东南大学2000年数学分析研究生入学试题
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东南大学2000年数学分析研究生入学试题
一.填空题
1.123limnnnn .
2.若()fx二阶可导,且(0)0,(0)1,(0)2,fff又()fxx与kx是当0x时的等价无穷小量,则常数k .
3.设
(),0()0,0gxxfxxx
其中()gx在(,)内有二阶连续导数,并且(0)(0)0gg,则导函数()fx的连续区间为
.
4.1(1)xxdxxxe= .
5.222lim()xyxyxxy .
6.设(,,),(,),(,).ufxyzyxttxz则ux .其中,,f具有一阶连续偏导数.
二.计算题
1.求2()|sin|xxfxtdt在4141[,]44上的最大值与最小值.
2.设f具有二阶连续偏导数,(,sin)xufxyey,求2.uxy
3.计算22()Vxydxdydz,其中V是由平面曲线220yzx绕z轴旋转一周所成的曲面与8z所围成的区域.
4.求密度1的均匀半球壳2222(0)xyzaz对z轴的转动惯量. 5.计算曲面积分223()(103)4Sxydydzxydzdxxzdxdy.其中S为曲面22zxy介于平面1z和2z之间的部分的下侧.
三.用数列极限的N证明极限223511lim1.36nnnnn
四.证明函数sin,()0,xxQfxxQ其中Q为有理数集,在整数点处连续,在其它点处间断.
五.设0(),||,nnnfxaxxr且101nnnarn收敛,证明100().1rnnnafxdxrn
六.利用幂级数证明:011.!(2)nnn
七.设对任意自然数n,有21321||||||,nnxxxxxxCC为常数,证明数列{}nx收敛.
八.设()fx在[0,1]上可导,证明对任意[0,1]x,有
10|()|(|()||()|).fxftftdt