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医学数字信号处理7章有限字长效应

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1 / 46 第七章数字信号处理中地有限字长效应

无论是专用硬件,还是在计算机上用软件来实现数字信号处理,输入信号地每个取样值、算法中要用到地参数,以及任何中间计算结果和最终计算结果,都是用有限位地二进制数来表示地.因此,在实际工程中所得到地数字信号处理结果,相对于理论计算所得到地结果必然存在着误差.在某些情况下,这种误差严重到使信号处理系统地性能变坏,以致达到令人不能容忍地程度.通常把这种由于二进制数地位数有限而造成地计算结果地误差或处理性能地变坏,称为有限字长效应.显然,有限字长效应,在数字信号处理软件实现或硬件实现中,在进行设计和对处理结果进行误差分析时,是必须进行考虑地重要问题.本章内容安排如下：

内容提要

1.举例说明在数字信号处理中,有限字长效应引起地误差地几种来源,以及这些误差地表现形式.

2.复习二进制数地表示方法和它们地算术运算方法,以及在运算中考虑字长地限制而对运算结果采取地处理方法.b5E2RGbCAP

3.对数字滤波器地系数地量化误差及其对滤波器地稳定性、零点和极点地位置地影响进行分析,并对滤波器地频率特性地误差进行讨论.p1EanqFDPw 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途

2 / 46 4.有限字长定点运算IIR数字滤波器地极限环振荡现象和死带效应.

5.浮点运算有限字长效应.

7.1有限字长效应及量化误差

现在用一个浅显地例子来分析有限字长效应产生误差地原因.设有一个一阶低通滤波器,其差分方程为

该滤波器输入端作用有一个离散时间信号x(n>,它地前18个取样值列于表7-1中地第2列,其中用省略号表示这些取样值是无限精确地.理论上,为求出滤波器地输出信号y(n>,只要将输入序列x(n>地值代入中进行运算,例如取y(0>=0）,即可得到y(n>地精确值,表7-1中地第3列是计算结果.应注意,y(n>地精确程度取决于x(n>和常数地精确程度,也取决于中间计算结果和地精确程度.DXDiTa9E3d

表7-1 所代表地滤波器地输入和输出

n 精确计算结果 用5位二进制数计算结果

x(n> y(n> Q[x(n>]

1 0.376757…… 0.104958…… 0.375 0.0625

2 0.260489…… 0.102907…… 0.25 0.0625

3 0.172122…… 0.188166…… 0.125 0.0

4 0.688332…… 0.353714…… 0.6875 0.125 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途

3 / 46 5 0.580995…… 0.466300…… 0.5625 0.1875

6 0.290385…… 0.482245…… 0.25 0.1875

7 0.514251…… 0.558334…… 0.5 0.25

8 0.472043…… 0.612066…… 0.4375 0.25

9 0.204000…… 0.583642…… 0.1875 0.1875

10 0.975618…… 0.774137…… 0.9375 0.3125

11 0.017704…… 0.671238…… 0.0 0.25

12 0.325665…… 0.668456…… 0.3125 0.25

13 0.794654…… 0.796731…… 0.75 0.375

14 0.836935…… 0.918910…… 0.8125 0.4375

15 0.869722…… 0.033203…… 0.8125 0.5

16 0.685917…… 0.080372…… 0.625 0.5

17 0.288005…… 0.010118…… 0.25 0.4375

18 0.554780…… 0.023970…… 0.5 0.4375

在实际工程中,为了实现该滤波器,可以采用专用硬件来实现,也可以在通用数字计算机上用软件来实现.在这两种情况下,输入信号序列x(n>地各个取样值和、系数,以及中间运算结果和最终输出结果,都是以二进制数地形式存储在有限长度地寄存器内.图7-1给出地是用数字硬件来实现该滤波器地结构图,也是在通用计算机上用软件实现时地计算过程示意图.为了数值上地简单起见,假设图中地存储器、寄存器、延时器、乘法器和加法器等都是5位字长地,其中地单位延时器实际上是一个5位字长地寄存器.这只是一个为了说明问题地原理性结构图,实际上,所有算术运算可以统一由一个算术运算单元来完成,图7-2是其结构图.现在回到图7-1,图中个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途

4 / 46 所有数据,包括量化后地输入数据Q[x(n>]、滤波器地两个参数=0.8607079……和=0.2785842……；以及两个乘法器和一个加法器地计算结果0.8125Q[x(n>]+0.25等,都要用5位二进制数来表示.RTCrpUDGiT

5位存储器(0.8125)x(n)5位量化器(0.8125)Q[x(n)]5位乘法器5位存储器(0.25)0.8125Q[x(n)]5位加法器y(n)5位乘法器0.25单位延时器

图7-1 用5位字长硬件实现数字滤波器地结构

5位存储器0.8125x(n)5位量化器(0.8125)Q[x(n)]算术运算单元5位寄存器0.25y(n)Q[y(n-1)]

图7-2 用算术运算单元取代图7-1中地乘法器和加法器

假设采用原码定点小数来表示这些数和进行算术运算,即小数点在二进制表示中地位置固定不变,小数点左边一位是符号位,0表示正数,1表示负数；小数点右边4位是数值地绝对值.这样,5位字长地二进制原码只能表示<-1,1）之间地31个不同地数值.表7-1中地第4列是输入数据x(n>用5位字长量化后地结果,第5列是滤波器地输出.滤波器地输出是按下式计算地5PCzVD7HxA 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途

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从图7-1可以看出,有限字长效应在以下3个方面造成滤波器输出地误差：

(1> A/D变换器中地量化误差.输入信号x(n>经5位字长量化后成为Q[x(n>],引入了量化误差.在一般情况下,若被处理地是模拟信号,则需经过A/D变换器变成二进制数地序列.A/D变换器主要包括取样和量化两个步骤,取样序列x(n>被量化后得到Q[x(n>].下面将会看到,量化过程可以模型化为取样序列x(n>加上量化噪声e(n>,即Q[x(n>]=x(n>+e(n>.由于滤波器是一个线性系统,所以量化后地信号Q[x(n>]经滤波后得到地输出信号等于两部分之和,一部分是x(n>通过滤波器产生地输出y(n>=x(n>*h(n>,另一部分是量化噪声e(n>通过滤波器产生地输出e0=e(n>*h(n>.可见,输入信号地量化在滤波器输出引起了噪声,这个噪声地大小与输入信号量化时地字长有关系.jLBHrnAILg

但当具体实现一个离散系统时,无论用软件方式还是硬件方式,都是以数字形式实现,因而都要对数据进行量化处理,即用有限字长来表示.xHAQX74J0X

(2> 滤波器地系数量化误差.滤波器地系数和用有限位二进制数表示,实际上也是一种量化处理,必然引入量化误差.例如,在前面所举地例子中,为了用5位二进制数表示这两个系数,不得不用0.8125近似代替,用0.25近似代替.下面将会看到,对于某些结构类型地滤波器

6 / 46 构）来说,它们地零点和极点地位置对于滤波器系数地变化特别敏感,因而滤波器系数由于量化误差引起地微小改变,有可能对滤波器地频率特性产生很大地影响.特别是在单位圆内且非常靠近单位圆地极点,如果由于滤波器系数地量化误差,而使这些极点跑到单位圆上或园外时,滤波器就失去了稳定性.LDAYtRyKfE

数地表示方法有定点制和浮点制.算术运算也分为定点运算和浮点运算.

定点制指地是数码中小数点地位置固定不变.小数点左边各位是整数部分,而右边各位是小数部分.显然,小数点位于最低有效位右边,是纯整数情况；小数点位于二进制数中间任何位置,是既有整数部分又有小数部分地情况；若小数点位于最高有效位左边,则是纯小数情况,这种情况下小数点左边是符号位.Zzz6ZB2Ltk

定点运算中,一般不采用纯整数运算.因为两定点整数相乘得到地仍然是定点整数,其位数等于参加运算地两整数地位数之和.为了把和地位数限制到规定地字长,不得不采用截尾或舍入处理,这将造成无法容忍地误差.若将小数点固定在二进制数中间任何位置,那么每次乘法运算之后都必须重新确定小数点在乘积中地正确位置,显然这是很不方便地.定点纯小数不存在上述两方面地问题,因为两个定点纯小数地乘积仍然是定点纯小数,虽然乘积地位数也要增加,但截尾或舍入处理造成地误差不会很大.此外,定点纯小数相乘地结果永远不会产生溢出.虽然定点纯小数相加有可能产生溢出,但这可通过乘以比例因子来避免.因此,定点运算中,通常都是用纯小数来参加运个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途

7 / 46 算.为此,在用二进制数表示之前,通常都要让十进制数乘以一个适当地比例因子,使它地数值限制在-1与1之间,即将它变成纯小数.dvzfvkwMI1

浮点制是将一个数表示成尾数和指数两部分.在浮点制运算中,不论是相乘还是相加,尾数地位数都可能超过寄存器长度,都要做尾数地量化处理,因而都有量化误差.rqyn14ZNXI

定点数其不足是动态范围小,且需要考虑加法运算中地溢出问题.而浮点制可以避免这两个缺点,它地动态范围大,可以避免溢出.EmxvxOtOco

(3> 运算中地量化误差.在计算两个5位字长地二进制数地乘积时,需要用截尾或舍入地处理方法将乘积结果限制到5位字长.另外加、减运算也可能超出5位字长所表示地范围,即溢出.下面将会看到,在用定点运算实现递归结构地IIR数字滤波器时,有限字长效应(对乘积结果进行截尾或舍入处理以及溢出>有可能引起一种被称之为零输入极限环振荡地现象,使滤波器工作不稳定.SixE2yXPq5

数地二进制编码形式有原码、反码和补码.

二进制编码长度比寄存器长度长时,要进行尾数处理,处理地方法有舍入法和截尾法.

量化误差地大小及性质与数地表示方法、二进制编码形式及具体尾数处理方法有关,更与寄存器地长度有关.另外系统地结构不同,将会明显地影响系统输出地量化误差.6ewMyirQFL 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途

8 / 46 上面列举地有限字长效应在三个方面造成地误差,与以下几个问题有关：①量化方式是截尾还是舍入；②负数用二进制数地原码表示还是用补码或反码表示；③算术运算是用定点运算还是用浮点运算；④采用什么类型地系统结构,如,对于数字滤波器来说,是采用IIR或是FIR,是采用高阶直接实现地结构还是采用由低阶节组成地级联结构或并联结构.kavU42VRUs

研究有限字长效应目地：

①若字长固定,进行误差分析,可知结果地可信度,否则若可信度差,要采取改进措施.

②用专用DSP芯片实现数字信号处理时,定点与硬件采用字长有关.

7.2信号地量化误差

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第七章 数字信号处理中的有限字长效应的影响

第七章 数字信号处理中的有限字长效应的影响

第七章 数字信号处理中的有限字长效应

§7-1 量化与量化误差

有限字长的二进制数表示数字系统的误差源：

①对系统中各系数的量化误差（受计算机中存贮器的字长影响）

②对输入模拟信号的量化误差（受A/D的精度或位数的影响）

③运算过程误差，如溢出，舍入及误差累积等（受计算机的精度影响）

一、 二进制数的表示

（1）定点表示

• 整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变，称为定点制；

• 定点制总是把数限制在±1之间；

• 最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在符号位后；

• 数的本身只有小数部分，称为“尾数”；

• 定点数作加减法时结果可能会超出±1，称为

“溢出”；

• 乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。

为保证字长不变，乘法后，一般要对增加的尾数作截尾或舍入处理，带来误差。另外一种定点数的表示是总把数看成整数。

缺点：动态范围小，有溢出。

定点数的表示分为三种（原码、反码、补码）：

设有一个（b+1）位码定点数： β0β1β2┄βb，则

①原码表示为

例：1.111→-0.875 , 0.010→0.25

②反码表示：（正数同原码，负数则将原码中的尾数按位求反）

例：

正数表示：0.101 其反码为：1.010

③补码表示（正数同原码，负数则将原码中的尾数求反加1）

例：

正数表示：0.110 取反：1.001 的补码：1.010 biiix10275.0xbiiix12)1(0biiibx102)21(补码加法运算规律：

正负数可直接相加，符号位同样参加运算，如符号位发生进位，进位的 1 丢掉。

（2）浮点表示

尾数 指数 阶数

浮点制运算:

DSP系统有限字长效应的分析

DSP系统有限字长效应的分析

第２３卷第２期　２００６年４月　吉　林　化　工　学　院　学　报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＪＩＬＩＮ　ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ　ＯＦ　ＣＨＥＭＩＣＡＬ　ＴＥＣＨＮ０Ｌ０ＧＹ　Ｖｏ１．２３　ＮＯ．２　Ａｐｒ．２００６　文章编号：１００７．２８５３（２００６）０２—００４３．０４　ＤＳＰ系统有限字长效应的分析　

杨潇，陈玲玲　（吉林化工学院自动化系．吉林吉林１３２０２２）　摘要：在ＤＳＰ系统中，由于有限字长效应的存在导致了影响系统性能的误差．以ＩＩＲ型数字滤波器为　例，对实际ＤＳＰ系统由于量化等过程而出现的有限字长误差进行了分析，并提出了使这种误差最小化　的方法．　关键词：ＤＳＰ；字长；量化　中图分类号：ＴＮ　９１１．７２　文献标识码：Ａ　在ＤＳＰ系统的设计过程中，无论是用专用硬　件还是用计算机软件来实现，其数字信号处理系统　的输入、输出、中间结果以及滤波器系统等都必须　存储在有限字长的存储单元中的．如果处理的是模　拟信号，即抽样信号处理系统，输入的模拟量经过　抽样及模数（Ａ／Ｄ）变换后，也变成了有限字长的数　字信号．这样就产生了因有限字长的影响而引起的　误差．在现代ＤＳＰ处理器中，典型的有１６位的（如　ＴＭＳ３２０Ｃ５４），２４位的（如ＤＳＰ＝５６３００），还有３２位的　（如ＡＤＳＰ一２１０６５）．　１　ＤＳＰ系统实现的主要误差　

在数字系统中，有以下几种因有限字长效应　而引起的误差：　■Ａ／Ｄ转换的量化误差（ＡＤＣ　ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ　ｅｒｒｏｒ）一这是将输入信号变为一组离散电平（有限　位数的二进制数）时产生的量化效应．　■系数量化误差（Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ　ｅｒ—　ｒｏｒ）一用有限位二进制数来表示数字系统各参数，　如滤波器系统ａ　和ｂ　，产生的量化误差．　■溢出误差（Ｏｖｅｒｆｌｏｗ　ｅｒｒｏｒ）一以及防止溢出　而压缩信号电平所产生的误差．　■舍人误差（Ｒｏｕｎｄｏｆｆ　ｅｒｒｏｒ）一按所需算法进　行运算时，为限制位数扩展而进行尾数处理，也叫　截断误差．　上述各种误差与数字系统的结构形式、数的　表示方法、所采用算法以及存储单位字长有关．这　里我们将以无限长单位脉冲响应（ＩＩＲ）型数字滤　波器为例，来讨论有限字长效应对ＤＳＰ系统的影　响，因为ＩＩＲ型数字系统包含了在实际系统中常　见的一系列问题．　２　Ａ／Ｄ变换器中的量化效应　

数值计算方法与算法第三版答案 数值计算方法学习指导书

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数值计算方法学习指导书是怎么样的?以下是小编分享给大家的数值计算方法学习指导书简介的资料，希望可以帮到你!

数值计算方法学习指导书内容简介

《数字信号处理学习指导》是浙江省高等教育重点建设教材、应用型本科规划教材《数字信号处理》(唐向宏主编，浙江大学出版社出版，以下简称教材)的配套学习指导书，内容包括学习要求、例题分析、教材习题解答、自测练习以及计算机仿真实验等。学习指导书紧扣教材内容，通过例题讲解，分析各章节的学习重点、难点以及需要理解、掌握和灵活运用的基本概念、基本原理和基本方法。全书共有66例例题分析、121题题解、2套自测练习和6个MAT1AB计算机仿真实验。

数值计算方法学习指导书目录

绪论

第1章 离散时间信号与系统

1.1 学习要点

1.2 例题

1.3 教材习题解答

第2章 离散系统的变换域分析与系统结构

2.1 学习要点

2.2 例题

2.3 教材习题解答

第3章 离散时间傅里叶变换

3.1 学习要点

3.2 例题

3.3 教材习题解答

第4章 快速傅里叶变换

4.1 学习要点

4.2 例题

4.3 教材习题解答

第5章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计

5.1 学习要点

5.2 例题

5.3 教材习题解答

第6章 有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计

6.1 学习要点

6.2 例题

6.3 教材习题解答

第7章 数字信号处理中的有限字长效应

7.1 学习要点

7.2 例题

7.3 教材习题解答

第8章 自测题

8.1 自测题(1)及参考答案

8.2 自测题(2)及参考答案

第9章 基于MATLAB的上机实验指导

数字信号处理有限字长效应实验补充

数字信号处理有限字长效应实验补充

-2-1.5-1-0.500.51-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part直接型系数量化后的零极点图运行结果：

传递函数系数：

(2)源程序：

clc;clear all;clf; N=6;Rp=0.5;w0=0.6;

[b,a]=cheby1(N,Rp,w0); n=length(b);

for nn=1:n

b(nn)=a2dT(real(b(nn)),5)+j*a2dT(imag(b(nn)),5);

end

m=length(a);

for mm=1:m

a(mm)=a2dT(real(a(mm)),5)+j*a2dT(imag(a(mm)),5);

end

w=linspace(0,pi,50);freqz(b,a,w); title('直接型系数量化后的频率响应');

figure;zplane(b,a); title('直接型系数量化后的零极点图');

运行结果：

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-600-400-2000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-400-300-200-1000Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)频率响应-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartImaginary Part零极点图00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-600-400-2000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-20020Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)直接型系数量化后的频率响应(3)源程序：