凸函数的定义

高一函数知识点总结凸凹性

函数是数学中一个非常重要的概念，也是高中数学的一大重点内容。在高一数学学习中，学生需要学习函数的基本概念和运算，其中凸凹性是函数研究中的一个重要内容。下面，我将对高一函数中的凸凹性进行一些总结。

一、函数的凸凹性概念

在函数研究中，凸凹性是用来描述函数曲线的形状的一个重要性质。凹函数是指对于函数的定义域上的任意两个点，函数曲线上连接这两个点的弓形线段位于函数曲线的下方或与曲线重合。而凸函数则相反，表示连接这两个点的弓形线段位于函数曲线的上方或与曲线重合。

二、凹函数的判定方法

在高一数学中，可以使用一阶导数的性质来判定函数的凹凸性。具体而言，如果函数的二阶导数在定义域上恒大于零，则表示该函数为凹函数；如果函数的二阶导数在定义域上恒小于零，则表示该函数为凸函数。

三、凹函数的性质和应用

1. 凹函数的性质：

a. 凹函数在定义域上任意两点间的连线位于函数曲线的下方或与曲线重合。

b. 凹函数的切线位于曲线上方。 c. 凹函数的二阶导数恒大于零。

d. 凹函数在凸区间内恒递增。

2. 凹函数的应用：

a. 在经济学中，凹函数可以描述边际效应递减的现象，比如边际产出递减。

b. 在凸优化问题中，凹函数是一类重要的可行函数，具有较好的性质。

四、凸函数的判定方法

凸函数的判定方法与凹函数类似，也可以使用二阶导数的性质来进行判定。如果函数的二阶导数在定义域上恒小于零，则表示该函数为凸函数；如果函数的二阶导数在定义域上恒大于零，则表示该函数为凹函数。

凸函数的性质和应用与凹函数的性质和应用相反。具体而言，凸函数在定义域上任意两点间的连线位于函数曲线的上方或与曲线重合，切线位于曲线下方，二阶导数恒小于零，在凸区间上恒递增。凸函数在数学和工程学中都有广泛的应用，如优化问题、凸包算法等。

综上所述，函数的凸凹性是高一数学中一个重要的知识点。凹函数在定义域上连线位于函数曲线的下方，凸函数则相反。可以通过二阶导数的正负性来判断函数的凹凸性，并且凹凸函数有着一系列的性质和应用。通过理解凸凹性的概念和判定方法，能够帮助我们更好地理解和应用函数这一数学工具。通过不断学习和练习，相信大家能够熟练掌握函数的凸凹性知识，为日后的数学学习打下坚实的基础。

２００７年第３期　Ｎｏ，３，２００７　九江学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｕｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　（总第１４０期）　（Ｓｕｍ　ＮＯ　１４０）　

凸函数的几种不同定义及作用　

钟　伟　周彬林２　

（１九江学院理学院；２修水县溪口镇中学　江西九江　３３２００５）　

摘要：凸函数是一类比较重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，考虑到凸函数与　连续性、可导性之间的联系及凸函数在不等式证明方面的作用和意义，本文提出了凸函数的　几种不同定义，并讨论了它们之间的等价性及凸函数的有关性质和它在不等式方面的相关　

应用。由于上凸函数和下凸函数统称为凸函数，所以本文所讨论的凸函数都是指下凸函数。　

关键词：关键词：凸函数；不等式；连续；可导　中图分类号：０　１７４．　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—４５８０（２００７）０３—００７４一（０４）　

１　凸函数的有关概念　１．１凸函数的几种不同定义　

定义１　如果函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，对　

［ａ，ｂ］上任意不同的两点ｘ。，Ｘ２，有ｆ（　÷　）≤　

则称ｆ（）【）是［　，ｂ］上的凸函数。　

定义２　设ｆ（ｘ）为定义在区间Ｉ上的函数，若　对Ｉ上任意两点ｘ　，ｘ２和任意实数　∈［Ｏ，１］，有　ｆ（　ｘ。＋（１一ｘ）ｘ　）≤ｈｆ（ｘ。）＋（１一ｈ）ｆ（ｘ　），贝０称　

ｆ（ｘ）是区间Ｉ上的凸函数。　定义３　设函数ｆ（ｘ）定义在区间Ｉ上，对任意　

ｘｌ，ｘ２，Ｘ３∈Ｉ，ｘｌ＜ｘ２＜Ｘ３下列不等式之一成立：　

２二　兰１　２≤　２二　兰！　．　２二　兰１　２≤　

Ｘ２一Ｘｌ　Ｘ３一Ｘｌ　Ｘ３一Ｘｌ　

称　ｘ）是区间Ｉ上的凸函数。　３一ｘ２　定义４　ｆ（ｘ）在区间Ｉ上连续且可导，当且仅　

当曲线Ｙ＝ｆ（ｘ）的切线恒保持在曲线下方，则称　ｆ（ｘ）是区间Ｉ上的凸函数。　注：（１）若将定义１，２，３中的“≤”改为“＜”，　

则称ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的严格凸函数。　（２）若定义４中ｆ（ｘ）除切点外，切线严格保持　

凸函数和凸的

凸函数和凸集是数学中的两个重要概念，在数学和工程应用中非常常见。本文将着重介绍这两个概念的定义、性质和应用。

一、凸函数

1. 定义

对于实数集合X上的函数f，如果对于任意的x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，都有

f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)

则称f是X上的凸函数。

简单来说，就是图像上任意两点连线在函数图像下方时，该函数为凸函数。如下图：

2. 性质

（1）凸函数的一阶导数单调增加。

（2）如果f(x)在[a,b]内是凸函数，则∀x∈(a,b)，有

f(x)≤f(a)+f'(a)(x−a)

或

f(x)≤f(b)+f'(b)(x−b)

（即解析式可以被类比为斜率大于等于零的直线），同时也可以得出：

f(a)+f(b)2≥f(a+b2)

即弦比切的定理。

（3）如果f(x)在[a,b]上是二次凸函数，则额外满足：

f(a+x+b−a−2x2b−a)≤f(a)+f(b)2−f'(a)(b−a)4

根据其定义可知，凸函数有一个很好的性质，即对于任意一个凸函数f(x)，其局部最小值也是全局最小值。这个性质在优化问题中非常有用。

3. 应用

凸函数在优化问题中很常见，比如线性规划、非线性规划、半正定规划以及凸优化等。此外，凸函数在机器学习中也有非常广泛的应用，比如核方法、支持向量机等。

二、凸集

1. 定义

凸集是指对于一个实数集合X，如果对于其中的任意两个点x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，有

αx1+(1−α)x2∈X

则称X是凸集。

也就是说，凸集内的任意两点连线上的任意一点也在凸集内。如下图：

2. 性质

（1）凸集的交仍为凸集。

（2）凸集的凸组合一定在该凸集内。

（3）凸集的闭包也是凸集。

（4）如果X是凸集，则对于x∈X，X是以x为球心的超球体内的凸集。

3. 应用

凸集和凸函数在很多方面都是密切相关的，比如凸优化和半正定规划等都涉及到凸集的概念。

凸函数,是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量,

f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。

凸函数的主要性质有：

1.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数β≥0，函数βf也是定义在S上的凸函数;

2.若f1和f2为定义在凸集S上的两个凸函数，则其和f=f1+f2仍为定义在S上的凸函数;

3.若fi(i=1，2，…，m)为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数βi≥0，函数βifi也是定义在S上的凸函数;

4.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对每一实数c，水平集Sc={x|x∈S，f(x)≤c}是凸集

微积分

如果f和g是凸函数，那么m(x) = max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) +

g(x）也是凸函数。

如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x) = g(f(x））是凸函数。 凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f(x）是凸函数，那么g(y) = f(Ay + b）也是凸函数。

初等运算

1、如果f和g是凸函数，那么m(x)=max{f(x)，g(x)}和h(x)=f(x)+g(x)也是凸函数。

2、如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x)=f(g(x))是凸函数。

3、凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f（x）是凸函数，那么g(y)=f(Ay+b)也是凸函数

举例

函数f(x) = x²；处处有，因此f是一个（严格的）凸函数。

绝对值函数f(x) = | x | 是凸函数，虽然它在点x = 0没有导数。

当1 ≤ p时，函数f(x) = | x | p是凸函数。

定义域为[0,1]的函数f，定义为f(0)=f(1)=1，当0函数x3的二阶导数为6x，因此它在x ≥ 0的集合上是凸函数，在x ≤ 0的集合上是凹函数。 每一个在内取值的线性变换都是凸函数，但不是严格凸函数，因为如果f是线性函数，那么f(a + b) = f(a) + f(b）。如果我们把“凸”换为“凹”，那么该命题也成立。