笫二章质点动力学

第2章 质点动力学

一、质点：

是物体的理想模型。它只有质量而没有大小。平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状大小对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。

二、力：

是物体间的相互作用。分为接触作用与场作用。在经典力学中，场作用主要为万有引力（重力），接触作用主要为弹性力与摩擦力。

1、弹性力： （为形变量）

2、摩擦力：摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。

固体间的静摩擦力： （最大值）

固体间的滑动摩擦力：

3、流体阻力： 或 。

4、万有引力：

特例：在地球引力场中，在地球表面附近：。

式中R为地球半径，M为地球质量。

在地球上方（较大），。

在地球内部（），。

三、惯性参考系中的力学规律 牛顿三定律

牛顿第一定律：时，。牛顿第一定律阐明了惯性与力的概念，定义了惯性系。

牛顿第二定律：

普遍形式：；

经典形式： （为恒量）

牛顿第三定律：。

牛顿运动定律是物体低速运动（）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学的基础。

四、非惯性参考系中的力学规律

1、惯性力：

惯性力没有施力物体，因此它也不存在反作用力。但惯性力同样能改变物体相对于参考系的运动状态，这体现了惯性力就是参考系的加速度效应。

2、引入惯性力后，非惯性系中力学规律：

五、求解动力学问题的主要步骤

恒力作用下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力图，列出分量式的运动方程。

变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，列运动方程，用积分法求解。

第2章 质点动力学

二、解题示例

【例2-1】如题图2-1a所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。

【解】方法一 我们如b图取坐标，并假设物体有下滑趋势，根据受力图可列出动力学方程：

这样两个方程两个未知数，可解，但解的过程较繁。若将坐标轴分别沿斜面和斜面垂直方法上取，使得一个未知力与一个坐标轴垂直，使得在一个方向上的方程中只出现一个未知力，这样一个方程就能独立地解出一个未知力来了。如图c所示可列出如下牛顿动力学方程：

１ 加速度在自然坐标系下的分解

定义1：)(trr（二阶连续可微），关于自然坐标)(tss有

stttvttstrttsstrs;d)(0)(d0)(dd00

于是，可以作“自变量替代ts”。

定义2： )(trr（二阶连续可微），关于自然坐标)(tss系下的曲线轨道上的任意一点的切向单位矢量te和“指向轨道凹向的”法向单位矢量ne分别定义为

1;ddttesre

以及

1;ddnttneeee

容易证明

ntnteeee0

定理：)(trr（二阶连续可微），依赖于“任意给定的二阶连续可微”运动方程)(trr的加速度22d)(d)(ttrta在自然坐标系下表达为

ntevetvta2dd)( 2,dd;vatvant

这里，自然坐标)(tss系下的曲线轨道上的任意一点的依赖于“自变量t和运动方程)(trr（二阶连续可微）的”所谓曲率半径表达为

tesdd

222)dd(tvav

2222222]d)(dd)(dd)(dd)(d[d)(dd)(dd)(dd)(dttrttrttrttrttrttrttrttr ２ 其中

ttrttrvttrttrad)(dd)(d;d)(dd)(d222222

ttrttrttrttrtvttrttrvd)(dd)(dd)(dd)(dddd)(dd)(d22

证明：

tntntttttttttesevetveesvetveesevesvtssevesvvsevvsstrtsvsttrvstvvtsstvttvtadd;ddddddddddddddddddd)d(d]d)(dddd[dd)(ddd)(dddd)(dd)(d)(2222

1 第二章 质点动力学

牛顿运动定律

2.1、质量为 m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用.比例系数为 k , k 为正常数.该下落物体的收尾速度(即最后物体做匀速直线的速度)将是 [ ]

(A) kmg (B)

kg2 (C) gk (D) gk

2.2、已知一质量为 m 的质点在 x 轴上运动,质点只受到指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比,即f = -k/x2, k 是比例常数,设质点在 x = A

时的速度为零,求 x = A / 2 处的速度大小。

2.3、质量为 m 的小球在水中受的浮力为常力 F,当它静止开始沉降时,受到水的沾滞阻力为 f = kv（ k为常数 ）,求小球在水中竖直沉降的速度 v 与时间 t 的关系。

冲量、动量、动量定理

2.4、质量分别为 mA 和 mB ( mA > mB )的两质点 A 和 B ,受到相等的冲量作用,则 [ ]

(A) A 比 B 的动量增量少 (B) A 比 B 的动量增量多

(C) A 、B 的动量增量相等 (D) A 、B 的动能增量相等

2.5、质量为 20g 的子弹沿 x 轴正向以500m/s的速度射入一木块后，与木块一起以50m/s 的速度仍沿 x 轴正向前进，在此过程中木块所受冲量的大小为 [ ]

(A) 9N·S (B) -9N·S (C) 10N·S (D) -10N·S

2.6、一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为 M 的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量 m= M / 2 。若人相对于绳以加速度 a0 向上爬，则人相对于地面的加速度（以竖直向上为正）是 [ ]

第二章 质点动力学

质点动力学的任务研究物体之间的相互作用，以及由于这种相互作用所引起的物体运动状态变化的规律，它的研究对象是质点和可以当作质点对待的质点系。牛顿在1687年发表著作《自然哲学的数学原理》，在伽利略、开普勒等人工作的基础上，建立了牛顿三定律和万有引力定律，从牛顿运动定律出发可以导出刚体、流体、弹性体等的运动规律，从而建立起整个经典力学的体系。

一、牛顿第一定律

(1) 定律表述

任何物体若不受其他物体对它的作用（或所受合力为零）将继续保持其静止的或匀速直线运动的状态。

数学形式：0F时，恒矢量v。

第一定律是大量观察与实验事实的抽象与概括，它给出了物体机械运动状态改变的原因，即物体受到力的作用（合外力不为零），物体的机械运动状态（瞬时速度矢量）发生改变。

(2) 惯性和力的概念

惯性的概念：任何物体保持原有运动状态不变的能力，是物质运动不灭性的表现，物体的惯性大小与参考系有关，或者说与所处时空性质有关。牛顿第一定律也称为惯性定律。

力的概念：物体间的相互作用，在力的作用下物体的运动状态——瞬时速度矢量v会发生改变。

(3) 惯性参考系

牛顿第一定律的意义在于它表明一定存在着这样一类的参考系，在该系中所有不受力的物体都保持自己的速度不变。这类参考系，称为惯性参考系，或称惯性系，不能成立的参考系称为非惯性系。牛顿第一定律可作为判断一个参考系是惯性系还是非惯性系的理论依据。

通过力学实验可以判定一个参考系中牛顿第一定律是否成立，是不是惯性系。对一般力学现象来说，地面参考系是一个足够精确的惯性系，可以应用牛顿运动定律求解质点动力学问题。对于大量天文现象，以太阳中心为坐标原点、以指向任一恒星的直线为坐标轴建立的坐标系中，太阳系是一个惯性系。

牛顿定律只有在惯性系中才成立。

二、牛顿第二定律

(1) 定律表述