华师高数上期末试题及答案

高等数学（上）试题及答案

一、 填空题（每小题3分，本题共15分）

1、.______)31(lim20xxx。

2、当k 时，00e)(2xkxxxfx在0x处连续．

3、设xxyln,则______dydx

4、曲线xeyx在点（0，1）处的切线方程是

5、若Cxdxxf2sin)(，C为常数，则)(xf 。

二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、若函数xxxf)(，则)(lim0xfx（ ）

A、0 B、1 C、1 D、不存在

2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）

A. )0(1lnxx B. )1(lnxx C. )0(cosx x

D.

)2(422xxx

3、满足方程0)(xf的x是函数)(xfy的（ ）．

A．极大值点 B．极小值点 C．驻点 D．间断点

4、下列无穷积分收敛的是（ ）

A、0sinxdx B、dxex02 C、dxx01 D、dxx01

5、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则AMB= A、3 B、4 C、2 D、

三、 计算题（每小题7分，本题共56分）

1、求极限 xxx2sin24lim0 。

2、求极限 )111(lim0xxex

3、求极限 2cos102limxdtextx

4、设)1ln(25xxey，求y

5、设)(xyf由已知tytxarctan)1ln(2，求22dxyd

6、求不定积分 dxxx)32sin(12

7、求不定积分 xxexdcos

8、设011011)(xxxexfx， 求 20d)1(xxf

四、 应用题（本题7分）

求曲线2xy与2yx所围成图形的面积A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。

五、 证明题（本题7分）

若)(xf在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且0)1()0(ff，1)21(f，证明：

在(0,1)内至少有一点，使1)(f。

参考答案

一。填空题（每小题3分，本题共15分）

1、6e 2、k =1 ． 3、xx1 4、1y 5、xxf2cos2)(

二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、D 2、B 3、C 4、B 5、A

三．计算题（本题共56分，每小题7分）

1.解：xxx2sin24lim081)24(2sin2lim21)24(2sinlim00xxxxxxxx 7分

2.解 ：21lim11lim)1(1lim)111(lim0000xxxxxxxxxxxxxxxeeeexeeeexxeex

7分

3、解： 2cos102limxdtextxexxexx212sinlim2cos0 7分

4、解： )111(1122xxxy……………………… …...4分

211x ……………………………………… …...7分

5、解：ttttdxdy21121122 （4分）

222232112()241dytddydxtdttdtdxdxtt （7分）

6、解：Cxdxdxxx)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12 （7分）

7、 解： xxexxxedcosdcos sinxdxecosxxex…………………… …….2分

xdesincosxxex..………………… ……….3分

dxcossincosxexexexxx ……… ……5分

Cxxex)cos(sin ……………… ……… …7分

8、解：01101120d)(d)(d)(d)1(xxfxxfxxfxxf… …2分

10011d1dxxexx ……… ………3分

1001)1ln(d)11(xxeexx……

……5分

2ln)1ln(101xe ………………

…6分

)1ln()1ln(11ee…………

……7分

四． 应用题（本题7分）

解：曲线2xy与2yx的交点为（1，1）， 1

于是曲线2xy与2yx所围成图形的面积A为

31]3132[)(10210232xxdxxxA

A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为：

10352)(10521042yydyyyV 五、证明题（本题7分）

证明： 设xxfxF)()(， 2分

显然)(xF在]1,21[上连续，在)1,21(内可导，

且 021)21(F，01)1(F.

零点定理知存在]1,21[1x，使0)(1xF. 4分

由0)0(F，在],0[1x上应用罗尔定理知，至少存在一点

)1,0(),0(1x使01)()(fF，即1)(f … …7分

2006-2007第一学期高数试题

一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

1）函数211arcsin3xfxxx的定义域为240xx或。

2）201cos3limxxx92。

3）设xeyx，则y1lnxeex。

4）设220xyaax，dy22222axdxax。

5）若220,dxaaxarcsinxCa。

二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）

1）极限2451lim23xxxx（ D ）

A、2 B、2 C、2 D、不存在

2）下列函数fx在1,1上适合罗尔中值定理条件的是（ B ）

A、32fxx B、2fxxx

C、arccosfxx D、cot2xfx

3）下列函数中，哪一个不是sin2x的原函数（ C ） A、2sinx B、2cosx

C、cos2x D、225sin4cosxx

4）设22222111ln,ln,1PxdxQxdxRxdx，则下列不等式正确的是（ D ）

A、PQR B、QRP

C、RQP D、QPR

5）设fx在,ab上连续，则badxfxdxdx（ A ）

A、bafxdx B、bfbafa

C、baxfbfafxdx D、bafxdxxfx

三、计算下列各题（共4题，每小题6分，共24分）

1）计算极限sincos30limxxxxeex

解：原式sincoscos3320001sincossin1limlimlim33xxxxxxxxexxxxxexxx

2）设参数方程22lnsin1sin1sinxttyt，求22dydx

解：222sincos21sinsin1cos1sinttdyttdxtt，2222cos1sin1cos1sindyttdxtt。

3）计算不定积分12ln11xxdxxx

解：原式3222211212lnln111111xxxxxxxdxxdxxxxxxx

2212222ln1111xxxxdxxxxx 2131ln2111xxxdxxxx

221ln3ln1ln11xxxxxCx

四、解答下列各题（共2题，每小题7分，共14分）

1）在曲线21yx上求一点M，使它到点05,0M的距离最小。

解：设曲线21yx上一点坐标为2,1aa，它到点05,0M的距离的平方为

22251faaa，我们只须在,求fa得最小值

2322541461014410faaaaaaaaa

当1a时，0fa，此时，fa取最小值。所求点为1,2

2）设由cos,0,0yxyx在第一象限围成的图形为D，其面积为0S。又曲线sin0yaxa将D分为左右两部分12,DD，其面积分别为12,SS，求a的值使12:2:1SS。

解：22000cossin1Sxdxx

又因为1201SSS，12:2:1SS

所以1221,33SS

arccot102cossin3aSxaxdx

cot0sincossincotcoscotarcaxaxarcaaarcaa

22221511211aaaaaaa