电磁场理论练习题

第一章 矢量分析

1.1 3ˆ2ˆˆzyxeeeA，zyeeBˆ4ˆ，2ˆ5ˆyxeeC

求（1）ˆAe；（2）矢量A的方向余弦；（3）BA；（4）BA；

（5）验证BACACBCBA ；

（6）验证BACCABCBA。

1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢量。设A为已知矢量，XAB和XAB已知，求X。

1.3 求标量场32yzxyu在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量zyxeeelˆ2ˆ2ˆ

方向上的方向导数。

1.4 计算矢量3222224ˆˆˆzyxexyexeAzyx对中心原点的单位立方体表面的面积分，再计算A对此立方体的体积分，以验证散度定理。

1.5 计算矢量zyexexeAzyx22ˆˆˆ沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算A对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。

1.6 f为任意一个标量函数，求f。

1.7

A为任意一个矢量函数，求A。

1.8 证明：AfAfAf)(。

1.9 证明：AfAfAf)()()(。

1.10 证明：)()()(BAABBA。

1.11 证明：AAA2)(。

1.12 sincosˆ),,(32zeezA，试求A，A及A2。

1.13 cos1ˆsin1ˆsinˆ),,(2rerererAr，试求A，A及A2。

1.14 sin),,(zzf，试求f及f2。

1.15 2sin),,(rrf，试求f及f2。

1.16 求SrSed)sin3ˆ(，S为球心位于原点，半径为5的球面。

1.17 矢量23cos1ˆ),,(rerAr，21r，求VVAd。

【专题】麦克斯韦方程

1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。

2 试证明：任意矢量E在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即(E)0。

3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程tJ。

4 参看4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为1和2，分界面两侧电场强度矢量E与单位法向矢量n21之间的夹角分别是1和2。假设两种媒质分界面上的电荷面密度S 0，试证明：

2121tantan

上式称为电场E的折射定律。

5 参看4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为1和2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量JS0，把题图中的电场强度矢量E换成磁感应强度矢量B。试证明：

2121tantan

上式称为磁场B的折射定律。若 1为铁磁媒质，2为非铁磁媒质，即12，当190时，试问2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。

6 已知电场强度矢量的表达式为

Eisin( t z)j2cos( t z)

通过微分形式的法拉第电磁感应定律tBE，求磁感应强度矢量B(不必写出与时间t无关的积分常数)。

7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R，间距为d。其间填充介质的介电常数为 。如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I(t)I0sin(t)。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D。

8 在空气中，交变电场EjAsin( t   z)。试求：电位移矢量D，磁感应强度矢量B和磁场强度矢量H。 4题图 第2-3章静电场和恒定电场

2-1 参看图2-1，无限大导板上方点P(0,0h)处有一点电荷q。试求：z0半无限大空间的电场强度矢量E和电位移矢量D，以及导板上的面电荷密度S和总电荷量q。

图2-1 导体平面上方的点电荷及其镜像

2-2 如果将4块导板的电位分别改为：上板120V，左板40V，下板30V，右板90V。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：(1)列出联立方程；(2)用塞德尔迭代法求解；(3)计算最佳加速因子；(4)用超松弛迭代法求解；(5)比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n4。

2-3 如果平板电容其中电荷分布的线密度为 0(14x2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数。选择基函数为

fn(x)x(1xn) n1,2,3,…

2-4 如果在该问题中选择权函数为

xkRxwkRxw6)( 2)(2211和

上式中，R是余数，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通过这种方式来选择权函数，又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数。

2-5 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A都满足下面关系：

(1) ()0； (2) (A)0

2-6 同轴线内、外半径分别为a和b，内外导体之间介质的介电常数为 ，电导率为 。设在同轴线内外导体上施加的电压为Uab，求内外导体之间的漏电流密度J。

2-7 求1/4垫圈两个弯曲面a和b之间的电阻。

2-8 参见2-8题图。某输电系统的接地体为紧靠地面的半球。土壤的平均电导率为

102S/m。设有I500A的电流流入地内。为了保证安全，需要划出一半径为a的禁区。如果人的正常步伐为b0.6m，且人能经受的跨步电压为U200V，问这一安全半径a应为多大？

2-9 参看图2-9，半径为a，间距为D的平行双线传输线，周围介质的介电常数为 ，电导率为 。计算平行双线每单位长度的分布漏电导G1。

图2-9 平行双线的等效线电荷

2-10 半径分别为a和b的两个同心球壳(ab)之间是电导率为0(1+k/r)的导电媒质，试求两球壳之间的电阻Rab。再问此题中的电流位  是否满足拉普拉斯方程。

第4章 恒定磁场

3-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A都满足下面关系：

(A)(A)－2A 2-8题图 第5章 时变电磁场

5-1 通过直角坐标系验证矢量恒等式：

(EH)H(E)E(H)

5-2 根据下面复数形式的简谐场表达式，利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式，并把复数形式改写成瞬时值形式。注意，在取实部之前应加上时间因子ejt。

. 2 e)2j( 3 2 e)j( 2 2 e)2( 1jm00000j0000000j0，，；，，；，，xzykzyxkzyxEEEckEHHckEEEkjkjEjijiHjijiE)()( )(

5-3 将下面瞬时形式的简谐场表达式改写成复数形式，并利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式。

2 )2cos(sin2 4 2 )cos()cos(2 3 )sin()cos( 2 )cos()cos( 1.0000000000000000，，；，，；，，；，， kkrtrILEtzEHxtExtEEE kkytEkytEHHyzyxzeeEjjHkjkjEikikH )( )()()(

5-4 自由空间电流元的远区辐射场为

krkrrlIHrlIEjjesin2j esin60jeeHeeE，

试求：(1)写出波印亭矢量的瞬时值S；

(2)写出复数波印亭矢量SC；

(3)总的平均辐射功率P。

5-5 在微波环境中，如果平均功率密度 |Sav|10mW/cm2对人体是安全的。分别计算以电场强度E和磁场强度H表示的相应标准。已知E0H，0120。

5-6 设自由空间一天线辐射的电场强度矢量为EiAsin(tkz) 上式中00k，是电磁波的相位常数，已知波阻抗000。

试求：(1)将电场强度矢量E改写成复数形式；

(2) 通过麦克斯韦方程求磁场强度矢量H；

(3)瞬时波印亭矢量S；

(4)复数波印亭矢量SC。

5-7 空中交变电磁场的电场强度矢量只有x分量

ExAcos(tkz)Bsin(tkz)

试求：(1) 由麦克斯韦方程求出磁场强度矢量H；

(2) 瞬时波印亭矢量S；

(3) 复数波印亭矢量SC。

5-8 将下列指数形式(复数形式)的场表达式变换成正、余弦形式(瞬时值形式)的场表达式，或者做相反的变换。注意，在取实部之前应加上时间因子ejt。

(1)EiE0ejejkz ；

(2)EiE0cos(tkz)j2E0cos(tkz)；

(3))(j4j0eezkxkzxEjE

5-9 已知磁导率为 ，介电常数为  的均匀媒质中，电场强度矢量的表达式为

E(ijj)Aej(t z)

上式中，，是电磁波的相位常数，已知波阻抗。

试求：(1)瞬时波印亭矢量S，复数波印亭矢量SC和平均波印亭矢量Sav；

(2)电场能量密度we和磁场能量密度wm。