[初中数学]抛物线复习教案 人教版
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所以存在定点M（16，0）满足条件。
拓展：
过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点，且直线OA、OB的斜率分别为 ，则 ， ， 中有几个定值？
解：设直线AB的方程为 ，
联立
；
又 ；
而 ，所以 ， ， 均为定值。
课后练习：（高考·全国卷）设抛物线 的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明：直线AC经过原点。
解：如图所示，因为抛物线 的焦点为
，所以经过F点的直线AB的方程可设为：
，联立 消去x可得
.若记 ，则
是该方程的两个根，所以 .
因为BC//x轴，且点C在准线 上，所以点C的坐标为 ，故直线CO的斜率为 ，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.
三、课时小结
1.抛物线的定义、方程、几何性质；
，
所以 ，
此时即AB于y轴垂直（如图）。
变式：若该题中将A点的坐标改为 ，求 的最小值。
析：经判断A点在抛物线外，所以连接AF则
的长即为 的最小值，即
②设过定点M的直线方程为 ，
显然， ，直线交抛物线于点B、C。
，把直线方程带入抛物线，得
所以动直线方程为 ，即 ，必过定点（8，0）；
当 不存在时，直线x=8交抛物线于点B（8，－8）、C（8，8），仍有 。
解析： 得， ，又焦点坐标为（1，0），所以直线方程为： 。
例4：已知抛物线 ，焦点为F，P为抛物线上一动点，定点A坐标为（4，2），
①求 的最小值。②（2）若点O为坐标原点，问是否存在点M，使过M的动直线与抛物线交与B、C两点，且 ，证明你的结论。
解：①因为点P为抛物线上的点，由抛物线的定义知：
等于P点到准线的距离 ,
教学重难点：重点掌握抛物线的定义，抛物线的标准方程的四种形式，参数p的几何意义，抛物线的一些固有性质。难点是对四种标准方程结构特点的理解，确定抛物线方程及灵活应用抛物线的性质和焦半径公式解决问题。
教学方法：讲授法和启发引导相结合，采用多媒体辅助教学。
教学过程：
一、知识点梳理
1.抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线L（F L）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。
例2：过抛物线 的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则 （C）
A.2a B. C.4a D.
分析：从选项中得知 应为一定值，所以用特殊法来解，取当直线PQ与x轴平行时来计算，则易知p=q，根据抛物线的定义， ，∴ 。
例3：（高考·上海卷）过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交与A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B）
变式1：方程 表示什么曲线？
析：原方程可化为： ，因为点 在直线 上，所以方程所表示的曲线应为过点 且垂直于 的一条直线。
变式2：方程 表示什么曲线？
析：①当 时，原方程可化为： ，表示一条直线；
②当 时，原方程可化为：
（ⅰ）当 ，即 时方程表示椭圆；
（ⅱ）当 ，即 时方程表示双曲线；
（ⅲ）当 ，即 时方程表示抛物线。
对于 ，有 ；
对于 ，有 ；
对于 ，有 ；
对于 ，有 。
（9）焦点弦长：设 ，AB为 的焦点弦则：
或 （ 为AB所在直线的倾斜角）。
二、例题讲解：
例1：判断方程 表示什么曲线？
分析： 可以视为是动点 到定点 的距离，
解：原方程可化为： 即动点 到定点 的距离与其到定直线 的距离相等，因此该方程所表示的曲线应是以 为焦点，以 为准线的抛物线。
2.抛物线的定义及性质的简单应用；
3.高考中既有以考查抛物线的概念与几何性质等基础知识为主的选择题、填空题，又有结合抛物线的概念与性质、直线与抛物线位置关系，以考查推理、运算以及运用数学知识解决问题的能力。这节课我们主要解决一些和抛物线的定义及性质有关的问题。
A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在
解析：设 ，由抛物线定义可求得：
（通径长），∴由对称性可知这样的直线必有两条。
变式1：过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线，则该直线与抛物线相交所得的弦AB长为_________.
解析：由 得, 。
变式2：已知抛物线 的一条弦 长为16，则该弦所在的直线方程为_________.
2.过程与方法：通过对抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析和概括的能力，提高建立坐标系的能力，由圆锥曲线的统一定义，形成学生对事物运动变化、对立、统一的辨证唯物主义观点。
3.情感态度与价值观：通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生勇于探索、严密细致的科学态度，通过提问、讨论、思考等教学活动，调动学生积极参与教学，培养良好的学习习惯。
（3）顶点：抛物线与其对称轴（称为抛物线的轴）的交点叫做抛物线的顶点，坐标为（0，0）.
（4）焦点：
（5）准线L： ，焦准距（又称焦参数）：p。
（6）离心率：e=1。
（和焦点弦相关的性质：）
（7）通径：过焦点垂至于轴的弦称为抛物线的通径，由抛物线定义知，其长度等于焦准距的两倍，等于2p。
（8）焦半径公式：抛物线上一点 ，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p>0）:
抛物线复习（一）
thzxyanyan
教材分析：平面解析几何“抛物线及其标准方程”一节是圆锥曲线的重要内容之一,有着广泛的应用。根据抛物线定义推出的标准方程,也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具。因此,它是平面解析几何这章的重要知识点。
教学目标：
1.知识与技能：本节课为抛物线复习的第一课时要求掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质，了解抛物线的一些初步实际应用。
②抛物线标准方程中各个量（或符号）均具有明显的几何意义，其中，“p”表示“焦准距”；“ ”决定开字母x（或y）表示对称轴为x轴（或y轴）。
3.抛物线的几何性质
以标准方程 的抛物线为例，其几何性质如下：
（1）范围：
（2）对称性：以－y代换方程中的y，方程不变，故抛物线关于x轴对称，抛物线为轴对称图形，其对称轴方程为y=0。
注：①该定义沟通了抛物线上的点到焦点和准线的距离间的联系，并实现了长度间的转化。
②运用定义时应注意F不在直线L上这一隐含条件。
2.抛物线的标准方程和图像：
根据抛物线的焦点位置及开口方向，抛物线有四种标准方程形式：
、 ， 和 （其中 ）图像如下表：
注：①求抛物线标准方程首先应注意确定抛物线的焦点和开口方向情况，一般使用定义法和待定系数法。
拓展：
过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点，且直线OA、OB的斜率分别为 ，则 ， ， 中有几个定值？
解：设直线AB的方程为 ，
联立
；
又 ；
而 ，所以 ， ， 均为定值。
课后练习：（高考·全国卷）设抛物线 的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明：直线AC经过原点。
解：如图所示，因为抛物线 的焦点为
，所以经过F点的直线AB的方程可设为：
，联立 消去x可得
.若记 ，则
是该方程的两个根，所以 .
因为BC//x轴，且点C在准线 上，所以点C的坐标为 ，故直线CO的斜率为 ，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.
三、课时小结
1.抛物线的定义、方程、几何性质；
，
所以 ，
此时即AB于y轴垂直（如图）。
变式：若该题中将A点的坐标改为 ，求 的最小值。
析：经判断A点在抛物线外，所以连接AF则
的长即为 的最小值，即
②设过定点M的直线方程为 ，
显然， ，直线交抛物线于点B、C。
，把直线方程带入抛物线，得
所以动直线方程为 ，即 ，必过定点（8，0）；
当 不存在时，直线x=8交抛物线于点B（8，－8）、C（8，8），仍有 。
解析： 得， ，又焦点坐标为（1，0），所以直线方程为： 。
例4：已知抛物线 ，焦点为F，P为抛物线上一动点，定点A坐标为（4，2），
①求 的最小值。②（2）若点O为坐标原点，问是否存在点M，使过M的动直线与抛物线交与B、C两点，且 ，证明你的结论。
解：①因为点P为抛物线上的点，由抛物线的定义知：
等于P点到准线的距离 ,
教学重难点：重点掌握抛物线的定义，抛物线的标准方程的四种形式，参数p的几何意义，抛物线的一些固有性质。难点是对四种标准方程结构特点的理解，确定抛物线方程及灵活应用抛物线的性质和焦半径公式解决问题。
教学方法：讲授法和启发引导相结合，采用多媒体辅助教学。
教学过程：
一、知识点梳理
1.抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线L（F L）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。
例2：过抛物线 的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则 （C）
A.2a B. C.4a D.
分析：从选项中得知 应为一定值，所以用特殊法来解，取当直线PQ与x轴平行时来计算，则易知p=q，根据抛物线的定义， ，∴ 。
例3：（高考·上海卷）过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交与A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B）
变式1：方程 表示什么曲线？
析：原方程可化为： ，因为点 在直线 上，所以方程所表示的曲线应为过点 且垂直于 的一条直线。
变式2：方程 表示什么曲线？
析：①当 时，原方程可化为： ，表示一条直线；
②当 时，原方程可化为：
（ⅰ）当 ，即 时方程表示椭圆；
（ⅱ）当 ，即 时方程表示双曲线；
（ⅲ）当 ，即 时方程表示抛物线。
对于 ，有 ；
对于 ，有 ；
对于 ，有 ；
对于 ，有 。
（9）焦点弦长：设 ，AB为 的焦点弦则：
或 （ 为AB所在直线的倾斜角）。
二、例题讲解：
例1：判断方程 表示什么曲线？
分析： 可以视为是动点 到定点 的距离，
解：原方程可化为： 即动点 到定点 的距离与其到定直线 的距离相等，因此该方程所表示的曲线应是以 为焦点，以 为准线的抛物线。
2.抛物线的定义及性质的简单应用；
3.高考中既有以考查抛物线的概念与几何性质等基础知识为主的选择题、填空题，又有结合抛物线的概念与性质、直线与抛物线位置关系，以考查推理、运算以及运用数学知识解决问题的能力。这节课我们主要解决一些和抛物线的定义及性质有关的问题。
A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在
解析：设 ，由抛物线定义可求得：
（通径长），∴由对称性可知这样的直线必有两条。
变式1：过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线，则该直线与抛物线相交所得的弦AB长为_________.
解析：由 得, 。
变式2：已知抛物线 的一条弦 长为16，则该弦所在的直线方程为_________.
2.过程与方法：通过对抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析和概括的能力，提高建立坐标系的能力，由圆锥曲线的统一定义，形成学生对事物运动变化、对立、统一的辨证唯物主义观点。
3.情感态度与价值观：通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生勇于探索、严密细致的科学态度，通过提问、讨论、思考等教学活动，调动学生积极参与教学，培养良好的学习习惯。
（3）顶点：抛物线与其对称轴（称为抛物线的轴）的交点叫做抛物线的顶点，坐标为（0，0）.
（4）焦点：
（5）准线L： ，焦准距（又称焦参数）：p。
（6）离心率：e=1。
（和焦点弦相关的性质：）
（7）通径：过焦点垂至于轴的弦称为抛物线的通径，由抛物线定义知，其长度等于焦准距的两倍，等于2p。
（8）焦半径公式：抛物线上一点 ，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p>0）:
抛物线复习（一）
thzxyanyan
教材分析：平面解析几何“抛物线及其标准方程”一节是圆锥曲线的重要内容之一,有着广泛的应用。根据抛物线定义推出的标准方程,也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具。因此,它是平面解析几何这章的重要知识点。
教学目标：
1.知识与技能：本节课为抛物线复习的第一课时要求掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质，了解抛物线的一些初步实际应用。
②抛物线标准方程中各个量（或符号）均具有明显的几何意义，其中，“p”表示“焦准距”；“ ”决定开字母x（或y）表示对称轴为x轴（或y轴）。
3.抛物线的几何性质
以标准方程 的抛物线为例，其几何性质如下：
（1）范围：
（2）对称性：以－y代换方程中的y，方程不变，故抛物线关于x轴对称，抛物线为轴对称图形，其对称轴方程为y=0。
注：①该定义沟通了抛物线上的点到焦点和准线的距离间的联系，并实现了长度间的转化。
②运用定义时应注意F不在直线L上这一隐含条件。
2.抛物线的标准方程和图像：
根据抛物线的焦点位置及开口方向，抛物线有四种标准方程形式：
、 ， 和 （其中 ）图像如下表：
注：①求抛物线标准方程首先应注意确定抛物线的焦点和开口方向情况，一般使用定义法和待定系数法。
