高中数学 第1章1.2知能优化训练 新人教B版选修1-2

高中数学 第1章1.2知能优化训练 新人教B版选修1-2

1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图(2)．由这两个散点图可以判断(

)

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析：选C.题图(1)中的数据y随着x的增大而减小，因此变量x与变量y负相关；题图(2)中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关．

2．对于线性相关系数r，叙述正确的是( )

A．|r|∈(0，＋∞)，|r|越大，相关程度越大，反之相关程度越小

B．r∈(－∞，＋∞)，r越大，相关程度越大，反之相关程度越小

C．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小

D．以上说法都不对

解析：选C.由r的意义可知C项正确．

3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平Y(千元)统计调查，Y与x具有相关关系，回归方程为y^＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．

解析：将y＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.

答案：83%

4．若施化肥量x与小麦产量Y之间的回归直线方程为y^＝250＋4x，当施化肥量为50

kg时，预计小麦产量为________．

解析：把x＝50代入y^＝250＋4x，可求得y^＝450 (kg)．

答案：450 kg

5．下面是两个变量的一组数据：

x 1 2 3

4 5

6 7

8

y 1 4 9 16 25 36 49 64

求x与y两个变量之间的回归方程．

解：x＝18×36＝4.5，y＝18×204＝25.5，

i＝18x2i＝204，i＝18xiyi＝1296，

b^＝i＝18xiyi－8x－y－i＝18x2i－8x2＝1296－8×4.5×25.5204－8×4.52＝9.

a^＝y－b^x＝25.5－9×4.5＝－15，

∴回归直线方程为y^＝－15＋9x.

一、选择题

1．若回归直线方程中的回归系数b＝0，则相关系数( )

A．r＝1

B．r＝－1

C．r＝0

D．无法确定

解析：选C.b＝i＝1n xi－xyi－yi＝1n xi－x2，

r＝i＝1n xi－xyi－yi＝1n xi－x2·i＝1n yi－y2，

若b＝0，则r＝0.

2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是( )

A．直线l1和l2有交点(s，t)

B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)

C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行

D．直线l1和l2必定重合

解析：选A.回归直线方程为y^＝b^x＋a^，而a^＝y－b^x，所以a^＝t－b^s，即t＝b^s＋a^.所以点(s，t)在回归直线上．所以直线l1和l2一定有公共点(s，t)．故选A.

3．设两个变量x和Y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，Y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )

A．b与r的符号相同

B．a与r的符号相同

C．b与r的符号相反

D．a与r的符号相反

解析：选A.因为b＞0时，两变量正相关，此时r＞0；b＜0时，两变量负相关，此时r＜0.

4．工人工资(元)以劳动生产率(千元)变化的回归方程为y^＝50＋80x，下列判断正确的是( )

A．劳动生产率为1000元时，工资为130元

B．劳动生产率提高1000元时，工资提高80元

C．劳动生产率提高1000元时，工资提高130元

D．当月工资210元时，劳动生产率为2000元

解析：选B.y^＝50＋80x是工人工资(y^)与劳动生产率(x)的回归方程，所以y^2－y^1＝80(x2－x1)，当x2－x1＝1(千元)时，y^2－y^1＝80(元)．

5．(2011年高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元) 4 2 3 5

销售额y(万元) 49 26 39 54

根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )

A．63.6万元

B．65.5万元

C．67.7万元

D．72.0万元

解析：选B.∵x＝4＋2＋3＋54＝72，

y＝49＋26＋39＋544＝42.

又y^＝b^x＋a^必过(x，y)，∴42＝72×9.4＋a^，∴a^＝9.1.

∴线性回归方程为y^＝9.4x＋9.1.

∴当x＝6时，y^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．

6．在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：

①对所求出的回归方程作出解释；

②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；

③求线性回归方程；

④求相关系数；

⑤根据所搜集的数据绘制散点图．

如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是( )

A．①②⑤③④

B．③②④⑤①

C．②④③①⑤

D．②⑤④③①

解析：选D.由回归分析知识可知D正确．

二、填空题

7．回归直线方程y^＝a^＋b^x中，若b^＝0.304，x＝12，y^＝46.363，则a^的值为________．

解析：a^＝y^－b^x＝46.363－0.304×12＝42.715.

答案：42.715

8．一家工厂对职工进行技能检验，收集数据如下：

零件数x(个) 10 20 30 40 50 60 70 80

加工时间y(分钟) 12 25 35 48 55 61 64 70

两变量的回归直线方程是________．

答案：y^＝0.817x＋9.5

9．(2011年高考广东卷)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.

解析：儿子和父亲的身高可列表如下：

父亲身高 173 170 176

儿子身高 170 176 182

设回归直线方程y^＝a^＋b^x，由表中的三组数据可求得b^＝1，故a^＝y－b^x＝176－173＝3，故回归直线方程为y^＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185 cm.

答案：185

三、解答题

10．一个工厂在某年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组对应数据：

x(万件) 1.08 1.12 1.19 1.28

1.36 1.48

y(万元) 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75

x(万件) 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07

y(万元) 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50

(1)画出散点图；

(2)求月总成本y对月产量x的回归直线方程．

解：(1)散点图如图所示．

(2)经计算可得x＝18.512，y＝34.1712＝2.8475，

i＝112xiyi＝54.244，i＝112x2i＝29.808，

b^＝i＝112xiyi－12x－y－i＝112x2i－12x2

＝54.244－12×18.512×2.847529.808－12×18.5122≈1.216，

a^＝y－b^x＝2.8475－1.216×18.512≈0.973.

故所求的回归直线方程为y^＝1.216x＋0.973.

11．为研究物体质量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对挂有不同质量的物体的6根弹簧(弹簧的弹性系数是相同的)的长度进行测量，数据如下表：

x(克) 4 6 8 10 12 14

y(厘米) 6.3 7.1 7.9 8.9 9.9 10.8

(1)画出散点图；

(2)对x，y两个变量进行相关性检验；

(3)求y对x的回归直线方程．

解：(1)散点图如图所示．

(2)经计算可得x＝9，y≈8.483，i＝16x2i＝556，

i＝16y2i＝466.37，i＝16xiyi＝490.

所以样本相关系数r＝i＝16xiyi－6x－y－i＝16x2i－6x2i＝16y2i－6y2≈0.9989.

因为|r|＞r0.05且与1非常接近，

所以说明y与x之间具有很强的线性相关关系．

(3)由(1)中散点图及(2)可知，b^＝i＝16xiyi－6x－y－i＝16x2i－6x2≈0.456，

a^＝y－b^x≈8.483－0.456×9＝4.379.

所以y与x之间的回归直线方程为y^＝4.379＋0.456x.

12．一台机器由于使用时间较长(但还可以使用)，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：

转速x(转/秒) 16 14 12

8

每小时生产有缺点零件数Y(件) 11

9 8 5

(1)对变量Y与x进行相关性检验；

(2)如果Y与x有线性相关关系，求回归直线方程；

(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，机器的运转速度应控制在什么范围内？

解：(1)x＝12.5,

y＝8.25，

i＝14xiyi＝438, 4x y＝412.5，

i＝14x2i＝660, i＝14y2i＝291.

所以r＝i＝14xiyi－4x yi＝14x2i－4x2i＝14y2i－4y2

＝438－412.5－－

＝25.5656.25≈25.5025.62≈0.995.

查临界值表：4－2＝2的r0.05＝0.950.

因为r>r0.05，所以Y与x有线性相关关系．

(2)由(1)可知Y与x有线性相关关系，

所以，b^＝438－412.5660－4×12.52≈0.7286，

a^＝8.25－0.7286×12.5＝－0.8571.