高中数学 2-3 幂函数同步测试(含解析,含尖子生题库)新人教A版必修1

高一数学人教新课标A 版必修1第二章2.3幂函数同步练习（答题时间：30分钟）微课程：幂函数的定义同步练习1. 已知幂函数y ＝f （x ）通过点（2，22），则幂函数的解析式为（ ）A. y ＝212xB. y ＝12xC. y ＝32x D. y ＝521x 22. 下列命题中正确的是（ ）A. 当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B. 幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1）C. 若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限3. 已知（0.71.3）m ＜（1.30.7）m ，则实数m 的取值范围是（ ） A.（0，＋∞） B.（1，＋∞） C.（0，1） D.（－∞，0）4. 已知幂函数f （x ）＝x m ）x 1 12 f （x ）122A. {x|0<x≤2}B. {x|0≤x≤4}C. {x|－2≤x≤2}D. {x|－4≤x≤4} 5. 设x ∈（0，1），幂函数y ＝x a 的图象在直线y ＝x 的上方，则实数a 的取值范围是______。

6. 已知函数223()m m f x x -++=（m ∈Z ）为偶函数，且f （3）<f （5），求m 的值，并确定f （x ）的解析式。

微课程：幂函数的图象和性质同步练习1. 下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）A. 1y x=B. 12y x =C. 1()3xy =D. 2215y x x =--2. 函数35x y =的图象大致是（ ）3. 当x ∈（1，＋∞）时，下列函数的图象全在直线y ＝x 下方的偶函数是（ ）A. 21x y = B. y ＝x －2 C. y ＝x 2 D. y ＝x －14. 函数y ＝1x－x 2的图象关于（ ）A. y 轴对称B. 直线y ＝－x 对称C. 坐标原点对称D. 直线y ＝x 对称5. 已知幂函数qp x y =，（p ，q ∈N *）的图象如图所示，则（ ）A. p ，q 均为奇数，且p q ＞0B. q 为偶数，p 为奇数，且p q＜0C. q 为奇数，p 为偶数，且p q ＞0D. q 为奇数，p 为偶数，且pq＜06. 函数y ＝x m ，y ＝x n ，y ＝x p 的图象如图所示，则m ，n ，p 的大小关系是________。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）《2.3 幂函数》同步测试题一、选择题1.(2011陕西文)函数的图像是( ).考查目的：考查幂函数的图象和性质.答案：B.解析：∵所有幂函数的图象都经过点(1，1)，∴选项A，Ｄ不正确，选项B，Ｃ符合.取，则，此时仅选项B符合题意，故选B.2.(2007山东理)设，则使函数的定义域为，且为奇函数的所有值为( ).A.1，3B.-1，1C.-1，3D.-1，1，3考查目的：考查幂函数的定义域与奇偶性.答案：A.解析：函数的定义域分别为和，函数的定义域为且为奇函数，所以和符合题意，故选A.3.下图是幂函数()的示意图，的值可能是( ).A.-1B.0C.1D.2考查目的：考查幂函数的图象与性质.答案：C.解析：由图象知，幂函数()是偶函数，且在上单调递减，故且为偶数，所以，答案选C.二、填空题4.幂函数的图象经过点，则满足的的值是.考查目的：考查幂函数的解析式与指数幂的运算.答案：.解析：幂函数过点，∴，解得，∴.令，解得.5.数值，，，从大到小依次是.考查目的：考查利用指数函数、幂函数的单调性比较函数值的大小.答案：，，，.解析：幂函数在上是增函数，故，，从大到小依次是，，.又∵指数函数在上是增函数，∴，∴四个数值从大到小依次是，，，.6.已知是幂函数，则(填＞，或＜，或＝).考查目的：考查幂函数的定义与性质.答案：＞.解析：∵是幂函数，∴，解得.又∵幂函数在上是减函数，∴，即.三、解答题7.已知函数()为偶函数，且，求的值，并确定的解析式.考查目的：考查幂函数的解析式及其性质.答案：.解析：由得，∴，∴，∴.又∵，∴.当时，为奇函数，不合题意，舍去；当时，为偶函数，满足题设.故8.已知幂函数()的图象关于原点对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围.考查目的：考查幂函数的性质和分类整合思想.答案：.解析：∵幂函数()的图象关于原点对称，∴该幂函数是奇函数.又∵该幂函数在上是减函数，∴且()为奇数，解得，∴，即.由的图象与性质得，或，或，解得，或，∴的取值范围是.。

2.3 幂函数基础达标1．下列幂函数中①y ＝x －1；②；③y ＝x ；④y ＝x 2；⑤y ＝x 3，其中在定义域内为增函数的个数为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析 由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数． 答案 B2．已知m ＝(a 2＋3)－1，n ＝3－1，则( )．A ．m ≥nB ．m ≤nC ．m ＝nD ．m 与n 的大小不确定解析 设f (x )＝x －1，∵a 2＋3≥3>0，且f (x )＝x －1在(0，＋∞)上为减函数， ∴f (a 2＋3)≤f (3)，即m ≤n . 答案 B3．(2013·鹤岗高一检测)幂函数f (x )＝x3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴3m －5<0(m ∈N)，则m ＝0或m ＝1， 当m ＝0时，f (x )＝x －5是奇函数，不合题意． 当m ＝1时，f (x )＝x －2是偶函数，因此m ＝1. 答案 B4．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α的个数是________．答案 15．若(a ＋1)3<(3a －2)3，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵y ＝x 3是R 上的增函数，且(a ＋1)3<(3a －2)3，∴a ＋1<3a －2，解得a >32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 6．给出下列四个说法：①当n ＝0时，y ＝x n的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； ③幂函数的图象不可能出现在第四象限； ④幂函数y ＝x n在第一象限为减函数，则n <0. 其中正确的说法的序号是________．解析 显然①错误；②中如y ＝x －12的图象不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③，④正确． 答案 ③④7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x －1，当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．解 在同一坐标系中画出f (x )＝x 2与g (x )＝x －1的图象，如图所示．由图象可知： (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；(2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )；(3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．能力提升8．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )．解析 当a <0时，函数y ＝ax －1a 是减函数，且在y 轴上的截距－1a>0，y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数， ∴A ，D 均不正确．对于B ，C ，若a >0则y ＝ax －1a是增函数，B 错，C 正确．答案 C9．(2013·青岛质检)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析 当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．答案 1410．已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域． 解 (1)设f (x )＝x a，则由题意可知25a＝5， ∴a ＝12，∴f (x )＝.(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ， ∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得 0<x ≤100.∴g (x )的定义域为(0,100]， 又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞)．。

高中数学 2.3幂函数水平测试1 新人教A 版必修1A 基础训练 （满分100分）一、填空题1．下面给出了5个函数①2x y =；②21-=x y ；③22x y =；④32-=xy ；⑤131+=x y ，其中是幂函数的有 ． 2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-3,21,1,1，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 ． 3．已知幂函数αx x f =)(的部分对应值如右表，则不等 式()2≤x f 的解集是 ．4．若幂函数的图像过点⎪⎭⎫ ⎝⎛41,2，则它的单调区间是 ．5．已知函数()12212)(-+++=m m xm m x f 是幂函数且其图像过坐标原点，则=m ．6．已知25.0-=a ，5.12=b ，3.07-=c ，则a ，b ，c 的从小到大的顺序为 ．7．在下列四个函数：32221,,x y x y x y ===与3-=x y 中，值域为[)+∞,0的函数共有个． 8．已知幂函数)(322Z m x y m m∈=--的图像与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，则=m ． 9．给出下列四个命题：①幂函数的图像都通过()()1,1,0,0两点；②当0<n 时，幂函数nx y =的值在定义域内随x 的增大而减小； ③幂函数的图像不可能出现在第四象限；④当幂函数nx y =的图像是一条直线时，0=n 或1其中正确的命题共有 个．二、解答题10．已知函数5522)13(+-+-=a ax a a y （a 为常数）（1）a 为何值时此函数为幂函数？ （2）a 为何值时此函数为正比例函数？ （3）a 为何值时此函数为反比例函数？11．已知幂函数)()(322Z m x x f m m∈=--的图像关于y 轴对称，且在区间()+∞,0内图像是下降的．求函数)(x f 的解析式．12．（1）已知0<a ，试比较a a a 3.0,31,3⎪⎭⎫ ⎝⎛的大小；（2）已知10<<a ，试比较414,,4a a a的大小．13．在同一地点，单摆在振幅很小的情况下，其周期T （单位：s ）与摆长l （单位：m ）的平方根成正比．（1）写出单摆的周期关于摆长的函数解析式；（2）通常把周期为2s 的单摆称为秒摆，若某地秒摆的摆长为994.0m ，求在该地摆长为300.0m 时，单摆的周期．B 能力提升（满分60分）一、填空题1．当()1,0∈x 时，幂函数)(222Z n x y n n∈=-+的图像在直线x y =的上方，则n 的取值为 ．2．若()()33231a a ->+，则a 的取值范围为 ．3．若四个幂函数dc b a x y x y x y x y ====,,, 在同一坐标系中的图像如右图所示则a 、b 、 c 、d 的大小关系是 ．4．函数()113+-=x y 的图象的对称中心坐标为 ．5．在211)(x x f =，22)(x x f =，x x f 2)(3=，x x f 214log )(=四个函数中，121>>x x时，能使[]⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+2)()(212121x x f x f x f 成立的函数是 ． 二、解答题6．求证：幂函数()x x f =在[)+∞,0上是增函数．7．若()()22231--->+a a ，求实数a 的取值范围．备用题：1．函数()03213--+=-x x x y 的定义域为 ．8．试求函数()22-+=x y 的定义域、值域，并讨论其单调性．（A ）一、 1．①②④ 2．1，3 3．[]4,4- 4．()0,∞- 5．-2 6．a b c << 7．3 8．-1，1，3 9．1 提示：1．由定义可知．2．1-=x y 的定义域为()()+∞⋃∞-,00,，21x y =的定义域为[)+∞,0．3．由表可得()21x x f =，∴()x x f =，原不等式等价于4≤x ．4．设()10≠>=a a xy 且α，由题设知412=α，得2-=α，即21xy =，其单调区间()0,∞-．5．由题设知⎩⎨⎧>-+=++,01,11222m m m m 解之得2-=m ．6．1225.05.122>=>==-b a ，1703.0<=<-c ，∴a b c <<．7．函数221,x y x y ==与32x y =的值域均为[)+∞,0，而3-=x y 的值域为()()+∞⋃∞-,00,．8．由0322≤--m m ，且Z m ∈，得3,2,1,0,1-=m ，并考虑到322--m m 应为偶数，∴3,1,1-=m ．9．考虑幂函数2-=xy ，发现①②不正确；当0=n 时，幂函数nx y =在0=x 处没有定义，∴当0=n 时幂函数的图像不是一条直线，④也不正确；当0>x 时，0>=n x y ，故幂函数n x y =的图像不可能出现在第四象限，③正确．二、 10．（1）1132=+-a a ，∴0=a 或3．（2）⎩⎨⎧≠+-=+-01315522a a a a ，∴1=a 或4．（3）⎩⎨⎧≠+--=+-01315522a a a a ，∴2=a 或3．11．由于幂函数)(x f 的图像关于y 轴对称，∴)(x f 是偶函数，于是由Z m ∈可知 322--m m 为偶数．再由于)(x f 在()+∞,0上是单调减函数，∴0322<--m m ，即31<<-m ，故m 可取0，1，2，分别代入322--m m ，其值分别为-3，-4，-3，故取得1=m ．故所求的解析式为4)(-=x x f ．12．（1）∵0<a ，∴幂函数ax y =在()+∞,0上是减函数，又3.0313>>，∴a aa3.0313<⎪⎭⎫⎝⎛<．（2）∵10<<a ，∴指数函数x a y =在R 上是减函数，∴10414=<<a a a ，又14>a，∴aa a 4414<<．13．（1）l k T ⋅=()0>l ；（2）该地摆长为0.300m 的单摆的周期约为s 1.1．（B ）一、1．-2，-1，0 2．()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛-,11,21 3．a c b d >>> 4．()1,15．211)(x x f =提示：1．由于当()1,0∈x 时，x xn n >-+222，∴1222<-+n n ，得13<<-n ，再考虑到Z n ∈，即可得2-=n 或1-或0．2．由函数3x y =的图像，可知，函数在R 上单调递增，得a a 231->+,得32>a ． 3．如图，取m x =，1>m 则与四个函数图像的交点的纵坐标分别为d m ，bm ，cm ，am ，∵1>m ， acbdm m m m >>>， ∴a c b d >>>．4．函数3x y =的图象向右平移1个单位，向上平移1个单位，得函数()113+-=x y ，∴对称中心为()1,1．5．由函数的几何性质知，该函数的图像应具有上凸趋势，故函数211)(x x f =． 二、 6．设210x x <≤，21212121)()(x x x x x x x f x f -+=-=-，∵210x x <≤，∴021<-x x ，又∵021>+x x ，∴0)()(21<-x f x f ，∴)()(21x f x f <，∴)(x f 为单调增函数． 7．考查幂函数2-=xy ，它是一个偶函数，定义域为{}R x x x ∈≠,0|，函数图像关于y 轴对称，且图像在第一象限内随x 的增大而减小．由条件得，⎪⎩⎪⎨⎧-<+≠-≠+a a a a 23102301，解得()()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋃-∞-∈,432,11,a ． 备用题答案：1．由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠≥0300x x x ，∴∈x ()()+∞⋃,33,0．2．（1）要使()22-+=x y 有意义，则02≠+x ，即2-≠x ，故定义域为()()+∞-⋃-∞-,22,．（2）()22-+=x y 与2-=x y 值域相同，故()22-+=x y 的值域为()+∞,0．（3）由于幂函数2-=xy 在()0,∞-上单调增，在()+∞,0上单调减，而函数()22-+=x y 的图像由2-=x y 的图像向左平移2个单位得到，故()22-+=x y在()2,-∞-上单调递增，在()+∞-,2上单调递减．。

2014年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1.5m －2可化为( )A ．m －25B ．m 52C ．m 25D ．－m 52答案： A2．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是( )A ． 2x －5B ．－2x －1C ．－1D ．5－2x解析： 2－x 有意义，须有2－x ≥0，即x ≤2，x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9＝(x －2)2－(x －3)2＝2－x －(3－x )＝－1.答案： C 3．计算0. 25－0.5＋⎝⎛⎭⎫127－13－416的值为( )A ．7B ．3C ．7或3D ．5解析： 0.25－0.5＋⎝⎛⎭⎫127－13－416＝⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫－13－424＝2＋3－2＝3. 答案： B4．下列式子中，错误的是( )A ．(27a 3)13÷0.3a －1＝10a 2 B ．(a 23－b 23)÷(a 13＋b 13)＝a 13－b 13C ．[(22＋3)2(22－3)2]12＝－1 D.4a 3a 2a ＝24a 11解析： 对于A ，原式＝3a ÷0.3a －1＝3a 20.3＝10a 2，A 正确； 对于B ，原式＝(a 13－b 13)(a 13＋b 13)a 13＋b 13＝a 13－b 13，B 正确； 对于C ，原式＝[(3＋22)2(3－22)2]12＝(3＋22)·(3－22)＝1，这里注意3>22，a 12(a ≥0)是正数，C 错误；对于D ，原式＝4a 3a 52＝4a ·a 56＝a 1124＝24a 11，D 正确． 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．有下列说法：①3－27＝3；②16的4次方根是±2； ③481＝±3；④(x ＋y )2＝|x ＋y |.其中，正确的有________(填上正确说法的序号)．解析： 当n 是奇数时，负数的n 次方根是一个负数，故3－27＝－3，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；481＝3，故③错误；(x ＋y )2是正数，故2(x ＋y )2＝|x ＋y |，故④正确．答案： ②④ 6．化简(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得________． 解析： 原式＝－6a －4b 134a －4b －53＝－32b 2. 答案： －32b 2 三、解答题(每小题10分，共20分)7．计算下列各式： (1)481×923；(2)23×31.5×612. 解析： (1)原式＝[34×(343)12]14 ＝(34＋23)14＝3143×14 ＝376 ＝363.(2)原式＝2×312×⎝⎛⎭⎫3213×(3×22)16 ＝21－13＋13×312＋13＋16＝2×3＝6.8．计算下列各式：(1)823×100－12×(0.25)－3×⎝⎛⎭⎫1681－34； (2)(2a 23b 12)·(－6a 12b 13)÷(－3a 16·b 56)． 解析： (1)原式＝(23)23×(102)－12×(2－2)－3×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34＝22×10－1×26×⎝⎛⎭⎫23－3＝28×110×⎝⎛⎭⎫323＝8625. (2)原式＝4a 23＋12－16·b 12＋13－56＝4ab 0＝4a . 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知a 12＋a －12＝5，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)a 2－a －2.解析： (1)将a 12＋a －12＝5两边平方，得a ＋a －1＋2＝5， 则a ＋a －1＝3.(2)由a ＋a －1＝3两边平方，得a 2＋a －2＋2＝9，则a 2＋a －2＝7.(3)设y ＝a 2－a －2，两边平方，得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝72－4＝45，所以y ＝±35，即a 2－a －2＝±3 5.。

高中数学 2.3幂函数水平测试2 新人教A 版必修1卷A一、填空题1.幂函数()f x 的图象过点43,27)（，则()f x 的解析式是_________。

2.函数1+=αx y 的图象必过定点 。

3.已知ααα12,,x c x b x a ===，)1,0(),1,0(∈∈αx ，则c b a ,,由大到小的关系是 。

4.若幂函数px y =与qx y =的图象在第一象限内关于x y =对称，则q p ,应满足的条件是 。

5.函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是 。

6．函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______.7.下列命题：①幂函数的图象都经过点)1,1(和)0,0(；②2-=x y 的定义域为),0(+∞；③当nx y =的图象过原点时，一定有0>n ；④21-=xy 的值域为),0[+∞。

正确的是 。

（把你认为正确的序号都写上）8.已知幂函数)(Q x y ∈=αα的图象当10<<x 时，在直线x y =的上方，当1>x 时，在直线x y =的下方，则α的取值范围是 。

二、解答题9.函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，且在),0(+∞∈x 上为单调增函数，求()f x 的解析式。

10.已知3131)74()52(a a ->+，求实数a 的取值范围。

11.证明函数()2f x x =+在[2,)-+∞上是增函数。

12.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=)0(,)0(,3)21()(21x x x x f x，若1)(>a f ，求实数a 的取值范围。

卷B一、填空题1.已知幂函数)(x f 图象过点)4,8(，则幂函数)(x f 的值域是 。

2.函数x x x f -+-=1)1()(0的定义域是 。

3已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则c b a ,,由小到大小关系是 。

2014年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1.5m －2可化为( ) A ．m －25 B ．m 52C ．m 25D ．－m 52答案： A2．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是( )A ．2x －5B ．－2x －1C ．－1D ．5－2x解析： 2－x 有意义，须有2－x ≥0，即x ≤2，x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9＝(x －2)2－(x －3)2 ＝2－x －(3－x ) ＝－1.答案： C3．计算0.25－0.5＋⎝⎛⎭⎫127－13－416的值为( ) A ．7 B ．3 C ．7或3 D ．5解析： 0.25－0.5＋⎝⎛⎭⎫127－13－416＝⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫－13－424＝2＋3－2＝3. 答案： B4．下列式子中，错误的是( )A ．(27a 3)13÷0.3a －1＝10a 2 B ．(a 23－b 23)÷(a 13＋b 13)＝a 13－b 13C ．[(22＋3)2(22－3)2]12＝－1 D.4a 3a 2a ＝24a 11解析： 对于A ，原式＝3a ÷0.3a －1＝3a 20.3＝10a 2，A 正确； 对于B ，原式＝(a 13－b 13)(a 13＋b 13)a 13＋b 13＝a 13－b 13，B 正确； 对于C ，原式＝[(3＋22)2(3－22)2]12＝(3＋22)·(3－22)＝1，这里注意3>22，a 12(a ≥0)是正数，C 错误； 对于D ，原式＝4a 3a 52＝4a ·a 56＝a 1124＝24a 11，D 正确． 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．有下列说法： ①3－27＝3；②16的4次方根是±2；③481＝±3； ④(x ＋y )2＝|x ＋y |.其中，正确的有________(填上正确说法的序号)．解析： 当n 是奇数时，负数的n 次方根是一个负数，故3－27＝－3，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；481＝3，故③错误；(x ＋y )2是正数，故2(x ＋y )2＝|x ＋y |，故④正确．答案： ②④6．化简(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得________． 解析： 原式＝－6a －4b 134a －4b －53＝－32b 2. 答案： －32b 2 三、解答题(每小题10分，共20分)7．计算下列各式：(1)481×923；(2)23×31.5×612. 解析： (1)原式＝[34×(343)12]14＝(34＋23)14＝3143×14＝376 ＝363.(2)原式＝2×312×⎝⎛⎭⎫3213×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16＝2×3＝6.8．计算下列各式：(1)823×100－12×(0.25)－3×⎝⎛⎭⎫1681－34； (2)(2a 23b 12)·(－6a 12b 13)÷(－3a 16·b 56)．解析： (1)原式＝(23)23×(102)－12×(2－2)－3×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34＝22×10－1×26×⎝⎛⎭⎫23－3＝28×110×⎝⎛⎭⎫323＝8625.(2)原式＝4a 23＋12－16·b 12＋13－56＝4ab 0＝4a .尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知a 12＋a －12＝5，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)a 2－a －2. 解析： (1)将a 12＋a －12＝5两边平方，得a ＋a －1＋2＝5，则a ＋a －1＝3.(2)由a ＋a －1＝3两边平方，得a 2＋a －2＋2＝9，则a 2＋a －2＝7.(3)设y ＝a 2－a －2，两边平方， 得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝72－4＝45， 所以y ＝±35，即a 2－a －2＝±3 5.。

2、3幂函数 同步练习一、选择题1、下列不等式中错误的是 （ ）A 、B 、C 、D 、2log 3log 22>>> 2、函数112-=x y 在定义域上的单调性为A 、在()1,∞-上是增函数，在()+∞,1上是增函数B 、减函数C 、在()1,∞-上是减增函数，在()+∞,1上是减函数D 、增函数3、在函数y ＝21x ，y ＝2x 3，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数有 （ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个4、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝a x 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 （ ）A 、a ＜1B 、0＜a ＜1C 、a ＞0D 、a ＜05、在同一坐标系内，函数的图象可能是 （ ）6、已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，，则在R 上f(x)的表达式是 （ ）A 、y=x(2-x)B 、y=x(2-|x|)C 、y=|x|(2-x)D 、y=|x|(2-|x|)7、函数的单调递减区间是 （ ）A 、B 、C 、D 、8．在函数22031,3,,y y x y x x y x x ===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( )A ．a >0B ．a <0C ．a =0D ．不能确定 10．若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是 ( )A ．a <l<bB ．1<a <bC ．b <l<aD ．1<b <a 11．在下列函数31322532,,,,y x y x y x y x y x --=====中，定义域为R 的函数有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定13．若点(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不能成立的是 ( )A ．00a b >⎧⎨>⎩B ．00a b >⎧⎨<⎩ Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩二、填空题14、若21)1(－＋a ＜21)23(－－a ，则a 的取值范围是____；15、已知0＜a ＜1，试比较a a ，a a a )(，)(a a a的大小____________________16、已知函数f(x)=a 2x -5x+2a+3 的图象经过原点，则f(x)的单调递增区间是________17、若幂函数p x y =与q x y =的图像在第一象限内的部分关于直线y=x 对称，则p,q 应满足的条件是_________________18、若幂函数),0()(+∞∈=在Z n x y n 上 单调递减，则n 是_______________三、解答题19、已知幂函数f （x ）＝23221++-p p x （p ∈Z ）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数f （x ）、20、设α、β是方程x2+2(m+3)x+2m+4=0的两个实数根， m 取何值时，(α-1)2+(β-1)2取最小值？并求此最小值、21、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a ＞0)，方程f(x)-x=0的两个根x1、(1)当x ∈(0，x1)时，证明x ＜f(x)＜x1；答案:一、选择题1、C 2、B 3、C 4、A 5、C ；6、B ；7、D8、C 9、A 10、A 11、B 12、B 13、B二、解答题14、 （32，23） 15.)(a a a ＜a a ＜a a a )(。

2.3 幂函数一、填空题1.在函数222123y y x y x x y x x=,=,=+,=中,幂函数的个数为_______个. 解析显然,根据幂函数定义可知,只有21y x=是幂函数. 答案 12. 在幂函数y ＝x 4，y ＝x 14，y ＝x －3，y ＝x －12，y ＝x －2中，是奇函数的有____________；是偶函数的是____________；没有奇偶性的是________．解析 由幂函数的性质容易得出答案.答案 y ＝x －3y ＝x 4；y ＝x －2y ＝x 14；y ＝x －123.设a =0.1270b ,=.128c ,=log 30.7,则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析∵幂函数12y x =在(0),+∞上是增函数,∴0<a <b .∵log 30.7<0,∴c <a <b .答案 c <a <b4．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________. 解析 ∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12.∴k ＋α＝1＋12＝32. 答案 325．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．解析 当α＝1,3时，y ＝x α的定义域为R 且为奇函数，符合要求；当α＝－1时，y ＝1x的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，不符合要求；当α＝12时，y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，不符合要求．答案 1,36．已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g (－1)＝________.解析 设f (x )＝x m ，g (x )＝x n ，则由2＝(2)m 得m ＝2，由14＝(－2)n ，得n ＝－2，所以f (2)＋g (－1)＝22＋(－1)－2＝5.答案 57.幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为________．解析 由m 2－2m －3＜0，得－1＜m ＜3，又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.∵m 2－2m －3为偶数，经验证m ＝1符合题意．答案 18.已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.解析 由题意，设y ＝f (x )＝x α，，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1.答案 ±19．给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．解析 命题①显然正确；只有当α>0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若α<0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；函数y ＝x 12就是一个非奇非偶函数，故命题③错误；由于在y ＝x α(α∈R )中，只要x >0，必有y >0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故命题④正确，命题⑤也正确；幂函数y ＝x 3在(－∞，0)上是递增函数，故命题⑥错误．因此正确的说法有①④⑤.答案 ①④⑤10 .若1122(1)(32)a a --+<-,则a 的取值X 围是. 解析令12()f x x -=,则f (x )在(0),+∞上是减函数,故得10320132a a a a +>,⎧⎪->,⎨⎪+>-,⎩解得3232a <<. 答案32()32, 11．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，函数y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n ＞0时是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n ＜0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是________．解析幂函数y ＝x n ，当n <0时，不过(0,0)点，①错误；当n ＝0时，y ＝x n 中x ≠0，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，(0，＋∞)上是增函数，④错．答案 ②⑤12.若函数f (x )=1212020(3)0x x x x x -⎧,>,⎪⎪-,=,⎨⎪⎪+,<,⎩则f (f (f (0)))=.解析f (f (f (0)))=f (f (-2))=f (12(23)-+)12(1)11f -===.答案113．设函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a 的取值X 围是________．解析 a ＝0显然成立．a ≠0时，二次函数对称轴为x ＝－1a ，所以a ＜0且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0，综上，得－14≤a ≤0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 二、解答题14．幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，某某数m 的值．解析因为函数是幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，∴m 2－3m ＋2＝0，∴m ＝1或m ＝2.当m ＝1或m ＝2时，函数的图象都不经过原点，所以m ＝1或m ＝2.15.方程2210mx mx ++=有一根大于1,另一根小于1,某某数m 的取值X 围.解析:令2()21f x mx mx =++,当m >0时,f (1)=3m +1<0,即13m <-,舍去. 当m <0时,3m +1>0,即13m >-. ∴103m -<<. 16．已知函数y ＝415－2x －x 2.(1)求函数的定义域、值域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求函数的单调区间．解析 这是复合函数问题，利用换元法．令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t .(1)由15－2x －x 2≥0，得－5≤x ≤3，故函数的定义域为[－5,3]，∴t ＝16－(x ＋1)2∈[0,16]，∴函数的值域为[0,2]．(2)∵函数的定义域为[－5,3]，不关于原点对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)∵函数的定义域为[－5,3]，对称轴为x ＝－1，∴x ∈[－5，－1]时，t 随x 的增大而增大；x ∈(－1,3]时，t 随x 的增大而减小．又∵函数y ＝4t 在t ∈[0,16]时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝415－2x －x 2的单调增区间为[－5，－1]，单调减区间为(－1,3]．17.不等式2(2)2(2)a x a -+-x -4<0对一切x ∈R 恒成立,求a 的取值X 围是. 解析当a -2=0,即a =2时,-4<0恒成立;当20a -≠时,2204(2)16(2)0a a a -<,⎧⎨∆=-+-<,⎩解之得-2<a <2.∴a 的取值X 围是22a -<≤.18．f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a 4在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值． 解析 f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋12－a 4＋a 24. ①当a 2∈[0,1]，即0≤a ≤2时，f (x )max ＝12－a 4＋a 24＝2， 则a ＝3或a ＝－2，不合题意． ②当a 2＞1时，即a ＞2时，f (x )max ＝f (1)＝2⇒a ＝103.③当a 2＜0时，即a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝2⇒a ＝－6. 综上，f (x )在区间[0,1]上的最大值为2时a ＝103或－6.。

人教A版（2019）必修一3.3幂函数（共21题）一、选择题（共13题）1.下列函数是幂函数的是( )A．y=2x B．y=2x−1C．y=(x+1)2D．y=√x23 2.下列幂函数在区间(0,+∞)上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是( )A．y=x 32B．y=x23C．y=x13D．y=x−133.函数y=x k与y=kx(k∈{−1,12,2,3})的图象只可能是( ) A．B．C．D．4.下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )A．y=x 12B．y=x4C．y=x−2D．y=x135.已知y=(m2+2m−2)x m 12−1是幂函数，则m的值为( )A．−3B．1C．−3或1D．36.若幂函数y=x n对于给定的有理数n，其定义域与值域相同．则此幂函数( )A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．一定不是奇函数D．一定不是偶函数7.若幂函数y=f(x)的图象经过点(−2,4)，则f(x)在定义域内( )A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值8.已知函数f(x)=(3m2−2m)x m是幂函数，若f(x)为增函数，则m等于( )A．13B．−1C．1D．−13或19.已知点(13,27)在幂函数f(x)=(t−2)x a的图象上，则t+a=( ) A．−1B．0C．1D．2 10.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则该函数的解析式为( )A．y=x 12，x≥0B．y=2x−12，x≥0C．y=x−12，x≥0D．y=12x−12，x≥011.函数y=x 53的图象大致是( )A．B．C．D．12.己知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则函数f(x)的解析式为( )A．f(x)=x2B．f(x)=x 12C．f(x)=x−12D．f(x)=x−213.已知幂函数y=x pq（p，q∈N∗，q>1，且p，q互质）的图象如图所示，则( )A．p，q均为奇数，且pq>1B．p为奇数，q为偶数，且pq>1C．p为偶数，q为奇数，且pq>1D．p为偶数，q为奇数，且0<pq<1二、填空题（共4题）14.已知y=(2a+b)x a+b+(a−2b)是幂函数，则a=，b=．15.若幂函数f(x)=x m−1在(0,+∞)上是减函数，则实数m的取值范围是．16.当x∈(0,+∞)时，幂函数y=(m2−m−1)x m为减函数，则实数m的值为．17.若幂函数y=(m2−3m+3)x m2−m−1的图象不过原点，则m=．三、解答题（共4题）18.设点(√2,2)在幂函数y=x a的图象上，点(−2,14)在幂函数y=x b的图象上．问：当x为何值时，x a>x b？19.设函数y=(m2+2m)x m2−m−4，根据下列条件分别求出m的值：(1) 该函数为二次函数；(2) 该函数为幂函数，且在区间(0,+∞)上是严格减函数．20.已知函数f(x)=x 13−x−135，g(x)=x13+x−135．(1) 证明f(x)是奇函数，并求函数f(x)的单调区间．(2) 分别计算f(4)−5f(2)⋅g(2)和f(9)−5f(3)g(3)的值，由此概括出f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．21.已知幂函数f(x)=x 13(m−2)(m∈N)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)=a√f(x)−bxf(x)的奇偶性．答案一、选择题（共13题） 1. 【答案】D【解析】由幂函数的概念可知D 正确．2. 【答案】C3. 【答案】C【解析】对于A ，直线对应函数 y =x ，曲线对应函数为 y =x −1，1≠−1，故A 错； 对于B ，直线对应函数为 y =2x ，曲线对应函数为 y =x 12，2≠12，故B 错；对于C ，直线对应函数为 y =2x ，曲线对应函数为 y =x 2，2=2，故C 对； 对于D ，直线对应函数为 y =−x ，曲线对应函数为 y =x 3，−1≠3，故D 错．4. 【答案】B5. 【答案】A【解析】由题意得 {m 2+2m −2=1,m 12−1≠0, 解得 m =−3．6. 【答案】D【解析】由于偶函数的图象关于 y 轴对称，并且定义域关于原点对称，故定义域和值域不可能相同．7. 【答案】C【解析】易知 (−2)a =4，则 a =2，f (x )=x 2≥0， 所以函数有最小值．8. 【答案】C【解析】函数 f (x )=(3m 2−2m )x m 是幂函数，则 3m 2−2m =1，解得 m =1 或 m =−13，又 f (x ) 为增函数，则 m =1 满足条件，即 m 的值为 1．9. 【答案】B【解析】因为点 (13,27) 在幂函数 f (x )=(t −2)x a 的图象上，所以 f (13)=(t −2)(13)a=27，且 t −2=1， 解得 t =3，a =−3，所以 t +a =3−3=0．10. 【答案】A【解析】设幂函数 y =f (x )=x α，因为幂函数 y =f (x ) 的图象过点 (2,√2)， 所以 2α=√2，解得 α=12，所以 f (x )=x 12，x ≥0．11. 【答案】B【解析】由于 53>1，故可排除选项 A ，D ．根据幂函数的性质可知，当 k >1 时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项 C ，只有选项 B 正确．12. 【答案】B【解析】设幂函数的解析式为 y =x a ， 因为幂函数 y =f (x ) 的图象过点 (2,√2)， 所以 √2=2a ， 解得 a =12，所以 f (x )=x 12．13. 【答案】D【解析】因为图象关于 y 轴对称， 所以函数为偶函数，所以 p 为偶数，q 为奇函数． 由图象在第一象限内缓慢递增，知 0<p q<1．故选D ．二、填空题（共4题） 14. 【答案】 25 ； 15【解析】由题意得 {2a +b =1,a −2b =0, 解得 {a =25,b =15.15. 【答案】 (−∞,1)【解析】因为幂函数 f (x )=x m−1 在 (0,+∞) 上是减函数， 所以 m −1<0，解得 m <1． 故答案为 (−∞,1)．16. 【答案】−1【解析】由幂函数的定义得 m 2−m −1=1，解得 m =2 或 m =−1， 又因为该幂函数在 x ∈(0,+∞) 时为减函数，当 m =2 时，函数化为 y =x 2 不符合题意，而 m ＝−1 时，y =x −1 符合题意，故 m =−1．17. 【答案】 1【解析】因为幂函数 y =(m 2−3m +3)x m 2−m−1的图象不过原点，所以 {m 2−m −l ≤0,m 2−3m +3=1.解得 m =1．三、解答题（共4题）18. 【答案】由题意，可解得 a =2，b =−2．又由 x 2>x −2，可解得 x >1 或 x <−1．19. 【答案】(1) 由题意，知 {m 2+2m ≠0,m 2−m −4=2, 即 {m 2+2m ≠0,m 2−m −6=0, 得 m =3．(2) 由题意，知 {m 2+2m =1,m 2−m −4<0, 即 {m 2+2m −1=0,m 2−m −4<0, 得 m =√2−1．20. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域是 (−∞,0)∪(0,+∞)， 所以定义域关于原点对称． 又因为 f (−x )=(−x )13−(−x )−135=−x 13−x−135=−f (x )，所以函数 f (x ) 是奇函数．在 (0,+∞) 上任取 x 1，x 2，且 x 1<x 2， 则 (x 1)13<(x 2)13，(x 2)−13<(x 1)−13，从而 f (x 1)−f (x 2)=(x 1)13−(x 1)−135−(x 2)13−(x 2)−135=15[(x 1)13−(x 2)13]+15[(x 2)−13−(x 1)−13]<0，即 f (x 1)<f (x 2)，所以 f (x )=x 13−x−135在 (0,+∞) 上单调递增．又因为 f (x ) 是奇函数，所以 f (x ) 在 (−∞,0) 上也单调递增．故函数 f (x ) 的单调递增区间为 (−∞,0)，(0,+∞)． (2) f (4)−5f (2)g (2)=413−4−135−5×213−2−135×213+2−135=0，f (9)−5f (3)g (3)=913−9−135−5×313−3−135×313+3−135=0．由此可推测出一个等式 f (x 2)−5f (x )g (x )=0（x ≠0）．证明如下： f (x 2)−5f (x )g (x )=(x 2)13−(x 2)−135−5×x 13−x−135×x 13+x−135=x 23−x−235−x 23−x−235=0．故 f (x 2)−5f (x )g (x )=0（x ≠0）成立．21. 【答案】由 f (x )=x 13(m−2)(m ∈N ) 在 (0,+∞) 上单调递减，得 13(m −2)<0，所以 m <2．因为 m ∈N ，所以 m =0 或 m =1．因为 f (x ) 是偶函数，所以只有当 m =0 时符合题意，故 f (x )=x −23． 于是 g (x )=a ∣∣∣x 13∣∣∣−bx 13，g (−x )=a ∣∣∣x 13∣∣∣+b x 13，且 g (x ) 的定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称． 当 a ≠0 且 b ≠0 时，g (x ) 既不是奇函数也不是偶函数； 当 a =0 且 b ≠0 时，g (x ) 是奇函数；当 a ≠0 且 b =0 时，g (x ) 是偶函数；当 a =0 且 b =0 时，g (x ) 既是奇函数又是偶函数．。

2.3幂函数习题（带答案）-人教版数学高一上必修1第二章第二章基本初等函数（1）2.3 幂函数测试题知识点：幂函数的概念1、下列函数中是幂函数的是( )A.y=B.y=2x-2C.y=x+1D.y=12、下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x23、已知幂函数的图象过点(8,2),则其解析式是( )A.y=x+2B.y=C.y=D.y=x34、下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( )A.y=B.y=x4C.y=x-2D.y=5、下列函数:①y=x2+1;②y=;③y=3x2-2x+1;④y=x-3;⑤y=+1.其中是幂函数的是( )A.①⑤B.①②③D.②③⑤6、(2014·石家庄高一检测)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(25)= .7、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.8、比较下列各组数的大小:(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.9、(2015·长治高一检测)若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( )A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=110、函数y=x-2在区间上的最大值是( )A. B. C.4 D.-411、在下列函数中,定义域为R的是( )A.y=B.y=C.y=2xD.y=x-112、幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是.13、(2015·铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是.知识点：常见幂函数的图像和性质14、(2015·沈阳高一检测)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( )A.y=B.y=x2D.y=15、函数y=x-2在区间上的最大值是( )A. B. C.4 D.-416、幂函数y=x-2的图象大致是( )17、(2014·宿州高一检测)已知函数f(x)=(m2+2m),m为何值时,f(x)是(1)正比例函数.(2)反比例函数.(3)二次函数.(4)幂函数.18、(2014·济宁高一检测)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x m为减函数,则实数m的值为.19、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.【参考答案】符合幂函数的定义y=, .是非奇非偶函数,y=得...:=3,==:由题意得解得过点y=a是幂函数y=, y=,y=x,y=在各自定义域上均是增函数在区间,,f(x)±则有=3,f(x)=f==== :。

第二章 2.3幂函数基础巩固一、选择题1．(2015·全国高考山东卷文科，3题)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] C[解析] ∵0.6∈(0,1)，∴y ＝0.6x 是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y ＝x 0.6在(0，＋∞)是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴c >a >b ，故选C.2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝x 13 B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x 12[答案] B[解析] 函数y ＝x 13 ，y ＝x 3，y ＝x 12 在各自定义域上均是增函数，y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数．3．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3[答案] A[解析] 函数y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，函数y ＝x 12 的定义域是[0，＋∞)，函数y＝x 和y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数．4．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)xm 2＋2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1[答案] A[解析] 由m 2－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，再把m ＝0和m ＝1分别代入m 2＋2m －3＜0检验，得m ＝0，故选A.5．函数y ＝x α与y ＝αx (α∈{－1，12，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个( )[答案] C[解析] 直线对应函数y ＝x ，曲线对应函数为y ＝x－1,1≠－1.故A 错；直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x 12 ，2≠12.故B 错；直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y＝x 2,2＝2.故C 对；直线对应函数为y ＝－x ，曲线对应函数为y ＝x 3，－1≠3.故D 错．6．(2010·安徽文，7)设a ＝(35)25 ，b ＝(25)35 ，c ＝(25)25 ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a[答案] A[解析] 对b 和c ，∵指数函数y ＝(25)x 单调递减．故(25)35 <(25)25 ，即b <c .对a 和c ，∵幂函数．y ＝x 25 在(0，＋∞)上单调递增， ∴(35)25 >(25)25 ，即a >c ，∴a >c >b ，故选A. 二、填空题7．已知幂函数f (x )＝xm 2－1(m ∈Z )的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________．[答案] f (x )＝x －1[解析] ∵函数的图象与x 轴，y 轴都无交点， ∴m 2－1＜0，解得－1＜m ＜1； ∵图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0，∴f (x )＝x －1.8．(2015·海南中学高一测试)下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________．①y ＝x 12 ；②y ＝x 4；③y ＝x －2；④y ＝－x 13 . [答案] ③[解析] ①中函数y ＝x 12 不具有奇偶性；②中函数y ＝x 4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y ＝x －2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数y ＝－x 13 是奇函数．故填③.三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )：(1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数．[解析] (1)∵f (x )是幂函数， 故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－45.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数， 则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1. 10．已知函数f (x )＝x m－2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．[解析] (1)因为f (4)＝72，所以4m－24＝72，所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －2x，因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，又f (－x )＝－x －2－x ＝－(x －2x )＝－f (x )．所以f (x )是奇函数．(3)f (x )在(0，＋∞)上单调递增，设x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－(x 2－2x 2)＝(x 1－x 2)(1＋2x 1x 2)，因为x 1＞x 2＞0， 所以x 1－x 2＞0,1＋2x 1x 2＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．能力提升一、选择题1．如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m和y ＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n ＜m ＜0B ．m ＜n ＜0C ．n ＞m ＞0D ．m ＞n ＞0[答案] A[解析] 由图象可知，两个函数在第一象限内单调递减，所以m ＜0，n ＜0.2．当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] C[解析] 幂函数y ＝x 12 ，y ＝x －1在(1，＋∞)上时图象在直线y ＝x 的下面，即α＜0或0＜α＜1，故选C.3．函数y ＝x 13 的图象是( )[答案] B[解析] 显然代数表示式“－f (x )＝f (－x )”，说明函数是奇函数，同时由当0＜x ＜1时，x 13 ＞x ，当x ＞1时，x 13 ＜x ，故选B.4．(2015·山东临沂期末)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f (log 216)＝( )A ．2 B.22C. 2D.12[答案] A[解析] 设f (x )＝x α，则2α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x ，f (log 216)＝f (4)＝4＝2，故选A.二、填空题5．已知幂函数f (x )＝x －14，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．[答案] (3,5)[解析] ∵f (x )＝x －14＝14x(x ＞0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－1，a ＜5，a ＞3.∴3＜a ＜5.6．若a ＝(12)23 ，b ＝(15)23 ，c ＝(12)13 ，则a 、b 、c 的大小关系是________．[答案] b ＜a ＜c[解析] 设f 1(x )＝x 23 ，则f 1(x )在(0，＋∞)上为增函数，∵12＞15，∴a ＞b .又f 2(x )＝(12)x在(－∞，＋∞)上为减函数，∴a <c . 三、解答题7．幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)x 为何值时f (x )＞g (x )？x 为何值时f (x )＜g (x )? [解析] (1)设f (x )＝x α，则(2)α＝2， ∴α＝2，∴f (x )＝x 2， 设g (x )＝x β，则(－2)β＝14，∴β＝－2，∴g (x )＝x －2(x ≠0)．(2)从图象可知，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞g (x )；当－1＜x ＜0或0＜x ＜1时，f (x )＜g (x )．8．(2015·温州联考)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f (x )的解析式； (2)设函数g (x )＝f x ＋2x ＋c ，若g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，求实数c 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f (x )＝x 4是偶函数．∴f (x )＝x 4.(2)由(1)知f (x )＝x 4，则g (x )＝x 2＋2x ＋c ＝(x ＋1)2＋(c －1)． ∵g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，∴g (x )min >2，且x ∈R ，则c －1>2，解得c >3. 故实数c 的取值范围是(3，＋∞)．。

自我小测1. 幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图，则()A．n>0,0<m<1 B．n<0,0<m<1 C．n>0，m>1 D．n<0，m>1 2．函数y＝3xα－2的图象过定点()A．(1,1) B．(－1,1) C．(1，－1) D．(－1，－1) 3．下列幂函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的是()A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x－2C．f(x)＝x3D．f(x)＝x 1 24．已知a＝1.212，b＝0.9－12，c()A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b5．当x∈(1，＋∞)时函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的下方，则α的取值范围是() A．0<α<1 B．α<0 C．α<1 D．α>16．为了保证信息的安全传输，有一种为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是__________．7．已知函数y＝(m2－9m＋19)x2m－9是幂函数，且图象不过原点，则m＝__________.8．若函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)[0，＋∞)上是增函数，则a＝__________.9．比较45⎛⎫⎪⎝⎭12和910⎛⎫⎪⎝⎭13的大小．10．已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5(a为常数)，问(1)a为何值时，此函数为幂函数？(2)a为何值时，此函数为正比例函数？(3)a为何值时，此函数为反比例函数？参考答案1.答案：B2.答案：A3.答案：C4.解析：b＝0.9－12＝910⎛⎫⎪⎝⎭－12＝109⎛⎫⎪⎝⎭12，c1.112，∵12>0，且1.2>109>1.1，∴1.212>109⎛⎫⎪⎝⎭12>1.112，即a>b>c.答案：A5.解析：由幂函数的图象知α<1.答案：C6.解析：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝12，则y＝x12.由x12＝3，得x＝9，即明文是9.答案：97.解析：令m2－9m＋19＝1，得m＝3或m＝6.当m＝6时，原函数为y＝x3过原点，不合题意，舍去．答案：38.解析：当a>1时，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝12，此时g(x)[0，＋∞)上为减函数，不合题意；若0<a<1，则a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，检验知符合题意．答案：1 49.解：∵45<910，12>0，∴根据幂函数的单调性，有45⎛⎫⎪⎝⎭12<910⎛⎫⎪⎝⎭12.又0<910<1，12>13，∴根据指数函数的单调性，有910⎛⎫⎪⎝⎭12<910⎛⎫⎪⎝⎭13.综上，可知45⎛⎫⎪⎝⎭12<910⎛⎫⎪⎝⎭13.10.分析：根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定义求解．解：(1)由题意，知a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0，解得a＝32±.(2)由题意，知22551320a aa a⎧⎪⎨≠⎪⎩－＋＝，－＋，解得a＝4.(3)由题意，知22551320a aa a⎧⎪⎨≠⎪⎩－＋＝－，－＋，解得a＝3.。

2020年高中数学 2-3 幂函数同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数解析： 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确； 因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D 不正确．答案： C2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x 4C ．y ＝x －2D ．y ＝x 13解析： 函数y ＝x 12定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故A 不正确； 函数y ＝x 4是过点(0,0)，(1,1)的偶函数，故B 正确；函数y ＝x －2不过点(0,0)，故C 不正确；函数y ＝x 13是奇函数，故D 不正确． 答案： B3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α是奇函数且在(0，＋∞)上是单调递减的α的值的个数是( )A ．3B ．4C ．2D ．1解析： 把α逐个代入可知α＝－1时符合．答案： D4．如图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0,0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析： 由图知，y ＝x m 在[0，＋∞)上是增函数，y ＝x n 在(0，＋∞)上为减函数，所以m >0，n <0.又当x >1时，y ＝x m 的图象在y ＝x 下方，y ＝x n 的图象在y ＝x －1的下方，所以m <1，n <－1，从而0<m <1，n <－1.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．下列六个函数①y ＝x 53，②y ＝x 34，③y ＝x －13，④y ＝x 23，⑤y ＝x －2，⑥y ＝x 2中，定义域为R 的有________．(填序号)解析： 函数①④⑥的定义域为R ，函数②定义域为[0，＋∞)，③⑤的定义域为{x |x ≠0}． 答案： ①④⑥6．若幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫9，13，则f (25)的值为________． 解析： 设幂函数y ＝x α，过点⎝⎛⎭⎫9，13，则13＝9α， ∴α＝－12， ∴y ＝x －12，则f (25)＝25－12＝15. 答案： 15三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．求函数f (x )的解析式．解析： ∵f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，－1<m <3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f (x )＝x 4是偶函数，∴f (x )＝x 4.8．已知幂函数f (x )＝x a 的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫12，2.(1)求实数a 的值；(2)用定义证明f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性．解析： (1)∵f (x )＝x a 的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫12，2，∴⎝⎛⎭⎫12a ＝2，即2－a ＝212，∴a ＝－12. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2－12－x 1－12＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2·(x 1＋x 2).∵x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，且x 1x 2·(x 1＋x 2)>0，于是f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )＝x －12在区间(0，＋∞)内是减函数．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知幂函数f (x )＝x 1m 2＋m(m ∈N *)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解析： (1)∵m ∈N *，∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数．令m 2＋m ＝2k ，k ∈N *，则f (x )＝x 12k＝2k x ， ∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数．(2)∵2＝21m 2＋m，∴m 2＋m ＝2， 解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，∴f (x )＝x 12，令2－a >a －1≥0，可得1≤a <32.。