拟x 2分布Wishart分布独立性

a t= b
1 v = 1− 1+ t
a v= a+b
称 v 为 Ι 型Be变量；称 t 为 C 型Be变量。
mt ~ F ( n , m) n n m 记 v ~ Be( , ) 2 2
m v ~ F ( n , m) n 1− v
特殊参数的Wilks分布
n m p = 1 时， Λ (1, n , m ) ~ Be( , ) 2 2
定理1 Λ( p , n , m) 和 Λ(m , n + m − p , p)
有相同的分布。
n+i− p p 定理2 若 ui ~ Be( 2 , 2 ) 且相互独立
则 Λ ( p , n , m) 和 ∏ ui 有相同的分布。 i
n m 补充： Be( , ) 分布 2 2
2 2 a ~ σ 2 χ n b ~ σ 2 χ m 相互独立，记 设
n 1 − Λ(1 , n , m) ⋅ ~ F (m , n) m Λ (1 , n , m) n − p + 1 1 − Λ( p , n , 1) ⋅ ~ F ( p , n − p + 1) p Λ ( p , n , 1)
p = 2 时，
n m u1 ~ Be( , ) 2 2
Λ (2, n , m ) ~ u1 ⋅ u2
α =1
n
′ 记为 W p (n , ∑ , Z ) 其中 Z = ∑ µα µα 非中心参数定义为
n
( µα 1, µα 2 , L µ )′;
当 µα = 0 称为中心Wishart 分布，
α =1
记为 W p (n , ∑ )
基本性质： 基本性质：
若X (i ) ~ N p ( µ , ∑) i = 1 , 2 ,L n 且相互独立 ，则样本 离差阵 S p = ∑ ( X α − X )( X α − X )′ ~ W p (n − 1 , ∑)

wishart分布的定义
Wishart分布是由矩阵正半定和自由度组成的多元随机变量分布。

它的定义如下：假设有一组$p\times p$的对称正半定矩阵集合$\mathcal{W}$和自由度参数$v$，那么一个$p\times p$矩阵$\Sigma$是从Wishart分布上得到的当且仅当$\Sigma$的密度函数满足：
$\mathcal{W}(\Sigma;\mathbf{W},v)=\frac{|\mathbf{W}|^{v/2}}{2^{vp/2}\Gamma_ p(v/2)}|\Sigma|^{(v-p-1)/2}\exp(-\frac{1}{2}\text{tr}(\mathbf{W}^{-1}\Sigma))$ 其中，$\mathbf{W}$是$p\times p$的对称正定矩阵，$|\cdot|$表示矩阵的行列式，$\text{tr}(\cdot)$表示矩阵的迹，$\Gamma(\cdot)$表示伽马函数。

Wishart分布在多元分析中起着重要的作用，常作为Bayes中多元正态分布的协方差阵的共轭先验分布，用来描述多元正态分布样本的协方差矩阵。

第2章 多元正态分布多元正态分析是一元正态分布向多元的自然推广。

多元正态分布是多元分析的基础，多元分析的许多理论都是建立在多元正态总体基础上的。

虽然实际的数据不一定恰好是多元正态的，但是正态分布常常是真实的总体分布的一种有效的近似。

所以研究多元正态分布在理论上或实际上都有重大意义。

限于篇幅，本章仅简介多元正态简单理论，细节可参看王学民（2004），张尧庭（2002），余锦华（2005），Richard （2003），朱道元（1999）等。

现实世界的许多问题都可以纳入正态理论的范围内，正态分布可以作为许多统计量的近似的抽样分布。

2.1随机向量2.1.1随机向量定义2.1.1：称每个分量都是随机变量的向量为随机向量。

类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。

设()1,,p X X X '= 是1p ⨯随机向量，其概率分布函数定义为：(){}111,,,,p p p F x x P X x X x =≤≤ ，1,,p x x 为任意实数多元分布函数()1,,p F x x 有如下性质： （1）()10,,1p F x x ≤≤ ；（2）()1,,p F x x 是每个变量,1,2,,i x i p = 的非降右连续函数； （3）(),,1F ∞∞= ；（4）()()()211,,,,,,,0p p F x x F x x F x -∞=-∞==-∞= 。

多元分布和一元分布一样也分为离散型和连续型。

连续型随机向量()1,,pX X X '= 的分布函数可以表示为 ： ()()1111,,,,px x p p p F x x f t t dt dt -∞-∞=⎰⎰，()1,,pp x x R ∈ (2.1)称()1,,p f x x 是()1,,p X X X '= 的多元联合概率密度，简称多元概率密度或多元密度。

多元概率密度()1,,p f x x 有以下性质： （1）()1,,p f x x 非负； （2）()11,,1p p f x x dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰ ；（3）()()111,,,,p p p nF x x f x x x x ∂=∂∂2.1.2边缘分布、条件分布和独立性 边缘分布设()1,,p X X X '= 是p 维连续型随机向量，由其q 个分量组成的向量()1X （不妨设()()11,,q X X X '= ）的分布称为的边缘分布，其边缘概率密度为：()()()1111,,,,X q p q p f x x f x x dx dx ∞∞+-∞-∞=⎰⎰ (2.2)条件分布设()1,,p X X X '= 是p 维连续型随机向量，()()11,,q X X X '= ,()()()()2112,,,,,0q p X q p X X X f x x ++'=> ,在给定()2X 的条件下,()1X 的条件概率密度函数为：()()()()21111,,,,,,,,p q q p X q p f x x f x x x x f x x ++=(2.3)独立性设()1,,n X X 是连续型随机向量,则1,,n X X 相互独立当且仅当()()()111,,n n X X n f x x f x f x = 对任意1,,n x x 成立。

5．根据自由度，查表得到临界值 。
6．将观测值不临近值迚行比较，并作出判断。

H1：该样本所在的总体丌服从正态分布
2．计算各组别的期望次数：先
计算出 z 分数；再查正态分布表得到对应的
概率；由样本总数不概率的乘积计算出期望次数。
注意（合并数据）：一般，当某组的期望次数小于 5 时，需要将该组不相邻的组合并，
得到相加的期望次数。如果还丌到 5。就要继续合并，直到大于或等于 5 为止。
②由于随着自由度的增加，卡方的临界值也会增加。
（3） 2 分布中自由度 df 的确定 在 2 匘配度检验中，自由度 df 是由类目数 C 决定的。由于叐到样本总数 n 的约束，
可以独立发化的维度比数据 C 要少一个，因此自由度为：df=C-1。
3． 2 检验的具体步骤
（1）提出虚无假设和备择假设，即 H0：和 H1； （2）根据虚无假设，计算期望值；
分为丌同水平即可。
④ 2 独立性检验也要求观察彼此独立和单位格期望值丌小于 5。
（二）计算方法
1．确定 2 独立性检验的虚无假设。
2．计算 2 独立性检验中的期望次数。某单位格的期望次数不该单位格所在行的和乊
比，等于该单位格所在列的和不全部总和乊比，用公式表达如下：
。
3．计算卡方值：
。
4．确定自由度 df：自由度设定为行和列的水平数各减 1 乊后的乘积：df=（R-1）（C-1）。
（2） 2 统计量的计算
其中，fo 指的是观察次数，fe 指的是期望次数。
2 实际上就是各单位格的观察次数不期望次数乊差的平方除以期望次数的商乊和。各 个单位格的 2 值具有可加性。如果单位格的 2 值越大，则说明该因素对整个统计检验的显 著性贡献越大。如果 2 值为 0，那就说明观察和期望的完全吻合。