当前位置：文档之家 › 高二数学 新人教A版选修1-1：第3章3.1.3知能优化训练

高二数学 新人教A版选修1-1：第3章3.1.3知能优化训练

  • 格式：doc
  • 大小：229.26 KB
  • 文档页数：4

1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )

A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直

解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．

2．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )

A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2

解析：选A.f′(1)＝lim

Δx→0 －11＋Δx＋11Δx＝lim

Δx→0 11＋Δx＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.

3．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.

解析：2＝lim

Δx→0 x0＋Δx2＋4x0＋Δx－x20－4x0Δx

＝2x0＋4，∴x0＝－1.

答案：－1

4．求证：函数y＝x＋1x图象上的各点处的斜率小于1.

证明：∵y′＝lim

Δx→0 fx＋Δx－fxΔx

＝lim

Δx→0 x＋Δx＋1x＋Δx－x＋1xΔx

＝x2－1x2＝1－1x2<1，

∴y＝x＋1x图象上的各点处的斜率小于1.

一、选择题

1．下列说法正确的是( )

A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线

B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在

C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在

D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线

解析：选C.k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.

2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )

A．4

B．16 C．8 D．2

解析：选C.曲线在点A处的切线的斜率就是函数y＝2x2在x＝2处的导数．

f′(x)＝lim

Δx→0 ΔyΔx＝lim

Δx→0 2x＋Δx2－2x2Δx

＝lim

Δx→0 4x·Δx＋2Δx2Δx＝4x.则f′(2)＝8.

3．已知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么( )

A．f′(x0)＝0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＞0 D．f′(x0)不确定

解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．

4．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )

A．(0,0) B．(2,4) C．(14，116) D．(12，14)

解析：选D.k＝lim

Δx→0 ΔyΔx＝lim

Δx→0 x＋Δx2－x2Δx

＝lim

Δx→0 (2x＋Δx)＝2x.

∵倾斜角为π4，∴斜率为1.

∴2x＝1，得x＝12，故选D.

5．设f(x)为可导函数，且满足lim

x→0 f1－f1－xx＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是( )

A．2 B．－1 C.12 D．－2

解析：选B.∵lim

x→0 f1－f1－xx＝－1，

∴lim

x→0 f1－x－f1－x＝－1，

∴f′(1)＝－1.

6．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )

A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1

解析：选A.

y′＝lim

Δx→0 x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋bΔx

＝lim

Δx→0 2x＋aΔx＋Δx2Δx＝2x＋a，因为曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线l的方程是x－y＋1＝0，所以切线l的斜率k＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)在切线l上，于是有 0＋a＝10－b＋1＝0，解得 a＝1b＝1.

二、填空题

7．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.

解析：设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝4x0－4＝0，

∴x0＝1.即切点坐标为(1,1)．

∴2－4＋a＝1，即a＝3.

答案：3

8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.

解析：lim

Δx→0 a1＋Δx2－aΔx＝lim

Δx→0 (a·Δx＋2a)＝2a＝2，

∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，即ba＝2.

答案：2

9．已知曲线y＝3x2，则过点A(1,3)的曲线的切线方程为________．

解析：∵ΔyΔx＝31＋Δx2－3×12Δx＝6＋3Δx，

∴y′|x＝1＝lim

Δx→0 (6＋3Δx)＝6.

∴曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6.

∴所求的切线方程为y－3＝6(x－1)，即6x－y－3＝0.

答案：6x－y－3＝0

三、解答题

10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．

解：先求曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)的斜率，

k＝y′|x＝1＝lim

Δx→0 31＋Δx2－41＋Δx＋2－3＋4－2Δx

＝lim

Δx→0 (3Δx＋2)＝2.

设过点P(－1,2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式y－2＝2(x＋1)，化为一般式2x－y＋4＝0.

所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.

11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：

(1)它们的交点；

(2)抛物线在交点处的切线方程．

解：(1)由 y＝x2＋4，y＝x＋10，得x2＋4＝10＋x，

即x2－x－6＝0，

∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.

∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．

(2)∵y＝x2＋4，

∴y′＝limΔx→0 x＋Δx2＋4－x2＋4Δx

＝limΔx→0 Δx2＋2x·ΔxΔx＝limΔx→0 (Δx＋2x)＝2x.

∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，

即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.

∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；

在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.

12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．

解：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)

＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax20－9x0－1)

＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，

∴ΔyΔx＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.

当Δx无限趋近于零时，

ΔyΔx无限趋近于3x20＋2ax0－9.

即f′(x0)＝3x20＋2ax0－9

∴f′(x0)＝3(x0＋a3)2－9－a23.

当x0＝－a3时，f′(x0)取最小值－9－a23.

∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，

∴该切线斜率为－12.

∴－9－a23＝－12.

解得a＝±3.

又a<0，∴a＝－3.

合集下载

高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案

高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案

- 1 - 第三章 导数及其应用

3.3 导数在研究函数中的应用

3.3.2 函数的极值与导数

A级 基础巩固

一、选择题

1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．

答案：B

2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )

A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，

f′(x)＜0

B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，

f′(x)＞0

C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，

f′(x)＞0

D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，

f′(x)＜0

解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，

所以 x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.

答案：C

3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )

A．极大值5，极小值－27

B．极大值5，极小值－11

C．极大值5，无极小值

D．极小值－27，无极大值

解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，

当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.

- 1 - 故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．

答案：C

4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )

A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6

C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.

优化设计人教高中数学选修第三章章末综合检测

优化设计人教高中数学选修第三章章末综合检测

(时间：100分钟；满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在复平面内，复数10i3＋i对应的点的坐标为( )

A．(1,3) B．(3,1)

C．(－1,3) D．(3，－1)

解析：选A.10i3＋i＝10i3－i3＋i3－i＝3i－i2＝1＋3i.

2．z是纯虚数的一个充要条件是( )

A．z＋z≠0 B．z－z≠0

C．z·z≠0 D.z＝－z(z≠0)

解析：选D.(1)设z＝bi(b≠0)，则z＝－bi，所以z＋z＝0，所以z＝－z.

(2)设z＝a＋bi(z≠0)，则z＝a－bi，因为z＝－z，所以a－bi＝－(a＋bi)，即a＝0，又z≠0，所以b≠0，所以z是纯虚数，由(1)，(2)知z是纯虚数的一个充要条件是z＝－z(z≠0)．

3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

解析：选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以OA→，OB→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．

4．复数1＋3i3－i等于(

)

A．i B．－i

C.3＋i D.3－i

解析：选A.1＋3i3－i＝1＋3i3＋i3－i3＋i＝3＋i＋3i－34＝i.

5．已知下列命题：

①复数a＋bi不是实数；

②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；

③若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数．

其中正确的命题有( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

解析：选A.根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数；②是假命题，因为由纯虚数的条件得

高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习及答案

高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习及答案

描述：

例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案

第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用

一、学习任务

1.

了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．

2.

了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）

值．

二、知识清单

导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值

利用导数求函数的最值

三、知识讲解

1.导数与函数的图象

（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，

切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于

且小于 ，函数曲线呈下降状态．

（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f′

x

0y=f(x)(,f()x

0x

0

90∘90∘

180∘

(a,b)(x)=0f′y=f(x)(a,b)

是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选

项中的（ ）

解：C

导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在

轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在

轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导

函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项． (x)f′

f(x)y=(x)f

′

f

(x)

x

xx∈(−∞,0)

xx∈(0,1)

x

描述：

例题：2.利用导数研究函数的单调性

一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间

内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果

，那么函数 在这个区间内单调递减．

注：在 内可导的函数 在 上递增（或递减）的充要条件是 （或

）， 恒成立，且 在 的任意子区间内都不恒等于 ．已知函数 的图象如图所示，则导函数 的图象可能是（ ）

高中数学新课程高考基础达标训练(3)

高中数学新课程高考基础达标训练(3)

高中数学新课程高考基础达标训练 (1)

班级： 姓名： 计分：

1．设集合{|1Ax≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（ ）.

A．［0,2］ B．［1,2］ C．［0,4］ D．［1,4］

2．计算31ii（ ）.

A．1+2i B． 1–2i C．2+i D．2–i

3．如果点P(sincos,2cos)位于第三象限，那么角所在的象限是（ ）.

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．原命题：“设a、b、cR，若22acbc则ab”的逆命题、否命题、逆否命题真命题共有（ ）.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．已知平面向量(21,3),(2,)ambm，且a∥b，则实数m的值等于（ ）.

A．2或32 B．32 C．2或32 D．27

6．等差数列na中，10120S ，那么29aa的值是（ ）.

A． 12 B． 24 C．16 D． 48

7．如图，该程序运行后输出的结果为（ ）.

A．36 B．56 C．55 D．45

8．如果椭圆221169xy上一点P到它的右焦点是3，

那么点P到左焦点的距离为（ ）.

A.5 B.1 C.15 D.8

9．（文）某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的平均分M，如果把M当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M：N为（ ）.

A．40：41 B．41：40 C．2 D．1

（理）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、香港、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只能游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）.