凹凸函数定义

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函数凹凸性与拐点在高中数学中的应用

作者：聂桂明

来源：《教学管理与教育研究》2018年第11期

摘要：虽然函数凹凸性在高中的课程中没有给出明确定义，但是集合与函数是高中数学的重点部分，作为函数的一个重要的性质，了解一些函数凹凸性的知识可以加深学生对函数题的理解。此外，函数的凹凸性在不等式的证明等方面也有很多应用。此文将结合实例，从定义、性质到应用对函数的凹凸性进行分析。

关键词：函数 凹凸性 应用

一、概念介绍

1. 凹凸函数的定义

（1）下凸函数的定义

①几何定义：在区间G上有定义的函数f ，考察它的图形：y=f （x）如果图形上任意两点（x1，f （x1））和（x2，f （x2））之间的曲线都在这两点弦的下方（这意味着图形是向下方凸的），则f 是一个下凸函数.

②数学定义：在区间G上有定义的函数f .如果对任意的和任意的≥，都有≤，那么称函数f在区间G上是下凸的。

（2）上凸函数的定义可以类似地给出：

①几何定义：在区间G上有定义的函数f，考察它的图形：y=f （x）如果图形上任意两点（x1，f （x1））和（x2，f （x2））之间的曲线都在这两点弦的上方（这意味着图形是向上方凸的），则f是一个上凸函数。

②数学定义：在区间G上有定义的函数f，如果对任意的和任意的≥，都有≥，那么称函数f在区间G上是上凸的。

一般判断函数的凹凸性我们可以取.

图1、图2分别表示了下凸函数和上凸函数的图像.

几何特征（切线斜率特征）如图3所示，下凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大而增大；如图4所示，上凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大而减小；简记为：斜率下凸增上凸减。 龙源期刊网

凹凸函数的综合题

一、凹凸函数的基本概念

凹凸函数是高等数学中经常出现的概念，也是优化问题中常常涉及的知识点。在此先简单介绍凹凸函数的定义。

定义1：设$f(x)$在区间$I$上有定义，如果对于任意的$x_1,x_2\in I$以及$\lambda\in[0,1]$，都有$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$，则称$f(x)$在$I$上是凹函数。如果不等式号为$\ge$，则称$f(x)$在$I$上是凸函数。

定义2：设$f(x)$在区间$I$上有定义，如果对于任意的$x_1,x_2\in I$以及$\lambda\in(0,1)$，都有$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)< \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$，则称$f(x)$在$I$上是严格凹函数。如果不等式号为$\ge$，则称$f(x)$在$I$上是严格凸函数。

定义3：设$f(x)$在区间$I$上有定义，如果$f(x)$在$I$上是凹函数或者凸函数，则称$f(x)$在$I$上是凹凸函数。

二、凹凸函数的判断

对于一元函数，判断它是凹凸函数，我们可以通过它的导数信息来判断。如果$f(x)$在首一幂级数$x=0$处二阶可导，那么当$f''(x)>0$时，$f(x)$在定义域上就是凸函数；当$f''(x)<0$时，$f(x)$在定义域上就是凹函数。当$f''(x)=0$时，则需要进一步探究函数的性质。这里的二阶可导是指一阶导数存在时，二阶导数也存在。

但是对于二元或者更高维的函数，则需要使用更多的工具来判断它们的凹凸性质。

定理1：设$f(x_1,x_2)$在$\mathbb{R}^2$上二阶可导，当且仅当$f(x_1,x_2)$的一阶偏导数存在且连续时，它的二阶混合偏导数$D_{12}^2f(x_1,x_2)=\frac{\partial^2f(x_1,x_2)}{\partial x_1\partial

关于函数凹凸性两种定义与二阶导数符号之间的联系证明

首先，函数的凹凸性可以通过两种定义来描述：一种是基于函数在定义域上的局部性质，即函数在一些区间上是凹（或凸）函数；另一种是基于函数的二阶导数，即函数的二阶导数在定义域上的符号。

1.函数凹（凸）的局部定义：如果函数f在定义域内的一些区间上，对于任意两点x1和x2，函数图像上的割线始终在函数图像下方（或上方），则称函数f在这个区间上是凹（或凸）函数。

f(x)=f(x1)+f'(x1)(x-x1)+f''(c)(x-x1)²/2

其中，c是介于x1与x之间的一些值。由于f''(c)表示函数f在点c处的二阶导数，我们可以得到：

f(x)-(f(x1)+f'(x1)(x-x1))=f''(c)(x-x1)²/2

由于f''(c)表示二阶导数，它的符号可以告诉我们函数的凹凸性。假设f''(c)>0，那么对于任意给定的x，我们有：

f(x)-(f(x1)+f'(x1)(x-x1))=f''(c)(x-x1)²/2>0

这意味着对于任意两点x1和x，函数图像上的割线始终在函数图像上方，即函数在这个区间上是凹函数。同理，当f''(c)<0时，函数在这个区间上是凸函数。

这样，我们可以得出结论：如果函数的二阶导数在一些区间上始终大于0（或小于0），那么函数在这个区间上是凹（或凸）函数。

2.函数的二阶导数符号定义：如果函数f的二阶导数在定义域上始终大于0（或小于0），则称函数f是凹（或凸）函数。 f''(x) = lim(h→0) [f'(x + h) - f'(x)] / h

假设f''(x)>0对于定义域上的任意x成立，那么我们可以选择一个足够小的正数h，使得f'(x+h)-f'(x)>0。因此，我们可以得到：

f''(x) = lim(h→0) [f'(x + h) - f'(x)] / h > 0

这意味着f'(x+h)-f'(x)>0对于足够小的正数h成立。根据中值定理，存在一个介于x和x+h之间的值c，使得：

关于函数凹凸性两种定义与二阶导数符号之间的联系证明

首先，我们来介绍函数的凹凸性的两种常见定义：凹函数和凸函数。

定义1：凹函数

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，如果对于区间[a,b]内任意两点x1和x2以及0≤λ≤1，都有：

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)

则称函数f(x)在[a,b]上为凹函数。

定义2：凸函数

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，如果对于区间[a,b]内任意两点x1和x2以及0≤λ≤1，都有：

f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)

则称函数f(x)在[a,b]上为凸函数。

通过上述定义，我们可以看到凹函数和凸函数的定义非常相似，只是不等式中的方向相反。

定理：设函数f(x)在(a,b)内二阶可导，那么：

1.如果f''(x)>0，即f(x)在(a,b)内的二阶导数为正，那么f(x)在(a,b)上为凸函数。

2.如果f''(x)<0，即f(x)在(a,b)内的二阶导数为负，那么f(x)在(a,b)上为凹函数。 证明：

先证明第一条，即如果f''(x)>0，那么f(x)在(a,b)上为凸函数。

由于f(x)在(a,b)内二阶可导，我们可以利用泰勒展开公式：

f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(η)(x-c)^2/2

其中c和η是x和a之间的一些值。由于f''(x)>0，所以f''(η)>0。

进一步，我们可以将泰勒展开公式中的常数部分去掉，得到：

f(x)-f(c)=f'(c)(x-c)+f''(η)(x-c)^2/2

将上式简化，得到：

f(x)-f(c)=[f'(c)-f'(x)](x-c)+f''(η)(x-c)^2/2

由于f''(η)>0，所以[f'''(η)(x-c)^2/2]大于等于0。

综上所述，对于任意的x和c，都有：

f(x)-f(c)≥[f'(c)-f'(x)](x-c)