人教A版高中数学必修五高二上学期第一次月考试题 (6).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作杨家坪中学2015—2016学年上期高二年级第一次月考数学试题一．选择题（共60分，每小题5分）1.空间中的四个点最多能确定的平面个数为（ ） A .1 B. 2 C.3 D.42. 下列四个命题中，真命题是（ ）A 、平面就是平行四边形；B 、空间任意三点可以确定一个平面；C 、两两相交的三条直线可以确定一个平面；D 、空间四点不共面，则其中任意三点不共线。

3．教室内有一把尺子无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线A B C D 垂直平行异面相交但不垂直4．设有两条直线，、、和三个平面、γβαn m 给出下面四个命题：（1） //////m n m n n αβαβ⋂=⇒，， （2） ααββα//m m m ⇒⊄⊥⊥，， （3） βαβα////m m ⇒⊂， （4） γβγαβα//⇒⊥⊥， 其中正确的命题个数是（ ）1234A B C D5．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cm6．P 是边长为a 的正三角ABC 所在平面外一点，PA ＝PB ＝PC ＝a ， E 、F 是AB 和PC 的中点，则异面直线PA 与EF 所成的角为（ ）30456090A B C D ︒︒︒︒7．等边三角形ABC 的边长是a ，BC AD 是边上的高，沿ABC AD ∆将折成直二面角，则点C B 、的距离是( )123222Aa Ba Ca D a8．二面角，，，的大小为βαβα∈∈︒--B A l 60且l B A 两点在、上的射影分别为321=''='='''B A A A B B B A ，，，其中、，点上是l C 任一点，则BC AC +的最小值为（ ） 42332332A BCD9.在正方体为的中点，是棱中，O DD M D C B A ABCD 11111-底面A B C D 的中心，上为棱11B A P 任一点，则直线AM OP 与所成角为（ ）不能确定D C B A ︒︒︒90604510．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为 （ ） （A ）32 （B ）33 （C ）34（D ）2311．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxA ．OyxB ．OyxC ．OyxD ．Oα∙AB∙β图13正视图 俯视图侧视图556355 6312.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A .62B .42C .6D .4二、填空题（共20分，每小题5分）13．某几何体的三视图如图13所示，则它的体积是 ．14．三棱锥A —BCD 的四个顶点同在一个球O 上，若AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD,AB=BC=CD=1，则球O 的表面积等于 ．15．如图，二面角l αβ--的大小是45°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 . 16．在平面几何里，“上的高的斜边是若AB ABC Rt CD ∆，则222111CB CA CD +=．”拓展到空间，研究三棱锥的高与侧棱间的关系，可得出的正确结论是：“若三棱锥A B C B CD A 的三侧面—、ADB ACD 、两两互相垂直，AO 是三棱A BCD 锥—的高，则 ” ． 三、解答题（共70分，其中第17题10分，其它每小题12分）17.如图，正方体的棱长为a ，P 、Q 分别为D A 1、11D B 的中点侧俯B 1A 1D 1C 1BA D C P Q（1）求证：PQ ∥平面CD C D 11 (2)求PQ 的长17. 三棱锥P —ABC 中，PO ⊥面ABC ，垂足为O ，若PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，求证： （1）AO ⊥BC （2）PB ⊥AC18. 已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)若M 为CB 中点，证明：MA ∥平面CNB 1；(2)求这个几何体的体积．19. 如图，在正方体ABCD －1111A B C D 中，棱长为a ,E 为棱CC 1上的的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）当E 恰为棱CC 1的中点时，求证：平面A 1BD ⊥平面EBD .D21. 如图，在圆锥PO 中，已知PO=2,圆O 的直径AB=2，C 是弧AB的中点，D 为AC 的中点．（1）求异面直线PD 和BC 所成的角 （2）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值22. 如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （I ）证明PA ⊥平面ABCD ；（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角 的大小； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论.EDPA杨家坪中学2015—2016学年上期高二年级第一次月考数学试题一．选择题（共60分，每小题5分）1.空间中的四个点最多能确定的平面个数为（ D ） A .1 B. 2 C.3 D.42. 下列四个命题中，真命题是（ D ）A 、平面就是平行四边形；B 、空间任意三点可以确定一个平面；C 、两两相交的三条直线可以确定一个平面；D 、空间四点不共面，则其中任意三点不共线。

3．教室内有一把尺子无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（A ）A B C D 垂直平行异面相交但不垂直4．设有两条直线，、、和三个平面、γβαn m 给出下面四个命题：（1） //////m n m n n αβαβ⋂=⇒，， （2） ααββα//m m m ⇒⊄⊥⊥，， （3） βαβα////m m ⇒⊂， （4） γβγαβα//⇒⊥⊥， 其中正确的命题个数是（ B ）1234A B C D5．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( A )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cm 6．P 是边长为a 的正三角ABC 所在平面外一点，PA ＝PB ＝PC ＝a ，E 、F 是AB 和PC 的中点，则异面直线PA 与EF 所成的角为（ B ）30456090A B C D ︒︒︒︒7．等边三角形ABC 的边长是a ，BC AD 是边上的高，沿ABC AD ∆将折成直二面角，则点C B 、的距离是( B )123222Aa Ba Ca D a8．二面角，，，的大小为βαβα∈∈︒--B A l 60且l B A 两点在、上的射影分别为图13正视图 俯视图侧视图556355 63321=''='='''B A A A B B B A ，，，其中、，点上是l C 任一点，则BC AC +的最小值为（D ） 42332332A BCD9. 在正方体为的中点，是棱中，O DD M D C B A ABCD 11111-底面A B C D 的中心，上为棱11B A P 任一点，则直线AM OP 与所成角为（ C ）不能确定D C B A ︒︒︒90604510.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为 （A ）（A ）32（B ）33 （C ）34（D ）23 11．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ B ）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( C )A .62B .42C .6D .4ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxA ．OyxB ．OyxC ．OyxD ．O侧正α∙AB∙β二、填空题（共20分，每小题5分）13．某几何体的三视图如图13所示，则它的体积是 30π ．14．三棱锥A —BCD 的四个顶点同在一个球O 上，若AB ⊥面BCD ，AB=BC=CD=1，则球O 的表面积等于 3π ．15．如图，二面角l αβ--的大小是45°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的 正弦值是 . 2416．在平面几何里，“上的高的斜边是若AB ABC Rt CD ∆，则222111CBCA CD +=．”拓展到空间，研究三棱锥的高与侧棱间的关系，可得出的正确结论是：“若三棱锥A B C B CD A 的三侧面—、ADB ACD 、两两互相垂直，AO 是三棱A BCD 锥—的高，则 22221111AO AB AC AD =++” ． 三、解答题（共70分，其中第17题10分，其它每小题12分） 17...2221:22:)2(//,21,//,,,,,://,////21,//,21,//,,,,,:)1(12121111111111111111111111111111a AB PQ aN A M A MN PQ BB AA PQ B B AA AB B B AA PQ AB PQ AB PQ B D AD Q P D AB AB AD BB AA PQ B B AA PQ B B AA MN MNPQ PQNM ND MP ND MP D A NQ D A NQ AD MP AD MP MP NQ MN N M B A AA ===+==∴⊂⊄∴∆∴⊄⊂∴∴=∴==方法二方法一面面面且的中点分别是显然中在连结证法二面面面为平行四边形四边形且连结的中点取证法一18. 三棱锥P —ABC 中，PO ⊥面ABC ，垂足为O ，若PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，求证： （1）AO ⊥BC （2）PB ⊥AC19. 已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)若M 为CB 中点，证明：MA ∥平面CNB 1；(2)求这个几何体的体积．解析：(1)如图所示，取CB 1的中点P ，连接MP ，NP ，∵M 为CB 中点，∴MP ∥BB 1，且MP ＝12BB 1. 由三视图可知，四边形ABB 1N 为直角梯形， ∴AN ∥BB 1且AN ＝12BB 1， ∴MP ∥AN 且MP ＝AN ，∴四边形ANPM 为平行四边形，∴AM ∥PN .又AM ⊄平面CNB 1，PN ⊂平面CNB 1， ∴AM ∥平面CNB 1.(2)∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直，∴BC ⊥平面ABB 1N ，∴BC 为三棱锥C －ABN 的高，取BB 1的中点Q ，连接NQ ，如图所示，∵四边形ABB 1N 为直角梯形且AN ＝12BB 1＝4，∴四边形ABQN 为正方形，∴NQ ⊥BB 1.又BC ⊥平面ABB 1N ，NQ ⊂平面ABB 1N ，∴BC ⊥NQ ，且BC 与BB 1相交于B ，∴NQ ⊥平面C 1B 1BC ，NQ 为四棱锥N －CBB 1C 1的高，则原几何体的体积V ＝V C －ABN ＋V N －CBB1C 1＝13CB ·S △ABN ＋13NQ ·S 矩形BCC1B 1＝13×4×(12×4×4)＋13×4×(4×8)＝1603.20. 如图，在正方体ABCD －1111A B C D 中，棱长为a ,E 为棱CC 1上的的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）当E 恰为棱CC 1的中点时，求证：平面A 1BD ⊥平面EBD . 证明：（1）连AC,A 1C 1正方体AC 1中，AA 1⊥平面ABCD ∴AA 1⊥BD ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，又AC AA 1=A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1E ∈CC 1 ∴A 1E ⊂平面ACC 1A 1 ∴BD ⊥A 1E 6分（2）设AC BD=O ，则O 为BD 的中点，连A 1O,EO由（1）得BD ⊥平面A 1ACC 1 ∴BD ⊥A 1O,BD ⊥EO 1A EO \?即为二面角A 1-BD-E 的平面角 AB=a ，E 为CC 1中点 ∴A 1O=a 26，A 1E=a 23，EO=a 23∴A 1O 2+OE 2=A 1E 2\A 1O ⊥OE 0190AOE \?∴平面A 1BD ⊥平面BDE21. 如图，在圆锥PO 中，已知PO=2,圆O 的直径AB=2，C 是弧AB的中点，D 为AC 的中点．（1）求异面直线PD 和BC 所成的角 （2）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值 解（1） O ，D 分别是AB 和AC 的中点 ∴OD //BC∴异面直线PD 和BC 所成的角为∠PDOEABD C1A 1B 1D 1C在△ABC 中，2,,AB C AB D AC =是的中点,为的中点22,2AC BC OD ∴=== 又2PO = PO ⊥面ABC tan 2PO PDO OD∴∠== （2）因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD.又,,.PO O AC O AC OD ⊥⊂⊥底面底面所以 所以;AC POD ⊥平面又,AC PAC ⊂平面所以平面,POD PAC ⊥平面在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H, 则,OH PAC ⊥平面连结CH ，则CH 是OC PAC 在平面上的射影，所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC 所成的角． 在221222,3124PO OD Rt POD OH PO OD ⨯===++中在2,sin 3OH Rt OHC OCH OC ∠==中 22. 如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.（I ）证明PA ⊥平面ABCD ；（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论.解：（Ⅰ）证明 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB.同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD.（Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD.知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以.3360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒=== 从而 ,33t a n ==GH EG θ .30︒=θ（Ⅲ）当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC ，证明如下， 取PE 的中点M ，连结FM ，则FM//CE. ①由 ,21ED PE EM == 知E 是MD 的中点. 连结BM 、BD ，设BD ⋂AC=O ，则O 为BD 的中点. 所以 BM//OE. ②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又 BF ⊂平面BFM ，所以BF//平面AEC.。