《等比数列求和》教学案例
背景介绍：
《等比数列求和公式》是数列这一章的重点，尤其是乘公比错位相减法，在考试中学生经常出错，所以这节课，怎么教好学生公式的推导很重要。 案例描述:
在我讲等比数列求和这一课时，首先讲了一个故事：
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？
当我将古印度国王奖励国际象棋发明者的讲给学生并引出“012632222+++⋅⋅⋅+”时，有的学生是这样完成的：
设
01212222n n S -=+++⋅⋅⋅+， 则11S =，
23S =，
37
S =， …
21n n S =-，所以646421S =-。
我备课时可没有想到学生会这么做，学生的意外思维让我怦然心动，于是更改了自己的课堂预设，顺着学生的思路抛出了如下问题：
求和：01213333n n S -=+++⋅⋅⋅+。
如何设计情境，才能更符合学生的认知规律呢？
要猜想n S 的结果并不容易，在我的适时引导及学生的共同努力下可得出
312n n S -=。
那么01214444n n S -=+++⋅⋅⋅+呢？
412n n S -=。
此时便可猜想出更一般的结论：
2111(1)1n n n q S q q q q q --=+++⋅⋅⋅+=≠- ①
以上的过程展示了从特殊到一般的归纳猜想思想，这不仅与以前的数学结构大不相同，而且承接了前面数列递推公式的内容，符合学生的认知规律。 所以等比数列的求和公式推导为：
2111111(1)(1)1n n n a q S a a q a q a q q q --=+++⋅⋅⋅+=≠- ②
不过，式①仅仅是猜想而已，如何证明其成立呢？于是我又启发引导学生，根据多项式的运算：
因为
21(1)(1)n q q q q --+++⋅⋅⋅+ =23n q q q q ++⋅⋅⋅+
-21(1)n q q q -+++⋅⋅⋅+
=1n q -
当1q ≠时，211n q q q -+++⋅⋅⋅+=1
1n q q --。
板书时，我有意地按以上的格式来书写，则：
已知{}n a 为等比数列，公比为q ，求其前n 项和n S 。
因为11n n a a q -=，所以
211111n n S a a q a q a q -=+++⋅⋅⋅+
n qS = 211111n n
a q a q a q a q -++⋅⋅⋅++， 相减得：(1)n q S -11n a a q =-，
当1q ≠时，
1(1)1n n a q S q -=-。 这种方法就叫做乘公比错位相减法，学生也很容易接受。
……
教学反思：
1.本节以国际象棋的故事为引例来激发学生的学习兴趣，然而却在求和公式的证明中以“我们发现，如果用公比乘…”一笔带过，这个“发现”却不是普通学生能做到的，他们只能惊叹于解法的神奇，。而求知欲却会因其“技巧性太大”而逐步消退。因此如何在有趣的数学文化背景下进一步拓展学生的视野，使数学知识的发生及形成更为自然，更能贴近学生的认知特征，是每一位教师研讨新教材的重要切入点。
2.课程内容的呈现，应注意反应数学发展的规律，以及学生的认知规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。在新课程的教学中，我也曾留足时间让学生思考，却没有人能“发现”用“公比乘以①的两边” ，设计“从特殊到一般”即由2,3,4，…到q ,再到n a ，也是对教学的不断实践与探究的成果。因此，新课程教材留给教师更多发展的空间，每位教师有责任也应当深刻理会《标准》的理念，认真钻研教材，促进《标准》及教材更加符合学生的实际。有些数学结论的发现并不容易，如等比数列前n 项和公式推导的思维方法的产生是一个教学难点，乘以公比q 后错位相减，如果学生没有事先预习，或者参考课本的方法，既使是优秀的学生也极难想到这一方法，实在没有办法，便只好由老师指出这种方法，学生更多的是惊叹于方法的神奇，却没有自主获得结论的成功感。
3.在导出公式及证明中值得花这么多时间吗？或者直接给出公式，介绍证明，可留有更多的时间供学生练习，以上过程，是不是偏多了？如果仅仅是为了让学生学会如何应试，诚然以上的过程将不为人所喜欢，因为按此过程，一节课也差不多把公式给证明完，又哪来例题与练习的时间呢？但是我们要追问：课堂应教给学生什么呢？课堂教学应从庞杂的知识中引导学生去寻找关
系，挖掘书本背后的数学思想，挖掘出基于学生发展的知识体系，教学生学会思考，让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。因此，本节课在公式的推导及证明中舍得花大量时间，便是为了培养学生学会探究与学习，其价值远远超过了公式的应用。
4.对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。
