y+18x3；（3）a4﹣8a2+16；（4）（x﹣4）（x+1）+3x．【解题思路】（1）提公因式后再利用平方差公式即可；（2）提公因式后再利用完全平方公式即可；（3）利用完全平方公式后再利用平方差公式；（4）根据多项式乘法计算，再利用平方差公式．【解答过程】解：（1）ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）；（2）原式＝2x（y2﹣6xy+9x2）＝2x（y﹣3x）2；（3）原式＝（a2﹣4）2＝（a﹣2）2（a+2）2；（4）原式＝x2﹣3x﹣4+3x＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．11．（2021秋•姜堰区月考）因式分解：（1）a4﹣1；（2）x3﹣2x2y+xy2．【解题思路】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式x，再利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝（a2+1）（a2﹣1）＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）；（2）原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2．12．（2021春•平山区校级期中）分解因式：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（2）3x2﹣18xy+27y2．【解题思路】（1）首先提取公因式（m﹣n），然后利用平方差公式继续进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式把原式进行因式分解即可．【解答过程】解：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）＝（m﹣n）（x2﹣y2）＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）；（2）3x2﹣18xy+27y2＝3（x2﹣6xy+9y2）＝3（x﹣3y）2．13．（2021春•鄄城县期末）因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．【解题思路】（1）用提取公因式法分解因式；（2）用平方差公式、完全平方公式分解因式．【解答过程】解：（1）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y）＝（a﹣b）[（x﹣y）+（x+y）]＝2x（a﹣b），（2）原式＝（x2+1）2﹣（2x）2＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．14．（2021春•福田区校级期中）分解因式：（1）4x2﹣（x2+1）2；（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．【解题思路】（1）先选择平方差公式分解因式，再运用完全平方公式进行因式分解；（2）先运用提取公因式法分解因式，再运用完全平方公式分解因式．【解答过程】解：（1）原式＝（2x）2﹣（x2+1）2＝（2x+x2+1）（2x﹣x2﹣1）＝﹣（x+1）2（x﹣1）2；（2）原式＝3[（x﹣1）2﹣6（x﹣1）+9]＝3[（x﹣1）﹣3]2＝3（x﹣4）2．15．（2021春•凤翔县期末）分解因式：（1）9a2（x﹣y）+y﹣x；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．【解题思路】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝9a2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣1）＝（x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）；（2）原式＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝（x﹣y﹣1）2．16．（2021春•沈北新区期末）因式分解：（1）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2c；（2）（x2+1）2﹣4x2．【解题思路】（1）直接提公因式﹣5bc即可；（2）先利用平方差公式，将原式化为（x2+1+2x）（x2+1﹣2x），再利用完全平方公式得出答案．【解答过程】解：（1）原式＝﹣5bc（2a2﹣3c+4ab）；（2）原式＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．17．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2﹣c2；（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．【解题思路】（1）先分组，再分解．（2）先将b2（a﹣2）+b（2﹣a）变形为b2（a﹣2）﹣b（a﹣2），再运用提公因式法．【解答过程】解：（1）x2+2xy+y2﹣c2＝（x+y）2﹣c2＝（x+y+c）（x+y﹣c）．（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）＝b2（a﹣2）﹣b（a﹣2）＝b（a﹣2）（b﹣1）．18．（2021春•覃塘区期末）因式分解：（1）3x3﹣12x；（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2．【解题思路】（1）先提公因式，再用公式法进行因式分解．（2）先将1﹣2x+2y+（x﹣y）2变形为＝1﹣（2x﹣2y）+（x﹣y）2，再用公式法进行因式分解．【解答过程】解：（1）3x3﹣12x＝3x（x2﹣4）＝3x（x+2）（x﹣2）．（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2＝1﹣（2x﹣2y）+（x﹣y）2＝1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝[1﹣（x﹣y）]2＝（1﹣x+y）2．19．（2021春•江宁区月考）分解因式：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．【解题思路】（1）可先将（y﹣x）变形为﹣（x﹣y），再根据因式分解的步骤进行分解即可；（2）将（x2﹣5）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，最后再利用平方差公式因式分解即可．【解答过程】解：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）＝4x2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（4x2﹣1）＝（x﹣y）（2x+1）（2x﹣1）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16＝（x2﹣5+4）2＝（x2﹣1）2＝（x+1）2（x﹣1）2．20．（2021春•汉寿县期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．【解题思路】先将3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y分组整理，然后利用公式即可解答．【解答过程】解：原式＝（3x2﹣xy﹣2y2）﹣（x﹣y）＝（3x+2y）（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（3x+2y﹣1）．21．（2020秋•浦东新区期末）因式分解（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．【解题思路】（1）将原式分为两组：（5x2﹣15x）、﹣（2xy﹣6y），然后利用提取公因式法进行因式分解；（2）利用平方差公式进行因式分解．【解答过程】解：（1）原式＝（5x2﹣15x）﹣（2xy﹣6y）＝5x（x﹣3）﹣2y（x﹣3）＝（x﹣3）（5x﹣2y）；（2）原式＝（1+ab﹣a﹣b）（1+ab+a+b）＝[（1﹣a）﹣b（1﹣a）][（1+a）+b（1+a）]＝（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）．22．（2020春•市南区校级期中）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．【解题思路】首先提公因式4，再利用平方差公式进行分解即可．【解答过程】解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2＝4[（x+y）2﹣4（x﹣y）2]＝4（x+y+2x﹣2y）（x+y﹣2x+2y）＝4（3x﹣y）（3y﹣x）．23．（2020秋•宝山区期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．【解题思路】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．【解答过程】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）＝2（x﹣y）（x2﹣4）＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．24．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【解题思路】先利用分组分解法进行恰当的分组，再利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．【解答过程】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）﹣4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．25．（2020秋•松江区期末）因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y．【解题思路】分为两组：（x3+3x2y）和（﹣4x﹣12y），然后运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解．【解答过程】解：x3+3x2y﹣4x﹣12y＝（x3+3x2y）﹣（4x+12y）＝x2（x+3y）﹣4（x+3y）＝（x+3y）（x2﹣4）＝（x+3y）（x+2）（x﹣2）．26．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【解题思路】利用加法的结合律和交换律，把整式的第一项和第三项，第四项和第二项分组，提取公因式后再利用公式．【解答过程】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）+4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．27．（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．【解题思路】原式利用十字相乘法分解后，再利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：原式＝（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）＝（x﹣2）（x+4）（x+1）2．28．（2021秋•浦东新区校级期中）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．【解题思路】将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．【解答过程】解：设x2+x＝y，则原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y﹣2）（y+5）＝（x2+x﹣2）（x2+x+5）＝（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如令x2+x+1＝u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．故答案为（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）29．（2020秋•海淀区校级期中）因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．【解题思路】先利用分组分解法分解，再分别利用公式法和提取公因式法分解即可得出答案．【解答过程】解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6＝（64a6﹣b6）﹣（48a4b2﹣12a2b4）＝（8a3+b3）（8a3﹣b3）﹣12a2b2（4a2﹣b2）＝（2a+b）（4a2﹣2ab+b2）（2a﹣b）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2（2a+b）（2a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2﹣2ab+b2）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣4a2b2﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣16a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）（4a2﹣b2）2＝（2a+b）3（2a﹣b）3．30．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）【解题思路】分别利用拆添项及配方法和提取公因式法进行分解即可．【解答过程】解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4）＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2）＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）；方法二：x3﹣4x2+6x﹣4＝x（x2﹣4x2+4+2）﹣4＝x（x﹣2）2+2x﹣4＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）．。

2017年05月21日数学(因式分解难题)2一•填空题(共10小题)1 .已知x+y=10, xy=16,则x2y+xy2的值为_____ .2•两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2 (x- 1) (x-9);另一位同学因看错了常数项分解成 2 (x-2) (x- 4), 请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：_ .3 .若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是_____ .4 .分解因式：4貳-4x- 3= ___ .5. _______________________________________ 利用因式分解计算：2022+202X 196+982= _______________________ .6. __________________________________________________________A ABC三边a, b, c满足a2+b2+c?=ab+bc+ca，则△ ABC的形状是_____ .7 .计算：12- 22+32- 42+52- 62+…-1002+1012= __ .8. 定义运算b= (1-a) b,下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★ (- 2) =3②a^ b=b^ a③若a+b=0,则(a^ a) + (b^ b) =2ab④若a^ b=0,则a=1 或b=0.其中正确结论的序号是____ (填上你认为正确的所有结论的序号).9. _______________________________________________ 如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= _________ .10. 若多项式x2-6x- b可化为(x+a) 2- 1,则b的值是________ .二.解答题(共20小题)11 .已知n为整数，试说明(n+7) 2-(n -3) 2的值一定能被20整除.12 .因式分解：4x2y - 4xy+y .13 .因式分解(1)a3- ab2(2)(x-y) 2+4xy.14 •先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2- 6n+9=0,求m 和n 的值.解：T m2+2mn+2n2- 6n+9=0••• m2+2mn +n2+n2- 6n+9=0/•( m+ n) 2+ (n - 3) 2=0•m+n=0, n —3=0•m= —3, n=3问题：(1 )若X2+2『-2xy+4y+4=0,求X y的值.(2)已知△ ABC的三边长a, b, c都是正整数，且满足a2+b2- 6a- 6b+18+|3 -c| =0,请问△ ABC是怎样形状的三角形？15. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为和谐数”如4=22- 02, 12=42- 22, 20=62- 42，因此4, 12, 20这三个数都是和谐数.(1)36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3)______________________________________ 介于1到200之间的所有和谐数”之和为_________________________________ .16. 如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.:<②1° b®1 1 1 1 ■ ■ 1 ■ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 i 1 i iiaHI郅(1) 如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们 拼成一个大长方形 (在图2虚线框中画出图形)，并运用面积之间的关系，将 多项式a 2+3ab+2b 2分解因式.(2) 已知小正方形①与大正方形③的面积之和为 169，长方形②的周长为34, 求长方形②的面积.(3) 现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张， 把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接) ，求可以拼成多少种边长不同的正方形.17. (1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1所示，用若干块这样的硬纸片 拼成一个新的长方形，如图2.① 用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积; ② 由此，你可以得出的一个等式为： __________ (2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3所示.① 请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；② 请你用拼图等方法推出2a 2+5ab+2b 2因式分解的结果，画出你的拼图.□•口" Mi□■oHl18 .已知a+b=1，ab=- 1，设S1 =a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，S n=a n+b n(1) 计算s ；(2) 请阅读下面计算S3的过程:a i-b'二乍"十F +(站g-hp 十&召一盘为=(护+扩＜0+(扩+a③-府白+应为=(白’ +盼"+(/ 4扌0-4地+曲二S+如+巧一□糾»因为a+b=1, ab=- 1,所以S3=a3+b3= (a+b) (a2+b2)—ab (a+b) =1 x S2 -( - 1) =S2+1= __你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果，再用你学到的方法计算S4.(3 )试写出S n-2, S n-1, S n三者之间的关系式；(4)根据(3)得出的结论，计算S6.19. (1)利用因式分解简算:9.82+0.4X 9.8+0.04(2)分解因式：4a (a- 1) 2-( 1 - a)20. 阅读材料：若m2-2mn+2n2- 8n+16=0,求m、n 的值.解：T m2- 2mn+2n2- 8n +16=0,二(m2- 2mn+n2) + (n2- 8n+16) =0■'■( m - n) 2+ (n- 4) 2=0,A( m - n) 2=0, (n- 4) 2=0,二n=4, m=4. 根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0, 求x-y 的值.(2)已知△ ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足石+b2-6a- 8b+25=0, 求厶ABC的最大边c的值.(3)已知 a - b=4, ab+c2- 6c+13=0,则 a - b+c= __ .21. 仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m 的值. 解：设另一个因式为(x+n),得x2- 4x+m= (x+3) (x+n)，则x2- 4x+m=W+(n+3) x+3nn+3= —4m=3n 解得：n= - 7, m= —21•另一个因式为(x—7), m的值为-21 .问题：(1)若二次三项式x2- 5x+6可分解为(x- 2) (x+a),贝U a= ______ ;(2)若二次三项式2x2+bx - 5可分解为(2x- 1) (x+5),则b= ______ ;(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x- k有一个因式是(2x-3)，求另一个因式以及k的值.22 •分解因式:(1)2x2- x;(2)16x2- 1;(3)6xy2- 9x2y - y3;(4)4+12 (x- y) +9 (x-y) 2.23. 已知a, b, c是三角形的三边，且满足(a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2),试确定三角形的形状.24. 分解因式(1)2(- 4x2y2+2y4(2)2a3- 4a2b+2ab2.25. 图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.(1)图②中的阴影部分的面积为—;(2)观察图②请你写出三个代数式(m+n) 2、(m - n) 2、mn之间的等量关系是___ .(3)______________________________ 若x+y=7, xy=10,则(x —y) 2= .(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了___ .(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+ n) (m+3n) =m2+4mn+3n2.w②26. 已知a、b、c满足a—b=8, ab+c2+16=0,求2a+b+c 的值.27 .已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体积.28. (x2—4x) 2— 2 (x2—4x)—15.29. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题:1+x+x (x+1) +x (x+1) 2 =(1+x) [ 1 +x+x (x+1)]=(1+x) 2(1+x)=(1+x) 3(1 )上述分解因式的方法是—，共应用了—次.(2)_________________________________________________________ 若分解1+x+x (x+1 ) +x (x+1 ) 2+-+x (x+1 ) 2004,则需应用上述方法________ 次，结果是___ .(3)分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+-+x (x+1) n(n 为正整数).30. 对于多项式x3—5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3—5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式(x- 2)(注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0,则多项式含有因式（X- a））,于是我们可以把多项式写成：x3- 5X2+X+10=（x- 2）（x2+mx+n），（1 ）求式子中m、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3- 2x2- 13x - 10 的因式．2017年05月21日数学(因式分解难题)2参考答案与试题解析一•填空题(共10小题)1. ( 2016秋？望谟县期末)已知x+y=10, xy=16,则x2y+xy2的值为160 .【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.【解答】解：••• x+y=10, xy=16,••• x2y+xy2=xy (x+y) =10X 16=160.故答案为：160.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.2. (2016秋？新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2 (x- 1) (x-9);另一位同学因看错了常数项分解成2 (x-2) (x-4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： 2 (x -3)2.【分析】根据多项式的乘法将 2 (x- 1) (x-9)展开得到二次项、常数项；将2 (x-2) (x-4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.【解答】解：：2 (x- 1) (x-9) =2乂 - 20x+18;2 (x- 2) (x-4) =2^- 12x+16;•原多项式为2x2- 12x+18 .2/- 12x+18=2 (x2- 6x+9) =2 (x-3) 2.【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键. 二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确.3. (2015春？昌邑市期末)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m 的值是土 4 .【分析】利用完全平方公式(a+b) 2= (a- b) 2+4ab、(a- b) 2= (a+b) 2- 4ab 计算即可.【解答】解：••• x2+mx+4= (x± 2) 2,即x2+mx+4=W 土4x+4,••• m= ± 4.故答案为：土4.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键.4. (2015 秋？利川市期末)分解因式：4/- 4x- 3= (2x- 3) (2x+1).【分析】ax2+bx+c (a^0)型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a i, a2的积a i?a2，把常数项c分解成两个因数c i, C2 的积c i?C2,并使a i C2+a2C i正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a i x+c i) (a2x+c2),进而得出答案.【解答】解：4x2- 4x- 3= (2x- 3) (2x+i).故答案为：(2x- 3) (2x+i).【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键.5 . (20i5春？东阳市期末)利用因式分解计算：2022+202X i96+982= 90000 .【分析】通过观察，显然符合完全平方公式.第9页(共3i页)【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=(202+98) 2=300 =90000.【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.6. (2015秋？浮梁县校级期末)△ ABC三边a, b, c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca, 则厶ABC的形状是等边三角形 .【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2,再化简得(a- b) 2+ (a -c) 2+ (b - c) 2=0,得出：a=b=c,即选出答案.【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,即a2- 2ab+b2+a2- 2ac+c2+b2- 2bc+c2=0,即(a - b) 2+ (a- c) 2+ (b - c) 2=0,解得：a=b=c,所以，△ ABC是等边三角形.故答案为：等边三角形.【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c,由三边相等判定厶ABC是等边三角形.7. (2015 秋？鄂托克旗校级期末)计算：12- 22+32- 42+52- 62+…-1002+1012= 5151 .【分析】通过观察，原式变为1+ (32- 22) + (52- 42) + (1012- 1002),进一步运用高斯求和公式即可解决.【解答】解：12- 22+32- 42+52- 62+…-1002+1012=1+ (32- 22) + (52- 42) + ( 1012- 1002)=1+ (3+2) + (5+4) + (7+6) +••+ (101+100)=(1+101)X 101-2=5151.故答案为：5151.【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题.8. (2015秋？乐至县期末)定义运算a^b= (1 - a) b,下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★ (- 2) =3②a^ b=b^ a③若a+b=0,则(a^ a) + (b^ b) =2ab④若a^ b=0,则a=1 或b=0.其中正确结论的序号是③④(填上你认为正确的所有结论的序号).【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断.【解答】解：①2 ★ (-2) = (1 - 2)X(- 2) =2,本选项错误；②a^b= (1 - a) b, b^a= (1 - b) a,故a^b不一定等于b^a,本选项错误；③若a+b=0，贝U( a^a) + (b★ b) = (1 - a) a+ (1 - b) b=a- a2+b- b2=- a2 -b2= - 2a2=2ab,本选项正确；④若a^ b=0,即(1 - a) b=0,则a=1或b=0,本选项正确，其中正确的有③④.故答案为③④.【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.9. （2015 春？张掖校级期末）如果1 +a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0 .【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可.【解答】解：I 1+a+a2+a3=0,二a+a2+a3+a4+a5+a6+a7 +a8,=a (1 +a+a2+a3) +a5(1 +a+a2+a3),=0+0,=0.故答案是：0.【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题.10. (2015春？昆山市期末)若多项式X2-6x-b可化为(x+a) 2- 1,贝U b的值是 -8 .【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.【解答】解：T x2- 6x- b= (x- 3) 2- 9- b= (x+a) 2- 1,二a=- 3,- 9- b= - 1,解得：a=- 3, b= - 8.故答案为：-8.【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键.二.解答题(共20小题)11. 已知n为整数，试说明(n+7) 2-(n -3) 2的值一定能被20整除.【分析】用平方差公式展开(n+7) 2-(n -3) 2,看因式中有没有20即可.【解答】解：(n +7) 2-(n-3) 2= (n +7+n-3) (n +7- n+3) =20 (n+2), •••(n +7) 2-(n- 3) 2的值一定能被20整除.【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式：a2- b2= (a+b) (a- b).12. (2016秋？农安县校级期末)因式分解：4x2y- 4xy+y.【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解：4x2y- 4xy+y=y( 4x2- 4x+1 )=y(2x- 1) 2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解, 一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底, 直到不能分解为止.13. (2015秋?成都校级期末)因式分解( 1 ) a3- ab2(2)(x- y) 2+4xy.【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可；( 2)原式利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1)原式=a (a2- b2) =a (a+b) (a- b)；( 2)原式=x2- 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=( x+y) 2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用, 熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.14. (2015 春?甘肃校级期末)先阅读下面的内容,再解决问题,例题：若m2+2mn+2n2- 6n+9=0,求m 和n 的值.解：T m2+2mn+2n2- 6n+9=0••• m2+2mn +n2+n2- 6n+9=0/•( m+ n) 2+ (n - 3) 2=0m+n=0, n —3=0m= —3, n=3问题：(1)若x2+2y2—2xy+4y+4=0,求X 的值.(2)已知△ ABC的三边长a, b, c都是正整数，且满足孑+b2-6a—6b+18+|3 —c| =0,请问△ ABC是怎样形状的三角形？【分析】(1)首先把x2+2y2—2xy+4y+4=0,配方得到(x —y) 2+ (y+2) 2=0, 再根据非负数的性质得到x=y= —2,代入求得数值即可；(2)先把a^b2- 6a—6b+18+|3 —c| =0,配方得到(a—3) 2+ (b —3) 2+| 3 —c| =0,根据非负数的性质得到a=b=c=3,得出三角形的形状即可.【解答】解：(1 )••• x2+2y2 —2xy+4y+4=0•x2+y2—2xy+y2+4y+4=0,•( x —y) 2+ (y+2) 2=0•x=y=- 2(2a2+b2—6a —6b+18+| 3 —c| =0,•a2- 6a+9+b2—6b+9+| 3 —c| =0,••( a —3) 2+ (b —3) 2+| 3 —c| =0•a=b=c=3•三角形ABC是等边三角形.【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题.15. (2015秋？太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为和谐数”如4=22- 02, 12=军-22, 20=62- 42,因此4, 12, 20这三个数都是和谐数.(1)36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3)介于1到200之间的所有和谐数”之和为2500 .【分析】(1)利用36=1俨-82; 2016=5052 - 5032说明36是和谐数” 2016 不是和谐数”(2)设两个连续偶数为2n, 2n+2(n为自然数),则和谐数”(2n +2) 2- (2n)2,利用平方差公式展开得到(2n+2+2n) (2n+2-2n) =4(2n+1),然后利用整除性可说明和谐数”一定是4的倍数；(3)介于1到200之间的所有和谐数”中，最小的为：22- 02=4,最大的为：502- 482=196，将它们全部列出不难求出他们的和.【解答】解：(1) 36是和谐数” 2016不是和谐数”理由如下：36=10^- 82; 2016=5052- 5032;(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (n为自然数)，•••(2k+2) 2-(2k) 2= (2k+2+2k) (2k+2- 2k)=(4k+2)x 2=4 (2k+1),••• 4 (2k+1)能被4整除，•••和谐数”一定是4的倍数；(3)介于1到200之间的所有和谐数”之和，S= (22- 02) + (42- 22) + (62- 42) +••+ (502- 482) =50^=2500.第16页（共31页） 故答案是：2500.【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形, 从而达到使计算简化.16. （2015春?兴化市校级期末）如图1,有若干张边长为a 的小正方形①、长 为b 宽为a 的长方形②以及边长为b 的大正方形③的纸片.圍1 圉2（1） 如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们 拼成一个大长方形 （在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将 多项式a 2+3ab+2b 2分解因式.（2） 已知小正方形①与大正方形③的面积之和为 169，长方形②的周长为34, 求长方形②的面积.（3） 现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张， 把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ，求可以拼成多少种边长不同的正方形.【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画 出图形，利用图形分解因式即可；（2） 由长方形②的周长为34,得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正 方形③的面积之和为a 2+b 2=169,将a+b=17两边同时平方，可求得ab 的值，从 而可求得长方形②的面积；（3） 设正方形的边长为（na+mb ），其中（n 、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2.因为现有三种纸片各8张，n2<8, m2<8, 2mn w 8 （n、m为正整数）从而可知n W2, m<2,从而可得出答案.••• a2+3ab+2b2= （a+2b）（a+b）;（2 长方形②的周长为34,•a+b=17.•••小正方形①与大正方形③的面积之和为169,•a2+b2=169.将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289,•2ab=289 - 169,•ab=60.•长方形②的面积为60.（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）•正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2.•••现有三种纸片各8张，•n2<8, m2<8, 2mn<8 （n、m 为正整数）•n<2, m<2.•共有以下四种情况；① n=1, m=1，正方形的边长为a+b;第17页（共31页）②n=1, m=2，正方形的边长为a+2b;③n=2, m=1，正方形的边长为2a+b;④n=2, m=2，正方形的边长为2a+2b.【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式.17. (2014秋？莱城区校级期中)(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积;②由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1 = (a+1) 2(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.【分析】(1)要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式;(2)要能根据等式画出合适的拼图.【解答】解：(1 ［①长方形的面积=a2+2a+1;长方形的面积=(a+1) 2；②a2+2a+ 仁(a+1) 2;(2)①如图，可推导出(a+b) 2=a2+2ab+b2;②2a2+5ab+2b2= (2a+b) (a+2b).* ■■ +一b【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解.18. (2013秋？海淀区校级期末)已知a+b=1, ab=- 1,设s i=a+b, S2=a2+b2,S3=a3+b3,…，S n=aT l+b n(1 )计算S2 ；(2 )请阅读下面计算S3的过程：a i-b'二才十扩 +(扩占-盘:®=(用+ 沖+& +涉-吨+Q因为a+b=1, ab=- 1,所以S3=a3+b3= (a+b) (a2+b2)- ab (a+b) =1 x S2-( - 1) =s?+1= 4你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果，再用你学到的方法计算S4.(3)试写出S n-2 , S n-1 , S n三者之间的关系式；(4)根据(3)得出的结论，计算S6.【分析】(1) (2)利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b, ab的值，即可推出结论；(3)根据(1)所推出的结论，即可推出S h-2+s n-1=Si；(4)根据(3)的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3.【解答】解：(1) S2=a2+b2= (a+b) 2- 2ab=3;(2) '■'( a?+b2) (a+b) =a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab (a+b),••• 3x 仁a3+b3- 1,a3+b3=4,即卩S3=4；T S4= (a2+b2) 2- 2 (ab) 2=7,. S4=7;( 3)T S2=3，S3=4，S4=7，. S2+S3=S4，. S n-2+S n-1=S n;( 3)T S n-2+S n-1=S n，S2=3，S3=4，S4=7，. S5=4+7=11，. S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3, S3=4, S4=7，分析归纳出规律：S-2+S-i=S n.19．( 2013 春?重庆校级期末) ( 1 )利用因式分解简算：9.82 +0.4 x 9.8+0.04 ( 2 )分解因式：4a( a- 1 )2-( 1 - a)【分析】( 1 )利用完全平方公式因式分解计算即可;( 2 )先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：(1 )原式=9.82+2x 0.2x 9.8+0.22=( 9.8+0.2)2=100;(2) 4a (a- 1) 2-(1 - a)=(a - 1) (4a2- 4a+1)=(a- 1) (2a- 1) 2.【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键.20.(2013春？惠山区校级期末)阅读材料：若m2-2mn+2n2- 8n+16=0,求仆n的值.解：T m2- 2mn+2n2- 8n +16=0,二(m2- 2mn+n2) + (n2- 8n+16) =0 •••(m - n) 2+ (n- 4) 2=0,A( m - n) 2=0, (n- 4) 2=0,二n=4, m=4. 根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0, 求x-y 的值.(2)已知△ ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足£+b2-6a- 8b+25=0, 求厶ABC的最大边c的值.(3)已知a- b=4, ab+c2- 6c+13=0,则a-b+c= 7 .【分析】(1 )将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x-y的值;(2)将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；(3)由a- b=4,得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a 的值，即可求出a- b+c的值.【解答】解：(1 )••• x2+2xy+2y2+2y+ 仁0• ( x2+2xy+y2) + (y2+2y+1) =0第24页(共31页)•••( x+y) 2+ (y+1) 2=0••• x+y=0 y+1=0解得x=1, y=- 1•x-y=2；(2 a2+b2- 6a- 8b+25=0•( a2- 6a+9) +( b2- 8b+16) =0•( a- 3) 2+( b- 4) 2=0•a- 3=0，b- 4=0解得a=3，b=4•••三角形两边之和〉第三边•c v a+b, c v 3+4•c v 7,又c是正整数，• c 最大为6；(3a- b=4, 即卩a=b+4,代入得：(b+4) b+c2- 6c+13=0,整理得：( b2+4b+4) +( c2- 6c+9) =( b+2) 2+( c- 3) 2=0,•b+2=0，且c-3=0,即b=- 2, c=3, a=2,则a- b+c=2-(- 2) +3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了因式分解的应用, 以及非负数的性质, 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21 ．( 2012 秋?温岭市校级期末)仔细阅读下面例题,解答问题：例题：已知二次三项式x2- 4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为(x+n),得x2- 4x+m= (x+3) (x+n),则x2- 4x+m=W+ (n+3)x+3nn+3= —4m=3n 解得：n= - 7, m= - 21•另一个因式为(x-7), m的值为-21.问题：(1)若二次三项式x2- 5x+6可分解为(x- 2) (x+a),贝U a= - 3 ;(2)若二次三项式2x2+bx - 5可分解为(2x- 1) (x+5),贝U b= 9 ;(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x- k有一个因式是(2x-3)，求另一个因式以及k的值.【分析】(1)将(x-2) (x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；(2) (2x- 1) (x+5)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；(3)设另一个因式为(x+n)，得2x2+5x- k= (2x- 3) (x+n) =2x2+ (2n-3)x- 3n,可知2n-3=5，k=3n,继而求出n和k的值及另一个因式.【解答】解：(1 )•••( x- 2) (x+a) =x2+ (a - 2) x- 2a=«- 5x+6，• a - 2=- 5，解得：a=- 3;(2)v( 2x- 1) (x+5) =2«+9x-5=2x2+bx- 5，•b=9;(3)设另一个因式为(x+n)，得2x2+5x- k= (2x- 3) (x+n) =2x2+ (2n-3)x- 3n，则2n - 3=5，k=3n，第26页(共31页)解得：n=4，k=12，故另一个因式为( x+4)，k 的值为12．故答案为：(1)- 3; (2分)(2) 9; (2分)(3)另一个因式是x+4, k=12 (6 分)．【点评】本题考查因式分解的意义,解题关键是对题中所给解题思路的理解, 同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形, 即互逆运算, 二者是一个式子的不同表现形式．22．(2012 春?郯城县期末)分解因式：( 1 ) 2x2- x;(2) 16x2- 1;( 3) 6xy2- 9x2y- y3;( 4) 4+12( x- y) +9( x- y) 2．【分析】(1)直接提取公因式x即可；(2)利用平方差公式进行因式分解;(3)先提取公因式-y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；(4)把( x- y )看作整体,利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：( 1 ) 2x2- x=x( 2x- 1 )；(2) 16x2- 1= (4x+1) (4x- 1)；( 3) 6xy2- 9x2y- y3,=- y( 9x2- 6xy+y2),=- y( 3x- y) 2；( 4) 4+12( x- y) +9( x- y) 2,=[2+3 (x-y) ]2,=(3x- 3y+2) 2.【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在(3),提取公因式-y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解.23. ( 2012 春?碑林区校级期末) 已知a，b，c 是三角形的三边，且满足( a+b+c)2=3( a2+b2+c2)，试确定三角形的形状.【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.【解答】解：•••( a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2),a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, =3a2+3b2+3c2,a2+b2- 2ab+b2+c2- 2bc+a2+c2- 2ac=0，即( a- b) 2+( b- c) 2+( c- a) 2=0，••• a - b=0, b - c=0, c- a=0,二a=b=c,故厶ABC为等边三角形.【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断.关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.24. (2011秋?北辰区校级期末)分解因式( 1) 2x4- 4x2y2+2y4( 2) 2a3- 4a2b+2ab2.【分析】( 1)原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可.第28页(共31页)【解答】解：( 1) 2x4- 4x2y2+2y4=2 (x4- 2x2y2+y4)=2 (x2- y2) 2=2 (x+y) 2(x- y) 2;(2) 2a3- 4a F b+2ab2=2a (a2- 2ab+b2)=2a (a - b) 2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底.25. (2011秋?苏州期末)图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.(1)图②中的阴影部分的面积为(m-n) 2;(2)观察图②请你写出三个代数式(m+n) 2、(m - n) 2、mn之间的等量关系是(m+n) 2-( m- n) 2=4mn .(3)若x+y=7，xy=10,则(x- y) 2= 9 .(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了 (m+n) (2m+ n) =2m2+3mn+n2.(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n) (m+3n) =m2+4mn+3n2.(2) 掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别.(3) 此题可参照第(2)题.(4) 可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式.(5) 可参照第(4)题画图.【解答】解：(1)阴影部分的边长为(m - n ),阴影部分的面积为(m - n ) 2；(2) (m+n ) 2-(m - n ) 2=4mn ；(3) (x-y ) 2= (x+y ) 2 - 4xy=72 - 40=9;(4) (m+n ) (2m+n ) =2m 2+3mn+n 2；(5) 答案不唯一：例如：【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示, 用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形.冊【分析】(1)可直接用正方形的面积公式得到.②26. (2009秋？海淀区期末)已知a b、c满足a- b=8, ab+c2+16=0，求2a+b+c 的值.【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口 .由a-b=8可得a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0;此时可发现圧+8匕+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可.【解答】解：因为a-b=8,所以a=b+8．（1 分）又ab+c2+16=0,所以（b+8）b+c2+16=0. （2 分）即（b+4）2+c2=0．又（b+4）2>0, c2> 0,则b=- 4，c=0．（ 4 分）所以a=4，（ 5 分）所以2a+b+c=4．（ 6 分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（2010 春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）-1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007,由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3X 3X 223,可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223,所以a、b、c值为2、2、222.就可求出长方体体积abc 了.【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1 - 1=2006,第28页（共31页）a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）- 1=2006,（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007,（1+b）（c+1+a+ac）=2007,（1+b）（c+1）（a+1）=2007,2007只能分解为3X 3X 223•••( a+1)、(b+1)、(c+1)也只能分别为3、3、223•••a、b、c也只能分别为2、2、222•••长方体的体积abc=888.【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式.28. (2007 秋？普陀区校级期末)(x2-4x) 2- 2 (x2- 4x)- 15.【分析】把(x2- 4x)看作一个整体，先把-15写成3X( -5),利用十字相乘法分解因式，再把3写成(-1)X( - 3), - 5写成1X( -5),分别利用十字相乘法分解因式即可.【解答】解：(x2- 4x) 2- 2 (x2-4x)- 15，=(x2- 4x+3) (x2- 4x- 5)，=(x- 1) (x- 3) (x+1) (x- 5).【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底.29. (2007春?镇海区期末)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2=(1+x) [ 1 +x+x (x+1)]=(1+x) 2(1+x)=(1+x) 3(1 )上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次.(2)若分解 1 +x+x(x+1 ) +x(x+1 ) 2+- +x (x+1) 2004，则需应用上述方法2004 次，结果是(1 +x) 2005.(3)分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+-+x (x+1) n(n 为正整数).【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系. 【解答】解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次.(2)需应用上述方法2004次，结果是(1+x) 2005.(3 )解：原式=(1+x) [ 1 +x+x (x+1) ]+x ( x+1) 3+^+x ( x+1) n，=(1+x) 2(1+x) +x (x+1) 3+-+x (x+1) n，=(1+x) 3+x (x+1 ) 3+・・+x (x+1) n，=(x+1) n+x (x+1) n，=(x+1) n+1.【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广.30. (2007春?射洪县校级期末)对于多项式x3-5x2+x+10，如果我们把x=2 代入此多项式，发现多项式x3- 5X2+X+10=0,这时可以断定多项式中有因式(x -2)(注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0,则多项式含有因式(x-a)), 于是我们可以把多项式写成：x3- 5X2+X+10= (x- 2) (x2+mx+n),(1 )求式子中m、n的值；(2)以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3- 2x2- 13x -10的因式.【分析】(1)根据(x- 2) (x2+mx+ n) =x3+ (m - 2) x2+ (n- 2m) x- 2n,得出有关m, n的方程组求出即可；（2）由把x=- 1代入x3-2x2- 13x- 10,得其值为0,则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案.【解答】解：（1）方法一：因（x- 2）（x2+mx+n）=x3+（m - 2）x2+ （n-2m）x- 2n,=x3- 5/+X+10, （2 分）[-2n=10解得：m=- 3, n=-5 （5 分），方法二：在等式x3- 5x2+x+10= （x- 2）（x2+mx+ n）中，分别令x=0, x=1,即可求出：m=-3, n=- 5 （注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把x=- 1 代入x3- 2x2- 13x- 10,得其值为0, 则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）用上述方法可求得：a=- 3, b=- 10, （8分）所以x3- 2x2- 13x- 10= （x+1）（x2- 3x- 10）, （9 分）=（x+1）（x+2）（x- 5） . （10 分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法.第31页（共31页）。

2017年05月21日数学（因式分解难题）2一．填空题（共10小题）1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．4．分解因式：4x2﹣4x﹣3=．5．利用因式分解计算：2022+202×196+982=．6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是．7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=．8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=．10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，s n=a n+b n（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出s n，s n﹣1，s n三者之间的关系式；﹣2（4）根据（3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x ﹣10的因式．2017年05月21日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2016秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为160．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为：160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x ﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多项式为2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．3．（2015春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是±4．【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab 计算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（2015秋•利川市期末）分解因式：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（2015春•东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202×196+982=90000．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（2015秋•浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）2+（a ﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出：a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，解得：a=b=c，所以，△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．7．（2015秋•鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= 5151．【分析】通过观察，原式变为1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）=（1+101）×101÷2=5151．故答案为：5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（2015秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（2015春•张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0．【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是：0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（2015春•昆山市期末）若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是﹣8．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（x+a）2﹣1，∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，解得：a=﹣3，b=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【分析】用平方差公式展开（n+7）2﹣（n﹣3）2，看因式中有没有20即可．【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），∴（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（2016秋•农安县校级期末）因式分解：4x2y﹣4xy+y．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（2015秋•成都校级期末）因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）；（2）原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2015春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？【分析】（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（2015秋•太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500．【分析】（1）利用36=102﹣82；2016=5052﹣5032说明36是“和谐数”，2016不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：22﹣02=4，最大的为：502﹣482=196，将它们全部列出不难求出他们的和．【解答】解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：36=102﹣82；2016=5052﹣5032；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），∵（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣02）+（42﹣22）+（62﹣42）+…+（502﹣482）=502=2500．故答案是：2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（2015春•兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，∴a2+b2=169．将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）∴正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵现有三种纸片各8张，∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．17．（2014秋•莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1=（a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．【解答】解：（1）①长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（a+1）2；②a2+2a+1=（a+1）2；（2）①如图，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．18．（2013秋•海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，s n=a n+b n（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=4你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出s n，s n﹣1，s n三者之间的关系式；﹣2（4）根据（3）得出的结论，计算s6．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；（3）根据（1）所推出的结论，即可推出S n+S n﹣1=S n；﹣2（4）根据（3）的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3；（2）∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），∴3×1=a3+b3﹣1，∴a3+b3=4，即S3=4；∵S4=（a2+b2）2﹣2（ab）2=7，∴S4=7；（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，∴S2+S3=S4，∴S n+S n﹣1=S n；﹣2+S n﹣1=S n，S2=3，S3=4，S4=7，（3）∵S n﹣2∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律：S n﹣2+S n﹣1=S n．19．（2013春•重庆校级期末）（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；（2）4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）=（a﹣1）（4a2﹣4a+1）=（a﹣1）（2a﹣1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（2013春•惠山区校级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=7．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0∴（x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又c是正整数，∴c最大为6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（2012秋•温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=﹣3；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=9；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k的值为12．故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（2012春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（2012春•碑林区校级期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c，故△ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（2011秋•北辰区校级期末）分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x2﹣y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（2011秋•苏州期末）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=9．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（2）题．（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣40=9；（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．26．（2009秋•海淀区期末）已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c 的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为a﹣b=8，所以a=b+8．（1分）又ab+c2+16=0，所以（b+8）b+c2+16=0．（2分）即（b+4）2+c2=0．又（b+4）2≥0，c2≥0，则b=﹣4，c=0．（4分）所以a=4，（5分）所以2a+b+c=4．（6分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（2010春•北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（a+1）=2007，2007只能分解为3×3×223∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223∴a、b、c也只能分别为2、2、222∴长方体的体积abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（2007秋•普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．【分析】把（x2﹣4x）看作一个整体，先把﹣15写成3×（﹣5），利用十字相乘法分解因式，再把3写成（﹣1）×（﹣3），﹣5写成1×（﹣5），分别利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15，=（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5），=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（2007春•镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（x+1）n+x（x+1）n，=（x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（2007春•射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x ﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x ﹣10的因式．【分析】（1）根据（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，得出有关m，n的方程组求出即可；（2）由把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．【解答】解：（1）方法一：因（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，=x3﹣5x2+x+10，（2分）所以，解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x=0，x=1，即可求出：m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，（8分）所以x3﹣2x2﹣13x﹣10=（x+1）（x2﹣3x﹣10），（9分）=（x+1）（x+2）（x﹣5）．（10分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．第31页（共31页）。

一、选择题（共5 小题）1、已知a，b，c 为△ABC 三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（）考点：勾股定理的逆定理；因式分解的应用．分析：把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．解答：解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，∴c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，∴（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，∵a+b≠0，∴a-b=0 或c2-a2-b2=0，所以a=b 或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．故选D．点评：本题考查了因式分解和勾股定理的逆定理，难度较大．☆☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题2、如果多项式x2+px+12 可以分解成两个一次因式的积，那么整数p 的值可取多少个（）考点：因式分解-十字相乘法等．专题：计算题．分析：先把12 分成 2 个因数的积的形式，共有 6 总情况，所以对应的p 值也有6 中情况．解答：解：设12 可分成m•n，则p=m+n（m，n 同号），∵m=±1，±2，±3，n=±12，±6，±4，∴p=±13，±8，±7，共6 个值．故选C．点评：主要考查了分解因式的定义，要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：x2+（m+n）x+m n= （x+m）（x+n），即常数项与一次项系数之间的等量关系．☆☆☆☆☆3、分解因式b2（x-3）+b（x-3）的正确结果是（）考点：因式分解-提公因式法．分析：确定公因式是b（x-3），然后提取公因式即可．解答：解：b2（x-3）+b（x-3），=b（x-3）（b+1）．故选B．点评：需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1．☆☆☆☆☆4、小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x 的指数，他只知道该数为不大于10 的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□-4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）考点：因式分解-运用公式法．分析：能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10 的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10 五个数．解答：解：该指数可能是2、4、6、8、10 五个数．故选D．点评：能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于．★☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题5、已知a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为（）考点：因式分解的应用．分析：先求出（a-b）、（b-c）、（a-c）的值，再把所给式子整理为含（a-b）2，（b-c）2和（a-c）2的形式，代入求值即可．解答：解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=12（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca），=12[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]，=12[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，=12×（1+1+4），=3．故选D．点评：本题主要考查公式法分解因式，达到简化计算的目的，对多项式扩大 2 倍是利用完全平方公式的关键．★★☆☆☆二、填空题（共3 小题）（除非特别说明，请填准确值）6、若{a=1b=-2 是关于字母a，b 的二元一次方程ax+ay-b=7 的一个解，代数式x2+2xy+y2-1 的值是24．考点：因式分解-运用公式法；代数式求值；二元一次方程的解．专题：整体思想．分析：把a=1，b=-2 代入原方程可得x+y 的值，把代数式x2+2xy+y2-1 变形为（x+y）2-1，然后计算．解答：解：把a=1，b=-2 代入ax+ay-b=7，得x+y=5，∴x2+2xy+y2-1，=（x+y）2-1，=52-1，=24．故答案为：24．点评：本题考查了公式法分解因式，把（x+y）作为一个整体是解题的关键，而x2+2xy+y2-1 也需要运用公式变形，以便计算．☆☆☆☆☆7、（2005•遂宁）分解因式：2m2-2=2(m-1)(m+1)．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．解答：解：2m2-2，=2（m2-1），=2（m+1）（m-1）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．★☆☆☆☆8、因式分解：x3-x2+14x= x（x-12）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式x，再根据完全平方公式继续分解．解答：解：x3-x2+14x=x（x2-x+14）（提取公因式）=x（x-12）2（完全平方公式）．点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．★☆☆☆☆三、解答填空题（共2 小题）（除非特别说明，请填准确值）9、对于任意的正整数n，所有形如n3+3n2+2n 的数的最大公约数是6．考点：因式分解的应用．分析：把所给的等式利用因式分解写成乘积的形式：n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2）．因为n、n+1、n+2 是连续的三个正整数，所以其中必有一个是2 的倍数、一个是3 的倍数，可知n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2）一定是6 的倍数，所以最大公约数为6．解答：解：n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2），∵n、n+1、n+2 是连续的三个正整数，（2 分）∴其中必有一个是 2 的倍数、一个是 3 的倍数，（3 分）∴n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2）一定是6 的倍数，（4 分）又∵n3+3n2+2n 的最小值是6，（5 分）（如果不说明6 是最小值，则需要说明n、n+1、n+2 中除了一个是2 的倍数、一个是3 的倍数，第三个不正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出 b 、c 的值，进而可求得 a 的值；然后代值运算即可 解答：解：因为 a-b=8，所以 a=b+8．（1 分）又 （b+4）2≥0，c 2≥0，则 b=-4，c=0．（4 分）所以 a=4，（5 分）所以 2a+b+c=4．（6 分） 点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法． 分析：本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找 可能有公因数．否则从此步以下不给分）∴最大公约数为 6．（6 分）点评：主要考查了利用因式分解的方法解决实际问题．要先分解因式并根据其实际意义来求解． 隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题10、已知 a 、b 、c 满足a-b=8，ab+c 2+16=0，则 2a+b+c= 4．考点：因式分解的应用；非负数的性质：算术平方根．到本题的突破口．由 a-b=8 可得 a=b+8；将其代入 ab+c 2+16=0 得：b 2+8b+c 2+16=0；此时可发现 b 2+8b+16．又 ab+c 2+16=0，所以（b+8）b+c 2+16=0．（2 分）即（b+4）2+c 2=0．。

2017年05月21日数学（因式分解难题）2一．填空题（共10小题）1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为 ．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： ．3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是 ．4．分解因式：4x2﹣4x﹣3= ．5．利用因式分解计算：2022+202×196+982= ．6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是 ．7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= ．8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是 （填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= ．10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是 ．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 ．16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为： ．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，s n=a n+b n （1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1= 你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出s n﹣2，s n﹣1，s n三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c= ．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为 ；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是 ．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2= ．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了 ．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法 次，结果是 ．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a 代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．2017年05月21日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2016秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为　160　．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为：160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：　2（x﹣3）2　．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多项式为2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．3．（2015春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是　±4　．【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（2015秋•利川市期末）分解因式：4x2﹣4x﹣3=　（2x﹣3）（2x+1）　．【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（2015春•东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202×196+982=　90000　．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（2015秋•浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是　等边三角形　．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出：a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，解得：a=b=c，所以，△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．7．（2015秋•鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=　5151　．【分析】通过观察，原式变为1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）=（1+101）×101÷2=5151．故答案为：5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解8．（2015秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是　③④　（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（2015春•张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=　0　．【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0．故答案是：0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（2015春•昆山市期末）若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是　﹣8　．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（x+a）2﹣1，∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，解得：a=﹣3，b=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【分析】用平方差公式展开（n+7）2﹣（n﹣3）2，看因式中有没有20即可．【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），∴（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（2016秋•农安县校级期末）因式分解：4x2y﹣4xy+y．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分【解答】解：4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（2015秋•成都校级期末）因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）；（2）原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2015春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？【分析】（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（2015秋•太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为　2500　．【分析】（1）利用36=102﹣82；2016=5052﹣5032说明36是“和谐数”，2016不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：22﹣02=4，最大的为：502﹣482=196，将它们全部列出不难求出他们的和．【解答】解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：36=102﹣82；2016=5052﹣5032；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），∵（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣02）+（42﹣22）+（62﹣42）+…+（502﹣482）=502=2500．故答案是：2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（2015春•兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，∴a2+b2=169．将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）∴正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵现有三种纸片各8张，∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．17．（2014秋•莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：　a2+2a+1 = （a+1）2　．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．【解答】解：（1）①长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（a+1）2；②a2+2a+1=（a+1）2；（2）①如图，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．18．（2013秋•海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，s n=a n+b n（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=　4　你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出s n﹣2，s n﹣1，s n三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；（3）根据（1）所推出的结论，即可推出S n﹣2+S n﹣1=S n；（4）根据（3）的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3；（2）∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），∴3×1=a3+b3﹣1，∴a3+b3=4，即S3=4；∵S4=（a2+b2）2﹣2（ab）2=7，∴S4=7；（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，∴S2+S3=S4，∴S n﹣2+S n﹣1=S n；（3）∵S n﹣2+S n﹣1=S n，S2=3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律：S n﹣2+S n﹣1=S n．　19．（2013春•重庆校级期末）（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；（2）4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）=（a﹣1）（4a2﹣4a+1）=（a﹣1）（2a﹣1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（2013春•惠山区校级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=　7　．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0∴（x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又c是正整数，∴c最大为6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（2012秋•温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=　﹣3　；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=　9　；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k的值为12．故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（2012春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（2012春•碑林区校级期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c，故△ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（2011秋•北辰区校级期末）分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x4﹣2x2y2+y4）=2（x2﹣y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（2011秋•苏州期末）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为　（m﹣n）2　；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是　（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn　．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=　9　．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了　（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2　．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（2）题．（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣40=9；（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．26．（2009秋•海淀区期末）已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为a﹣b=8，所以a=b+8．（1分）又ab+c2+16=0，所以（b+8）b+c2+16=0．（2分）即（b+4）2+c2=0．又（b+4）2≥0，c2≥0，则b=﹣4，c=0．（4分）所以a=4，（5分）所以2a+b+c=4．（6分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（2010春•北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c 均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（a+1）=2007，2007只能分解为3×3×223∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223∴a、b、c也只能分别为2、2、222∴长方体的体积abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（2007秋•普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．【分析】把（x2﹣4x）看作一个整体，先把﹣15写成3×（﹣5），利用十字相乘法分解因式，再把3写成（﹣1）×（﹣3），﹣5写成1×（﹣5），分别利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15，=（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5），=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（2007春•镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是　提公因式法　，共应用了　2　次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法　2004　次，结果是　（1+x）2005　．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（x+1）n+x（x+1）n，=（x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（2007春•射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x ﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．【分析】（1）根据（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x ﹣2n，得出有关m，n的方程组求出即可；（2）由把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．【解答】解：（1）方法一：因（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，=x3﹣5x2+x+10，（2分）所以，解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x=0，x=1，即可求出：m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，（8分）所以x3﹣2x2﹣13x﹣10=（x+1）（x2﹣3x﹣10），（9分）=（x+1）（x+2）（x﹣5）．（10分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．。

初二数学因式分解提高版（附答案）1. 有一个因式是 , 另一个因式是（ ）A. B. C. D.2、把a4－2a2b2＋b4分解因式, 结果是（ ）A.a2(a2－2b2)＋b4B.(a2－b2)2C.(a －b)4D.(a ＋b)2(a －b)23.若a2-3ab-4b2=0,则 的值为（ ）A.1B.-1C.4或-1D.- 4或14.已知 为任意整数, 且 的值总可以被 整除, 则 的值为（ ）A. 13B. 26C. 13或26D. 13的倍数5.把代数式 分解因式, 结果正确的是A. B.C. D.6.把x2－y2－2y －1分解因式结果正确的是（ ）。

A. （x ＋y ＋1）(x －y －1)B. （x ＋y －1）(x －y －1)C. （x ＋y －1）(x ＋y ＋1)D. （x －y ＋1）(x ＋y ＋1)7、分解因式: 的结果是（ ）Ａ.Ｂ. Ｃ. Ｄ. 8、因式分解: 9x2－y2－4y －4＝__________.9、若 = , 则m=_______, n=_________。

10、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x11.若 则 ___。

12.计算 的值是（ ）13、22414y xy x +--14、811824+-x x15.16、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x17、1235-+-x x x18、)()()(23m n n m n m +--+19、3)2(2)2(222-+-+a a a a20、已知 , , 求 的值。

21.已知 , 求 的值22.已知 , 求 的值；23.已知 , 求 的值；24.已知 , , 求（1） ；（2）25、已知 , 求x+y 的值；26、2222224)(b a b a c ---27、先分解因式, 然后计算求值: （本题6分）（a2+b2－2ab ）－6（a －b ）+9, 其中a=10000, b=9999。

专题07 因式分解的六种方法大全题型一、提取公因式法与公式法综合例．分解因式：32214a ab ab -+＝______．【答案】21()2a ab -【详解】解：32214a a b ab -+＝221()4a a ab b -+＝21()2a ab -．故答案是：21()2a ab -．【变式训练1】因式分解：322882x x y xy -+=________________．【答案】22(2)x x y -【详解】解：原式=2x (4x 2−4xy +y 2)=2x (2x −y )2故答案为：2x (2x −y )2．【变式训练2】因式分解：21222a b ab b -+=_________．【答案】21(2)2b a -【详解】22211122(44)(2)222a b ab b b a a b a -+=-+=-故答案为：21(2)2b a -．【变式训练3】分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____．【答案】（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）【详解】解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2），故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．【变式训练4】小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x y -，-a b ，c ，22x y -，a ，x y +，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．现将()()2222ac x y bc x y ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．抗疫胜利B ．抗疫必胜C ．我必胜利D ．我必抗疫【答案】B【详解】解：原式＝()()22x y ac bc --()()()c a b x y x y =-+-Q x y -，-a b ，c ，22x y -，a ，x y +，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．x y \-对应抗，x y +对应疫，c 对应必，-a b 对应胜故结果呈现的密码信息可能是为：抗疫必胜故选：B题型二、十字相乘法例．将多项式()211a a --+因式分解，结果正确的是（ ）A ．1a -B ．()()12a a --C ．()21a -D ．()()11a a +-【答案】B【详解】解：()211a a --+=2211a a a -+-+=232a a -+=()()12a a --．故选B ．【变式训练1】多项式239514x x +-可因式分解成(3)()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，求2a c +之值为何？（ ）A ．12-B ．3-C ．3D ．12【答案】A【详解】解：利用十字相乘法，把239514x x +-多项式因式分解，可得，239514(32)(137)x x x x +-=+-∵多项式239514x x +-可因式分解成（3x +a ）（bx +c ）∴ 2a =，13b =，7c =-∴222(7)12a c +=+´-=-故选：A ．【变式训练2】分解因式：321024a a a +-=____．【答案】()()122a a a +-【详解】解：()()()32210241024122a a a a a a a a a +-=+-=+-．故答案为：()()122a a a +-【变式训练3】因为()()22331x x x x +-=+-，这说明多项式223x x +-有一个因式为1x -，我们把1x =代入此多项式发现1x =能使多项式223x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若()3x +是多项式212x kx ++的一个因式，求k 的值；(2)若()3x -和()4x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，试求m ，n 的值．(3)在（2）的条件下，把多项式3212x mx x n +++因式分解．【答案】(1)7k =；(2)7m =-，0n =；(3)(3)(4)x x x --【解析】(1)解：Q 3x +是多项式212x kx ++的一个因式，\当3x =-时，21293120x kx k ++=-+=，解得7k =；(2)Q (3)x -和(4)x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，\3232331230441240m n m n ì+´+´+=í+´+´+=î，解得70m n =-ìí=î．\7m =-，0n =．(3)解：由（2）得3212x mx x n +++即为32712x x x -+，\32712x x x-+2(712)x x x =-+(3)(4)x x x =--．题型四、分组法例．分解因式：4322221x x x x ++++【答案】22(1)(1)x x ++【详解】解：4322221x x x x ++++423(21)(22)x x x x =++++，222(1)2(1)x x x ++=+，22(1)(1)2x x x +=++22(1)(1)x x =++【变式训练1】已知221m a b =+-，4614n a b =--，则m 与n 的大小关系是（）A ．m n ³B ．m >nC ．m n £D ．m <n【答案】A【详解】解：∵221m a b =+-，4614n a b =--，∴()()2214614b a m b n a -=---+-2246114b b a a =+--++()()224469a a b b =-++++()()2223a b =-++0³m n \³，故选A【变式训练2】分解因式：224b 12c 9c -++．【答案】()()23c b 23c b +++-【详解】解：224b 12c 9c -++=()22412c 9c b ++-=()2223c b +-=()()23c b 23c b +++-【变式训练3】分解因式：2244x y y -+-=__________．【答案】(2)(2)x y x y +--+【详解】解：2244x y y -+-22(44)x y y =--+22(2)x y =--(2)(2)x y x y =+--+故答案为：(2)(2)x y x y +--+．【变式训练4】阅读理解：把多项式am an bm bn +++分解因式．解法：()()am an bm bn am an bm bn +++=+++()()a m nb m n =+++()()m n a b =++观察上述因式分解的过程，回答下列问题：(1)分解因式：222mb mc b bc -+-．(2)ABC V 三边a 、b 、c 满足2440a bc ac ab -+-=，判断ABC V 的形状．【答案】(1)(2)()b c m b -+；(2)等腰三角形【解析】(1)解：222mb mc b bc-+-()2(2)2mb mc b bc =-+-(2)(2)m b c b b c =-+- (2)()b c m b =-+(2)解：∵2440a bc ac ab -+-=，∴2440a ab ac bc -+-=，∴()()40a a b c a b -+-=，∴()()40a b a c -+=，∵40a c +>，∴0a b -=，∴a b =，∴ABC V C 的形状是等腰三角形．题型四、添项、拆项法例．分解因式；．x 3﹣3x 2﹣6x +8=_______．【答案】（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）【详解】解：x 3﹣3x 2﹣6x +8=3232268x x x x x -+--+=()()323288x x x x -+--=()()()1281x x x x ----=()()128x x x ---éùëû=()()2128x x x ---=（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2），故答案为：（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）．【变式训练1】把多项式分解因式：x 3﹣2x 2+1＝_________________．【答案】(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【详解】解：原式＝x 3﹣x 2﹣x 2+1＝x 2(x ﹣1)﹣(x +1)(x ﹣1)＝(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)故答案为：(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【变式训练2】因式分解：a a a 32+3+3+2【答案】()()a a a 2=+2++1【详解】原式()a a a 32=+3+3+1+1()a 33=+1+1()()()a a a 2éù=+1+1+1-+1+1ëû()()a a a 2=+2++1．故答案为：()()a a a 2=+2++1【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式21a -可以用如下方法分解因式：①()()()()22111111a a a a a a a a a -=-+-=-+-=-+；又比如多项式31a -可以这样分解：②()()()()()3322221111111a a a a a a a a a a a a a a -=-+-+-=-+-+-=-++；仿照以上方法，分解多项式51a -的结果是______．【答案】()()43211a a a a a -++++【详解】解：51a -54433221a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()()()43211111a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()43211a a a a a =-++++，故答案为：()()43211a a a a a -++++题型五、换元法（整体思想）例．因式分解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++【答案】()()229411x x x +++【解析】解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++()()2222212216122x x x x x x =++++++++()()2294121x x x x =++++()()229411x x x =+++【变式训练1】分解因式：()()()222241211y x y x y +--+-【答案】()2221x y x y -++【详解】()()()222241211y x y x y +--+-=()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y éù+--ëû=()2221x y x y -++【变式训练2】因式分解：（x 2+4x ）2﹣（x 2+4x ）﹣20．【答案】2(5)(1)(2)x x x +-+【详解】解：原式＝（x 2+4x ﹣5）（x 2+4x +4）＝（x +5）（x ﹣1）（x +2）2．【变式训练3】因式分解：（1）2223238x x x x +-+-()() （2）421x x x --+【答案】（1）()()()()1241x x x x +++-；（2）()()3211x x x -+-.【详解】解：（1）原式=()()223234x x x x +++-=()()()()1241x x x x +++-；（2）原式=()()2211xx x ---=()()()2111x x x x +---=()()2111x x x éù-+-ëû=()()3211x x x -+-.题型六、主元法例．分解因式：2222372x y z xy yz xz --+++.【答案】(2)(3)x y z x y z =+--+【详解】解：2222372x y z xy yz xz--+++222(2)(273)x y z x y yz z =++--+=2(2)(2)(3)x y z x y z y z ++---∴原式(2)(3)x y z x y z =+--+．【变式训练1】因式分解：（1）a b c ab ac bc abc1+++++++（2）()()a a b b b 6+11+4+3-1-2（3）()()()y y x x y y 22+1+1+2+2+1【答案】（1）()()()a b c =+1+1+1；（2）()()b b 3+2-1；（3）()()yx y yx x y =++1++【详解】（1）把a 视为未知数，其它视为参数．原式a ab ac abc b c bc =++++1+++()()a b c bc b c bc =1++++1+++()()a b c bc =+11+++()()()a b c =+1+1+1；（2）原式=()a b a b b 226+11+4+3--2，b b 23--2=()()b b 3+2-1，再次运用十字相乘法可知原式()()a b a b =2+3+23+-1；（3）选x 为主元，原式()()yx y yx x y =++1++．【变式训练2】因式分解：（1）a b ab bc ac222--++2（2）()x a b x a ab b 222+2+-3+10-3【答案】（1）()()a b b c 2+-+；（2）()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3【详解】（1）首先将原式按a 的降幂排列，写成关于a 的二次三项式()a c b a bc b 222+2-+-，此时的“常数bc b 2-”提取公因式b 即可分解成()b c b -，再运用十字相乘法便可很快将原式分解成()()a b a b c 2+-+；（2）这是x 的二次式，“常数项”可分解为()()a ab b a b a b 22-3+10-3=-3--3再对整个式子运用十字相乘()()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3．【变式训练3】因式分解：a b ab a c ac abc b c bc 222222-+--3++【答案】()()a b c ab ac bc =--+-【详解】原式()()()b c a b c bc a b c bc 22222=+-++3++()()()b c a b c bc a bc b c 222=+-++3++[()][()]a b c b c a bc =-++-()()a b c ab ac bc =--+-．课后作业1．如果2240m m +-=，那么20182019202032m m m --的值为（ ）A ．2018m B ．2018m -C ．1D ．－1【答案】B【详解】解：∵2m 2+m -4=0，∴-2m 2-m =-4，∴3m 2018-m 2019-2m 2020=m 2018×（3-m -2m 2）=m 2018×（3-4）=m 2018×（-1）=-m 2018，故选：B ．2．如图，有一张边长为b 的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a 的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M 表示其底面积与侧面积的差，则M 可因式分解为（ ）A ．()()62b a b a --B ．()()32b a b a --C ．()()5b a b a --D ．()22b a -【详解】解：底面积为（b ﹣2a ）2，侧面积为a •（b ﹣2a ）•4＝4a •（b ﹣2a ），∴M ＝（b ﹣2a ）2﹣4a •（b ﹣2a ），提取公式（b ﹣2a ），M ＝（b ﹣2a ）•（b ﹣2a ﹣4a ），＝（b ﹣6a ）（b ﹣2a ）故选：A ．3．已知250x y -+=，则224201x y y -+-=______．【答案】24【详解】解：250x y -+=Q ，25x y \-=-，224201x y y \-+-()()22201x y x y y =+-+-()52201x y y =-++-5101x y =-+-()521x y =--- 251=-24=，故答案为：24．4．分解因式：2232x y xy y -+=____________．【答案】2()y x y -【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -5．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．22216x xy y -+-()216x y =--()()44x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+；(3)△ABC 三边a 、b 、c 满足2222220a c b ab bc ++--=，判断△ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()3535a b a b ---+；(2)()()222x y x y -+-；(3)△ABC 是等边三角形，理由见解析【解析】(1)解：226925a ab b -+-()2325a b =--()()3535a b a b =---+；(2)解：22424x y x y--+()()()2222x y x y x y =-+--()()222x y x y =-+-；(3)解：△ABC 是等边三角形，理由如下：∵2222220a c b ab bc ++--=，∴()()2222220a ab b c bc b -+-++=，∴()()220a b b c -+-=，∵()20a b -³，()20b c -³，∴a －b ＝0，且b －c ＝0，∴a ＝b ，且b ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．6．把下列各式因式分解：(1)2416x -；(2)23216164a b a ab --．【答案】(1)4(2)(2)x x +-(2)24(2)a a b --【解析】(1)解：2224164(2)4(2)(2)x x x x -=-=+-．(2)23216164a b a ab --224(44)a ab a b =--224(2)4a a ab b éù=--+ëû24(2)a a b =--．7．（1）把下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解．（2）已知ABC V 的三边长为a ，b ，c ，且满足220a b ac bc --+=，请判断ABC V 的形状．【答案】（1）答案见解析（2）ABC V 是等腰三角形【详解】（1）拼接如图：拼接成的长方形的面积还可以表示为一个正方形和三个长方形的面积之和：22212132x x x x x +++´=++g g ；拼接成的长方形的面积：长´宽()()21x x =++；∴据此可得到因式分解的式子为：()()23221++=++x x x x ．故答案为：()()23221++=++x x x x ．（2）∵220a b ac bc --+=，∴()()()0a b a b c a b +---=，∴()()0a b a b c -+-=．∵ABC V 的三边长为a ，b ，c ，∴a b c +>，∴0a b c +->，∴0a b -=，∴a b =，V是等腰三角形．∴ABCV是等腰三角形．故答案为：ABC。

05月21日数学（因式分解难题）2一．填空题（共10小题）1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．4．分解因式：4x2﹣4x﹣3=．5．利用因式分解计算：2022+202×196+982=．6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是．7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=．8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=．10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC 是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x （x+1），则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x （x+1）n（n为正整数）．30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a 代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．05月21日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为160 ．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为：160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多项式为2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．3．（春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是±4．【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（秋•利川市期末）分解因式：4x2﹣4x﹣3= （2x﹣3）（2x+1）．【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（春•东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202×196+982=90000 ．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（秋•浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出：a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，解得：a=b=c，所以，△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．7．（秋•鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= 5151 ．【分析】通过观察，原式变为1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）=（1+101）×101÷2=5151．故答案为：5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（春•张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 0 ．【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是：0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（春•昆山市期末）若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是﹣8 ．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（x+a）2﹣1，∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，解得：a=﹣3，b=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【分析】用平方差公式展开（n+7）2﹣（n﹣3）2，看因式中有没有20即可．【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），∴（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（秋•农安县校级期末）因式分解：4x2y﹣4xy+y．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（秋•成都校级期末）因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）；（2）原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC 是怎样形状的三角形？【分析】（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（秋•太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500 ．【分析】（1）利用36=102﹣82；=5052﹣5032说明36是“和谐数”，不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：22﹣02=4，最大的为：502﹣482=196，将它们全部列出不难求出他们的和．【解答】解：（1）36是“和谐数”，不是“和谐数”．理由如下：36=102﹣82；=5052﹣5032；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），∵（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣02）+（42﹣22）+（62﹣42）+…+（502﹣482）=502=2500．故答案是：2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（春•兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab 的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m 为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，∴a2+b2=169．将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m 为正整数）∴正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵现有三种纸片各8张，∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．17．（秋•莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1 = （a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．【解答】解：（1）①长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（a+1）2；②a2+2a+1=（a+1）2；（2）①如图，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．18．（秋•海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1= 4你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；（3）根据（1）所推出的结论，即可推出Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；（4）根据（3）的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3；（2）∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），∴3×1=a3+b3﹣1，∴a3+b3=4，即S3=4；∵S4=（a2+b2）2﹣2（ab）2=7，∴S4=7；（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，∴S2+S3=S4，∴Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；（3）∵Sn﹣2+Sn﹣1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律：Sn﹣2+Sn﹣1=Sn．19．（春•重庆校级期末）（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；（2）4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）=（a﹣1）（4a2﹣4a+1）=（a﹣1）（2a﹣1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（春•惠山区校级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c= 7 ．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0∴（x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又c是正整数，∴c最大为6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（秋•温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ﹣3 ；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= 9 ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k的值为12．故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（春•碑林区校级期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c，故△ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（秋•北辰区校级期末）分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x4﹣2x2y2+y4）=2（x2﹣y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（秋•苏州期末）图①是一个长为2m、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn ．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2= 9 ．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（2）题．（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣40=9；（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．26．（秋•海淀区期末）已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a 的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为a﹣b=8，所以a=b+8．（1分）又ab+c2+16=0，所以（b+8）b+c2+16=0．（2分）即（b+4）2+c2=0．又（b+4）2≥0，c2≥0，则b=﹣4，c=0．（4分）所以a=4，（5分）所以2a+b+c=4．（6分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（春•北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=，（1+b）（c+1+a+ac）=，（1+b）（c+1）（a+1）=，只能分解为3×3×223∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223∴a、b、c也只能分别为2、2、222∴长方体的体积abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（秋•普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．【分析】把（x2﹣4x）看作一个整体，先把﹣15写成3×（﹣5），利用十字相乘法分解因式，再把3写成（﹣1）×（﹣3），﹣5写成1×（﹣5），分别利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15，=（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5），=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（春•镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2 次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x （x+1），则需应用上述方法次，结果是（1+x）．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x （x+1）n（n为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）需应用上述方法次，结果是（1+x）．（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x （x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（x+1）n+x（x+1）n，=（x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（春•射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．【分析】（1）根据（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，得出有关m，n的方程组求出即可；（2）由把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．【解答】解：（1）方法一：因（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，=x3﹣5x2+x+10，（2分）所以，解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x=0，x=1，即可求出：m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，（8分）所以x3﹣2x2﹣13x﹣10=（x+1）（x2﹣3x﹣10），（9分）=（x+1）（x+2）（x﹣5）．（10分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．。

05月21日数学（因式分解难题）2一．填空题（共10小题）1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．4．分解因式：4x2﹣4x﹣3=．5．利用因式分解计算：2022+202×196+982=．6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是．7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=．8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=．10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n 的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab （a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC 的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x ﹣1）（x+5），则b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x （x+1），则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．05月21日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为160．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为：160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x ﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多项式为2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．3．（春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是±4．【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（秋•利川市期末）分解因式：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（春•东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202×196+982=90000．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（秋•浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b ﹣c）2=0，得出：a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，解得：a=b=c，所以，△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．7．（秋•鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= 5151．【分析】通过观察，原式变为1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）=（1+101）×101÷2=5151．故答案为：5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（春•张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0．【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是：0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（春•昆山市期末）若多项式x2﹣6x﹣b 可化为（x+a）2﹣1，则b的值是﹣8．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（x+a）2﹣1，∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，解得：a=﹣3，b=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【分析】用平方差公式展开（n+7）2﹣（n﹣3）2，看因式中有没有20即可．【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2=（n+7+n ﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），∴（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（秋•农安县校级期末）因式分解：4x2y ﹣4xy+y．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（秋•成都校级期末）因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=a（a2﹣b2）=a （a+b）（a﹣b）；（2）原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n 的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？【分析】（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（秋•太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500．【分析】（1）利用36=102﹣82；=5052﹣5032说明36是“和谐数”，不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：22﹣02=4，最大的为：502﹣482=196，将它们全部列出不难求出他们的和．【解答】解：（1）36是“和谐数”，不是“和谐数”．理由如下：36=102﹣82；=5052﹣5032；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），∵（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣02）+（42﹣22）+（62﹣42）+…+（502﹣482）=502=2500．故答案是：2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（春•兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，∴a2+b2=169．将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）∴正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵现有三种纸片各8张，∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．17．（秋•莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1=（a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．【解答】解：（1）①长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（a+1）2；②a2+2a+1=（a+1）2；（2）①如图，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．18．（秋•海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab （a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=4你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；（3）根据（1）所推出的结论，即可推出Sn ﹣2+Sn﹣1=Sn；（4）根据（3）的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3；（2）∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），∴3×1=a3+b3﹣1，∴a3+b3=4，即S3=4；∵S4=（a2+b2）2﹣2（ab）2=7，∴S4=7；（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，∴S2+S3=S4，∴Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；（3）∵Sn﹣2+Sn﹣1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律：Sn﹣2+Sn﹣1=Sn．19．（春•重庆校级期末）（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22 =（9.8+0.2）2=100；（2）4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）=（a﹣1）（4a2﹣4a+1）=（a﹣1）（2a﹣1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（春•惠山区校级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC 的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=7．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a ﹣b+c的值．【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0∴（x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又c是正整数，∴c最大为6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（秋•温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=﹣3；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x ﹣1）（x+5），则b=9；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k的值为12．故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（春•碑林区校级期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c，故△ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（秋•北辰区校级期末）分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x4﹣2x2y2+y4）=2（x2﹣y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（秋•苏州期末）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2= 9．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（2）题．（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣40=9；（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．26．（秋•海淀区期末）已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为a﹣b=8，所以a=b+8．（1分）又ab+c2+16=0，所以（b+8）b+c2+16=0．（2分）即（b+4）2+c2=0．又（b+4）2≥0，c2≥0，则b=﹣4，c=0．（4分）所以a=4，（5分）所以2a+b+c=4．（6分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（春•北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=，由于a、b、c 均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=，（1+b）（c+1+a+ac）=，（1+b）（c+1）（a+1）=，只能分解为3×3×223∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223∴a、b、c也只能分别为2、2、222∴长方体的体积abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（秋•普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．【分析】把（x2﹣4x）看作一个整体，先把﹣15写成3×（﹣5），利用十字相乘法分解因式，再把3写成（﹣1）×（﹣3），﹣5写成1×（﹣5），分别利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15，=（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5），=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（春•镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x （x+1），则需应用上述方法次，结果是（1+x）．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）需应用上述方法次，结果是（1+x）．（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x （x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（x+1）n+x（x+1）n，=（x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（春•射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．【分析】（1）根据（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，得出有关m，n的方程组求出即可；（2）由把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．【解答】解：（1）方法一：因（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x ﹣2n，=x3﹣5x2+x+10，（2分）所以，解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）。