华北电力大学 理论力学 课件 第02章 力系的简化N

F3
F1
= 0 − ( 6 F )(2b) + 0 = − 6 Fb
6
3
F2
θ
M y (F3 ) = 0
θ ϕ2
2
y
M z ( F3 ) = M z (F3x ) + M z (F3 y ) + M z ( F3z )
x
= 0 + ( 6 F )(b) + 0 = 6 Fb
6
6
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理论力学
(3) 主矩为零，主矢不为零 (FR′ ≠ 0, MO = 0)
简化结果为一力 FR = FR′
(4) 主矢和主矩都不为零
(FR′ ≠ 0, MO ≠ 0)
a) 若主矢和主矩垂直，简化结果为一力；
b) 若主矢和主矩不垂直，简化结果为一力螺旋。
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NCEPU 2-2 力系的简化
力F1与x轴夹角α = 45 ,与y轴夹角β = 90 ,
与z轴夹角γ = 135
则 ： F1x = F1 cos α = F1 cos 45
=
2F 2
F1 y = F1 cos β = F1 cos 90 = 0
F1z = F1 cos γ = F1 cos 135
=−
2F 2
γ
B
α
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理论力学
NCEPU 2-2 力系的简化
5. 平面力系的简化
主矢 主矩
FR′ = ∑ F
( ) MO = ∑ MO F
• 主矢的大小、方向与简化中心无关。主矢为自由 矢量。主矢描述了力对物体的平动效应。
• 主矩大小与简化中心有关！主矩描述了平面一般 力系使物体绕简化中心转动的效应。
ri′ = APi (i = 1, 2, , n)
∑ 则力系对A点之矩： M A = ri′× Fi
( ) ∑ ∑ Mo = ri × Fi = ri′+ OA × Fi
Pi ri
ri′ A
O
( ) ∑ = M A + OA× Fi = M A + OA× FR′
在一般情况下，力系的主矩随矩心位置的不同而
F2
θ
ϕ
θ
2
2
y
x
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2
NCEPU 例1
2. 求力系对O点的主矩：
z
即求各力对坐标轴的矩Mxi，Myi，Mzi。
F3′
ϕ
F3x
方法一：利用定义；
F3 y
方法二：利用分力计算力矩。
F3z
M x ( F3 ) = M x ( F3x ) + M x ( F3 y ) + M x ( F3z )
3F− 3
6 F = −0.2785F 6
F3x
F3 y
∑ FR′y =
Fyi = 0 −
3F+ 3
6 F = −0.2785F 6
F3z
∑ FR′z =
Fzi = −
2F + 2
3F− 3
6 = −0.2785F 3
ϕ
F3
F1
则： FR′x = (−0.2785F )i + (−0.1691F ) j + (−0.9463F )k
2. 力系等效定理
充要条件：两力系的主矢相等，对同一点的主矩相等。
F R′ (1 ) = F R′ (2 )
M
(1 )
O
=
M
(2 )
O
M
(1 )
O′
=
′O
×
F
′
R
(1
)
M
(2 )
O′
=
M
(2 )
O
+
O
′O
×
F R′ (2 )
=>
M
(1 )
O′
=
M
(2 )
O′
∴矩心O是任意选择的！
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NCEPU
第二章 力系的简化
2-1 力系的主矢和主矩 2-2 力系的简化 2-3 平行力系的中心和物体的重心
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
一、力系的主矢 1. 主矢 力系中力矢的几何和。
力系： F1, F2 , F3 Fn
作用点：P1,P2,P3,…,Pn
∑ FR' = F1 + F2 + F3 + + Fn ⇒ FR' = Fi
变化，只有在特殊情况下( FR′ = 0或 OA// FR′ ）, 主矩
才保持不变。
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NCEPU 例1 长方体上作用着三个力 F1, F2, F3，大小均为F，
b已知。求这个力系的主矢和对O点的主矩。
解：1.求力系的主矢： 方法一：直接投影法：
若已知力与某轴的夹角，可直接求出 力在此轴上的投影。
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(4) 主矢和主矩都不为零
(FR′ ≠ 0, MO ≠ 0)
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NCEPU 2-2 力系的简化
5. 平面力系的简化
简化结果：
F’R
A
O MO
平面 一般 力系
合成结果 平衡 (1) 零力系
(2) 合力偶 不平衡 (3) 合力
FR
d
d = MO
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NCEPU 2-2 力系的简化
NCEPU 2-2 力系的简化
5. 平面力系的简化
∑ 主矢计算 FR′x = Fxi ∑ FR′y = Fyi
( ) ( ) ∑ ∑ FR′ =
Fxi 2 +
2
Fyi
∑ ∑ cos ( FR′,i) =
Fxi FR′
cos ( FR′, j ) =
∑ 主矩 MO = MO (F1) + MO (F2 ) + + MO (Fn ) = MO (Fi ) i =1
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NCEPU 2-2 力系的简化
空间一般力系的简化结果分析
(1) 主矢和主矩都为零
(FR′ = 0, MO = 0)
平衡力系
(2) 主矢为零，主矩不为零 (FR′ = 0, MO ≠ 0) 简化结果为一力偶，这时主矩与矩心位置无关。
2. 力系主矢的计算 (2) 解析法
F
′
R
=
F
′
2 Rx
+
F
′
2 Ry
+
F
′
2 Rz
( ) (∑ ) ∑ (∑ ) =
Fxi 2 +
F yi 2 +
2
F zi
主矢的方向余弦:
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( ) ∑ cos FR′, i
=
Fxi FR′
( ) ∑ cos FR′, j =
Fyi FR′
( ) ∑ cos FR′, k =
F3
F1
∑ MOy =
M yi
=(
2− 2
3 +0)Fb = −0.1298Fb 3
∑ MOz =
Mzi
= (−
2 +0− 2
6)Fb = −0.2989F 6
F2
θ
ϕ
θ
2
2
y
x
则：MO = (0.9643Fb)i + (−0.1298Fb) j + (−0.2989Fb)k
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理论力学
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理论力学
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NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
2. 力系主矢的计算 (1) 几何法（力多边形法）
F3
F2
F1 F4
F3
F4
⇒
FR'
F2
F1
注意： 主矢没有作用点！
2. 力系主矢的计算 (2) 解析法
Fi = Fxii + Fyi j + Fzik
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• 空间一般力系是最一般的力系，其他力系
都是空间一般力系的特殊情况。
• 平面一般力系是工程中最常见的力系。
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4
NCEPU 2-2 力系的简化
4. 力系分类 汇交力系
力 力偶系 系
平行力系
一般力系
平面汇交力系 空间汇交力系 平面力偶系 空间力偶系 平面平行力系 空间平行力系 平面一般力系 空间一般力系
6
1
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
二、力系的主矩
二、力系的主矩
1.定义：
力系中各力对任一点的矩 矢的几何和。
即:
∑ ∑ M ox = ⎡⎣ ri × Fi ⎤⎦ x = M xi ∑ ∑ M oy = ⎡⎣ ri × Fi ⎤⎦ y = M yi ∑ ∑ M oz = ⎡⎣ ri × Fi ⎤⎦ z = M zi
2 1 =− 3F 32 3
F2y = −(F2 cosθ2)cosϕ2 = −F
2 1 =− 3F 32 3
x
ϕ
F3
F2
θ
θ ϕ2
2
F2z = F2 sinθ2 =